1、第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布二、隨機變量的概念二、隨機變量的概念一、隨機變量的引入一、隨機變量的引入第一節第一節 隨機變量隨機變量第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 概率論是從數量上來研究隨機現象內在規律概率論是從數量上來研究隨機現象內在規律性的性的，為了更方便有力的研究隨機現象為了更方便有力的研究隨機現象，就要用就要用數學分析的方法來研究數學分析的方法來研究， 因此為了便于數學上的因此為了便于數學上的推導和計算推導和計算，就需將任意的隨機事件數量化就需將任意的隨機事件數量化當當把一些非數量表示的隨機事件用數字來表示時把一些非數量表示的隨機事件用數字來表示時， 就

2、建立起了隨機變量的概念就建立起了隨機變量的概念1. 為什么引入隨機變量為什么引入隨機變量?一、隨機變量的引入一、隨機變量的引入第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布實例實例1 1 拋擲骰子拋擲骰子,觀察出現的點數觀察出現的點數., 3) 3(, 2) 2(, 1) 1 ( XXX, 6)6(, 5)5(, 4)4( XXXS=1，2，3，4，5，6樣本點本身就是數量樣本點本身就是數量恒等變換恒等變換eeX )(則有則有2. 隨機變量的引入隨機變量的引入第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布實例實例2 在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個球在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個球,觀察摸出

3、球的顏色觀察摸出球的顏色.S=紅色、白色紅色、白色 非數量非數量將將 S 數量化數量化 ?可采用下列方法可采用下列方法 S紅色紅色 白色白色)(eXR10第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布即有即有 X (紅色紅色)=1 , ., 0, 1)(白色白色紅色紅色eeeXX (白色白色)=0.這樣便將非數量的這樣便將非數量的 S=紅色，白色紅色，白色 數量化了數量化了.第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布.)(),(,)(,. , 為隨機變量為隨機變量稱稱上的單值實值函數上的單值實值函數這樣就得到一個定義在這樣就得到一個定義在與之對應與之對應有一個實數有一個實數果對于每一個果對

4、于每一個如如它的樣本空間是它的樣本空間是是隨機試驗是隨機試驗設設eXeXSeXSeeSE 二、隨機變量的概念二、隨機變量的概念1.定義定義e.X(e)Rs第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布實例實例3 擲一個硬幣擲一個硬幣, 觀察出現的面觀察出現的面 , 共有兩個共有兩個結果結果:),(1反面朝上反面朝上 e),(2正面朝上正面朝上 e若用若用 X 表示擲一個硬幣出現正面的次數表示擲一個硬幣出現正面的次數, 則有則有)(eX)(1反面朝上反面朝上 e)(2正面朝上正面朝上 e100)(1 eX1)(2 eX即即 X (e) 是一個隨機變量是一個隨機變量.第二章第二章 隨機變量及其分布

5、隨機變量及其分布實例實例4 在有兩個孩子的家庭中在有兩個孩子的家庭中,考慮考慮其性別其性別 , 共有共有 4 個樣本點個樣本點:).,(),(, ),(),(4321女女女女男男女女女女男男男男男男 eeee若用若用 X 表示該家女孩子的個數時表示該家女孩子的個數時 , 則有則有, 0)(1 eX, 1)(2 eX, 1)(3 eX, 2)(4 eX可得隨機變量可得隨機變量 X(e), ., 2, 1, 0)(4321eeeeeeeeeX第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次, 觀察出現正面和反觀察出現正面和反面的情況面的情況, 樣本空間是樣本空間是

6、S ,THTHTTTHHHTHHHTHHH.,TTTTTH,的的總總數數記記三三次次投投擲擲得得到到正正面面以以HX那么那么, 對于樣對于樣,eeS中中的的每每一一個個樣樣本本點點本本空空間間 都都有有一一個個X數與之對應數與之對應.上上的的一一個個實實值值是是定定義義在在樣樣本本空空間間 SX單值函數單值函數.,S它它的的定定義義域域是是樣樣本本空空間間值域是實數集值域是實數集.3 , 2 , 1 , 0合合寫寫成成使使用用函函數數記記號號可可將將 X例例1第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布X )(eX , 3HHHe , 2THHHTHHHTe , 1TTHTHTHTTe .,

7、 0TTTe 第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布在一只袋中裝有編號分別為在一只袋中裝有編號分別為1,2,3的的3只球只球,在袋中任取一只球在袋中任取一只球, 放回放回, 再任取一只球再任取一只球,記錄它們記錄它們的號碼的號碼,S e 試驗的樣本空間為試驗的樣本空間為3 , 2 , 1,),( jiji.2, 1,次次取取到到的的球球的的號號碼碼第第分分別別為為第第ji記兩球記兩球以以X號碼之和號碼之和. 我們看到我們看到, e對對于于試試驗驗的的每每一一個個結結果果,),(Sji )12( 圖圖與與之之對對應應都都有有一一個個指指定定值值jiX.上上的的單單值值實實值值函函數數是是

