1、0),(. 1 yxF隱函數存在定理隱函數存在定理 1 1 設函數設函數),(yxF在點在點),(00yxP的的某一鄰域內具有連續的偏導數，且某一鄰域內具有連續的偏導數，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，則方程，則方程0),( yxF在點在點),(00yxP的的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續且具有連續某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續且具有連續導數的函數導數的函數)(xfy ，它滿足條件，它滿足條件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隱函數的求導法則隱函數的求導法則一、一個方程的情形一、一個方程的情形例例驗證方程驗證方程0122 yx在點在點)1 , 0(

2、的某鄰的某鄰域內能唯一確定一個單值可導、且域內能唯一確定一個單值可導、且0 x時時1 y的隱函數的隱函數)(xfy ，并求這函數的一階和二階導，并求這函數的一階和二階導數在數在0 x的值的值.解解令令1),(22 yxyxF那那么么,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在點點)1 , 0(的的某某鄰鄰域域內內能能唯唯一一確確定定一一個個單單值值可可導導、且且0 x時時1 y的的函函數數)(xfy 函函數數的的一一階階和和二二階階導導數數為為yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyx

3、xy ,13y . 1022 xdxyd例例 2 2 已已知知xyyxarctanln22 ，求求dxdy.解解令令,arctanln),(22xyyxyxF 那那么么,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 0),(. 2 zyxF隱函數存在定理隱函數存在定理2 2 設函數設函數),(zyxF在點在點,(0 xP),00zy的某一鄰域內有連續的偏導數，且的某一鄰域內有連續的偏導數，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，則方程，則方程,(yxF0) z在點在點),(000zyxP的某一鄰域內恒能唯一確的某一鄰域內恒能唯一確定

4、一個單值連續且具有連續偏導數的函數定一個單值連續且具有連續偏導數的函數),(yxfz ，它滿足條件，它滿足條件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .)(,),(xysxrsrFu ursx),(),(yxzzzyxFu uxyzxy例例 3 3 設設04222 zzyx，求求22xz .解解令令,4),(222zzyxzyxF 那那么么,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 例例 4 4 設設),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy .思路：思路：把

5、把z看成看成yx,的函數對的函數對x求偏導數得求偏導數得xz ，把把x看看成成yz,的的函函數數對對y求求偏偏導導數數得得yx ，把把y看成看成zx,的函數對的函數對z求偏導數得求偏導數得zy .解解令令, zyxu ,xyzv 那那么么),(vufz 把把z看看成成yx,的的函函數數對對x求求偏偏導導數數得得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看看成成yz,的的函函數數對對y求求偏偏導導數數得得把把y看看成成zx,的的函函數數對對z求求偏偏導導數數得得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzf

6、fxyff )1(0 yxfu),(yxyzxzfv 整理得整理得yx ,vuvuyzffxzff 二、方程組的情形二、方程組的情形1、對于方程組、對于方程組 0),(0),( zyxFzyx 怎樣求偏導數怎樣求偏導數首先應明確這個方程組確定了幾個幾元隱函數首先應明確這個方程組確定了幾個幾元隱函數當當 x 給定以后相當于解含關于給定以后相當于解含關于 y , z 的方程組的方程組如果有解且唯一則對于不同的如果有解且唯一則對于不同的 x 就完全確定了就完全確定了y , z 故方程組確定了兩個一元隱函數故方程組確定了兩個一元隱函數y=y(x),z=z(x) 假設假設0 zyzyFFJ 那么那么,1

7、zxzxFFJdxdy xyxyFFJdxdz 1 怎樣求怎樣求dxdzdxdy,0),( zyxF兩邊對兩邊對 x 求導求導 注意左邊是復合函數三個中間變量），注意左邊是復合函數三個中間變量），0 dxdzFdxdyFFzyx同理同理0 dxdzdxdyzyx 2、 0),(0),(vuyxGvuyxF隱隱函函數數存存在在定定理理 3 3 設設),(vuyxF、),(vuyxG在在點點),(0000vuyxP的的某某一一鄰鄰域域內內有有對對各各個個變變量量的的連連續續偏偏導導數數，且且0),(0000 vuyxF, ,),(0000vuyxG0 ，且且偏偏導導數數所所組組成成的的函函數數行行

