1、初中數學校本教材生活與數學序言一、把握數學的生活性一一“使教學有生活味”數學課程標準中指出：“數學可以幫助人們更好地探求客觀世界 的規律，并對現代社會中大量紛繁復雜的信息做出恰當的選擇和判斷，進 而解決問題，直接為社會創造價值”。這說明數學來源于社會，同時也反 作用于社會，社會生活與數學關系密切，它已經滲透到生活的每個方面， 我們的衣食住行都離不開它。現代數學論認為：數學源于生活，又運用于 生活，生活中充滿數學，數學教育寓于生活實際。有意識地引導學生溝通 生活中的具體問題與有關數學問題的聯系，借助學生熟悉的生活實際中的 具體事例，激發學生學習數學的求知欲，幫助學生更好的理解和掌握數學 基礎知識

2、，并運用學到的數學知識去解決實際生活中的數學問題。一、把握數學的美育性一一“使教學有韻味”數學家克萊因認為：數學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最 獨特的創作。音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心 弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上的一切。 美作為現實的事物和現象，物質產品和精神產品、藝術作品等屬性總和， 具有：勻稱性、比例性、和諧性、色彩變幻、鮮明性和新穎性。作為精神 產品的數學就具有上述美的特點。簡練、精確是數學的美。數學的基本定理說法簡約，卻又涵蓋真理， 讓人閱讀簡便卻又印象深刻。數學語言是如此慎重的、有意的而且經常是 精心設計的，憑借數學語言

3、的嚴密性和簡潔性，我們就可以表達和研究數 學思想，這種簡潔性有助于思維的效率。數學很講究它的邏輯美。數學的應用是被人們廣泛認同的，可學習數 學還能訓練人的邏輯思維能力。尤其是幾何的證明講究前因后果，每一步 都要前后呼應，抽象的數學也顯示它模糊的美。抽象給我們想象的余地， 讓我們思維海闊天空，給學生留有了思索和創新的空間。抽象的數學不正 展示它的魅力嗎？數學上有很多知識是和對稱有關的。對稱給人協調，平穩的感覺，像 圓，正方體等，它們的形式是如此的勻稱優美。正是由于幾何圖形中有這 些點對稱、線對稱、面對稱，才構成了美麗的圖案，精美的建筑，巧奪天 工的生活世界，也才給我們帶來豐富的自然美，多彩的生活

4、美。中學數學的美育性，除了上述一些方面，還有其它美妙的地方，只要我們用心挖掘和捕捉，就會發現數學蘊涵著如此豐富的美的因素，教師要善于挖掘美的素材，在學生感受美的同時既提高教學質量，又使教學韻味深厚。三、把握校本教材的可讀性 “使教學有拓展性”陶行知先生早就說過： “在現狀下，把學習的基本自由還給學生。”，經過我們反復的思考和研究，同時邀請專家親臨指點，最終我們確定本課程的基本框架，本課程的設計理念就是要 “把學習的基本自由還給學生”，所有的過程基本上都是以學生的活動展開的，真正實現“自主、合作、探究” 的學習方式的變革，本課程共分為六個章節，分別是： 古老的數學，好玩的數學，有用的數學，智慧的

5、數學，先進的數學和美麗的數學。在 古老的數學一章中， 并不是把數學史作為一門研究數學的起源、發展過程和規律的學科，而是根據現代心理學發現的一個體現數學史的認知功能的 “遺傳法則”。 從數學一次又一次的飛躍中尋找數學發現的故事，用故事的形式讓學生了解這些數學知識產生的背景、體會數學家們為尋找這些知識的付出的艱辛。這樣一方面可以讓學生從本質上更好的理解自己所學的知識；另一方面也可以以此作為人生觀與價值觀教育的教材，讓學生體會“只有付出努力才會獲得成功的人生道理”，“為實現理想而不懈追求的數學精神”。在好玩的數學一章中，利用心理學中“興趣是學習最好的老師”的規律，以一系列數學游戲為載體，讓學生感受到

