1、綜合知識講解目錄第一章緒 論2.1.1 初中數學的特點2.1.2 怎么學習初中數學2.1.3如何去聽課5.1.4幾點建議6.第二章應知應會知識點8.2.1 代數篇&2.2幾何篇12第三章例題講解19第四章興趣練習384.1 代數部分384.2 幾何部分58第五章復習提綱59第一章緒 論I. 1初中數學的特點1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. II. 12. 13. 14. 15. 16. 1.2 怎么學習初中數學1，培養良好的學習興趣。兩千多年前孔子說過：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者。”意思說， 干一件事，知道它，了解它不如愛好它，愛好它不如樂在其中。“好”和

2、“樂”就是愿意 學，喜歡學，這就是興趣。興趣是最好的老師，有興趣才能產生愛好， 愛好它就要去實踐它，達到樂在其中，有興趣才會形成學習的主動性和積極性。 在數學學習 中，我們把這種從自發的感性的樂趣出發上升為自覺的理性的“認 識”過程，這自然會變為立志學好數學，成為數學學習的成功者。那么如何才能 建立好的學習數學 興趣呢？（1）課前預習，對所學知識產生疑問，產生好奇心。（2）聽課中要配合老師講課，滿足感官的興奮性。聽課中重點解決預習中 疑問，把老師課堂的提問、停頓、教具和模型的演示都視為欣賞音樂，及時回答 老師課堂提問，培養思考與老師同步性，提高精神，把老師對你的提問的評價， 變為鞭策學習的動力

3、。（3）思考問題注意歸納，挖掘你學習的潛力。（4）聽課中注意老師講解時的數學思想，多問為什么要這樣思考，這樣的 方法怎樣是產生的？（5）把概念回歸自然。所有學科都是從實際問題中產生歸納的，數學概念 也回歸于現實生活， 如角的概念、 直角坐標系的產生都是從實際生活中抽象出來 的。只有回歸現實才能對概念的理解切實可 * ，在應用概念判斷、 推理時會準確。 2，建立良好的學習數學習慣。習慣是經過重復練習而鞏固下來的穩重持久的條件反射和自然需要。 建立良 好的學習數學習慣，會使自己學習感到有序而輕松。高中數學的良好習慣應是： 多質疑、勤 思考、好動手、重歸納、注意應用。良好的學習數學習慣還包括課 前自

4、學、專心上課、及時復習、獨立作業、解決疑難、系統小結和課外學習幾個 方面。學生在學習 數學的過程中，要把教師所傳授的知識翻譯成為自己的特殊 語言，并永久記憶在自己的腦海中。 另外還要保證每天有一定的自學時間， 以便 加寬知識面和培養自己再 學習能力。3，有意識培養自己的各方面能力 。數學能力包括：邏輯推理能力、抽象思維能力、計算能力、空間想象能力和 分析解決問題能力共五大能力。這些能力是在不同的數學學習環境中得到培養 的。在平時學 習中要注意開發不同的學習場所， 參與一切有益的學習實踐活動， 如數學第二課堂、數學競賽、智力競賽等活動。平時注意觀察，比如，空間想象 能力是通過實例凈 化思維，把空

5、間中的實體高度抽象在大腦中，并在大腦中進 行分析推理。其它能力的培養都必須學習、理解、訓練、應用中得到發展。特別 是，教師為了培養這些能 力，會精心設計“智力課”和“智力問題”比如對習 題的解答時的一題多解、 舉一反三的訓練歸類， 應用模型、電腦等多媒體教學等， 都是為數學能力的培養開設的好課型， 在這些課型中，學生務必要用全身心投入、 全方位智力參與，最終達到自己各方面能力的全面發展4、及時了解、掌握常用的數學思想和方法。學好初中數學， 需要我們從數學思想與方法高度來掌握它。 中學數學學習要 重點掌握的的數學思想有以上幾個： 集合與對應思想， 分類討論思想， 數形結合 思想，運動 思想，轉化

6、思想，變換思想。有了數學思想以后，還要掌握具體的 方法，比如：換元、待定系數、數學歸納法、分析法、綜合法、反證法等等。在 具體的方法中，常 用的有：觀察與實驗，聯想與類比，比較與分類，分析與綜 合，歸納與演繹，一般與特殊，有限與無限，抽象與概括等。解數學題時，也要注意解題思維策略問題， 經常要思考： 選擇什么角度來進 入，應遵循什么原則性的東西。 高中數學中經常用到的數學思維策略有： 以簡馭 繁、數形結合、進退互用、化生為熟、正難則反、倒順相還、動靜轉換、分合相 輔等。5、逐步形成 “以我為主”的學習模式 。 數學不是老師教會的，而是在老師的引導下， 自己主動的思維活動去獲取的。學習數學就要積

