1、概率統計第五節獨立性第五節獨立性 若若P P(A A)=P=P(A|BA|B)，事件，事件B B的發生與否對的發生與否對A A發生的可能性毫發生的可能性毫無影響，直觀上，稱無影響，直觀上，稱A A，B B兩事件獨立，這時有兩事件獨立，這時有 P P（ABAB）=P=P（A A）P P（B B）。）。 因此有如下定義。因此有如下定義。 1.1.定義定義 設A，B為兩事件，如果具有等式 P（AB）=P（A）P（B） 則稱A,B為相互獨立的事件,又稱A,B相互獨立。2.2.性質性質（1）若事件A與事件B相互獨立，則A與B、 與B、與B也相互獨立。概率統計（2 2）若）若P(A)0P(A)0，P(B)

2、0P(B)0，則，則A A，B B相互獨立，與相互獨立，與A A，B B互不互不相容不能同時成立。相容不能同時成立。 因為若它們同時成立，則因為若它們同時成立，則P(AB)=P(P(AB)=P( )=P(A)P(B)=0)=P(A)P(B)=0，與與P(A)0P(A)0，P(B)0P(B)0矛盾。矛盾。 定理 設設A A，B B是兩事件，且是兩事件，且P P(A A)0(P(0(P(B)0)0)，則，則A A，B B相相互獨立的充要條件是互獨立的充要條件是P(B|A)=P(B) (P(A|B)=P(A)P(B|A)=P(B) (P(A|B)=P(A)。 證明：只需證若事件A與事件B相互獨立，則

3、A與B相互立。所以， A與B相互獨立。由于BA=A-AB，ABA,而P(AB)=P(A)P(B)，從而P(BA)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)P(B)概率統計 定義 設設A A，B B，C C是三事件，如果具有等式是三事件，如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B), P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C). P(AC)=P(A)P(C). 則稱三事件則稱三事件A A，B B，C C兩兩獨立。兩兩獨立。 一般，當事件一般，當事件A A，B B，C C兩兩獨立時，等式兩兩獨立時，等

4、式 P P（ABCABC）=P=P（A A）P P（B B）P P（C C） 不一定成立，例如：不一定成立，例如：例1: 假設我們擲兩次骰子,并定義事件A,B,C如下 A=“第一次擲得偶數”，B=“第二次擲得奇數”， C=“兩次都擲得奇數或偶數”。證明A,B,C兩兩獨立,但不滿足等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)概率統計證明證明: : 容易算出容易算出 P(A)=1/2, P(B)=1/2, P(C)=1/2, P(A)=1/2, P(B)=1/2, P(C)=1/2, P(AB)=1/4, P(AC)=1/4, P(AB)=1/4, P(AC)=1/4, P(BC)=1/4, P(A

5、BC)=0. P(BC)=1/4, P(ABC)=0. 從而具有等式 P(AB)=P(A)P(B); P(AC)=P(A)P(C); P(BC)=P(B)P(C)所以A,B,C兩兩獨立.容易看出 P(ABC)=0P(A)P(B)P(C)概率統計定義 設設A A，B B，C C是三事件，如果具有等式是三事件，如果具有等式 ).()()()(),()()(),()()(),()()(CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABP 則稱A，B，C，為相互獨立的事件。12)11(0132 nCCCCCnnnnnnnn 一般地，設A1，A2，An，是n個事件，如果對于任意k(1kn),任

6、意1i1i2ikn,具有等式 P（Ai1Ai2Aik）=P（Ai1）P（Ai2）P（Aik）則稱A1，A2，An為相互獨立的事件。在上式中包含的等式總數為概率統計（1 1）若）若A A1 1,A,A2 2, ,A,An n相互獨立相互獨立, ,則其中任意則其中任意m m個事件個事件 A Ai1i1,A,Ai2i2, ,A,Aimim相互獨立（相互獨立（2mn2mn）。）。 （2 2）若）若A A1 1，A A2 2，A An n相互獨立，則把其中任意相互獨立，則把其中任意m m個事個事 件換成各自的對立事件后構成的件換成各自的對立事件后構成的n n個事件也相互個事件也相互 獨立（獨立（1mn1