8、定定義義在在樣樣本本空空間間 SX它的定它的定.S義義域域是是樣樣本本空空間間值域是實數集合值域是實數集合2,3,4,5,6.例例2第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布可可寫寫成成XX )(eX ),(jiX , ji . 3 , 2 , 1, ji第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布3.隨機變量的分類隨機變量的分類離散型離散型隨機變量隨機變量連續型連續型非離散型非離散型其它其它第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布一一、離散型隨機變量的分布律離散型隨機變量的分布律二二、常見離散型隨機變量的概率分布常見離散型隨機變量的概率分布三三、小結小結第二節第二節 離散型隨機變

9、量離散型隨機變量 及其分布律及其分布律第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布性質性質 ;, 2 , 1, 0)1( kpk. 1)2(1 kkp., 2, 1,), 2 , 1(的分布律的分布律稱此為離散型隨機變量稱此為離散型隨機變量為為的概率的概率即事件即事件取各個可能值的概率取各個可能值的概率所有可能取的值為所有可能取的值為設離散型隨機變量設離散型隨機變量XkpxXPxXXkxXkkkk 一、離散型隨機變量的分布律一、離散型隨機變量的分布律定義定義（非負性）（非負性）（規范性）（規范性）第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布離散型隨機變量的分布律也可表示為離散型隨機變量的分

10、布律也可表示為 nnpppxxxX2121Xkpnxxx21nppp21第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布.),(,.21,的分布律的分布律求求相互獨立的相互獨立的設各組信號燈的工作是設各組信號燈的工作是號燈的組數號燈的組數它已通過的信它已通過的信表示汽車首次停下時表示汽車首次停下時以以車通過車通過的概率允許或禁止汽的概率允許或禁止汽每組信號燈以每組信號燈以組信號燈組信號燈的道路上需經過四的道路上需經過四設一汽車在開往目的地設一汽車在開往目的地XX解解,通過的概率通過的概率為每組信號燈禁止汽車為每組信號燈禁止汽車設設 p則有則有kpX43210ppp)1( pp2)1 ( pp3)

11、1 ( 4)1(p 例例1第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布代入得代入得將將21 pXkp432105 . 025. 0 125. 0 0625. 0 0625. 0例例2 已知隨機變量已知隨機變量 的分布率為的分布率為XakakXPk求常數, 2 , 1,31)(第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布二、常見離散型隨機變量的概率分布二、常見離散型隨機變量的概率分布 設隨機變量設隨機變量 X 只可能取只可能取0與與1兩個值兩個值 , 它的分它的分布律為布律為Xkp0p 11p則稱則稱 X 服從服從 (01) 分布分布或或兩點分布兩點分布.1.(01)分布分布 第二章第二章

12、隨機變量及其分布隨機變量及其分布實例實例1 “拋硬幣拋硬幣”試驗試驗,觀察正、反兩面情觀察正、反兩面情況況. 隨機變量隨機變量 X 服從服從 (01) 分布分布., 1)(eXX , 0,正面正面當當 e.反面反面當當 eXkp012121其分布律為其分布律為第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 兩點分布是最簡單的一種分布兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有任何一個只有兩種可能結果的隨機現象兩種可能結果的隨機現象, 比如新生嬰兒是男還是比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發芽等女、明天是否下雨、種籽是否發芽等, 都屬于兩點都屬于兩點分布分布.說明說明第二章第二章 隨機變

13、量及其分布隨機變量及其分布2.等可能等可能分布分布如果隨機變量如果隨機變量 X 的分布律為的分布律為實例實例 拋擲骰子并記出現的點數為隨機變量拋擲骰子并記出現的點數為隨機變量 X,Xkp161234566161616161則有則有 ., )(),(服從等可能分布服從等可能分布則稱則稱其中其中Xjiaaji Xkpnaaa21nnn111均勻分布隨機數均勻分布隨機數演示演示第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布將試驗將試驗 E 重復進行重復進行 n 次次, 若各次試驗的結果互若各次試驗的結果互不影響不影響 , 即每次試驗結果出現的概率都不依賴于其即每次試驗結果出現的概率都不依賴于其它各次

14、試驗的結果它各次試驗的結果, 則稱這則稱這 n 次試驗是次試驗是相互獨立相互獨立的的, 或稱為或稱為 n 次次重復獨立重復獨立試驗試驗.(1) 重復獨立試驗重復獨立試驗3. 二項分布二項分布第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布(2) n 重重伯努利試驗伯努利試驗.1)(),10()( .,:pAPppAPEAAE 此時此時設設為伯努利試驗為伯努利試驗則稱則稱及及只有兩個可能結果只有兩個可能結果設試驗設試驗. , 重重伯伯努努利利試試驗驗 nnE復復的的獨獨立立試試驗驗為為則則稱稱這這一一串串重重次次獨獨立立地地重重復復地地進進行行將將第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布實例