7、極主動地參與學習過程，養成實事求是的科學態度，獨立思考、 勇于 探索的創新精神；正確對待學習中的困難和挫折，敗不餒，勝不驕，養成 積極進取，不屈不撓，耐挫折的優良心理品質； 在學習過程中， 要遵循認識規律， 善于開動 腦筋，積極主動去發現問題，注重新舊知識間的內在聯系，不滿足于 現成的思路和結論， 經常進行一題多解， 一題多變， 從多側面、多角度思考問題， 挖掘問題的實 質。學習數學一定要講究“活” ，只看書不做題不行，只埋頭做題 不總結積累也不行。對課本知識既要能鉆進去，又要能跳出來，結合自身特點， 尋找最佳學習方法。6、針對自己的學習情況，采取一些具體的措施。記數學筆記， 特別是對概念理解

8、的不同側面和數學規律， 教師在課堂中擴展 的課外知識。 記錄下來本章你覺得最有價值的思想方法或例題， 以及你還存在的 未解決的問題，以便今后將其補上。建立數學糾錯本。把平時容易出現錯誤的知識或推理記載下來，以防再犯。爭取做到：找錯、析錯、改錯、防錯。達到：能從反面入手深入理解正確東西； 能由果朔因把錯誤原因弄個水落石出、 以便對癥下藥； 解答問題完整、推理嚴密。1.3 如何去聽課認真聽好每一節棵。要上好每一節課， 數學課有知識的發生和形成的概念課， 有解題思路探索和 規律總結的習題課， 有數學思想方法提煉和聯系實際的復習課。 要上好這些課來 學會數學知識，掌握學習數學的方法。概念課要重視教學過

9、程， 要積極體驗知識產生、 發展的過程， 要把知識的來龍去脈 搞清楚，認識知識發生的過程，理解公式、定理、法則的推導過程，改變死記硬 背的方法，這樣我們就能從知識形成、發展過程當中，理解到學會它的樂趣；在 解決問題的過程中，體會到成功的喜悅。習題課要掌握“聽一遍不如看一遍，看一遍不如做一遍，做一遍不如講一遍，講一 遍不如辯一辯”的訣竅。除了聽老師講，看老師做以外，要自己多做習題，而且 要把自己的體會主動、大膽地講給大家聽，遇到問題要和同學、老師辯一辯，堅 持真理，改正錯誤。在聽課時要注意老師展示的解題思維過程，要多思考、多探 究、多嘗試，發現創造性的證法及解法，學會“小題大做”和“大題小做”的

10、解 題方法，即對選擇題、 填空題一類的客觀題要認真對待絕不粗心大意， 就像對待 大題目一樣，做到下筆如有神；對綜合題這樣的大題目不妨把“大”拆“小” ， 以“退”為“進”，也就是把一個比較復雜的問題，拆成或退為最簡單、最原始 的問題，把這些小題、簡單問題想通、想透，找出規律，然后再來一個飛躍，進 一步升華，就能湊成一個大題， 即退中求進了。 如果有了這種分解、 綜合的能力， 加上有扎實的基本功還有什么題目難得倒我們。復習課在數學學習過程中，要有一個清醒的復習意識，逐漸養成良好的復習習慣， 從而逐步學會學習。數學復習應是一個反思性學習過程。 要反思對所學習的知識、 技能有 沒有達到課程所要求的程

11、度； 要反思學習中涉及到了哪些數學思想方法，這些數學思想方法是如何運用的，運用過程中有什么特點；要反思基本問題（包括基本圖 形、圖像等 ），典型問題有沒有真正弄懂弄通了，平時碰到的問題中有 哪些問題可歸結為這些基本問題； 要反思自己的錯誤， 找出產生錯誤的原因， 訂 出改正的措 施。在新學期大家準備一本數學學習 “病例卡”，把平時犯的錯誤記 下來，找出“病因”開出“處方” ，并且經常拿出來看看、想想錯在哪里，為什 么會錯，怎么改 正，通過你的努力，到高考時你的數學就沒有什么“病例”了。 并且數學復習應在數學知識的運用過程中進行， 通過運用，達到深化理解、 發展 能力的目的， 因此在新的一年要在

12、教師的指導下做一定數量的數學習題， 做到舉 一反三、熟練應用，避免以“練”代“復”的題海戰術。1.4 幾點建議1、記數學筆記，特別是對概念理解的不同側面和數學規律，教師為備戰高 考而加的課外知識。如：我在講課時的注解。2、建立數學糾錯本。把平時容易出現錯誤的知識或推理記載下來，以防再 犯。爭取做到：找錯、析錯、改錯、防錯。達到：能從反面入手深入理解正確東 西；能由果朔因把錯誤原因弄個水落石出、以便對癥下藥；解答問題完整、推理 嚴密。3、記憶數學規律和數學小結論。4、與同學建立好關系，爭做“小老師” ，形成數學學習“互助組” 。5、爭做數學課外題，加大自學力度。6、反復鞏固，消滅前學后忘。7、學