6、數學并不是“枯燥”的代名詞， 真正的數學其實可以是樂趣無窮的，以此來激發學生的學習興趣，并以這種興趣作為他以后學習數學的動力和源泉。這樣一方面可以讓學生主動意識到自己愛玩的游戲原來與數學緊密相連，從而為學生學好數學培養內在驅動力；另一方面，也可以在學生玩游戲的過程中幫助學生鞏固看似乏味的知識，讓學生的學科知識在游戲中得到鍛煉和提升。在有用的數學一章中，根據數學課程標準：義務教育階段的數學課程要求 “人人學有價值的數學”， 設計了很多貼近學生、符合實際、利用學生現有知識能夠解決的生活實例。這樣做可以使學生深刻的感受到生活中處處存在著數學，數學來源于生活。這些在生活中經常碰到的數學問題需要我們去探

7、究，學生通過對這些數學問題的解決，能夠更具體更深刻的理解什么是數學，知道學習和學好數學是很有用的，從而進一步培養學生學習數學的興趣、增強學生學好數學的內在驅動力。在智慧的數學一章中，通過穿插一些有趣的數學小故事,以改變人們認為科學研究枯燥無味的看法。本章內容主要包括有趣的數學問題、經典的數學問題、奇怪的數學問題。通過對“有趣的數學問題”的研究，使學生對數學中的存在的智慧產生強烈的好奇與追求，從而激發學生天生的求知欲；通過對“經典的數學問題”的研究使學生掌握一些基本的數學方法，學會用數學的方法解決問題；通過對“奇怪的數學問題”的研究，幫助學生開闊眼界，增長知識、鍛煉和培養學生的創新思維。在先進的

8、數學一章中，主要學習和研究數學軟件“幾何畫板”的使用方法。通過對幾何畫板軟件的學習，可以激發學生的學習興趣，拓寬學生的知識面，改變學生“數學枯燥論”和“數學無用論”的觀點；可以開發學生的學習潛能，培養學生的學習習慣，改變學生的學習方式，從而實現提高學生數學素養的目的；另外，通過對幾何畫板軟件的學習，可為學生學習其他計算機軟件打下了一個結實的基礎，從而提高學生的電腦素養，為學生終身發展和可持續發展做出數學教育上的貢獻。在美麗的數學一章中，展示給大家的是數學的美麗無所不在，數學的符號、公式、算法、圖形、表格、方程、解題思路、解題方法都是很美麗的。這些 “數學之美”都需要我們能夠和我們的學生一起去尋

9、找、去發現、去挖掘、去欣賞，使美麗的數學成為學生快樂學習的源泉。數學的美麗使我們深刻感受到數學的教育不應該僅僅是作為對數學學科的教學， 更應該把它作為一種審美教育的載體，用它來感染和啟迪學生的心靈，讓學生的人格更健全，心靈更美好。開發校本課程要有高度的責任感、使命感和強烈的事業心，決不能僅僅憑著自己的興趣，更重要的是要把它作為自己的事業來做，要付出艱辛的努力、經歷痛苦的歷程，只有付出艱辛的努力、經歷痛苦的歷程才能在這個過程中感受成功的喜悅與幸福。開發校本課程，首先要有一個追求（對我們國家的教育事業無比熱愛，功利心不能太強，不要一說到數學研究就問這件事情對我職稱評審有沒有用，對我評骨干教師有沒有

10、用），要確定一個核心思想（即開發的核心宗旨、研究方向、基本要求），要充分利用校內外各類資源，要不斷地進行課程資源的積累和課程特色的培育；校本課程的規劃要根據學生的課程需要來制訂；要選擇貼近時代特點、社會發展與學生實際的課程內容，要變革教學方式和學習方式，充分發揮師生的獨立性、自主性和創造性，引導學生在身心愉悅的環境中實踐和研究。校本課程的開發和建設是一個漫長的道路，需要我們時時刻刻做一個有心人，心中時時刻刻裝著為學生的終身發展和可持續發展考慮，裝著為我們數學教學向數學教育轉變服務的理想和追求。編者按20XX 年 8 月第一章興趣數學第一節七橋問題（一筆畫問題）18世紀時，歐洲有一個風景秀麗的小