8、列列式式（或或稱稱雅雅可可比比式式） vGuGvFuFvuGFJ ),(),(在點在點),(0000vuyxP不等于零，則方程組不等于零，則方程組 0),( vuyxF、 0),( vuyxG在點在點),(0000vuyxP的某一鄰域內恒能唯一確定一的某一鄰域內恒能唯一確定一組單值連續且具有連續偏導數的函數組單值連續且具有連續偏導數的函數),(yxuu ，),(yxvv ，它們滿足條件，它們滿足條件),(000yxuu , ,vv 0),(00yx，并有，并有vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu ,),()

9、,(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 例例5 5 設設0 yvxu，1 xvyu， 求求 xu ，yu ，xv 和和yv .解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2運用公式推導的方法，運用公式推導的方法，將所給方程的兩邊對將所給方程的兩邊對 求導并移項求導并移項x, vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ ,22yx 在在0 J的的條條件件下下，xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 將所給方程的兩邊對將所給方程的兩邊對 y 求導，用同樣方法得求導，用同樣方法得,22yx

10、yuxvyu .22yxyvxuyv 注注這組公式不太好記，具體做題時應這組公式不太好記，具體做題時應用的是其基本思想用的是其基本思想關于隱函數求二階偏導數關于隱函數求二階偏導數以以0),( zyxF為例，為例， 主要有三種方法：主要有三種方法：公式法公式法,zxFFxz 222)()(zzxzxFFxFFFxz 21223xzzzxxzzxxzFFFFFFFF 類似地可求得類似地可求得222,yzyxz 直接法直接法方程兩邊連續求導兩次方程兩邊連續求導兩次0 xzFFzx0)(2222 xzFxzFxzFFzzzxzxx解得：解得：22xz 21223xzzzxxzzxxzFFFFFFFF

11、兩種方法相比，法二較簡便，因為可避免兩種方法相比，法二較簡便，因為可避免商的求導運算，尤其是在求指定點的二階偏導數商的求導運算，尤其是在求指定點的二階偏導數時，毋須解出一階偏導數而是將其具體數值代入時，毋須解出一階偏導數而是將其具體數值代入即可求得二階偏導數，使運算大為簡化。即可求得二階偏導數，使運算大為簡化。BdyAdxdz yzBxzA ,那么那么這樣一次就可求得全部的一階偏導數。這樣一次就可求得全部的一階偏導數。全微分法全微分法利用全微分形式不變性，在所給的方程兩邊直接利用全微分形式不變性，在所給的方程兩邊直接求全微分求全微分三、小結三、小結隱函數的求導法則隱函數的求導法則（分以下幾種情

12、況）（分以下幾種情況）0),()1( yxF0),()2( zyxF 0),(0),()4(vuyxGvuyxF 0),(0),() 3(zyxzyxF 思考題思考題已已知知)(zyzx ，其其中中 為為可可微微函函數數， 求求? yzyxzx 思考題解答思考題解答記記)(),(zyzxzyxF ,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于于是是zyzyxzx .練練 習習 題題一、一、 填空題填空題: :1 1、 設設xyyxarctanln22 , ,則則 dxdy_._. 2 2、設、設zxyz , ,則則 x

13、z_,_, yz_._.二、二、 設設,32)32sin(2zyxzyx 證明：證明：. 1 yzxz三三、 如如 果果 函函 數數),(zyxf對對 任任 何何t恒恒 滿滿 足足 關關 系系 式式),(),(zyxfttztytxfk , ,則則稱稱函函數數),(zyxf為為 k次次齊齊次次函函數數, ,試試證證: :k次次齊齊次次函函數數滿滿足足方方程程 ),(zyxkfzfzyfyxfx . .四四、設設.,3233yxzaxyzz 求求五五、求求由由下下列列方方程程組組所所確確定定的的函函數數的的導導數數或或偏偏導導數數: :1 1、 設設 203222222zyxyxz , ,求求.

14、,dxdzdxdy2 2、 設設 ),(),(2yvxugvyvuxfu，求求.,xvxu （其其中中gf ,具具有有一一階階連連續續偏偏導導數數）六六、 設設函函數數)(xu由由方方程程組組 0),(0),(),(zxhzyxgyxfu所所確確定定, , 且且., 0, 0dxduzhyg求求 ( (hgf,均均可可微微) )七七、 設設),(txfy 而而t是是由由方方程程0),( tyxF所所確確定定的的yx,的的函函數數, ,求求.dxdy八八、 設設),(yxzz 由由方方程程),(xzyyxxF = =0 0 所所確確定定, , 證證明明: :xyzyzyxzx . .練習題答案練習題答案一、一、1 1、yxyx ； 2 2、yyxzzzzxxlnln1 ； 3 3、yyxzzyzxzln11 . .四、四