15、實例1 拋一枚硬幣觀察得到正面或反面拋一枚硬幣觀察得到正面或反面. 若將硬若將硬幣拋幣拋 n 次次,就是就是n重伯努利試驗重伯努利試驗.實例實例2 拋一顆骰子拋一顆骰子n次次,觀察是否觀察是否 “出現出現 1 點點”, 就就是是 n重伯努利試驗重伯努利試驗.(3) 二項概率公式二項概率公式,發生的次數發生的次數重伯努利試驗中事件重伯努利試驗中事件表示表示若若AnX所有可能取的值為所有可能取的值為則則 X., 2, 1, 0n第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布,)0(時時當當nkkX .次次次試驗中發生了次試驗中發生了在在即即knA 次次kAAA, 次次knAAA 次次1 kAAAA

16、 A 次次1 knAAA次的方式共有次的方式共有次試驗中發生次試驗中發生在在得得knA,種種 kn且兩兩互不相容且兩兩互不相容.第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布nknknnkpqpknpqnqpnkX 1110稱這樣的分布為稱這樣的分布為二項分布二項分布.記為記為).,(pnbX次的概率為次的概率為次試驗中發生次試驗中發生在在因此因此knAknkppkn )1(pq 1記記knkqpkn 的分布律為的分布律為得得 X二項分布二項分布1 n兩點分布兩點分布第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布二項分布的圖形二項分布的圖形第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布例如例如

17、 在相同條件下相互獨立地進行在相同條件下相互獨立地進行 5 次射擊次射擊,每每次射擊時擊中目標的概率為次射擊時擊中目標的概率為 0.6 ,則擊中目標的次則擊中目標的次數數 X 服從服從 b (5,0.6) 的二項分布的二項分布.5) 4 . 0(44 . 06 . 015 324 . 06 . 025 234 . 06 . 035 4 . 06 . 0454 56 . 0Xkp012345二項分布隨機數二項分布隨機數演示演示第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布例例2按規定按規定, 某種型號的電子元件的使用壽命某種型號的電子元件的使用壽命超過超過1500小時的為一等品小時的為一等品.已

18、知某一大批產品的一已知某一大批產品的一級品率為級品率為0.2, 現在從中隨機抽查現在從中隨機抽查20只只. 問問20只元件只元件為為一一級級品品的的概概率率是是多多只只中中恰恰有有)20, 2 , 1 , 0( kk少少?解解因而此抽樣可近似當作放回抽樣來處理因而此抽樣可近似當作放回抽樣來處理, ,這是不放回抽樣這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數但由于這批元件的總數很大很大, 且抽查元件的數量相對于元件的總數來說又且抽查元件的數量相對于元件的總數來說又很小很小,這這樣做會有一些誤差樣做會有一些誤差, 但誤差不大但誤差不大. 我們把檢查一只我們把檢查一只第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及

19、其分布元件看它是否為一等品看成是一次試驗元件看它是否為一等品看成是一次試驗, 檢查檢查20只只元件相當于做元件相當于做20重伯努利試驗重伯努利試驗.只只元元件件記記以以20X中一級品的只數中一級品的只數, 那么那么,是是一一個個隨隨機機變變量量X且有且有).2 . 0,20( bX由由(2.6)式即得所求概率為式即得所求概率為kXP ,)8 . 0()2 . 0(2020 kkk .20, 1 , 0 k將計算結果列表如下將計算結果列表如下:第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布012. 00 XP058. 01 XP137. 02 XP205. 03 XP218. 04 XP175.

20、 05 XP109. 06 XP055. 07 XP022. 08 XP007. 09 XP002. 010 XP時時當當11,001. 0 kkXP第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布圖示概率分布圖示概率分布第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布例例3 某人進行射擊某人進行射擊, 假設每次射擊的命中率為假設每次射擊的命中率為獨立射擊獨立射擊400次次, 試求至少擊中兩次的概率試求至少擊中兩次的概率.0.02,解解將一次射擊看成是一次試驗將一次射擊看成是一次試驗. 設擊中的次設擊中的次,X數數為為).02. 0 ,400( bX則則的的分分布布律律為為XkXP ,)98. 0

21、()02. 0(400400 kkk .400, 1 , 0 k第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布于是所求概率為于是所求概率為2 XP1 XP 01 XP399)98. 0)(02. 0(400 400)98. 0(1 .9972. 0結果的實際意義：結果的實際意義：1.決不能輕視小概率事件決不能輕視小概率事件.由實際推斷原理由實際推斷原理, 我們懷疑我們懷疑“每次射擊命中率為每次射擊命中率為0.02”這一假設這一假設, 認為該射手射擊的命中率不到認為該射手射擊的命中率不到0.022.第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布例例4 設有設有80臺同類型設備臺同類型設備, 各臺