13、會總結歸類。從數學思想分類從解題方法歸類從知識應用上分 類。總之，對初中生來說，學好數學，首先要抱著濃厚的興趣去學習數學，積極 展開思維的翅膀， 主動地參與教育全過程， 充分發揮自己的主觀能動性， 愉快有 效地學數學。其次要掌握正確的學習方法。 鍛煉自己學數學的能力， 轉變學習方式， 要改 變單純接受的學習方式， 要學會采用接受學習與探究學習、 合作學習、 體驗學習 等多樣化 的方式進行學習，要在教師的指導下逐步學會“提出問題實驗探究開展討論一形成新知一應用反思”的學習方法。這樣，通過學習方式由單一到 多樣的轉變，我 們在學習活動中的自主性、探索性、合作性就能夠得到加強， 成為學習的主人。第二

14、章 應知應會知識點2.1 代數篇數與式一）有理數1 有理數的分類2 數軸的定義與應用3 相反數4 倒數5 絕對值6 有理數的大小比較7 有理數的運算（二）實數8 實數的分類9 實數的運算10 科學記數法11 近似數與有效數字12 平方根與算術根和立方根13 非負數14 零指數次冪 負指數次冪（三）代數式15 代數式 代數式的值16 列代數式 （四）整式17 整式的分類18 整式的加減 乘除的運算19 冪的有關運算性質20 乘法公式21因式分解（五）分式22分式的定義23分式的基本性質24分式的運算（六）二次根式25二次根式的意義26根式的基本性質27根式的運算-方程和不等式（一）一元一次方程2

15、8方程方程的解的有關定義29一元一次的定義30一元一次方程的解法31列方程解應用題的一般步驟（二）二元一次方程32二元一次方程的定義33二元一次方程組的定義34二元一次方程組的解法（代入法消元法加減消元法）35二元一次方程組的應用（三）一元二次方程36一元二次方程的定義37 一元二次方程的解法（配方法 因式分解法 公式法 十字相乘法）38 一元二次方程根與系數的關系和根的判別式39 一元二次方程的應用（四）分式方程40 分式方程的定義41 分式方程的解法（轉化為整式方程 檢驗）42 分式方程的增根的定義43 分式方程的應用（五）不等式和不等式組44 不等式（組）的有關定義45 不等式的基本性質

16、46 一元一次不等式的解法47 一元一次不等式組的解法48 一元一次不等式（組）的應用三 函數（一）位置的確定與平面直角坐標系49 位置的確定50 坐標變換51 平面直角坐標系內點的特征52 平面直角坐標系內點坐標的符號與點的象限位置53 對稱問題： P（x,y）Q（x,- y ）關于 x 軸對稱P（x,y）Q（- x,y）關于y軸對稱P（x,y） Q（- x,- y）關于原點對稱54 變量 自變量 因變量 函數的定義圖象法）次方程的關系（圖象55 函數自變量 因變量的取值范圍（使式子有意義的條件56 函數的圖象：變量的變化趨勢描述（二）一次函數與正比例函數57 一次函數的定義與正比例函數的定

17、義58 一次函數的圖象：直線，畫法59 一次函數的性質（增減性）60 一次函數y=kx+b（k 0）中k b符號與圖象位置61 待定系數法求一次函數的解析式（一設二列三解四回）62 一次函數的平移問題63 一次函數與一元一次方程 一元一次不等式 二元一 法）64 一次函數的實際應用65 一次函數的綜合應用 （1）一次函數與方程綜合（2）一次函數與其它函數綜合（3）一次函數與不等式的綜合（4）一次函數與幾何綜合（三）反比例函數66 反比例函數的定義67 反比例函數解析式的確定68 反比例函數的圖象：雙曲線69 反比例函數的性質（增減性質）70 反比例函數的實際應用71 反比例函數的綜合應用（四個

18、方面 面積問題）（四）二次函數72 二次函數的定義73 二次函數的三種表達式（一般式 頂點式 交點式）74 二次函數解析式的確定（待定系數法）75 二次函數的圖象：拋物線 畫法（五點法）76 二次函數的性質（增減性的描述以對稱軸為分界）77 二次函數 y=ax2+bx+c（a 0）中 a b c 與特殊式子的符號與圖象位置關 系78 求二次函數的頂點坐標 對稱軸 最值79 二次函數的交點問題80 二次函數的對稱問題81 二次函數的最值問題（實際應用）82 二次函數的平移問題83 二次函數的實際應用84 二次函數的綜合應用（1）二次函數與方程綜合（2）二次函數與其它函數綜合(3) 二次函數與不等

