1、StopStop 隨機變量的概念隨機變量的概念 設隨機試驗設隨機試驗E的樣本空間是的樣本空間是 ，若對每個，若對每個，有定義在，有定義在 上的一個實數上的一個實數X( )與之對應，與之對應，稱這樣一個定義在稱這樣一個定義在 上的單值實函數上的單值實函數XX( )為為隨機變量（隨機變量（Random Variable），），簡記為簡記為 r.v. X。 隨機變量一般用英文大寫字母隨機變量一般用英文大寫字母X、Y、Z等表示等表示 ，也可用希臘字母也可用希臘字母 、 、 等表示。等表示。RXvr :.Stop 一維離散型隨機變量的分布律一維離散型隨機變量的分布律 全部可能取值為有限個或可列無限個的全

2、部可能取值為有限個或可列無限個的隨隨機變量為機變量為離散型隨機變量離散型隨機變量。全部可能取值至多為可列無限個的全部可能取值至多為可列無限個的隨機變量為隨機變量為離散型隨機變量離散型隨機變量。若若X為為離散型隨機變量，離散型隨機變量，其取值為其取值為x1, x2, , xn, ，X取每個可能值的概率為取每個可能值的概率為, 2, 1,)( kxXPk, 2, 1, kxXPpkk記記為為., 2, 1,或概率分布或概率分布的分布律的分布律為為稱稱XvrkxXPpkk Stop也可表為也可表為, 2, 1,. kxXPpXvrkk的分布律的分布律X PX=xk=pk, (k=1, 2, )，X

3、x1 x2 xn P p1 p2 pn X概率分布表概率分布表或或(1) pk 0, k1, 2, ;分布律的性質分布律的性質.1)2(1 kkpStop 設袋中有設袋中有5只球，編號為只球，編號為1、2、3、4、5，在袋中同時取在袋中同時取3只球，以只球，以X表示取出的表示取出的3只球中只球中的最大號碼。試寫出的最大號碼。試寫出X的分布律。的分布律。 設設X的分布律為：的分布律為：P(X=k)=a( )k，k=1,2,3，求求a。52Stop 幾個常見的離散型分布幾個常見的離散型分布1. 退化分布退化分布(單點分布單點分布)XPXa1，其中，其中a為常數。為常數。即即X aP 1 X2. (

4、01)分布分布(兩點分布兩點分布)或或 XPXkpk(1p)1k, (0 p 1) k0，1X 0 1XP 1-p pStop3. 幾何分布幾何分布 一次試驗中只考慮某事件一次試驗中只考慮某事件A出現或不出現，出現或不出現，設設P(A)=p， P(A)=1-p。現重復獨立地做試驗，。現重復獨立地做試驗，一旦一旦A發生就立即停止試驗。發生就立即停止試驗。 以以X表示表示A首次發生所需的試驗次數，則其首次發生所需的試驗次數，則其分布率為：分布率為：XPXk (1p)k1 p, (0 p 0為常數，稱為常數，稱X服從參數為服從參數為 的的泊松泊松(Poisson)分布分布，記為，記為XP( )。St

5、op6. 負二項分布負二項分布 以以X記可列重記可列重貝努里試驗中貝努里試驗中A恰好發生恰好發生r次次所需的試驗次數，則其分布率為：所需的試驗次數，則其分布率為：,)1 (11rrkrkppC )(kXP, 2, 1, rrrk稱稱X服從參數為服從參數為(r，p)的的負二項分布負二項分布，記為，記為XNB(r，p)負二項分布又叫負二項分布又叫帕斯卡帕斯卡(Pascal)分布分布Stop7. 超幾何分布超幾何分布,nNknMNkMCCC 設設N個元素分為兩類，其中個元素分為兩類，其中M個屬于第個屬于第一類，一類，N M個屬于第二類。現從中按不重個屬于第二類。現從中按不重復抽樣取復抽樣取n個，以個

6、，以X記這記這n個中屬于第一類元個中屬于第一類元素的個數。則素的個數。則X的分布律為：的分布律為：,.,2 , 1 , 0 k )(kXP),min(Mn稱稱X服從參數為服從參數為(N，M，n)的的超幾何分布超幾何分布。Stop 常見分布律之間的關系常見分布律之間的關系1. (01)分布和二項分布的關系分布和二項分布的關系(01)分布是二項分布分布是二項分布B(n, p)中中n1時的特款。時的特款。2. 幾何分布和負二項分布的關系幾何分布和負二項分布的關系幾何分布是負二項分布幾何分布是負二項分布NB(r, p)中中r1時的特款。時的特款。Stop3. 超幾何分布和二項分布的關系超幾何分布和二項