7、mn）。）。注：若事件是獨立的，則許多概率的計算可以大為簡化，注：若事件是獨立的，則許多概率的計算可以大為簡化，例如若例如若A A1 1，A An n相互獨立，則相互獨立，則A A1 1，A A2 2，A An n同時發同時發生的概率為生的概率為 P(AP(A1 1A A2 2A An n)=P(A)=P(A1 1)P(A)P(A2 2) )P(AP(An n) )。 性質性質概率統計例例2: 2: 若若A A1 1，A A2 2，A An n相互獨立，且相互獨立，且P P（A Ai）=P=Pi，i=1,2,i=1,2,n, ,n, 求求A A1 1, ,A,An n這這n n個事件至少有一個

8、發生的個事件至少有一個發生的概率。概率。解解: : 所求的概率所求的概率 niinAPAAAP1211)( niiniPAPAPAP12111概率統計例例3 3：電路系統的可靠性。如圖，兩個系統各有電路系統的可靠性。如圖，兩個系統各有2n2n個元個元件，其中系統件，其中系統先串聯后并聯，系統先串聯后并聯，系統 先并聯后串聯。先并聯后串聯。求兩個系統的可靠性大小并加以比較。設每個元件正求兩個系統的可靠性大小并加以比較。設每個元件正常工作的概率為常工作的概率為r, ,且相互獨立。且相互獨立。A1B1A2B2BnAn系統 A1B1A2B2AnBn系統 解：.設Ai, i, Bi i分別表示兩條支路中

9、第i個元件正常工作P(A)：中第一條支路的可靠性， P(B)：中第二條支路的可靠性。 所以AB表示正常工作（并聯）概率統計)()()(11并聯并聯而而nniiniirAPAPAP 同理 P(B)=rn所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=rn+rn-r2n=R 第一對元件可靠性P(A1B1)=P(A1)+P(B1)-P(A1)P(B1)=2r-r2，第二對元件的可靠性P(A2B2)=P(A2)+P(B2)-P(A2)P(B2)=2r-r2, 概率統計第第n n對元件的可靠性對元件的可靠性 P(AP(An nB Bn n)=P(A)=P(An n)

10、+P(B)+P(Bn n)-P(A)-P(An n)P(B)P(Bn n)=2r-r)=2r-r2 2 于是于是 R=r(2-r)n=rn(2-r)n 比較大小比較大小. .比較比較2-r2-rn n與與(2-r)(2-r)n n的大小。的大小。 顯然顯然: 2-r: 2-rn n(2-r)(2-r)n n. .概率統計試驗的獨立性試驗的獨立性 n n個試驗個試驗E E1 1, E, E2 2, , E En n的獨立性，指在的獨立性，指在n n次試驗中每次試驗次試驗中每次試驗結果出現的概率都不受其他次試驗的影響。則稱這結果出現的概率都不受其他次試驗的影響。則稱這n n個試個試驗是獨立的。驗是

11、獨立的。 若若E1=E2= =En，稱為，稱為n n次重復獨立試驗。次重復獨立試驗。概率統計第六節貝努利概型第六節貝努利概型 考慮一個簡單的試驗，它只出現（或只考慮）兩種結果，如。 一般地，試驗E只有兩種結果A和A,而P(A)=p（0p 0 或或 P(A) 0 的的制約。制約。B=第一次擲出第一次擲出6點點，概率統計 現有五個乒乓球，三個新的，兩個舊的，現現有五個乒乓球，三個新的，兩個舊的，現 每每 次取一個，取兩次，分別就不放回抽取與次取一個，取兩次，分別就不放回抽取與放回抽取放回抽取 兩種情況。兩種情況。 設：設：A：第一次取到新球：第一次取到新球 (1) 不放回地取兩次不放回地取兩次 )

12、()()(APABPABP引例引例2解：解：求：在第一次取到新球的條件下第二次取到新球求：在第一次取到新球的條件下第二次取到新球 的概率。的概率。B：第二次取到新球：第二次取到新球534253 53206 5 . 021 概率統計 (2) 有放回地取兩次有放回地取兩次設設 A, B是兩個事件，如果具有等式：是兩個事件，如果具有等式：)()()(BPAPABP 則稱則稱 A, B 為為 相互獨立相互獨立 的事件。的事件。注：注：由定義易證以下關于獨立性的命題由定義易證以下關于獨立性的命題定義定義1)()()(APABPABP 535353 53 )(BP 概率統計若若 A與與 B 相互獨立相互獨

