1、定積分作為導數的后續課程，與導數運算互為逆運算，也是微積 分基本概念之一，同時為大學數學分析打下基礎。從高考題中來看， 定積分是高考命題的一種新方向，在高考復習中要求學生了解定積分 的定義，幾何意義，掌握解決問題的方法。一、利用微積分基本定理求定積分1、微積分基本定理：一般地，如果 f(x)是區間a,b上的連續函數，并且F (x) f(x),那么b f(X)dx F(a) F(b).這個結論叫做微積分基本a定理(又叫牛頓-萊布尼茲公式)。2、例題講義一 一 e 1例 1、計算 1(- 2x)dx1 x解：因為(lnx x2) - 2xxe 1所以(2x)dx= (lnx x2) |； (Ine

2、 e2) (ln1 12) e21 x【解題關鍵】：計算bf(X)dx的關鍵是找到滿足F (x) f(x)的函數 aF(x)。跟蹤訓練：1計算02(ex cosx)dx二、利用定積分的幾何意義求定積分。1、定積分的幾何意義：設函數y=f(x)在a,b上y=f(x)非負、連續，由直線 x=a,x=b,y=0及曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形面積bS= a f (X)dx2、例題講義:例2、求由曲線y 2Vx 1,直線y x 2及y軸所圍成的圖形的面積S等于=解：聯立方程組(如圖所示)y xx 1解得x 4y x 1y 3S = S AOB S曲邊梯形OBCE S曲邊梯形BCD1 14 , 一=-

3、1 1(<x 1)dxQx D (x，2 02'1212 2124=-(-x2 x) |o (x2 -x 2x)|12332【解題關鍵】：將曲邊梯形進行分割成幾個容易求面積的圖形，再求面積和例 3、求：j4-(x 2)2dx 的值解：令 y 4 (x 2)2(y 0)則有 y2 4 (x 2)2(y 0)及(x 2)2 y2 4( y 0)右圖所以:j1-(x 2)2dx ：蘇a 2【解題關鍵】：將被積函數轉化為熟悉的曲線方程，利用曲線圖形的特點求其定積分。練習：由直線x1，x=2,曲線y 1及x軸所圍圖形的面積為()2xA. - B. - C. 11n2D. 2ln2442三、

4、利用變換被積函數求定積分1、從積分變量x分割的幾何圖形較多，不容易求其定積分時，就變換被積函數求其定積分。2、例題講義例4、求拋物線y2 2x與y x 4直線所圍成的圖形的面積。解：方法1分割如右圖如圖所示聯立方程組S三角形ABCs曲邊梯形 ODCSa邊梯形 CDE20( 2x)dx04 2xdx84 ( 2x x 4)dxEAcyx-4二18方法2：由y22x得x4所以s= 2(y-22y)dy18【解題關鍵】:改變被積函數求面積比分割求面積簡單四、定積分與幾何概型知識的交叉應用例5、如圖，四邊形 OAC更AB=1,AD=2的矩形，陰影部分是由直線x=1與拋物線y2 2x圍成的區域，在矩形ABCD3 （含邊界）任意取點,VD則這點取自陰影部分（含邊界）的概率是多少?解：如圖所示本題是古典概型S、:/2 2xdx 2Stt邊木形OBC 02S矩形ABCD1 22【解題關鍵】：求曲邊梯形OACB面積少？練習：設區區域D區域D內任取一