7、分布的關系 設在超幾何分布中，設在超幾何分布中，n是一個取定的正整數，是一個取定的正整數，而而 ，則，則pNMN lim,)1 (limknkkNnNknMNkMNppCCCC k0, 1, 2, , n 當當N充分大時，超幾何分布趨向于二項分布。充分大時，超幾何分布趨向于二項分布。超幾何分布用來描述不放回抽樣的情況；超幾何分布用來描述不放回抽樣的情況；當當N充分大時，兩種抽樣方式的差別很小。充分大時，兩種抽樣方式的差別很小。而二項分布則用來描述放回抽樣的情況；而二項分布則用來描述放回抽樣的情況；Stop4. 二項分布和泊松分布的關系二項分布和泊松分布的關系 設隨機變量設隨機變量XnB(n,

8、pn), (n0, 1, 2, ), 且且 ， 為常數，則為常數，則0lim nnnp,!)1(lim ekppCkknnknknnk 0, 1, 2, 該定理也稱為該定理也稱為泊松定理泊松定理。Stop 泊松定理表明，泊松定理表明，泊松分布是二項分布的泊松分布是二項分布的極限分布，當極限分布，當n很大，很大，p很小時，二項分布就很小時，二項分布就可近似地看成是泊松分布，即可近似地看成是泊松分布，即,!)1( ekppCkknkkn其中其中 np. 一般的，當一般的，當n 10 ， p 0.1時就時就可用可用泊松分布泊松分布近似代替二項分布。近似代替二項分布。Stop 某人射擊的命中率為某人射

9、擊的命中率為0.02，他獨立射擊，他獨立射擊400次，試求其命中次數不少于次，試求其命中次數不少于2的概率。的概率。設設X表示表示400次獨立射擊中命中的次數，次獨立射擊中命中的次數，則則XB(400, 0.02)，故故PX 2 1 PX0P X110.98400(400)(0.02)(0.98399)0.997165由于由于 np(400)(0.02)8,故故0,!88 kekkXPXk近似地有近似地有PX 21 PX0P X11(18)e80.996981Stop 二維離散型隨機變量二維離散型隨機變量1. 聯合分布律聯合分布律 若二維隨機變量若二維隨機變量(X, Y )只能取至多可列個只能

10、取至多可列個值值(xi , yj ), (i , j1, 2, )，則稱，則稱(X, Y )為為二維離二維離散型隨機變量散型隨機變量。 若二維離散型隨機變量若二維離散型隨機變量(X, Y ) 取取 (xi , yj )的概的概率為率為pij ,即即 PXxi , Y yj pij ，(i , j1, 2, )則稱則稱 pij 為二維離散型隨機變量為二維離散型隨機變量(X, Y )的的分布律分布律，或隨機變量或隨機變量X與與Y的的聯合分布律。聯合分布律。可記為可記為 (X, Y ) PXxi , Y yj pij ，(i , j1, 2, )Stop聯合分布律的聯合分布律的性質性質( 1 ) p

11、ij 0 , i, j1, 2, ；1)2(11 ijijpPXxi , Y yj pij ，(i, j1, 2, )Stop 二維離散型隨機變量的聯合分布律也可列表二維離散型隨機變量的聯合分布律也可列表表示如下：表示如下：X x1 p11 p12 . p1j . x2 p21 p22 . p2j . xi pi1 pi2 . pij . y1 y2 . yj .Y.Stop 盒子里裝有盒子里裝有3只黑球，只黑球，2只紅球，只紅球，2只白球，只白球，今在其中任取今在其中任取4只球，以只球，以X表示取到黑球的數目表示取到黑球的數目，以，以Y表示取到紅球的數目。試寫出表示取到紅球的數目。試寫出X和

12、和Y的聯的聯合分布律。合分布律。Stop 邊緣分布律邊緣分布律若隨機變量若隨機變量X與與Y的聯合分布律為的聯合分布律為 (X, Y ) PXxi , Y yj pij ，(i, j1, 2, )則稱則稱 PXxi pi . ，i1, 2, 1jijp為為(X, Y )關于關于X的邊緣分布律的邊緣分布律；同理同理 PY yj p.j ，j1, 2, 1iijp稱為稱為(X, Y )關于關于Y的邊緣分布律的邊緣分布律。Stop邊緣分布律自然也滿足分布律的性質：邊緣分布律自然也滿足分布律的性質： PXxi pi . ，i1, 2, 1jijpPY yj p.j ，j1, 2, 1iijp)0(; 0

13、)1( jipp)1( .1)2(11 jjiippStop 二維離散型隨機變量的邊緣分布律也可列表二維離散型隨機變量的邊緣分布律也可列表表示如下：表示如下：.X x1 p11 p12 . p1j . x2 p21 p22 . p2j . xi pi1 pi2 . pij . y1 y2 . yj .Y.pi .p.jp1 .p2 .pi .p.1p.2p.j.1Stop PXxi pi . ，i1, 2, 1jijpPY yj p.j ，j1, 2, 1iijp 設設(X，Y )的聯合分布律為：的聯合分布律為：試求試求X和和Y的邊緣分的邊緣分布律。布律。XY 1 1 20 3 2 20121

