1、高等數學D86幾何中的應用1第六節復習 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線 多元函數微分學的幾何應用 第八章 高等數學D86幾何中的應用1復習復習: 平面曲線的切線與法線已知平面光滑曲線)(xfy ),(00yx切線方程0yy 法線方程0yy 若平面光滑曲線方程為, 0),(yxF),(),(ddyxFyxFxyyx故在點),(00yx切線方程法線方程)(0yy ),(00yxFy)(),(000 xxyxFx0)(00 xxxf)()(100 xxxf在點有有因 0)(),(000yyyxFx),(0

2、0yxFy)(0 xx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D86幾何中的應用1一、一、空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面過點 M 與切線垂直的平面稱為曲線在該點的法法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 位置.TM空間光滑曲線在點 M 處的切線切線為此點處割線的極限平面平面.點擊圖中任意點動畫開始或暫停高等數學D86幾何中的應用11. 曲線方程為參數方程的情況曲線方程為參數方程的情況)(, )(, )(:tztytxzzzyyyxxx000, t上述方程之分母同除以得令, 0t切線方程切線方程000zzyyxx),(0000zyxMtt對應設 ),(0000zzyyxxMtt

3、t對應)(0t)(0t)(0t機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 TMM:的方程割線MM高等數學D86幾何中的應用1)(00 xxt此處要求)(, )(, )(000ttt也是法平面的法向量,切線的方向向量:稱為曲線的切向量切向量 .)( )(00yyt0)(00zzt如個別為0, 則理解為分子為 0 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 M不全為0, )(, )(, )(000tttTT因此得法平面方程法平面方程 說明說明: 若引進向量函數 ) )(, )(, )()(ttttr, 則 為 r (t) 的矢端曲線, 0t而在處的導向量 )(, )(, )()(0000ttttr就是該點的切向

4、量.o)(trT高等數學D86幾何中的應用1zyxo例例1. 求圓柱螺旋線 kzRyRx,sin,cos2對應點處的切線方程和法平面方程.,2時當切線方程 Rx法平面方程xR022kzkxR即002RykRzRxk即解解: 由于,sinRx0Ry kkz2,cosRy , kz ),0(20kRM對應的切向量為0)(2kzk在機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),0,(kRT, 故高等數學D86幾何中的應用12. 曲線為一般式的情況曲線為一般式的情況光滑曲線0),(0),(:zyxGzyxF當0),(),(zyGFJ)()(xzxyxydd曲線上一點),(000zyxMxyz, 且有xzdd

5、,),(),(1xzGFJ ,),(),(1yxGFJ 時, 可表示為處的切向量為 MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(, )(, 100 xxT高等數學D86幾何中的應用1 000zzyyxxMzyGF),(),(則在點),(000zyxM切線方程切線方程法平面方程法平面方程有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy0)(0 zz或機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(

6、高等數學D86幾何中的應用10)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表為)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF法平面方程法平面方程0)(),(),(0zzMyxGF機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D86幾何中的應用1例例2. 求曲線0,6222zyxzyx在點M ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程. MzyGF),(),(切線方程121zyx解法解法1 令,222zyxGzyxF則即0202yzx切向量;0),(),(MxzGFMzy1122Mzy)(2;606xyz6機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束

7、 6),(),(MyxGF)6,0, 6(T高等數學D86幾何中的應用1法平面方程0) 1(6)2(0) 1(6zyx即0 zx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xxzzxyydddd解法解法2. 方程組兩邊對 x 求導, 得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲線在點 M(1,2, 1) 處有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,dd,1高等數學D86幾何中的應用1切線方程121zyx即0202yzx法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0 zx點 M (1,2, 1) 處的切向量011機動 目錄 上頁 下頁 返回

8、 結束 )1,0, 1(T高等數學D86幾何中的應用10),(:zyxF二、二、曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線 設 有光滑曲面通過其上定點),(000zyxM0tt 設對應點 M,)(, )(, )(000ttt切線方程為)()()(000000tzztyytxx不全為0 . 則 在, )(, )(, )(:tztytx且點 M 的切向量切向量為任意引一條光滑曲線MT下面證明:此平面稱為 在該點的切平面切平面.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 上過點 M 的任何曲線在該點的切線都在同一平面上. )(, )(, )(000tttT高等數學D86幾何中的應用1MT證:機動 目錄 上頁 下頁

9、 返回 結束 在 上,)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(tttF,0處求導兩邊在tt ,0Mtt對應點注意 )(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得)(, )(, )(000tttT),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量由于曲線 的任意性 , 表明這些切線都在以為法向量n的平面上 , 從而切平面存在 .n高等數學D86幾何中的應用1)( ),(0000 xxzyxFx曲面 在點 M 的法向量法向量法線方程法線方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxF

10、y0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzMTn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx復習 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D86幾何中的應用1)( ),(000 xxyxfx曲面時, ),(yxfz zyxfzyxF),(),(則在點),(zyx故當函數 ),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法線方程法線方程,yyfF 1zF令有在點),(000zyx特別特別, 當光滑曲面 的方程為顯式 在點有連續偏導數時, )( ),(000

11、yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方程機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D86幾何中的應用1,法向量法向量用2211cosyxff將),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角, 并假定法向量方向.為銳角則分別記為則,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上,) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx復習 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數學D86幾何中的應用1例例3. 求球面3632222zyx在點(1 , 2 , 3) 處的切平面及法線方程. 解解:3632),(222zyxzyxF

12、所以球面在點 (1 , 2 , 3) 處有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即法線方程法線方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n高等數學D86幾何中的應用1例例4. 確定正數 使曲面zyx222zyx在點),(000zyxM解解: 二曲面在 M 點的法向量分別為二曲面在點 M 相切, 故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又點 M 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx2a相切.333a與球面機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束

13、 , ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有20y20z2高等數學D86幾何中的應用11. 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 切線方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1) 參數式情況.)()()(:tztytx空間光滑曲線切向量內容小結內容小結)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(, )(, )(000tttT高等數學D86幾何中的應用1切線方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空間光滑曲線0),(0),(

14、:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量2) 一般式情況.,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0 xx MxzGF),(),()(0yyMyxGF),(),(0)(0 zz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 T高等數學D86幾何中的應用1空間光滑曲面0),(:zyxF曲面 在點法線方程法線方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1) 隱式情況 .的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程2.

15、曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx高等數學D86幾何中的應用1空間光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法線方程法線方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2) 顯式情況.法線的方向余弦方向余弦2211cosyxff法向量法向量機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ) 1 ,(yxffn高等數學D86幾何中的應用1思考與練習思考與練習1.

16、如果平面01633zyx與橢球面相切,提示提示: 設切點為, ),(000zyxM則223yx .求000226zyx3301633000zyx163202020zyx2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 162 z(二法向量平行) (切點在平面上)(切點在橢球面上)高等數學D86幾何中的應用1證明 曲面)(xyfxz 上任一點處的切平面都通過原點.提示提示: 在曲面上任意取一點, ),(000zyxM則通過此0zz 作業作業 P45 2，3，4，5，8，9，10)(0 xxxzM)(0yyyzM2. 設 f ( u ) 可微,第七節 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證明原點坐標滿足上述方程 .點的切平面為高等數學D86幾何中的應用1 1. 證明曲面0),(ynzymxF與定直線平行,.),(可微其中vuF證證: 曲面上任一點的法向量,1F, )()(21nFmF )2F取定直線的方向向量為,m,1)n則(定向量