1、高二數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共12小題,每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 ，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1 .拋物線y 2x2的準(zhǔn)線方程為B.C. x-1D. x 一82 .給出四個(gè)條件：2ac12-bc ,、一b2；jajb,其中能分別成為a>b的11充分條件的個(gè)數(shù)為A. 03,圓 x22xB. 14y 10關(guān)于直線2axD. 3by 2 0對(duì)稱(chēng)，則ab的最大值為A. 1已知點(diǎn)Am+Bn+C 的值2M(m,n)在直線 l:Ax+By+C=0(AB()4w 0）的右下方，則A .與A同號(hào)，與B同號(hào)B .與A同號(hào)，與B異號(hào) C.與A異號(hào)，與B異號(hào)D.與A異號(hào)，與B同號(hào)5 .如

2、圖，在 ABC 中，/ CAB= / CBA=30,AC、BC邊上的高分別為BD、AE,則以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)D、E的橢圓與雙曲線的離心率的倒數(shù)和為A. 33B. 1C. 2V3D.6 .直線x-y-1=0與實(shí)軸在y軸上的雙曲線在以原點(diǎn)為中心，邊長(zhǎng)為 則m的取值范圍為A. 0<m<1B . m<07 .直線 xcos、.3y 232y m(m 0)的父點(diǎn)ACyLDMx2且各邊分別平行于坐標(biāo)軸的正方形內(nèi)部（）C. - 1<m<0 D . m<-10的傾斜角的范圍是一55A. 7,7B- 0,7C- 0,T UV, ）D.二，工6 66666 68.已知點(diǎn) A（

3、1,2）,過(guò)點(diǎn)（5,- 2）且斜率為k的直線與拋物線y2=4x交于B、C兩點(diǎn)，那么ABC（）A .是銳角三角形B.是鈍角三角形C.是直角三角形 D.的形狀與k值有關(guān)22x y ,9.設(shè) Fp F2是雙曲線一二 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) P在雙曲線上，且4 bF1PF2 90°心F1PF2的面積為1,則正數(shù)b的值為（）A.而B(niǎo). 2 C. 5 D. 12_210 .右不等式x 2x a y 2y對(duì)一切實(shí)數(shù)x, y恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. a >1 B, a< 1 C, a >2 D . a <2 211 .已知A、B分別為橢圓x2 y 1的左、右頂點(diǎn)，P是橢

4、圓上第一象限的任一點(diǎn)，若/2PAB= o, / PBA= 8 則必有（）A . 2tan a+cot 爐0B . 2tan a- cot 出0 C . tan o+2cot 出0 D . tan a- 2cot 出02212 .已知平面上點(diǎn)PC（x, y）|（x 2cos ）2 （y 2sin ）2 16, R,則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P在平面上所形成圖形的面積是（）A. 36兀B. 32 兀C. 16兀D. 4兀二、填空題：本大題共 4小題，每小題4分，共16分.將答案填在題中的橫線上.13 .不等式x2 2x 1 2的解集是.14 .圓x2 y2 4x 2y c 0與y軸交于A、B兩點(diǎn)，圓心為P,若

5、 APB 90o,則c的 值為15 .設(shè)z 2x y,式中x,y滿(mǎn)足約束條件 是一 22x y16 .已知 Fi、F2分別是雙曲線 a bx y 0,日22 則z的最小值是 ,最大值x2 y2 1.1的左、右焦點(diǎn),P是雙曲線上任意一點(diǎn)，若2|PF2 1的最小值為8a,則此雙曲線的離心率 e的取值范圍是IPFiI三、解答題：本大題共 6小題，共74分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17 .（本小題滿(mǎn)分12分） n n已知正數(shù)a,b滿(mǎn)足a+b=1,且nCN*,求證：an 1 bn 1 a218 .（本小題滿(mǎn)分12分）已知P（2, 0）, Q（8, 0）,點(diǎn)M到點(diǎn)P的距離是它到點(diǎn) Q的距離

6、的1 ,求點(diǎn)M的軌跡方程2并求軌跡上的點(diǎn)到直線l: 2xy5班=0的最小距離.19 .（本小題滿(mǎn)分12分）已知過(guò)點(diǎn)（1, 6）的直線l與拋物線y2 4x交于9A、B兩點(diǎn)，若以P（一,0）為圓心的圓恰好過(guò) A、B點(diǎn)，求直2線l的方程.20 .(本小題滿(mǎn)分12分)2X 2設(shè)雙曲線C： f y 1(a 0)與直線l： x y 1 a相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A B.(I)求雙曲線C的離心率e的取值范圍；uuu 5 uur(II)設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P,且PA ?PB,求a12的值.21.(本小題滿(mǎn)分12分)某電器商場(chǎng)擬舉辦家電促銷(xiāo)活動(dòng)，活動(dòng)前準(zhǔn)備從廠家分批購(gòu)入每臺(tái)價(jià)格為2000元的某品牌空調(diào)共 3600臺(tái)