14、1231211211221230121StopXY 1 1 20 3 2 21/12 0 3/122/12 1/12 1/123/12 1/12 01/31/31/31/21/61/31pi .p.jStop 設設(X，Y )的聯合分布律為：的聯合分布律為：XY0 1 20 1 24/16 4/16 1/164/16 2/16 01/16 0 0試求試求X和和Y的邊緣分布律。的邊緣分布律。Stop 條件分布律條件分布律設隨機變量設隨機變量X與與Y的聯合分布律為的聯合分布律為 (X, Y ) PXxi , Y yj pij ，(i, j1, 2, )X和和Y的邊緣分布律分別為的邊緣分布律分別為

15、PXxipi . ，i1, 2, 和和 PY yj p.j ，j1, 2, Stop若對固定的若對固定的 j, p. j 0, 則稱則稱|jiyYxXP ,jijpp ,jjiyYPyYxXPi= 1, 2, 為為Y yj 的條件下，的條件下，X的條件分布律。的條件分布律。記為記為 pi | j|jiyYxXP ,jijpp Stop同理，若對固定的同理，若對固定的 i , pi . 0, 則稱則稱Pj | i,| iijijppxXyYPj= 1, 2, 為為X xi的條件下，的條件下，Y的條件分布律。的條件分布律。條件分布律也滿足分布律的性質。條件分布律也滿足分布律的性質。Stop 一射手

16、進行射擊，命中目標的概率為一射手進行射擊，命中目標的概率為p (0 p 1)，射擊進行到命中目標兩次為止，現，射擊進行到命中目標兩次為止，現用用X 表示首次命中目標所進行的射擊次數，用表示首次命中目標所進行的射擊次數，用Y 表示總共進行的射擊次數。試求表示總共進行的射擊次數。試求X 和和Y 的聯的聯合分布律及條件分布律。合分布律及條件分布律。由題意知（由題意知（X，Y）的分布律為）的分布律為PX=m , Y=n p 2 (1p) n 2n=2, 3, ，m=1, 2, , n1；X服從參數為服從參數為p的幾何分布，的幾何分布， 其分布律為其分布律為PX=m p (1p) m 1， m=1, 2

17、, StopY服從參數為服從參數為 (2, p)的負二項分布，的負二項分布， 其分布律為其分布律為PY=n(n1)p2(1p)n2， n=2, 3, (X和和Y的邊緣分布律也可由聯合分布律求得的邊緣分布律也可由聯合分布律求得)于是當于是當n=2, 3, 時時Pm |nPX=m|Y=n ,nYPnYmXP 2222)1 () 1()1 ( nnppnpp,11 nm1, 2, ,n1Stop當當m=1, 2, 時時Pn | mPY=n|X=m ,mXPnYmXP 122)1 ()1 ( mnpppp,)1 (1 mnppnm+1, m+2, Stop 離散型隨機變量的相互獨立性離散型隨機變量的相

18、互獨立性設隨機變量設隨機變量X與與Y的聯合分布律為的聯合分布律為 (X, Y ) PXxi , Y yj pij ，(i, j1, 2, )若對若對任意的任意的 i、j，有，有pij pi . p. j，即即 PXxi , Y yj PXxi PY yj 則稱隨機變量則稱隨機變量X與與Y相互獨立相互獨立。Stop 將兩封信投入將兩封信投入3個編號為個編號為1、2、3的信箱，的信箱，用用X、Y分別表示投入第分別表示投入第1、2號信箱的信的數號信箱的信的數目，試判斷目，試判斷X與與Y是否獨立？為什么？是否獨立？為什么？Stop 上述獨立的概念不難推廣到上述獨立的概念不難推廣到n維離散型隨機變維離散

19、型隨機變量的情形。量的情形。設設X1，X2， , Xn 為一個為一個n維離散型隨機變量，維離散型隨機變量，若對任意的若對任意的 x1，x2， , xn 有有:PX1= x1 , X2= x2 , , Xn = xn = PX1= x1PX2= x2 PXn = xn 則稱隨機變量則稱隨機變量X1，X2， , Xn相互獨立相互獨立。Stop以以 X 記記 n 重重貝努里試驗中貝努里試驗中A發生的次數，則發生的次數，則XB(n，p)若記若記 iX若在第若在第 i 次試驗中次試驗中 A 發生；發生；若在第若在第 i 次試驗中次試驗中 A 不發生。不發生。ni, 2 , 1 X 0 1iXP 1-p

20、p相互獨立相互獨立且且nXXX,21于是有：于是有：則則分分布布相相互互獨獨立立且且服服從從同同一一若若,)10(,.21 nXXXvr1 niiXB(n，p)1,0,nXXXX 21Stop 離散型隨機變量函數的分布律離散型隨機變量函數的分布律1. 一維離散型隨機變量函數的分布律一維離散型隨機變量函數的分布律 設設X一個隨機變量，若一個隨機變量，若 yg(x)是一元單值實是一元單值實函數，則函數，則Yg(X )也是一個隨機變量。也是一個隨機變量。若若 XPXxk pk , k1, 2, 則則Yg(X) PYg(xk )pk ， k1, 2, 其中其中g(xk )有相同的，其對應概率合并。有相同的，其對應概