1、人教版八年級數(shù)學(xué)人教版八年級數(shù)學(xué) 上冊上冊13.1 軸對稱軸對稱 （第（第2課時(shí)）課時(shí)）你能用不同的方法驗(yàn)證你能用不同的方法驗(yàn)證這一結(jié)論嗎這一結(jié)論嗎？探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)如圖，直線如圖，直線l 垂直平分線段垂直平分線段AB，P1，P2，P3，是是l 上的點(diǎn)，請猜想點(diǎn)上的點(diǎn)，請猜想點(diǎn)P1，P2，P3， 到點(diǎn)到點(diǎn)A 與點(diǎn)與點(diǎn)B 的的距距離之間的數(shù)量關(guān)系離之間的數(shù)量關(guān)系相相等等 ABlP1P2P3探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì) 請?jiān)趫D中的直線請?jiān)趫D中的直線l 上任取一點(diǎn)，那么這一點(diǎn)與線段上任取一點(diǎn)，那么這一點(diǎn)與線段AB 兩個(gè)端點(diǎn)的

2、距離相等嗎？兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等嗎？ 線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等ABlP1P2P3已知：已知：如圖，直線如圖，直線lAB，垂足為，垂足為C，AC = =CB，點(diǎn)，點(diǎn)P 在在l 上上求證：求證：PA = =PB探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)命題：命題：“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等離相等”ABPCl探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)用符號語言表示為：用符號語言表示為： CA = =CB，lAB， PA = =PBABPCl證

3、明證明：lAB， PCA =PCB= 90 在在APC與與BPC中中 PC=PC（公共邊）（公共邊） PCA=PCB（已證）（已證） AC=BC（已知）（已知） PCA PCB（SAS） PA = =PB(全等三角形的對應(yīng)邊相等全等三角形的對應(yīng)邊相等)探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線的性質(zhì)： 線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等相等提示提示: :這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等兩條線段相等的根據(jù)之一的根據(jù)之一. .8課堂練習(xí)課堂練習(xí)練習(xí)練習(xí)1如圖，在如

4、圖，在ABC 中，中，BC = =8，AB 的中垂線的中垂線 交交BC于于D，AC 的中垂線交的中垂線交BC 與與E，則，則ADE 的周長等的周長等 于于_A B C D E 解：解：ADBC，BD = =DC， AD 是是BC 的垂直平分線，的垂直平分線， AB = =AC 點(diǎn)點(diǎn)C 在在AE 的垂直平的垂直平 分線上，分線上， AC = =CE課堂練習(xí)課堂練習(xí)練習(xí)練習(xí)2如圖，如圖，ADBC，BD = =DC，點(diǎn)點(diǎn)C 在在AE 的的垂直平分線上，垂直平分線上，AB，AC，CE 的長度有什么關(guān)系？的長度有什么關(guān)系？AB+ +BD與與DE 有什么關(guān)系有什么關(guān)系？A B C D E AB = =AC

5、 = =CE AB = =CE，BD = =DC， AB + +BD = =CD + +CE 即即AB + +BD = =DE 例例1 1、如圖，在如圖，在ABC中，中，ED垂直平分垂直平分AB，1) 若若BD10，則，則AD= 。2) 若若A50 ，則，則ABD 。3) 若若AC14，BCD的周長為的周長為24，則，則BC= 。1050 10 高高 速速 公公 路路AB 在某高速公路在某高速公路L L的同側(cè)，有兩個(gè)工廠的同側(cè)，有兩個(gè)工廠A A、B B，為了便，為了便于兩廠的工人看病，市政府計(jì)劃在公路邊上修建一所醫(yī)于兩廠的工人看病，市政府計(jì)劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個(gè)工廠的工人都沒意見，

6、問醫(yī)院的院址應(yīng)選院，使得兩個(gè)工廠的工人都沒意見，問醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處？你的方案是什么在何處？你的方案是什么? ?生活中的數(shù)學(xué)生活中的數(shù)學(xué)L探索并證明線段垂直平分線的判定探索并證明線段垂直平分線的判定反過來，如果反過來，如果PA = =PB，那么點(diǎn)，那么點(diǎn)P 是否在線段是否在線段AB 的的 垂直平分線上呢？垂直平分線上呢？點(diǎn)點(diǎn)P 在線段在線段AB 的垂直平分線上的垂直平分線上 已知：如圖，已知：如圖，PA = =PB求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P 在線段在線段AB 的垂直平的垂直平分線上分線上PAB C 探索并證明線段垂直平分線的判定探索并證明線段垂直平分線的判定證明：證明：過點(diǎn)過點(diǎn)P 作線段作線段AB

7、的垂線的垂線PC，垂足為垂足為C則則PCA = =PCB = =90在在RtPCA 和和RtPCB 中，中，PA = =PB，PC = =PC， RtPCA RtPCB（HL） AC = =BC又又 PCAB， 點(diǎn)點(diǎn)P 在線段在線段AB 的垂直平分線上的垂直平分線上PAB C 探索并證明線段垂直平分線的判定探索并證明線段垂直平分線的判定用數(shù)學(xué)符號表示為用數(shù)學(xué)符號表示為：PA = =PB，點(diǎn)點(diǎn)P 在在AB 的垂直平分線上的垂直平分線上與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上線上PAB C 這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？這些點(diǎn)能組成什