22、工作是相互獨各臺工作是相互獨立的立的, 發生故障的概率都是發生故障的概率都是 0.01, 且一臺設備的故且一臺設備的故障能由一個人處理障能由一個人處理. 考慮兩種配備維修工人的方法考慮兩種配備維修工人的方法,其一是由其一是由4人維護人維護, 每人負責每人負責20臺臺; 其二是由其二是由3人共人共共同維護臺共同維護臺80. 試比較這兩種方法在設備發生故障試比較這兩種方法在設備發生故障時不能及時維修的概率的大小時不能及時維修的概率的大小.解解按第一種方法按第一種方法,臺臺人人維維護護的的第第記記以以201“X中同一時刻發生故障的臺數中同一時刻發生故障的臺數”，表示表示以以)4 , 3 , 2 ,

23、1( iAi,”20“維維修修臺臺中中發發生生故故障障不不能能及及時時人人維維護護第第事事件件i第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布則知則知80臺中發生故障臺中發生故障而不能及時維修的概率為而不能及時維修的概率為)(4321AAAAP)(1AP .2 XP ),01. 0 ,20( bX而而故有故有2 XP 101kkXP kkkk 2010)99. 0()01. 0(201 .0169. 0第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 按第二種方法按第二種方法, ,臺臺中中同同一一時時刻刻發發生生故故記記以以80Y障的臺數障的臺數, 此時此時,),01. 0 ,80( bY故故8

24、0臺中發生故障臺中發生故障而不能及時維修的概率為而不能及時維修的概率為4 XP 3080)99. 0()01. 0(801kkkk .0087. 0我們發現我們發現, 在后一種情況盡管任務重了在后一種情況盡管任務重了(每人平每人平均維護約均維護約27臺臺), 但工作效率不僅沒有降低但工作效率不僅沒有降低, 反而提反而提高了高了.第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布4. 泊松分布泊松分布 ).(,.0, 2 , 1 , 0,!e, 2, 1, 0 XXkkkXPk記為記為布布的泊松分的泊松分服從參數為服從參數為則稱則稱是常數是常數其中其中值的概率為值的概率為而取各個而取各個的值為的值為

25、設隨機變量所有可能取設隨機變量所有可能取 第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布泊松分布的圖形泊松分布的圖形第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布泊松分布的背景及應用泊松分布的背景及應用 二十世紀初盧瑟福和蓋克兩位科學家在觀察二十世紀初盧瑟福和蓋克兩位科學家在觀察與分析放射性物質放出的粒子個數的情況時與分析放射性物質放出的粒子個數的情況時, 他們他們做了做了2608次觀察次觀察(每次時間為每次時間為7.5秒秒)發現放射性物發現放射性物質在規定的一段時間內質在規定的一段時間內, 其放射的粒子數其放射的粒子數X服從泊服從泊松分布松分布.第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布

26、電話呼喚次數電話呼喚次數交通事故次數交通事故次數商場接待的顧客數商場接待的顧客數地震地震火山爆發火山爆發特大洪水特大洪水第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布上面我們提到上面我們提到二項分布二項分布)(nnp 泊松分布泊松分布第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布泊松定理泊松定理,0是是一一個個常常數數設設 是是任任意意正正整整n數數, nnp設設,k整整數數則則對對于于任任一一固固定定的的非非負負有有knnknnppkn )1(lim !kek 證證,np 由由有有knnknppkn )1( knknnkknnn )1(!)1()1( 第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及

27、其分布 knnknppkn )1( knknnkknnn )1(!)1()1( knknnnknk 1111111!,k對對于于固固定定的的時時當當 n nkn11111, 1第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布nn 1, ekn 1. 1故有故有knnknnppkn )1(lim !kek nnpnnp很很大大時時意意味味著著當當常常數數定定理理的的條條件件)( 必定很小必定很小, 因此因此,很很大大上上述述定定理理表表明明當當 n(很很小小p時時有有以以下下近近似似式式) np第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布).(np 其中其中率率值值可可以以為為參參數數的的二二項

28、項分分布布的的概概也也就就是是說說以以pn,.似似的的泊泊松松分分布布的的概概率率值值近近由由參參數數為為np 上式上式也能用來作二項分布概率的近似計算也能用來作二項分布概率的近似計算.(2.7)!)1(keppknkknk 第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布例例5 計算機硬件公司制造某種特殊型號的微型計算機硬件公司制造某種特殊型號的微型芯片芯片, 次品率達次品率達0.1%, 各芯片成為次品相互獨立各芯片成為次品相互獨立.求在求在1000只產品中至少有只產品中至少有2只次品的概率只次品的概率.記記產產以以X品中的次品數品中的次品數,)001. 0,1000( bX解解所求概率為所求

29、概率為2 XP 101 XPXP )001. 0()999. 0(11000)999. 0(19991000 3680635. 03676954. 01 2642411. 0第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布利用利用(2.7)式來計算得式來計算得, 001. 01000 ,12 XP 101 XPXP 111 ee 2642411. 0顯然利用顯然利用(2.7)式的計算來得方便式的計算來得方便. 一般一般,20 n當當的的近近似似值值作作為為時時用用knkkppknkep )1(!05. 0 頗佳頗佳.第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布離散型隨機變量的分布離散型隨機變量