11、城哥尼斯堡，那里有七座橋。如 圖1所示：河中的小島A與河的左岸B、右岸C各有兩座橋相連結，河中 兩支流間的陸地D與A、B、C各有一座橋相連結。當時哥尼斯堡的居民 中流傳著一道難題：一個人怎樣才能一次走遍七座橋，每座橋只走過一次, 最后回到出發點？大家都試圖找出問題的答案，但是誰也解決不了這個問 題。七橋問題引起了著名數學家歐拉（17071783）的關注。他把具體七橋布局化歸為圖所示的簡單圖形，于是，七橋問題就變成一個一筆畫問題： 怎樣才能從A、B、C、D中的某一點出發，一筆畫出這個簡單圖形（即筆 不離開紙，而且a、b、c、d、e f、g各條線只畫一次不準重復），并且最后返回起點？歐拉經過研究得

12、出的結論是：圖是不能一筆畫出的圖形。這就是說，七橋問題是無解的。這個結論是如何產生呢？如果我們從某點出發，一筆畫出了某個圖形，到某一點終止，那么除起點和終點外，畫筆每經過一個點一次，總有畫進該點的一條線和畫出該 點的一條線，因此就有兩條線與該點相連結。如果畫筆經過一個n次，那 么就有 2n 條線與該點相連結。因此，這個圖形中除起點與終點外的各點，都與偶數條線相連。如果起點和終點重合，那么這個點也與偶數條線相連；如果起點和終點是不同的兩個點，那么這兩個點部是與奇數條線相連的點。綜上所述，一筆畫出的圖形中的各點或者都是與偶數條線相連的點，或者其中只有兩個點與奇數條線相連。圖 2 中的 A 點與 5

13、 條線相連結，B、 C、 D 各點各與3 條線相連結，圖中有 4 個與奇數條線相連的點，所以不論是否要求起點與終點重合，都不能一筆畫出這個圖形。歐拉定理： 如果一個圖是連通的并且奇頂點的個數等于0 或 2，那么它可以一筆畫出；否則它不可以一筆畫出。一筆畫： 1.凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最后一定能以這個點為終點畫完此圖。 2.凡是只有兩個奇點的連通圖（其余都為偶點），一定可以一筆畫成。畫 時必須把一個奇點為起點，另一個奇點終點。 3.其他情況的圖都不能一筆畫出。（奇點數除以二便可算出此圖需幾筆畫成。 ）練習：你能筆尖不離紙，一筆畫出下面的每個圖形嗎？試

14、試看。（不走重復線路）圖例1(O圖例2圖例3圖4圖例4第二節四色問題人人都熟悉地圖，可是繪制一張普通的政區圖，至少需要幾種顏色， 才能把相鄰的政區或區域通過不同的顏色區分開來，就未必是一個簡單的 問題了。這個地圖著色問題，是一個著名的數學難題。大家不妨用一張中國政 區圖來試一試，無論從哪里開始著色，至少都要用上四種顏色，才能把所 有省份都區別開來。所以，很早的時候就有數學家猜想： 任何地圖的著色, 只需四種顏色就足夠了。 ”這就是 四色問題”這個名稱的由來。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數學難題之一。四色問題的內容是：任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。”用數

15、學語言表示，即 將平面任意地細分為不相 重迭的區域，每一個區域總可以用1, 2, 3, 4這四個數字之一來標記，而 不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字。"（上右圖）。這里所指的相鄰區域，是指有一整段邊界是公共的。如果兩個區域只 相遇于一點或有限多點，就不叫相鄰的。因為用相同的顏色給它們著色不 會引起混淆。數學史上正式提出“四色問題 ”的時間是在1852 年。 當時倫敦的大學的 一名學生法朗西斯向他的老師、著名數學家、倫敦大學數學教授莫根提出了這個問題，可是莫根無法解答，求助于其它數學家，也沒有得到答案。于是從那時起，這個問題便成為數學界的一個“懸案 ”。一直到二十年前的1976 年