8、么幾何圖形？ 探索并證明線段垂直平分線的判定探索并證明線段垂直平分線的判定你能再找一些到線段你能再找一些到線段AB 兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎？兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎？ 能找到多少個(gè)到線段能找到多少個(gè)到線段AB 兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)？兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)？ 在線段在線段AB 的垂直平分線的垂直平分線l 上的上的點(diǎn)與點(diǎn)與A，B 的距離都相等；反過來，的距離都相等；反過來，與與A，B 的距離相等的點(diǎn)都在直線的距離相等的點(diǎn)都在直線l上，所以直線上，所以直線l 可以看成與兩點(diǎn)可以看成與兩點(diǎn)A、B 的距離相等的所有點(diǎn)的集合的距離相等的所有點(diǎn)的集合PAB C 性質(zhì)：在線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離都相等。

9、判定：與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)都在線段的垂直平分線上。線段垂直平分線的集合定義： 線段垂直平分線可以看作是線段垂直平分線可以看作是與與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的的所有點(diǎn)的集合。集合。辨析：辨析：線段垂直平分線的性質(zhì)與判定定理的區(qū)別線段垂直平分線的性質(zhì)與判定定理的區(qū)別 二者是互逆定理，線段垂直平分線的性質(zhì)定理的二者是互逆定理，線段垂直平分線的性質(zhì)定理的已知條已知條件是線段垂直平分線件是線段垂直平分線，結(jié)論是垂直平分線上的點(diǎn)與這條結(jié)論是垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩端點(diǎn)的距離相等線段兩端點(diǎn)的距離相等 線段垂直平分線的判定定理的線段垂直平分線的判定定理的已知條件是一個(gè)點(diǎn)與一線

10、已知條件是一個(gè)點(diǎn)與一線段兩端點(diǎn)的距離相等段兩端點(diǎn)的距離相等，結(jié)論是這個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分結(jié)論是這個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上線上 線段垂直平分線的線段垂直平分線的性質(zhì)是解決線段相等問題的一種重要性質(zhì)是解決線段相等問題的一種重要方法；方法；線段垂直平分線的判定可用來證明兩線的位置關(guān)線段垂直平分線的判定可用來證明兩線的位置關(guān)系（垂直平分）系（垂直平分） 3 3、如圖，、如圖， ABMND解：解：AB = =AC，點(diǎn)點(diǎn)A 在在BC 的垂直平分線的垂直平分線MB = =MC，點(diǎn)點(diǎn)M 在在BC 的垂直平分線上，的垂直平分線上，直線直線AM 是線段是線段BC 的垂直的垂直 平分線平分線課堂練習(xí)課堂練習(xí)練習(xí)練習(xí)

11、3如圖，如圖，AB = =AC，MB = =MC直線直線AM 是線段是線段 BC 的垂直平分線嗎的垂直平分線嗎？A B C D M 在在ABCABC中，中，PDPD，PEPE分別是分別是ABAB，ACAC的垂的垂直平分線，并相交于點(diǎn)直平分線，并相交于點(diǎn)P P，求證：點(diǎn)，求證：點(diǎn)P P也在也在BCBC的垂直平分線上。的垂直平分線上。知識應(yīng)用知識應(yīng)用PDEABC點(diǎn)點(diǎn)P在在BC的垂直平分線上。的垂直平分線上。（和一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線（和一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。）段的垂直平分線上。）ABCPD證明證明：連結(jié)連結(jié)PB。 PD是是AB的垂直平分線的垂直

12、平分線（已知）（已知） PA=PB（線段的垂直平分線（線段的垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的上的點(diǎn)和這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等距離相等） PA=PC（已知）（已知） PB=PC（等量代換）（等量代換） 某區(qū)政府為了方便居民的生某區(qū)政府為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A A、B B、C C之間修建一個(gè)購物中心，試問，之間修建一個(gè)購物中心，試問，該購物中心應(yīng)建于何處，才能該購物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等。使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等。ABC思考：生活中的數(shù)學(xué)思考：生活中的數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖如何用尺規(guī)作圖的方法經(jīng)過直線外一點(diǎn)作已知直線如何用尺規(guī)

13、作圖的方法經(jīng)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的垂線？CABKFDE已知：直線已知：直線ABAB和和ABAB上一點(diǎn)上一點(diǎn)C C（如圖）（如圖）求作：求作：ABAB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C C作法：作法：（1）任意取一點(diǎn)）任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)，使點(diǎn)K和點(diǎn)和點(diǎn)C在在AB的兩旁。的兩旁。（2）以點(diǎn)）以點(diǎn)C為圓心，為圓心，CK為半徑作弧，交為半徑作弧，交AB于點(diǎn)于點(diǎn)D和和E。（3）分別以點(diǎn)）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)和點(diǎn)E為圓心，大于為圓心，大于1/2DE的長為半徑作的長為半徑作 弧，兩弧相交于點(diǎn)弧，兩弧相交于點(diǎn)F。（4）作直線）作直線CF。直線直線CF就是所求作的垂線。就是所求作的垂線。 問題思考：問題思