30、的分布 兩點分布兩點分布均勻分布均勻分布二項分布二項分布泊松分布泊松分布幾何分布幾何分布二項分布二項分布 泊松分布泊松分布 1010.p,n 兩點分布兩點分布 1 n三、小結第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布一、分布函數的概念一、分布函數的概念二、分布函數的性質二、分布函數的性質三、例題講解三、例題講解四、小結四、小結第三節第三節 隨機變量的分布函數隨機變量的分布函數第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布對于隨機變量對于隨機變量X, 我們不僅要知道我們不僅要知道X 取哪些值取哪些值, 要知道要知道 X 取這些值的概率取這些值的概率 ; 而且更重要的是想知而且更重要的是想知道

31、道 X 在任意有限區間在任意有限區間(a,b內取值的概率內取值的概率.21xXxP 12xXPxXP )(2xF)(1xF21xXxP 分布分布函數函數 ).()(12xFxF ?一、分布函數的概念一、分布函數的概念例如例如.,(21內的概率內的概率落在區間落在區間求隨機變量求隨機變量xxX1.概念的概念的引入引入第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布2.分布函數的定義分布函數的定義.)(,的分布函數的分布函數稱為稱為函數函數是任意實數是任意實數是一個隨機變量是一個隨機變量設設定義定義XxXPxFxX 說明說明(1) 分布函數主要研究隨機變量在某一區間內取值分布函數主要研究隨機變量在某

32、一區間內取值的概率情況的概率情況.)()2(的一個普通實函數的一個普通實函數是是分布函數分布函數xxF第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布);,(, 1)(0)1( xxF);(),()()2(2121xxxFxF 二、分布函數的性質二、分布函數的性質, 0)(lim)()3( xFFx; 1)(lim)( xFFx).(),()(lim)4(000 xxFxFxx第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布重要公式重要公式),()() 1 (aFbFbXaP ).(1) 2(aFaXP 第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布實例實例 拋擲均勻硬幣拋擲均勻硬幣, 令令 .,

33、 0, 1出反面出反面出正面出正面X求隨機變量求隨機變量 X 的分布函數的分布函數.解解1 Xp0 Xp,21 0 1x,0時時當當 x;0 0)( xXPxF第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 0 1x,10時時當當 x)(xXPxF 0 XP;21 ,1時時當當 x)(xXPxF 0 XP1 XP2121 . 1 . 1, 1, 10,21, 0, 0)(xxxxF得得第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 ,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS 因此分布律因此分布律為為818383813210pX解解則則三、例題講解.31,5 . 5,31, XPXPX

34、PXX列概率值列概率值并求下并求下的分布律及分布函數的分布律及分布函數求求”出現的次數出現的次數表示“三次中正面表示“三次中正面將一枚硬幣連擲三次將一枚硬幣連擲三次例例,反面反面正面正面設設 TH第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布;218381 ,0時時當當 x,10時時當當 x求分布函數求分布函數)(xXPxF x o 1 2 3)(xXPxF 0 XP;810 ixip)(xXPxF 1ixip0 XP1 XP; 0 ,21時時當當 x第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布,32時時當當 x;87838381 ,3時時當當 x)(xXPxF )(xXPxF 2ixip0

35、 XP1 XP2 XPx o 1 2 3. 1 3ixip0 XP1 XP2 XP3 XP第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布31 XP3 13 XPXPXP) 1 () 3(FF 81841 . 3 , 1, 32 ,87, 21 ,84, 10 ,81, 0 , 0)(xxxxxxF所所以以3 XP.83 第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布5 . 5 XP5 . 51 XP31 XP 13 XPXP) 1 () 3(FF 5 . 55 . 51 XPXP011 . 0 841 .21 第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布的分布律為的分布律為設隨機變量設隨機變

36、量 XXkp321 412141解解,)(, 03, 2, 1xXPxFxX 且且處概率不為處概率不為僅在僅在由于由于例例1 1.32,2523,21, XPXPXPX并求并求的分布函數的分布函數求求第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 . 3, 1, 32,21, 21,1, 1, 0)(xxXPXPxXPxxF得得 . 3, 1, 32,43, 21,41, 1, 0)(xxxxxF即即第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布, )(xXPxF 由由,41 )23()25(2523FFXP ,214143 2)2()3(32 XPFFXP21431 .43 )21(21FX

37、P 得得第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布一般一般,的的分分布布律律為為設設離離散散型型隨隨機機變變量量 XkxXP ,kp., 2 , 1 k的的分分布布函函數數為為由由概概率率的的可可列列可可加加性性得得 X)(xF xXP , xxkixXP即即)(xF , xxkkp.求求和和的的的的這這里里和和式式是是對對所所有有滿滿足足kxxk 分布函分布函,), 2 , 1()(處處有有跳跳躍躍在在數數 kxxxFk其跳躍值為其跳躍值為.kkxXPp 第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布例例2 一個靶子是半徑為一個靶子是半徑為2m的圓盤的圓盤,設擊中靶上設擊中靶上任一同心圓