16、9 月， 美國數學會通告正式宣布了一件震撼全球數學界的消息：美國伊利諾斯大學的兩位教授阿貝爾和哈根，利用電子計算機證明了“四色問題 ”這個猜想是完全正確的！他們將普通地圖的四色問題轉化為2000 個特殊圖的四色問題，然后在電子計算機上計算了足足 1200 個小時，作了100 億判斷，最后成功地證明了四色問題，轟動了世界。這是一百多年來吸引許多數學家與數學愛好者的大事，當兩位數學家將他們的研究成果發表的時候，當地的郵局在當天發出的所有郵件上都加蓋了 “四色足夠 ”的特制郵戳，以慶祝這一難題獲得解決。第三節麥比烏斯帶數學上流傳著這樣一個故事：有人曾提出，先用一張長方形的紙條， 首尾相粘，做成一個紙

17、圈，然后只允許用一種顏色，在紙圈上的一面涂抹， 最后把整個紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。這個紙圈應該怎樣 粘？如果是紙條的首尾相粘做成的紙圈有兩個面，勢必要涂完一個面再重 新涂另一個面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一個面、一條封閉曲 線做邊界的紙圈兒呢？對于這樣一個看來十分簡單的問題，數百年間，曾有許多科學家進行 了認真研究，結果都沒有成功。后來，德國的數學家麥比烏斯對此發生了 濃厚興趣，他長時間專心思索、試驗，也毫無結果。有一天，他被這個問題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。新鮮的空 氣，清涼的風，使他頓時感到輕松舒適，但他頭腦里仍然只有那個尚未找 到的圈兒。一片片肥大的玉米葉子，

18、在他眼里變成了 綠色的紙條兒”，他不由自 主地蹲下去，擺弄著、觀察著。葉子彎曲著聳拉下來，有許多扭成半圓形 的，他隨便撕下一片，順著葉子自然扭的方向對接成一個圓圈兒，他驚喜 地發現，這 綠色的圓圈兒”就是他夢寐以求的那種圓圈。麥比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉 180°,再將一端的 正面和背面粘在一起，這樣就做成了只有一個面的紙圈兒。圓圈做成后，麥比烏斯捉了一只小甲蟲，放在上面讓它爬。結果，小 甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。麥比烏斯激動地說： 公正的小甲蟲，你無可辯駁地證明了這個圈兒只有一個面。”麥比烏斯圈就這樣被發現了。做幾個簡單的實驗，就會發現麥比烏斯圈”

19、有許多讓我們感到驚奇而 有趣的結果。弄好一個圈，粘好，繞一圈后可以發現，另一個面的入口被堵住 了，原理就是這樣啊.實驗一如果在裁好的一張紙條正中間畫一條線，粘成麥比烏斯圈工再沿線剪開，把這個圈一分為二，照理應得到兩個圈兒，奇怪的是，剪開后竟是 一個大圈兒。實驗二如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成麥比烏斯圈”，用剪刀沿畫線剪開，剪刀繞兩個圈竟然又回到原出發點，猜一猜，剪開后的結 果是什么，是一個大圈？還是三個圈兒？都不是。它究竟是什么呢？你自 己動手做這個實驗就知道了。你就會驚奇地發現，紙帶不一分為二，一大 一小的相扣環。有趣的是：新得到的這個較長的紙圈，本身卻是一個雙側曲面，它的 兩條

20、邊界自身雖不打結，但卻相互套在一起。我們可以把上述紙圈，再一 次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈， 而原先的兩條邊界，則分別包含于兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身并不 打結罷了。奇妙之處有三：一、麥比烏斯環只存在一個面。二、如果沿著麥比烏斯環的中間剪開，將會形成一個比原來的麥比烏 斯環空間大一倍的、具有正反兩個面的環（在本文中將之編號為：環0）,而不是形成兩個麥比烏斯環或兩個其它形式的環。三、如果再沿著環0的中間剪開，將會形成兩個與環 0空間一樣的、 具有正反兩個面的環，且這兩個環是相互套在一起的（在本文中將之編號 為：環1和環2）,從此以后再沿著環1和環2以及因沿著

