1、立體幾何中的向量立體幾何中的向量(xingling)方法第七課方法第七課時時第一頁，共17頁?？臻g空間(kngjin)“距離距離”問題問題1. 空間空間(kngjin)兩點兩點之間的距離之間的距離 根據兩向量數量積的性質和坐標運算，根據兩向量數量積的性質和坐標運算，利用公式利用公式 或或 (其中其中 ) ，可將兩點距離問題，可將兩點距離問題轉化為求向量模長問題轉化為求向量模長問題2aa222zyxa),(zyxa第1頁/共17頁第二頁，共17頁。 例例1：如圖：如圖1：一個結晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點：一個結晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點A為端為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都

2、是點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60，那么以這個，那么以這個(zh ge)頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關系？頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關系？ A1B1C1D1ABCD圖圖1解解:如圖如圖1,不妨不妨(bfng)設設11 ABAAAD，1160BAADAA 化為向量化為向量(xingling)問題問題依據向量的加法法則依據向量的加法法則，11ACABADAA 進行向量運算進行向量運算2211()ACABADAA 2221112()ABADAAAB ADAB AAAD AA 1112(cos60cos60cos60 ) 6 所以所以1|6AC 回到圖形問題回到圖

3、形問題這個晶體的對角線這個晶體的對角線 的長是棱長的的長是棱長的 倍倍。1AC6BAD第2頁/共17頁第三頁，共17頁。思考思考(sko)(sko)：（1）本題）本題(bnt)中四棱柱的對角線中四棱柱的對角線BD1的長與棱長有什么關系？的長與棱長有什么關系？ （2 2）如果一個四棱柱的各條棱長都相等，并且以）如果一個四棱柱的各條棱長都相等，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于(dngy) , (dngy) , 那么有這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長嗎那么有這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長嗎? ?aA1B1C1D1ABCD11BBBCBABD 60 12

4、0 11BCBABBABC，其中其中分析分析:分析分析:1111 DAABAABADxAAADABmAC，設11 AAADABAC 則由則由)(211212221AAADAAABADABAAADABAC )cos3 ( 23 222xxm即mxcos631 這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長。這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長。第3頁/共17頁第四頁，共17頁。A1B1C1D1ABCDH 分析：面面距離分析：面面距離(jl)轉化為點面距離轉化為點面距離(jl)來求來求. 11HACHAA于于點點平平面面點點作作過過 解：解：. 1的的距距離離為為所所求求相相對對兩兩個個面面之之間間則則HA11

5、1 AAADABBADADAABA 且且由由. 上上在在 ACH22()112cos603 3ACABBCAC 1111()cos60cos601.AAACAAABBCAAABAABC 1111 cos| |3AAACA ACAAAC 36sin 1 ACA36sin 111 ACAAAHA 所求的距離所求的距離(jl)是是6 .3 思考思考(3)(3)本題的晶體中相對的兩個平面本題的晶體中相對的兩個平面(pngmin)(pngmin)之間的距離是多少之間的距離是多少? ? 如何用向量法求點到平面的距離如何用向量法求點到平面的距離?第4頁/共17頁第五頁，共17頁。 n A P O 2、向量法

6、求點到平面、向量法求點到平面(pngmin)的距離：的距離：|A P|ndn 第5頁/共17頁第六頁，共17頁。例例 2:2: 如圖，已知正方形如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為的邊長為 4，E、F 分分別是別是 AB、AD 的中點，的中點，GC平面平面 ABCD，且，且 GC2，求點求點 B 到平面到平面 EFG 的距離的距離. DABCGFExyz第6頁/共17頁第七頁，共17頁。DABCGFExyz(2, 2,0),( 2, 4,2),EFEG nEF nEG ，|BE|2 11.11ndn 2202420 xyxyZ 1 1(,1),3 3n B(2,0,0)E 例例 2 2: :

7、如圖，已知正方形如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為的邊長為 4，E、F 分分別是別是 AB、AD 的中點，的中點，GC平面平面 ABCD，且，且 GC2，求點求點 B 到平面到平面 EFG 的距離的距離. 第7頁/共17頁第八頁，共17頁。1答案答案(d n)2答答案案(d n)APDCBMN2.(2.(課本第課本第107107頁練習頁練習2)2)如圖，如圖，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有A A、B B兩點，直線兩點，直線(zhxin)AC(zhxin)AC、BDBD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直ABAB，已知，已知ABAB4 4，

8、ACAC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的長的長. . BACD 第8頁/共17頁第九頁，共17頁。1.1.如圖如圖, ,ABCD是矩形是矩形, ,PD 平面平面ABCD, ,PDDCa, ,2ADa , , 、MN分別是分別是、ADPB的中點的中點, ,求點求點A到平面到平面MNC的距離的距離. . APDCBMNzxy解：如圖解：如圖, ,以以D D為原點建立空間直角坐標系為原點建立空間直角坐標系D Dxyzxyz 則則D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0

9、,0, )2aa2aaa第9頁/共17頁第十頁，共17頁。 2. 2.如圖，如圖，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有A A、B B兩點，直線兩點，直線ACAC、BDBD分別在這個二面角的兩個分別在這個二面角的兩個(lin )(lin )半平面內，且都半平面內，且都垂直垂直ABAB，已知，已知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的長的長. . BACD 第10頁/共17頁第十一頁，共17頁。 3如圖 3-5，已知兩條異面直線所成的角為， 在直線 a、b 上分別取 E、F，已知 AE=m，AF=n， EF=l，求公垂線 A A的長 d. EFEAA AAF 解：22

10、()EFEAA AAF 2222()EAA AAFEA A AEA AFA A AF 當當E,FE,F在公垂線同一側時取負號在公垂線同一側時取負號當當d d等于等于(dngy)0(dngy)0是即為是即為“余弦定理余弦定理”,AAEA AAAF =（或（或），），AFEA, 22222lEAA AAFEA AF 2222cosmdnmn 2222cosdlmnmn 第11頁/共17頁第十二頁，共17頁。 n A P O 2、向量、向量(xingling)法求點到平法求點到平面的距離：面的距離：|A P|ndn 第12頁/共17頁第十三頁，共17頁。3. 異面直線異面直線(zhxin)間的距間的

11、距離離 P、A分別是 上任一點，則 間的距離可轉化為向量 在n上的射影長，故設 為兩異面直線，其公共法向量為 n,21, ll21,ll21,llAP A A P Pn nd dn nn1l2l1lPA第13頁/共17頁第十四頁，共17頁。例例3第14頁/共17頁第十五頁，共17頁。zxyABCC1).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(,1BAECxyzC則解：如圖建立坐標系),4 , 2 , 2(),0 , 1 , 1 (1BAEC則的公垂線的方向向量為設).,(,1zyxnBAEC100n CEn AB 即即02240 xyxyz取x=1,z則y=-1,z=1,所以) 1 , 1, 1 ( n).0,0, 1 (,ACAC在兩直線上各取點1|2 3.|3n CACEABdn 與與的的距距離離EA1B1第15頁/共17頁第十六頁，共17頁。 1、E為平面為平面外一點外