38、盤上的點的概率與該圓盤面積成正比任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤面積成正比,并設射擊都能中靶并設射擊都能中靶,.離離表表示示彈彈著著點點與與圓圓心心的的距距以以X.的的分分布布函函數數試試求求隨隨機機變變量量 X解解, 0 x若若,是是不不可可能能事事件件則則xX 于是于是第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布)(xFxXP ; 0 , 20 x若若由題意由題意,0 xXP 是是k,2kx 常數常數.,的的值值為為了了確確定定 k, 2 x取取20 XP有有 ,22k, 120 XP但已知但已知故得故得,41 k即即0 xXP 42x于是于是)(xF xXP 0 XP0 xXP .42

39、x第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布, 2 x若若,是是必必然然事事件件由由題題意意xX 于是于是)(xF xXP . 1綜上所述綜上所述,的的分分布布函函數數為為即即得得 X)(xF , 0,0 x,42x, 20 x, 1. 2 x它的圖形是一條連續曲線如下圖所示它的圖形是一條連續曲線如下圖所示.第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 ., 0, 20,2)(其它其它若記若記tttf.d)()(ttfxFx 則則,()()(上的積分上的積分在區間在區間恰是非負函數恰是非負函數xtfxF.為連續型隨機變量為連續型隨機變量此時稱此時稱 X注意注意 兩類隨機變量的分布函數圖形

40、的特點不兩類隨機變量的分布函數圖形的特點不一樣一樣.第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布請同學們思考請同學們思考不同的隨機變量不同的隨機變量,它們的分布函數一定也不相同嗎它們的分布函數一定也不相同嗎?答答不一定不一定. . 1, 1; 11,21; 1, 0)(xxxxF函數函數但它們卻有相同的分布但它們卻有相同的分布同的隨機變量同的隨機變量是兩個不是兩個不則不同則不同在樣本空間上的對應法在樣本空間上的對應法與與,21XX ., 1;, 1., 1;, 121出反面出反面出正面出正面出反面出反面出正面出正面XX例如拋均勻硬幣例如拋均勻硬幣, 令令第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量

41、及其分布 xxkkpxXPxF)(分布函數分布函數分布律分布律kkxXPp 注：注：離散型隨機變量分布律與分布函數的關系離散型隨機變量分布律與分布函數的關系111210,(),( )(),ikkikxxp xxxxFxp xxxx即即：第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布.)( xxkipxXPxF2.分布律與分布函數的關系分布律與分布函數的關系1.離散型隨機變量的分布函數離散型隨機變量的分布函數四、小結四、小結第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布一、概率密度的概念與性質一、概率密度的概念與性質二、常見連續型隨機變量的分布二、常見連續型隨機變量的分布三、小結三、小結第四節連

42、續型隨機變量第四節連續型隨機變量 及其概率密度及其概率密度第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布.,)(,d)()(),(, )(簡稱概率密度簡稱概率密度密度函數密度函數的概率的概率稱為稱為其中其中為連續型隨機變量為連續型隨機變量則稱則稱有有使對于任意實數使對于任意實數非負函數非負函數存在存在的分布函數的分布函數如果對于隨機變量如果對于隨機變量XxfXttfxFxxfxFXx 一、概率密度的概念與性質一、概率密度的概念與性質1.定義定義xo)(xf11d)( xxfS1SxxfSxxd)(211 1x 2x 第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布)()()3(1221xFxFx

43、XxP ;d)(21xxfxx 性質性質;0)()1( xf;1d)()2( xxf).()(,)()4(xfxFxxf 則有則有處連續處連續在點在點若若第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布注意注意 對于任意可能值對于任意可能值 a ,連續型隨機變量取連續型隨機變量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即. 0 aXP證明證明aXP . 0 由此可得由此可得xxfxaaxd)(lim0 連續型隨機變量取值落在某一連續型隨機變量取值落在某一區間的概率與區間的開閉無關區間的概率與區間的開閉無關bXaP bXaP bXaP .bXaP 第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布. 0 a

44、XP若若X是連續型隨機變量，是連續型隨機變量， X=a 是不是不可能事件，則有可能事件，則有, 0 aXP若若是是不不可可能能事事件件aX . 0 aXP若若 X 為離散型隨機變量為離散型隨機變量, 注意注意連連續續型型離離散散型型是是不不可可能能事事件件則則不不能能確確定定aX 第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布.271)3(;)2(;)1(., 0, 43,22, 30,)( XPXkxxxkxxfX求求的分布函數的分布函數求求確定常數確定常數其它其它具有概率密度具有概率密度隨機變量隨機變量設設解解, 1d)()1( xxf由由例例1第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分

