1、第二章第二章 解析函數根底解析函數根底2.1 復變函數的導數;),(Dzzfw函數定義1Dzzz00,zwz0lim極限zzfzzfz)()(lim000存在, 那么就說f (z)在 z0可導, 此極限值就稱為f (z)在 z0 的導數，記作00().zzdwfzdz或應該留意：上述定義中 的方式是恣意的。0z 一 導數和微分 語言：對恣意給定的時，使得當存在|00, 0z總有.)()()(000zfzzfzzf假設 f (z) 在區域D內處處可導, 就說 f (z) 在內可導.例1 求 f (z) = z2 的導數。解 由于0( )( )limzf zzf zz220( )limzzzzz0

2、lim (2 )2 .zzzz所以 f (z) = 2z . 即f (z) = z2 在復平面處處可導。例2 問 f (z) = x +2yi 能否可導?解 這里0()( )limzf zzf zz 0()2()2limzxxyy ixyixyi 02limzxyixyi 0,zx 取002limlim1.zzxyixxyix 0,zi y 取0022limlim2.zzxyiyxyiy 所以 f (z) = x + 2yi 的導數不存在.即 f (z) = x + 2yi 在整個復平面處處不可導.注：從例2可以看出，存在處處延續而又處處不可導的函數。這在實變函數里很難找到，而在復變函數中卻很

3、容易構造出來。例3 討論2)(zzfw的可導性。zzfzzfzw)()(解：zzzz22zzzzzzz)(zzzzz:0z)0(0zzzw0)0( f:0z0 xz取zzzw0yiz取zzzw所以2)(zzfw在復平面上除原點外處處不可導。 對恣意給定的時，使得當存在|00, 0z總有).()(lim,)()()()(. 0)(lim),()()()(,)()()(0000000000000zfzzfzzzzfzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzz故因此有則令可導可導 延續延續可微定義可微定義:假設函數w=f(z)在點z的改動量可寫成zzAdwzzfzzAzzfzzzzzzzzAz

4、fzzfwz)(,)()()(|)(| , 0)(lim,)()()()(0記為處的微分在點為處可微，而稱在點無窮小，則稱的高階是其中可導可導 可微可微易知 A(z)=f (z)當f(z)=z時, dz=z. 所以常記 dw=df(z)=f (z)dz.求導公式與法那么:(1) 常數的導數為0;是與這里)()(,)(1)()7();()()()6();0)(,)()()()()()()()5();()()()()()()4();()()()()3(;,)(2(21wzzfwwzfzgzgfzgfzgzgzfzgzgzfzgzfzfzgzgzfzgzfzgzfzgzfZnnzznn. 0)( w

5、函數，且互為反函數的單值復變二、函數在一點可導的充要條件定理定理1 函數函數f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定義在區域定義在區域D內一內一點點z =x+iy 可導的充分必要條件是可導的充分必要條件是: u(x,y)與與v(x,y)在點在點(x,y)可微可微, 在該點滿足在該點滿足Cauchy-Riemann方程方程 .,xvyuyvxu設函數( )( , )( , )wf zu x yiv x y在D內可導，( ).fzaib即存在于是 wfzzfz (0,0)aibzzz 當12()()aibziz )()(21yixiyixiba yxybxa21 21ib xa yxy ),

6、(),(yxviyxu xyxyuux uy oa x b yovvx vy ob x a yo ,.xyxyuvavub ( )( , )( , )wf zu x yiv x yD即在 內一點 x,y 可導u(x,y) 與 v(x,y) 在該點可微, 并且滿足Cauchy-Riemann方程。( ).xxyyf zuivviu設 u(x,y) 與 v(x,y) 在點 (x,y) 可微, 于是1234xyxyuuxuyxyvvxvyxy x,y0時,ek0, (k=1,2,3,4)()( )f zzf zu i v 并且滿足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程.1324()()xxyyuivxuivyixiy D21324()()xxxxC R uivxi viuyixiy 1324()()(),xxuivxi yixiy 1324()( )()().xxf zzf zxyuiviizzz(1,1)xyzz0()( )( )lim.zf zzf zuvfzizxx 即函數 f (z)在點 z = x + iy 處可導.注: .)()(xfxvix