13、立證證:（只證（只證 其余自證）其余自證）相互獨立相互獨立與與 BA)()(ABAPBAP AAB 而而( )()P AP AB由可減性由可減性與獨立性與獨立性所以：所以：,B與與AA與與,BBA與與也相互獨立。也相互獨立。( )( ) ( )P AP A P B( )( )P AP B ( )(1( )P AP B 若若 ()0,()0P AP B 與與A, B互不相容互不相容不能同時成立。不能同時成立。相互獨立相互獨立,A B概率統計 設設 A, B, C 三個事件三個事件, 如果具有如果具有 如下等式：如下等式： )()()(BPAPABP則稱則稱 A , B , C 兩兩獨立兩兩獨立。

14、若若A , B , C 兩兩獨立，兩兩獨立，)()()()(CPBPAPABCP 不一定成立不一定成立。定義定義2 (兩兩獨立兩兩獨立)注：注：滿足成立條件上式才能成立？滿足成立條件上式才能成立？ 問題：問題：三個事件的三個事件的“相互獨立相互獨立”的概念的概念)()()(CPBPBCP )()()(CPAPACP 概率統計 設設 A, B, C 是三個事件，如果具有等式：是三個事件，如果具有等式： )()()()()()()()()()()()()(CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABP則稱事件則稱事件 A, B, C 為為相互獨立相互獨立的事件。的事件。12,nA

15、AA推廣推廣：設設 是是 n 個事件個事件, 如果如果 對于任意對于任意121kiiin )1(nkk 任意任意定義定義 3注注 概率統計則則稱稱 為為相互獨立相互獨立的事件。的事件。12,nA AA 相互獨立與兩兩獨立的相互獨立與兩兩獨立的關系關系：兩兩獨立兩兩獨立 n 個事件個事件任何兩個任何兩個彼此獨立彼此獨立故相互獨立故相互獨立 兩兩獨立兩兩獨立, 反之則不真反之則不真1212()() ()()kkiiiiiiP A AAP AP AP A 具有等式：具有等式：相互獨立相互獨立 n個事件個事件任意任意 k個個 都都 是獨立的是獨立的)(nk 1232 nCCCnnnnn（它（它含有含有

16、個等式）個等式）概率統計 n 個獨立事件個獨立事件和和 的概率公式的概率公式:nAAA,21設設事件事件 相互獨立相互獨立, ,則則）nAAAP21(1)(121nAAAP P(A1+An)()()(nAPAPAP211 也就是說，也就是說，n 個獨立事件至少個獨立事件至少有一個發生的概率等于有一個發生的概率等于1 減去減去各自對立事件概率的乘積各自對立事件概率的乘積.也相互獨立也相互獨立nAAA,21也相互獨也相互獨立立由由對對偶偶律律概率統計nAAA,21則則“ “ 至少有一個發生至少有一個發生”的概率為：的概率為：121() ()()nP A P AP A發生的概率發生的概率,1npp

17、nAAA,21若設若設 n 個獨立事件個獨立事件分別為分別為: :類似類似可以得出：可以得出：nAAA,21至少有一個不發生至少有一個不發生”的概率為：的概率為：“12()nP AAA121()1(1)(1)nnP AAApp+121nPPP概率統計可見可見, P(AB)=P(A)P(B) 由于由于: P(A) = 4/52 = 1/13, 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記 A = 抽到抽到 K , B = 抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的 問：事件問：事件A、B是否相互獨立？是否相互獨立？解：解：所以：所以：P(AB) = 2/52 = 1/26

18、， P(B) = 26/52 = 1/2 設設 A, B是兩事件是兩事件, 且且P(A)0, 若若 A, B相互獨立相互獨立 則：則： ，反之亦然。，反之亦然。)()(BPABP 注：注：在實際應用中在實際應用中, 往往往往根據問題的實際意義去判斷根據問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立兩事件是否獨立. 根據兩事件獨立的定義根據兩事件獨立的定義,說明事件說明事件A、B是相互獨立的是相互獨立的定理：定理：例如：例如：概率統計此例也可以通過此例也可以通過計算條件概率計算條件概率去得出相互獨立的結論去得出相互獨立的結論: 如如上例中上例中：從一副不含大小王的撲克牌中任取一張：從一副不含大小王的撲克牌中

19、任取一張,記：記： A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的則則 : 由于由于 P( A ) =1/13, P(A | B )=2/26=1/13 可根據實際意義，由于可根據實際意義，由于“甲命中甲命中”并不影響并不影響“乙乙命中命中”的概率，故認為的概率，故認為A、B 獨立獨立 . （即一事件發生（即一事件發生與否并不影響另一事件發生的概率）與否并不影響另一事件發生的概率） 例如：例如：甲、乙兩人向同一目標射擊，甲、乙兩人向同一目標射擊，記記 A=甲命中甲命中, B=乙命中乙命中，A與與B是否獨立？是否獨立？ 即：即：P( A) = P( A | B )，說明事件說明事件A、B