19、式的綜合(4) 二次函數與幾何綜合2.2 幾何篇1 過兩點有且只有一條直線2 兩點之間線段最短3 同角或等角的補角相等4 同角或等角的余角相等5 過一點有且只有一條直線和已知直線垂直6 直線外一點與直線上各點連接的所有線段中 垂線段最短7 經過直線外一點 有且只有一條直線與這條直線平行8 如果兩條直線都和第三條直線平行 這兩條直線也互相平行9 同位角相等 兩直線平行10 內錯角相等 兩直線平行11 同旁內角互補 兩直線行12 兩直線平行 同位角相等13 兩直線平行 內錯角相等14 兩直線平行 同旁內角互補15 三角形兩邊的和大于第三邊16 三角形兩邊的差小于第三邊17 三角形三個內角的和等 1

20、8018 直角三角形的兩個銳角互余19 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和20 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角21 全等三角形的對應邊 對應角相等22 有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等 (SAS)23 有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等 (ASA)24 有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等 (AAS)25 有三邊對應相等的兩個三角形全等 (SSS)26 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等 (HL)27 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等28 到一個角的兩邊的距離相同的點 在這個角的平分線上29 角的平分線是到角的兩邊距離相

21、等的所有點的集合30 等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等31 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊32 等腰三角形的頂角平分線 底邊上的中線和高互相重合33 等邊三角形的各角都相等 并且每一個角都等于 6034 等腰三角形的判定定理 如果一個三角形有兩個角相等 那么這兩個角 所對的邊也相等 (等角對等邊 )35 三個角都相等的三角形是等邊三角形36 有一個角等于 60的等腰三角形是等邊三角形37 在直角三角形中 如果一個銳角等于 30那么它所對的直角邊等于斜邊的 一半38 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半39 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等40 和一

22、條線段兩個端點距離相等的點 在這條線段的垂直平分線上41 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合42 關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形43 如果兩個圖形關于某直線對稱 那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線44 兩個圖形關于某直線對稱 如果它們的對應線段或延長線相交 那么交點 在對稱軸上45 如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分 那么這兩個圖形關于 這條直線對稱46 直角三角形兩直角邊 a b 的平方和 等于斜邊 c 的平方 即 a+b=c47 如果三角形的三邊長 a b c 有關系 a+b=c 那么這個三角形是直角三角形48 四邊形的內角和等于 36049 四邊形的外

23、角和等于 36050 多邊形內角和定理 n 邊形的內角的和等于 (n-2)18051 任意多邊的外角和等于 36052 平行四邊形的對角相等53 平行四邊形的對邊相等54 夾在兩條平行線間的平行線段相等55 平行四邊形的對角線互相平分56 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形57 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形58 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形59 一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形60 矩形的四個角都是直角61 矩形的對角線相等62 有三個角是直角的四邊形是矩形63 對角線相等的平行四邊形是矩形64 菱形的四條邊都相等65 菱形的對角線互相垂直 并且每一條對角線平分一組對角66

24、 菱形面積=對角線乘積的一半 即 S=(ab)267 四邊都相等的四邊形是菱形68 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形69 正方形的四個角都是直角 四條邊都相等70 正方形的兩條對角線相等 并且互相垂直平分 每條對角線平分一組對角71 關于中心對稱的兩個圖形是全等的72 關于中心對稱的兩個圖形 對稱點連線都經過對稱中心 并且被對稱中心 平分73 如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點 并且被這一 點平分 那么這 兩個圖形關于這一點對稱74 等腰梯形在同一底上的兩個角相等75 等腰梯形的兩條對角線相等76 在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形77 對角線相等的梯形是等腰梯形78 如果一組平行線在一

25、條直線上截得的線段相等 那么在其他直線上截得的線段也相等79 經過梯形一腰的中點與底平行的直線 必平分另一腰80 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線 必平分第三邊81 三角形的中位線平行于第三邊 并且等于它的一半82 梯形的中位線平行于兩底 并且等于兩底和的 一半L=(a+b) S=Lh83 如果 a:b=c:d 那么 ad=bc 如果 ad=bc 那么 a:b=c:d84 如果 a/b=c/d 那么(a b)/ b=(c d)/d85 如果 ab=cd=mn(b+d+ +n0) 那么(a+c+ +m)(b+d+ +n )=ab86 三條平行線截兩條直線 所得的對應線段成比例87 平行于三