7、，每批都購(gòu)入x臺(tái)，且每批均付運(yùn)費(fèi)400元.整個(gè)活動(dòng)期間所付一 1 一 ,，一 一儲(chǔ)存該空調(diào)的全部保管費(fèi)是購(gòu)買(mǎi)一批空調(diào)所付貨款的.現(xiàn)商場(chǎng)有專(zhuān)項(xiàng)資金 22000元20準(zhǔn)備用于支付該空調(diào)的全部運(yùn)費(fèi)及活動(dòng)期間的全部保管費(fèi).問(wèn)這筆專(zhuān)項(xiàng)資金是否夠用？如果不夠用，至少還需要多少資金？22.(本小題滿(mǎn)分14分)有對(duì)稱(chēng)中心的曲線叫做有心曲線，顯然圓、橢圓、雙曲線都是有心曲線.過(guò)有心曲線的中心的弦叫有心曲線的直徑，(為研究方便，不妨設(shè)直徑所在直線的斜率存在)222定理：過(guò)圓X y r ,(r0)上異于直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)連線，則兩條連線的斜率之積為定值-1.2X(I)寫(xiě)出該定理在橢圓 吃a(H

8、)寫(xiě)出該定理在雙曲線中2 y b22X2a1(a b 0)中的推廣，并加以證明;2J 1(a 0,b 0)的推廣；你能從上述結(jié)論得 b2到有心圓錐曲線(包括橢圓、雙曲線、 圓)的一般性結(jié)論嗎？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論、選擇題B.2.C.3.C.5.6.7.8.y1參考答案21、，、/拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為 X 萬(wàn)y,準(zhǔn)線方程為y 能分別成為a>b的充分條件.a b、21由圓的對(duì)稱(chēng)性知圓心 (-1,2)在直線上，.-2a-2b+2=0，即a+b=1,故ab () 一24ABB .結(jié)合圖形信息知，CA0,，又原點(diǎn)O與點(diǎn)M在直線L的異側(cè)，0,C(Am Bn C) 0,故 Am+Bn+C 與 B、C 異號(hào)，與

9、A 同號(hào).A.設(shè)心率為C.由AB=2 c,貝U2c(=3 1)c又雙曲線焦點(diǎn)在C.設(shè)傾斜角為2一 ,yc.由y4x, k(x4y2 k,y1y2kBA kCAyy2 2(yAE=BD= c,AD=BE= V3 G橢圓離心率為2,故離心率的倒數(shù)和為木3 10,得交點(diǎn)坐標(biāo)為cm+1m1),解不等式組y 軸上，知 m<0,故-1<m<0.9,則 tancos ，故0得 ky2 4y 20k5) 2,迎8,記kBAy2) 4X|X2 (X| x2) 1fkAX1 1yy2 2(y y2)2 2y y2169. D.設(shè)PF1 = m,PF2=n,則由題設(shè)知2c(31)c2， 一雙曲線離

10、3 1t 5一，或660 ,設(shè) B(X1,y1),C(X2,y2),則y2 2y,則x2 12(X y2) 2y1y2mnn 4, n2 4(4 2,1,得-1<m<1.1,16一2-匕1.故 BA ± CA .16k 16kk2b2),解得 b=1.16. (1,3.2 | PF2 |2IPFiI22(2a | PFi |)24a2ZTZ| PF1 | PFi | PFi |4a8a ,當(dāng)|PF1|=2a時(shí)取等號(hào).因此10. C.由(x 1)2 (y 1)2 2 a 恒成立知，2 a 0,即 a>2.11. D.考慮極端位置，當(dāng)P點(diǎn)落在上頂點(diǎn)時(shí),有tanJ2,co

11、t2cot 3=0 成立.12. B. P點(diǎn)是以(2cos%2sina)為圓心，4為半徑的圓周上的點(diǎn)，而當(dāng)“在R上變化時(shí)，點(diǎn)(2cos«,2sin “)又是以(0,0)為圓心，2為半徑的圓周上的點(diǎn)，故當(dāng)圓心在半徑為2的圓周上變化時(shí)，P點(diǎn)的軌跡形成一個(gè)內(nèi)圓半徑為2,外圓半徑為6的圓環(huán).故面積為36 tt-4 7=32兀二、填空題13. x|-1<x<3,且 xw 1.2214. 3.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 2) (y 1)5 c,在等腰直角三角形PAB中，由P到y(tǒng)軸的距離為2,知半徑=2也，解5-c=8,得c=-3.15. , J5 .如圖，作出約束條件確定的可行域，在A點(diǎn)處有