45、布的概率密度為的概率密度為知知由由Xk61)2( ., 0, 43,22, 30,6)(其它其它xxxxxf, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解之得解之得第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 . 4, 1, 43,d)22(d6, 30,d6, 0, 0)(3030 xxxxxxxxxxxFxx得得由由 xxxfxFd)()(第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即271)3( XP)1()27(FF .4841 第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布二、常見連續型隨

46、機變量的分布二、常見連續型隨機變量的分布).,(,),(, 0,1)(baUXbaXbxaabxfX記為記為區間上服從均勻分布區間上服從均勻分布在區間在區間則稱則稱其它其它具有概率密度具有概率密度設連續型隨機變量設連續型隨機變量定義定義 1. 均勻分布均勻分布xo)(xf a b概率密度概率密度函數圖形函數圖形第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布均勻分布的意義均勻分布的意義,),(Xba變量變量上服從均勻分布的隨機上服從均勻分布的隨機在區間在區間.),(性是相同的性是相同的內的可能內的可能中任意等長度的子區間中任意等長度的子區間落在區間落在區間baxo)(xf a bab 1 lab

47、lp l第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函數分布函數xo)(xF a b 1第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布例例2,是是一一個個隨隨機機變變量量設設電電阻阻值值 R均勻分布均勻分布.1100900 在在 950落落在在的的概概率率密密度度及及求求RR.1050的的概概率率 解解 按題意按題意,的的概概率率密密度度為為R)(rf ,90011001 ,1100900 r, 0其他其他.故有故有1050950 RP 1050950d2001r 5 . 0第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布2. 指數分布指數分布

48、 的的概概率率密密度度為為若若連連續續型型隨隨機機變變量量 X)(xf ,1 xe , 0 x, 0其他其他,0為為常常數數其其中中 .的指數分布的指數分布服從參數為服從參數為則稱則稱 X(4.7), 0)( xf易易知知. 1d)( xxf且且圖圖2-11畫出了畫出了.)(2, 1,31的的圖圖形形時時xf 第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布的的分分布布函函數數為為式式容容易易得得到到隨隨機機變變量量由由X)7 . 4()(xF ,1 xe , 0 x, 0其他其他.(4.8)圖圖2-11第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布的的圖圖形形如如下下時時)(2, 1,31xF

49、 第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布, 0, ts對對于于任任意意有有sXtsXP .tXP (4.9)事實上事實上sXtsXP )()(sXPsXtsXP sXPtsXP )(1)(1sFtsF 指數分布的重要性質指數分布的重要性質 :“無記憶性無記憶性”.第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布sXtsXP )()(sXPsXtsXP sXPtsXP )(1)(1sFtsF stsee )( te .tXP 第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布性質性質(4.9)稱為稱為無記憶性無記憶性.是是某某一一元元件件的的如如果果X的壽命的壽命, 那么那么(4.9)式表明式

50、表明:,小小時時已已知知元元件件已已使使用用 s,小小時時的的條條件件概概率率它它總總共共能能使使用用至至少少ts 與從開與從開.小小時時的的概概率率相相等等使使用用始始使使用用時時算算起起它它至至少少能能t這這就是說就是說,.小小時時沒沒有有記記憶憶元元件件對對它它已已使使用用過過 s第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 某些元件或設備的壽命服從指數分布某些元件或設備的壽命服從指數分布.例如例如無線電元件的壽命無線電元件的壽命 、電力設備的壽命、動物的、電力設備的壽命、動物的壽命等都服從指數分布壽命等都服從指數分布.應用與背景應用與背景第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布

51、3、正態分布、正態分布正態分布的概率密度函數正態分布的概率密度函數).,(2NX記為記為的的概概率率密密度度為為若若連連續續型型隨隨機機變變量量 X)(xf ,e21222)(x , x,)0(,為常數為常數其中其中 的的服從參數為服從參數為則稱則稱X,正態分布正態分布或或高斯分布高斯分布.第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布, 0)( xf顯顯然然. 1d)( xxf下下面面來來證證明明,)(tx 令令得到得到 xexd21222)( tetd2122 ,d22teIt 記記2I uteutdd2)(22 則有則有利用極坐標將它化成累次積分利用極坐標將它化成累次積分, 得到得到2I

52、 2002dd2rrer 2, 0 I而而,2 故有故有I 即有即有第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布tetd22 ,2 于是于是xexd21222)( tetd2122 . 1.)(的的圖圖形形如如圖圖所所示示xf第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布性質性質:.1對稱對稱曲線關于曲線關于 x, 0 h這這表表明明對對于于任任意意有有 XhP .hXP 時取到最大值時取到最大值當當 x2)( f .21 ;3處處曲曲線線有有拐拐點點在在 x;4軸為漸近線軸為漸近線曲線以曲線以 x第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布,5 如果固定如果固定,的值的值改變改變 Ox則