26、角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線 ) 所得的對應線段成比例88 如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線 )所得的對應線段成比例那么這條直線平行于三角形的第三邊89 平行于三角形的一邊 并且和其他兩邊相交的直線 所截得的三角形的三 邊與原三角形三邊對應成比例90 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線 )相交 所構成的三角形與原三角形相似91 兩角對應相等 兩三角形相似 (ASA)92 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似93 兩邊對應成比例且夾角相等 兩三角形相似 (SAS)94 三邊對應成比例 兩三角形相似 (SSS)95 如果一個直角三角形的斜邊和

27、一條直角邊與另一個直角三 角形的斜邊和一條直角邊對應成比例 那么這兩個直角三角形相似96 相似三角形對應高的比 對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比97 相似三角形周長的比等于相似比98 相似三角形面積的比等于相似比的平方99 任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值100 任意銳角的正切值等于它的余角的余切值任意銳角的余切值等于它的余角的正切值101 圓是定點的距離等于定長的點的集合102 圓的內部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合103 圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合104 同圓或等圓的半徑相等105 到定點的距離等于定長的點的軌跡

28、 是以定點為圓心 定長為半徑的圓106 和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡 是著條線段的垂直平分線107 到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡 是這個角的平分線108 到兩條平行線距離相等的點的軌跡 是和這兩條平行線平行且距離相等的 一條直線109 不在同一直線上的三個點確定一條直線110 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧111 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦并且平分弦所對的兩條弧 弦的垂直平分線經過圓心并且平分弦所對的兩條弧 平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦 并且平分弦所對的另一條弧112 圓的兩條平行弦所夾的弧相等113 圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形114 在同圓或

29、等圓中 相等的圓心角所對的弧相等 所對的弦相等 所對的弦 的弦心距相等115 在同圓或等圓中 如果兩個圓心角 兩條弧 兩條弦或兩弦的弦心距中有 一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等116 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半117 同弧或等弧所對的圓周角相等 ;同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧也相等118 半圓(或直徑 )所對的圓周角是直角 ;90的圓周角所 對的弦是直徑119 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半 那么這個三角形是直角三角形120 圓的內接四邊形的對角互補 并且任何一個外角都等于它的內對角121 直線L和。O相交 dv r 直線L和。O相切 d=r 直線L和。O相

30、離dr122 經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線123 圓的切線垂直于經過切點的半徑124 經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點125 經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心126 從圓外一點引圓的兩條切線 它們的切線長相等 圓心和這一點的連線平 分兩條切線的夾角127 圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等128 弦切角等于它所夾的弧對的圓周角129 如果兩個弦切角所夾的弧相等 那么這兩個弦切角也相等130 圓內的兩條相交弦 被交點分成的兩條線段長的積相等131 如果弦與直徑垂直相交 那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例 中項132 從圓外一點引圓的切線和割線 切線長是這點到割線

31、與圓交點的兩條線段 長的比例中項133 從圓外一點引圓的兩條割線 這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長 的積相等134 如果兩個圓相切 那么切點一定在連心線上135 兩圓外離 d R+r 兩圓外切 d=R+r 兩圓相交 R-rv dv R+r(R r) 兩圓內切d =R-r(R r) 兩圓內含 dv R-r(R r)136 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦137 把圓分成 n(n 3):依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正 n 邊形 經過各分點作圓的切線 以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切 正 n 邊形138 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓 這兩個圓是同心圓139

32、 正 n 邊形的每個內角都等于 (n-2)180 /n140 正 n 邊形的半徑和邊心距把正 n 邊形分成 2n 個全等的直角三角形141 正 n 邊形的面積 Sn=pnrn/2 p 表示正 n 邊形的周長142 正三角形面積 3a4 a表示邊長143 如果在一個頂點周圍有 k 個正 n 邊形的角 由于這些角的和應為360因此 k (n-2)180 n=360 化為(n-2)(k-2)=4144 弧長計算公式：L=n R/180145 扇形面積公式:S扇形=nR360=LR2146 內公切線長 = d-(R-r) 外公切線長 = d-(R+r)第二章例題講解【例1】如圖10,平行四邊形ABCD

33、中，AB= 5, BC= 10, BC邊上的高AM=4, E 為BC邊上的一個動點(不與B C重合).過E作直線AB的垂線，垂足為F. FE 與DC的延長線相交于點G,連結DE DR(1) 求證： BEF CEG(2) 當點E在線段BC上運動時， BEF和厶CEG勺周長之間有什么關系？ 并說明你的理由.(3) 設BE= X, DEF的面積為y ,請你求出y和X之間的函數關系式，并求 出當X為何值時，y有最大值，最大值是多少？AC(2) BEF與ACEG的周長之和為定值.BB所以 BEFCE所以AB PDGGCE ,邊形ABCt是平行四邊形,解析過程及每步分所以G BF1)理由一:過點C作FG的