12、最小值，在B點(diǎn)處有最大值c應(yīng)有 c-a< 2a,即 e=aw 農(nóng) e>1,故 1<ew 3三、解答題17. 證明：a、b為正數(shù)且a+b=1, .原不等式等價(jià)于(an bn)(a b) 2( an 1 bn1).n nn 1 nnn n 1 n 1nn、(a b )(a b) 2(a b ) a b ab a b (a b)(b a )當(dāng) a>b 時(shí)，a b>0, an> bn,即 bn an< 0, (a b)( bn an)< 0,當(dāng) avb 時(shí)，a- b< 0, an< bn,即 bn- an>0,，(a b)( bn- a

13、n) v 0,(anbn)(a b) 2( an 1bn 1)因此(an bn)(a b)- 2( an 1 bn 1) w 0即，原不等式成立.18.解：設(shè)M(x,y),則依條件得(x 2)2 (y 0)2,(x 8)2 (y 0)2兩邊平方，整理得x2y2設(shè)圓：x2 y2 16的圓心1216,這就是所求的軌跡方程.O到直線l: 2x-y-5V5= 0的距離為d,則故圓上的點(diǎn)到直線l: 2x y54=0的最小距離為d-4=1.19.解：由題設(shè)，直線l的斜率必存在且不為 0,設(shè)斜率為k,則l的方程為:y k(x 1) 6,y k(x 1) 6, t _ 2 22由 2消去 y 得 kx 2k(

14、k 6) 4x (k 6)0y 4x“222 2 k(k 6) 4 4k (k 6)04 2k(k 6)解得3聞 k 3炳,且k 0.2,2,設(shè) A(xi,y1)，B(x2, y?),則 V 4x1，y? 4x?, x x?由題意知 AP BP,得(xi 9)2 y； (x2 9)2 y22,22,9、2,9、2x25)0,(x1 )(x2 )4為 4x2 0,即(x1 x2)(x122x1x2,x1x25,2解得k 2或k 2 (7所求的直線方程為 y27 2x4 2k(k 6), k1,3 710，舍去), 4 .(注：另可利用AB20.解：(I)由2 x-2 a的中點(diǎn)，及垂徑分弦定理求解

15、)y2 1,C與l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組x y 1.有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理得(1 a2)x2 2a2x 2a2 0 1 a2 0 4a4 8a2(1 a2) 0解得0 a .2且a 1.雙曲線的離心率e 1 a , 12 1 , a 1, aQ 0 a &且 aw1 e 6且 e 72, 2.6 .即離心率e的取值范圍是(、6, J2) U (J2,). 2(H)設(shè) A(x1,y) B(x2,y2), P(0,1),5x2 .12uuu 5 uuu5Q PA PB,國(guó)$1) (x2,y2 1).由此得 x1 1212xx2由于x1, x2都是方程的根，且1 a20,2

16、a21 a2 2a21 a217一x2125 2 x?122a21 a22a21 a2x2 x22,x2 0 (舍)或 x2 17 ,121252 a2289 , 一2 由a 0,所以a1 a 60171321.解：設(shè)該空調(diào)的全部運(yùn)費(fèi)及活動(dòng)期間的全部保管費(fèi)共y元，則由題意，得3600y 400x3600 4100(x1 (2000x)203600 400 100xx)100 23600 4 xx=24000.當(dāng)且僅當(dāng)3600 4, 一x ,即x=120時(shí)取等x當(dāng)x=120時(shí)，y最小，且ymin24000 22000=2000(元),答：這筆專(zhuān)項(xiàng)資金不夠用，至少還需要22.解：(I )設(shè)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別為(0, 0)對(duì)稱(chēng)，所以A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為24000 .2000元資金.A、B,由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得，A、B關(guān)于中心 OA ( x1，y1)，B (x1,y1).22一，一 x yP ( x, y)上橢圓 % 1上任懸一點(diǎn)a b，顯然 | x | |X1 |因?yàn)锳、B、P三點(diǎn)都在橢圓上，所以有2 x12a2 x 2 a2 y1 b22 y b2而kPAy y1x由一得:22y *22x x1x1b2(x； b2 2 . akPBx2)y Vix x12 , 22a (y1 y )kPA0,所以該定理在橢圓中的推廣為