14、考：既然軸對稱圖形的對稱軸是任何既然軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對稱點(diǎn)所連線段的垂直平分線，那么軸對稱一對對稱點(diǎn)所連線段的垂直平分線，那么軸對稱圖形的對稱軸如何來作呢？圖形的對稱軸如何來作呢？ 只要我們找到一對對應(yīng)只要我們找到一對對應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這垂直平分線，就可以得到這兩個(gè)圖形的對稱軸了兩個(gè)圖形的對稱軸了如何作出線段的垂直平分線？如何作出線段的垂直平分線？ 由兩點(diǎn)確定一條直線和線段垂直平分線的性質(zhì)可知，由兩點(diǎn)確定一條直線和線段垂直平分線的性質(zhì)可知，只要作出到線段兩端點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)并連接即可只要作出到線段兩端點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)并連接即可

15、 如圖，如圖，已知線段已知線段ABAB，用直尺和圓規(guī)作，用直尺和圓規(guī)作AB AB 的垂直平分線的垂直平分線. .AB分別以點(diǎn)分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大為圓心，以大于于 AB的長為半徑作弧，兩弧的長為半徑作弧，兩弧相交于相交于C、D兩點(diǎn)；兩點(diǎn)； 作直線作直線CD . CD即為所求的直線即為所求的直線.21尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖結(jié)論：結(jié)論：對于軸對稱圖形，只要找到任意一組對應(yīng)點(diǎn)，作出對對于軸對稱圖形，只要找到任意一組對應(yīng)點(diǎn)，作出對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸. .1.1.下圖中的五角星有幾條對稱軸？作出下圖中的五角星有幾條對稱軸？作出這些對

16、稱軸這些對稱軸 A AB B作法：作法：（1 1）找出五角星的一對）找出五角星的一對對應(yīng)點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)A A和和B B，連接，連接ABAB（2 2）作出線段）作出線段ABAB的垂直平分線的垂直平分線n n則則n n就是這個(gè)五角星的一條對稱軸就是這個(gè)五角星的一條對稱軸 n n用同樣的方法，可以找出五條對稱軸，所以五角星有用同樣的方法，可以找出五條對稱軸，所以五角星有五五條條對稱軸對稱軸 【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練】 如圖，如圖，A、B表示兩個(gè)倉庫，要在表示兩個(gè)倉庫，要在A、B一側(cè)的河一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉庫的距離相等岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置？說說理由，碼頭

17、應(yīng)建在什么位置？說說理由. 碼頭應(yīng)建在線段的垂直平分線與碼頭應(yīng)建在線段的垂直平分線與A，B一側(cè)的河岸邊的交一側(cè)的河岸邊的交點(diǎn)上理由是線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)上理由是線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等點(diǎn)的距離相等應(yīng)用新知，解決問題應(yīng)用新知，解決問題如圖，如圖，A A，B B是路邊兩個(gè)新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個(gè)是路邊兩個(gè)新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個(gè)公共汽車站公共汽車站. .使兩個(gè)小區(qū)到車站的路程一樣長，該公共汽使兩個(gè)小區(qū)到車站的路程一樣長，該公共汽車站應(yīng)建在什么地方？車站應(yīng)建在什么地方？BA【提示提示】連接連接ABAB，作，作ABAB的垂直平分線，則與公路的的垂直平分

18、線，則與公路的交點(diǎn)就是要建的公共汽車站交點(diǎn)就是要建的公共汽車站. .有有A A，B B，C C三個(gè)村莊，現(xiàn)準(zhǔn)備要建一所學(xué)校，要求學(xué)校三個(gè)村莊，現(xiàn)準(zhǔn)備要建一所學(xué)校，要求學(xué)校到三個(gè)村莊的距離相等，請你確定學(xué)校的位置到三個(gè)村莊的距離相等，請你確定學(xué)校的位置. .A AB BC C【提示提示】學(xué)校在連接任意兩學(xué)校在連接任意兩點(diǎn)的兩條線段的垂直平分線點(diǎn)的兩條線段的垂直平分線的交點(diǎn)處的交點(diǎn)處. .1.1.（臨沂（臨沂中考）正方形中考）正方形ABCDABCD邊長為邊長為a a，點(diǎn)，點(diǎn)E E，F(xiàn) F分別是對角分別是對角線線BDBD上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)E E，F(xiàn) F分別作分別作ADAD，ABAB的平行線，如圖所示，的平行線，如圖所示，則圖中陰影部分的面積之和等于則圖中陰影部分的面積之和等于 【解析解析】運(yùn)用軸對稱、轉(zhuǎn)化的思想，陰運(yùn)用軸對稱、轉(zhuǎn)化的思想，陰影部分面積等于正方形面積的一半，即影部分面積等于正方形面積的一半，即 . .答案：答案：21a221a22.2.如圖，若如圖，若AC=12AC=12，BC=7BC=7，ABAB的垂直平分線交的垂直平分線交ABAB于于E E，交，交ACAC于于