34、平行線交直線 AB于H ,因為GFL AB所以四邊形 FHCG矩形.所以 FH= CG FG= CH因此， BEF與厶CEG的周長之和等于 BC CH BH由 BC= 10, AB= 5, AM= 4,可得 CH= 8, BH= 6,所以 BO CHF BH= 24 6 分理由二：由 AB= 5, AM= 4,可知在 Rt BEF與 Rt GC即,有:4 343EF-BE,BF-BE,GE-EC,GC-CE ,5 555所以， BEF的周長是12BE,5 ECG勺周長是CEH6分又BE CE= 10 ,因此VBEF與VCEG的周長之和是24 .6 2X2522X54 3(3)設 BE= X,則

35、 EF x, GC (10 x)5 511 43所以 y - EFgDG -X (10 x) 5配方得：y所以，當X121最大值為竺66552 1212B(X R T55時,y有最大值.9分10分2【例2】如圖 二次函數y = ax + bx+ c(a 0)與坐標軸交于點1 OB= OC= 3.(1) 求此二次函數的解析式.(2) 寫出頂點坐標和對稱軸方程.且MN/ X軸求(3)點M N在y= ax2+ bx+ C的圖像上(點N在點M的右邊) 以MN為直徑且與X軸相切的圓的半徑.把N點代入y X2同理可得另一種情形1分4分5分7分8分9分解析過程及每步分值(1) 依題意 A( 1,0, B(3

36、,0), C(0, 3)分別代入 y ax2 bx C解方程組得所求解析式為 y X2 2x 3 2 2(2) y X 2x 3 (X 1)4 頂點坐標(1, 4),對稱軸X 1(3)設圓半徑為r ,當MN在X軸下方時，N點坐標為(1 r, r)ZH 1 172x 3 得 r21 Ti7r2圓的半徑為七衛或寧10分【例3】已知兩個關于X的二次函數y與當X k時，y217 ;且二次函數y2的圖象的對稱軸是直 y2，y1 a(x k)22(k0)，y1 y2 x2 6x 12 線 x 1(1) 求k的值；(2) 求函數, y的表達式；(3) 在同一直角坐標系內，問函數 y的圖象與y2的圖象是否有交

37、點？請說明理由(1)由y1a(xk)22, y1y22 X6x12得y2(%y2)y12 6x12a(xk)22X2 6x 10a(xk)2 .又因為當Xk時,y217,即k26k1017 ,解得k11 ,或k27(舍去),故k的值為1.(2)由k1 ,得y2x2 6x10a(x1)2(1a)x2(2 a6)x10 a,解析過程及每步分值所以函數y2的圖象的對稱軸為 X2a 62(1 a)于是,有2a 62(1 a)1 ,解得a 1，所以 y1X2 2x 1，y 2x 4x 11 .2(1,2);(X 1)2,得函數y1的圖象為拋物線，其開口向下，頂點坐標為由 y2 2x2 4x 1122(

38、x 1)9 ,得函數 y的圖象為拋物線，其開口向上，頂點坐標為(1,9);故在同一直角坐標系內，函數 y1的圖象與y2的圖象沒有交點.【例4】如圖,拋物線y X2 4x與X軸分別相交于點 B、0,它的頂點為 A,連接AB,把AB 所的直線沿y軸向上平移，使它經過原點 0,得到直線I,設P是直線I上一動點.（1）求點A的坐標；（2） 以點A、B O P為頂點的四邊形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，請分別直接寫 出這些特殊四邊形的頂點 P的坐標；（3） 設以點 A、B、0、P為頂點的四邊形的面積為 S,點P的橫坐標為X,當 4 6.2 S 6 8*2時,求X的取值范圍.解析過程及每步分值解：(1)

39、 y X2 4x (X 2)2 4 A(-2,-4)(2) 四邊形 ABRo為菱形時，R(-2,4)24四邊形ABoR為等腰梯形時，R(,)5 54 8四邊形ABRO為直角梯形時，Ri(工，)5 56 12四邊形ABoR為直角梯形時，P(Y )55y=-2x-8,所以直線I的函數關系式是(3)由已知條件可求得AB所在直線的函數關系式是 y=-2x當點P在第二象限時，x0,過點A、P分別作X軸的垂線，垂足為 A、P 則四邊形POA A的面積1 AA B的面積 S AAB 4 242 S SROAA S AAB 4X 8(X O) 4 6一2 S 6 8.2 ,.S462S68 .一 2.X的取值