20、 獨立。獨立。 概率統計AB即即: 若若A、B 互斥，且互斥，且 P(A)0, P(B)0,則則 A 與與 B 不獨立不獨立.而而 P(A) 0， P(B) 0故故 A、B不獨立不獨立(1) 因為：因為：P(AB) =0P(AB) P(A)P(B)即：即： （1）如圖的兩個事件是獨立的嗎？）如圖的兩個事件是獨立的嗎？ （2）能否在樣本空間）能否在樣本空間S 中找兩個事件中找兩個事件,它們既它們既 相互獨立又互斥相互獨立又互斥?它的反問它的反問題呢？題呢？例例1解：解：概率統計S（2）所要尋找的這兩個事件就是）所要尋找的這兩個事件就是 S 和和 注注 意意:不難發現，不難發現， 與任何事件都獨立

21、與任何事件都獨立. 反之反之，若，若 A與與 B 獨立，且獨立，且 P( A ) 0, P( B ) 0, 則則 A 、B 不互斥。不互斥。 s而：而： 與與 S 獨立且互斥獨立且互斥 則則:所以所以:P( S ) = P( ) P( S ) = 0 概率統計(1) 設設A、B為互斥事件，且為互斥事件，且 P(A) 0, P(B) 0, 下面四個結論中，正確的是：下面四個結論中，正確的是： 獨立與互斥的區別和聯系的思考題獨立與互斥的區別和聯系的思考題:1. P(B|A) 0 2. P(A|B) = P(A)3. P(A|B) = 0 4. P(AB) = P(A) P(B)(2) 設設A、B為

22、獨立事件，且為獨立事件，且P(A) 0, P(B) 0, 下面四個結論中，正確的是：下面四個結論中，正確的是：1. P(B|A) 0 2. P(A|B) = P(A)3. P(A|B) = 0 4. P(AB) = P(A) P(B) 答案答案：(1) 3 ; (2) 1, 2, 4概率統計 甲、乙、丙三臺機床獨立工作甲、乙、丙三臺機床獨立工作,由一個操作由一個操作者照管者照管, 某段時間內它們不需要操作者照管某段時間內它們不需要操作者照管的概率分別為的概率分別為 0.9, 0.8, 0.85求：求：(1) 沒有沒有 一臺機床一臺機床 不需要不需要 照管的概率照管的概率 (2) 至少至少 一臺

23、機床一臺機床 需要需要 照管的概率照管的概率 (3) 至多至多 一臺機床一臺機床 不需要不需要 照管的概率照管的概率設設 A, B, C：分別表示甲，乙，丙三臺機床：分別表示甲，乙，丙三臺機床 不需要照管不需要照管 因為：三臺機床要不要照看是相互獨立的因為：三臺機床要不要照看是相互獨立的例例 2解：解：概率統計(1)()( ) ( ) ( )P ABCP A P B P C (2)()()P ABCP ABC 388. 085. 08 . 09 . 01 (3) D: 至多只有一臺機床不需要照看至多只有一臺機床不需要照看)()()()()(CBAPCBAPCBAPCBAPDP 059. 085

24、. 02 . 01 . 015. 08 . 01 . 015. 02 . 09 . 0003. 0 甲甲,乙乙,丙三臺丙三臺機床不需要機床不需要照管的概率照管的概率分別為分別為:0.9, 0.8, 0.85(10.9)(10.8)(10.85)0.0031( ) ( ) ( )P A P B P C 1()P ABC 概率統計 三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的 概率分別為概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人，問三人中至少有一人 能將密碼譯出的概率是多少？能將密碼譯出的概率是多少？ 將三人編號為將三人編號為 1，2，3，記記 Ai = 第第 i 個人破譯出密碼個人破譯出密碼 i=1, 2, 3已知已知: P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4則則: P(A1+A2+A3) )()()(1321APAPAP)(1321AAAP6 . 0534332541 所求為所求為: P(A1+A2+A3)由獨立性由獨立性例例3.解：解：1231 1()1()1()P AP AP A 概率統計 下圖是一個串并聯電路示意圖下圖是一個串并