53、則圖圖形形沿沿著著軸平移軸平移, 而不改變其形狀而不改變其形狀, 可見正態分布的概率密可見正態分布的概率密.)(所所確確定定的的位位置置完完全全由由參參數數度度曲曲線線 xfy 稱稱 為位置參數為位置參數.第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布,6當固定當固定,的大小時的大小時改變改變 圖圖形形的的對對)(xf稱軸不變稱軸不變, 而形狀在改變而形狀在改變,越小越小圖形越高越瘦圖形越高越瘦,越大越大圖形越矮越胖圖形越矮越胖.第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布分分布布函函數數為為)(xF texutd21222)( 第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布, 0 當當.1

54、服服從從標標準準正正態態分分布布時時稱稱 X ,)(),(表表示示分分別別用用其其概概率率密密度度和和分分布布函函數數xx 即有即有)(x ,2122te )(x .d2122text 易知易知)( x )(1x 第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布正態分布的應用與背景正態分布的應用與背景 正態分布是最常見最重要的一種分布正態分布是最常見最重要的一種分布, 例如測例如測量誤差量誤差, 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等 ; 正常正常情況下生產的產品尺寸、情況下生產的產品尺寸、直徑、直徑、 長度、長度、重量高度重量高度等都近似服從正態分布等都近似服從正態分布.

55、第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布正態分布的計算正態分布的計算)(xFxXP ? 原函數不是原函數不是初等函數初等函數txtde21222)( 方法一方法一:利用利用MATLAB軟件包計算軟件包計算方法二方法二:轉化為標準正態分布查表計算轉化為標準正態分布查表計算第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布引理引理),(2 NX若若Z證證的的分分布布函函數數為為 XZxZP X ).1 , 0( N xXP xXP textd21222)( ,ut 令令得得則則第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布xZP uexud2122 )(x由此知由此知 XZ).1 , 0( N標

56、準正態分布的概率密度表示為標準正態分布的概率密度表示為)(x ,e2122 xx 為為則則其其分分布布函函數數)(xF.,de2122 xtxt)(x 第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布標準正態分布的圖形標準正態分布的圖形第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布,(21xx對于任意區間對于任意區間有有21xXxP 21xXxP .12 xx第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布性質性質).(1)(xx 證明證明xxxde2122 )( x xxxde2122 xxde2122 xxxde2122 ).(1x 第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布例例3 將一溫

57、度調節器放置在貯存著某種液體的將一溫度調節器放置在貯存著某種液體的容器內容器內.,Cd調節器整定在調節器整定在)(計計以以液液體體的的溫溫度度CX是一個隨機變量是一個隨機變量,).5 . 0 ,(2dNX且且,90)1( d若若.89的的概概率率小小于于求求X(2) 若要求保持液體的溫度至少若要求保持液體的溫度至少,99. 080 的概率不低于的概率不低于為為?至少為多少至少為多少問問d解解 (1) 所求概率為所求概率為89 XP 5 . 090895 . 090XP第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布89 XP 5 . 090895 . 090XP 5 . 09089 )2( )2

58、(1 9772. 01 .0228. 0滿滿足足按按題題意意需需求求 d)2(第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布99. 0 80 XP 5 . 0805 . 0ddXP 5 . 0805 . 01ddXP )5 . 080(1d 即即 5 . 080d 99. 0 ),327. 2(亦即亦即5 . 080 d .327. 2故需故需d .1635.81第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布對于標準正態隨機變量對于標準正態隨機變量,分分位位點點我我們們引引入入上上 的定義的定義., )1 , 0( NX設設滿足條件滿足條件若若 z zXP , , 10 .分位點分位點為標準正

59、態分布的上為標準正態分布的上則稱點則稱點 z.的的值值下下面面列列出出了了幾幾個個常常用用的的 z.)(1 zzx 圖圖形形的的對對稱稱性性知知道道由由 z001. 0005. 001. 0025. 005. 010. 0090. 3576. 2326. 2960. 1645. 1282. 1第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布分布函數分布函數概率密度概率密度三、小結三、小結2. 常見連續型隨機變量的分布常見連續型隨機變量的分布 xttfxFd)()(. 1 連續型隨機變量連續型隨機變量均勻分布均勻分布正態分布正態分布(或高斯分布或高斯分布)指數分布指數分布 第二章第二章 隨機變量及

60、其分布隨機變量及其分布的的分分布布函函數數為為設設連連續續型型隨隨機機變變量量 X ., 1,arcsin, 0)(axaxaaxBAaxxF;,)1(:的值的值系數系數求求BA;2)2(aXaP .)3(的的概概率率密密度度隨隨機機變變量量 X補充1第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布解解 (1) 因為因為 X 是連續型隨機變量是連續型隨機變量,)(xF所以所以連續連續, 故有故有),(limxFax )( aF , )(limxFax)(aF aaBAarcsin即即BA2 , 0 aaBAarcsinBA2 , 1 ,21 A解得解得.1 B第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變