40、范圍是X “ 4x 8 4 6 .22即.4x 86 8、. 2O 4、2 1S23.224- 21X2 2【例 4】隨著綠城南寧近幾年城市建設的快速發展，對花木的需求量逐年提高。 某園林專業戶計劃投資種植花卉及樹木，根據市場調查與預測，種植樹木的利潤y與投資量X成正比例關系，如圖所示；種植花卉的利潤y2與投資量X成二次函數關系，如圖所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）（1）分別求出利潤y與y2關于投資量X的函數關系式；（2）如果這位專業戶以 8 萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少 利潤？他能獲取的最大利潤是多少？解析過程及每步分值解：（1）設y = kx,由圖所示，函數y = kx的

41、圖像過(1, 2),所以2=k 1, k 2故利潤y關于投資量X的函數關系式是 y=2x ；因為該拋物線的頂點是原點，所以設y2=ax2 ,由圖12-所示，函數y2 = ax2的圖像過（2, 2），2 1所以2 a 22, a丄21 2故利潤y2關于投資量X的函數關系式是 y X ；（2）設這位專業戶投入種植花卉X萬元（O X 8）,則投入種植樹木（8 X）萬元，他獲得的利潤是 Z萬元，根據題意，得z = 2(8 x) +1x2 =1X22 22x16 = 1 (X22)214當X 2時，Z的最小值是14；因為O X 8 ,所以 2X2 6所以(X 2)2361 2所以 1(x 2)21821

42、 2所以(X 2)214 1821432 ,即 Z32,此時X 8J當X 8時，Z的最大值是32.【例5】如圖，已知 A( 4,0) , B(0,4),現以A點為位似中心，相似比為9:4 ,將OB向右側放大，B點的對應點為C(1) 求C點坐標及直線BC的解析式；(2) 一拋物線經過B、C兩點，且頂點落在X軸正半軸上，求該拋物線的解 析式并畫出函數圖象；(3) 現將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交與另一點 P,請找出拋物線上所 有滿足到直線AB距離為3、2的點P.解析過程及每步分值解：（1）過C點向X軸作垂線，垂足為 D,由位似圖形性質可知: ABO ACDAQADBQCD由已知 A( 4,0)，

43、B(0,4)可知： AQ 4,BQ 4 . AD CD 9 .C 點坐標為(5,9).直線BC的解析是為:化簡得：y X 44 C(2)設拋物線解析式為 y ax2 bx c(a 0),由題意得：9 25a 5b C ,b2 4ac 0丄254-5414 4 印 dcc2124解得拋物線解析式為 y X 4x 4或y2X2 -X 4.25 5F124又 V y2XX 4的頂點在X軸負半軸上，不合題意，故舍去.255滿足條件的拋物線解析式為y X2 4X 4（準確畫出函數y X2 4X 4圖象）（3）將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交與另一點P,設P到 直線AB的距離為h,故P點應在與直線 AB平

44、行，且相距 3 2的上下兩條平行直線I1和I2上.由平行線的性質可得：兩條平行直線與y軸的交點到直線 BC的距離也為 2 .如圖，設l1與y軸交于E點，過E作EF BC于 F點，在 Rt BEF 中 EF h 3.2 , EBF ABQ 45o, BE 6.可以求得直線1與y軸交點坐標為（0,10）同理可求得直線I2與y軸交點坐標為（0, 2）兩直線解析式I1 ：y X 10 ； l2 : y X 2 .根據題意列出方程組：X2 4X 4 ,y X 10y X2 4X 4y X 2解得：X1 6X21X3 2y1 16y2 9y3 0X43y4 1滿足條件的點 P 有四個，它們分別是P1 (6

45、,1 6) ， P2( 1 ,9) ， P3(2,0) ， P4(3,1 )2【例6】如圖，拋物線Li : y X 2x 3交X軸于A、B兩點，交y軸于M點.拋物線L1向 右平移2個單位后得到拋物線 L2 , L2交X軸于C D兩點.（1）求拋物線 L2 對應的函數表達式；（2） 拋物線Li或L2在X軸上方的部分是否存在點 N,使以A，C, M N為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若點P是拋物線L1上的一個動點（P不與點A B重合），那么點P關于原點的對 稱點Q是否在拋物線L2上，請說明理由.解析過程及每步分值【例7】如圖，在矩形ABCD中，AB

46、9 , AD 3.3 ,點P是邊BC上的動點(點P不與點B ,點C重合)，過點P作直線PQ / BD ,交CD邊于Q點，再把 PQC沿著動直線PQ對折，點C的對應點是R點，設CP的長度為X， PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為y .(1) 求CQP的度數；(2) 當X取何值時，點R落在矩形ABCD的AB邊上?(3) 求y與X之間的函數關系式；當X取何值時，重疊部分的面積等于矩形面積的(備用圖2)AD BC.又AB9, AD 3 3 ,C 90,CD9 , BC 3.3 .tanCDB匹乜,CD 3CDB 30o .Q PQ/ BD, CQPCDB30o .(2)如圖1,由軸對稱的性質可知,

47、RPQ CPQRPQCPQ , RPCP .由(1)知CQP30o,RPQCPQ 60,(圖1)RPB60o,RP 2BP.QCP X,PRX , PB 3.3在 RPB中，根據題意得：2(3 .3x) X ,解析過程及每步分值解：(1)如圖，Q四邊形ABCD是矩形，AB CD,727解這個方程得：X 2、一3 .(3)當點R在矩形ABCD的內部或 AB邊上時,0 X 2 ,3 , SCPQ CP CQ Xg 3x2 2Q RPQ S CPQ ,當 0 X 2、, 3 時，y當R在矩形ABCD的外部時(如圖2),在 Rt PFB 中，Q RPB60PF 2BP 2(3.3 x)又Q RP CP

48、 X, RFRPPF3x 6、3 ,(圖2)在 Rt ERF 中,Q EFR PFB 30o,ERSa ERF1ER FR 3x2 18x 18. 3 ,2 2Q ysA RPQ sA ERF，當 2 ,3 X 3,3 時，y ,3x2 18x 18、, 3 .綜上所述，y與X之間的函數解析式是：yf x2(0 X 2 3)32 18x 18.3(2.3 X 33)矩形面積9 3.3 27、3 ,當0 X 2、3時，函數y -X2隨自變量的增大而2增大，所以y的最大值是6 . 3 ,而矩形面積的 的值 27 3 7 3 ,2727而36、3 ,所以，當O X 2、3時，y的值不可能是矩形面積的

49、 ；27當2、3 X 3 . 3時，根據題意，得：-3x2 18x 1 3 r.3 ,解這個方程，得 X 3.3因為 3.3 2 3 3，所以X 3,3 J不合題意，舍去.所以X 3 3.2 .綜上所述，當 X 33.2時， PQR與矩形 ABCD重疊部分的面積等于矩形面積的第四章興趣練習4.1代數部分21.已知：拋物線y ax bx C與X軸交于A、B兩點，與y軸交于點C.其中點A在X軸的負半軸上，點 C在y軸的負半軸上，線段OA、OC的長(0A0C)是方程X2 5x 4 0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線X 1 .(1) 求A、B、C三點的坐標；(2) 求此拋物線的解析式；(3) 若點D是

50、線段AB上的一個動點(與點 A、B不重合)，過點D作DE / BC交AC 于點E,連結CD ,設BD的長為m, CDE的面積為S,求S與m的函數關系式， 并寫出自變量 m的取值范圍.S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時D點坐標；若不存在，請說明理由.1 22.已知，如圖1,過點EO, 1作平行于X軸的直線I ,拋物線y X2上的兩點 A B的4橫坐標分別為 1和4,直線AB交y軸于點F ,過點A B分別作直線I的垂線，垂足分 別為點C、D ,連接CF、DF .(1) 求點A、B、F的坐標；(2) 求證：CF DF ;1 2(3) 點P是拋物線y X對稱軸右側圖象上的一動點，過點P作PQ

51、丄PO交X軸4于點Q ,是否存在點P使得 OPQ與厶CDF相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.O X/ CED I（圖1）為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由;若存在，求出點BDCPAXQ的坐標.圖3.已知矩形紙片 OABC的長為4,寬為3 ,以長OA所在的直線為X軸，0為坐標原點建 立平面直角坐標系；點P是OA邊上的動點(與點0、A不重合)，現將 POC沿PC翻折 得到 PEC ,再在AB邊上選取適當的點 。，將厶PAD沿PD翻折，得到 PFD ,使得 直線PE、PF重合.(1) 若點E落在BC邊上，如圖，求點 P、C、D的坐標，并求過此三點的拋物線的函 數關系式；(2) 若點E落在矩形紙片 OABC的內部，如圖，設OP x，AD y當X為何值時，y 取得最大值？(3) 在(1)的情況下，過點 P、C、D三點的拋物線上是否存在點 0,使厶PDQ是以PD圖24.如圖，已知拋物線 y X 4x 3交X軸于A、B兩點，交y軸于點C, ?拋物線的對稱軸交X軸于點E,點B的坐標為(1 , 0).(1) 求拋物線的對稱軸及點 A的坐標；(2) 在平面直角坐標系 xoy中是否存在點 P,與A、B、C三點構成一個平行四邊形？若存在，請寫出點 P的坐標；若不存在，