21、環1和環2中間 剪開所生成的所有環的中間剪開，都將會形成兩個與環0空間一樣的、具有正反兩個面的環，永無止境 且所生成的所有的環都將套在一起，永 遠無法分開、永遠也不可能與其它的環不發生聯系而獨立存在。數學中有一個重要分支叫拓撲學，主要是研究幾何圖形連續改變形 狀時的一些特征和規律的，麥比烏斯圈變成了拓撲學中最有趣的單側面問 題之一。麥比烏斯圈的概念被廣泛地應用到了建筑，藝術，工業生產中。運用麥比烏斯圈原理我們可以建造立交橋和道路，避免車輛行人的擁堵。一、1979年，美國著名輪胎公司百路馳創造性地把傳送帶制成麥比烏 斯圈形狀，這樣一來，整條傳送帶環面各處均勻地承受磨損，避免了普通 傳送帶單面受損

22、的情況，使得其壽命延長了整整一倍。二、針式打印機靠打印針擊打色帶在紙上留下一個一個的墨點，為充 分利用色帶的全部表面，色帶也常被設計成麥比烏斯圈。三、在美國匹茲堡著名肯尼森林游樂園里，就有一部加強版”的云霄飛車一一它的軌道是一個麥比烏斯圈。乘客在軌道的兩面上飛馳。四、麥比烏斯圈循環往復的幾何特征，蘊含著永恒、無限的意義， 因此常被用于各類標志設計。微處理器廠商Power Architecture的商標就是 一條麥比烏斯圈，甚至垃圾回收標志也是由麥比烏斯圈變化而來。PowerSOURCE垃圾回收標志Power Architecture標志第四節分割圖形分割圖形是使我們的頭腦靈活，增強觀察能力的一

23、種有趣的游戲我們先來看一個簡單的分割圖形的題目一一分割正方形。在正方形內用4條線段作 井”字形分割，可以把正方形分成大小相等的9塊，這種圖形我們常稱為九宮格。用4條線段還可以把一個正方形分成10塊，只是和九宮格不同的是,每塊的大小不一定都相等。那么，怎樣才能用 4條線段把正方形分成10塊呢？請你先動腦筋想想，在動腦的同時還要動手畫一畫其實，正方形是不難分割成10塊的，下面就是其中兩種分割方法。練習：想一想，用4條線段能將正方形分成11塊嗎？應該怎樣分?第五節數學故事1）奇特的墓志銘在大數學家阿基米德的墓碑上，鐫刻著一個有趣的幾何圖形：一個圓球鑲嵌在一個圓柱內。相傳，它是阿基米德生前最為欣賞的一

24、個定理。在數學家魯道夫的墓碑上，則鐫刻著圓周率兀的35位 數值。這個數值被叫做。”魯道夫數 ”。它是魯道夫畢生心血的結晶。大數學家高斯曾經表示，在他去世以后，希望人們在他的墓碑上刻上一個正17 邊形。因為他是在完成了正17 邊形 的尺規作圖后，才決定獻身于數學研究的不過，最奇特的墓志銘，卻是屬于古希臘數學家丟番圖的。他的墓碑上刻著一道謎語般的數學題：“過路人，這座石墓里安葬著丟番圖。他生命的 1 6 是幸福的童年，生命的1 12是青少年時期。又過了生命的 17 他才結婚。婚后5 年有了一個孩子，孩子活到他父親一半的年紀便死去了。孩子死后，丟番圖在深深的悲哀中又活了4 年，也結束了塵世生涯。過路

25、人，你知道丟番圖的年紀嗎？”丟番圖的年紀究竟有多大呢？設他活了X 歲，依題意可列出方程。這樣，要知道丟番圖的年紀，只要解出這個方程就行了。這段墓志銘寫得太妙了。誰想知道丟番圖的年紀，誰就得解一個一元一次方程；而這又正好提醒前來瞻仰的人們，不要忘記了丟番圖獻身的事業。在丟番圖之前，古希臘數學家習慣用幾何的觀點看待遇到的所有數學問題，而丟番圖則不然，他是古希臘第一個大代數學家，喜歡用代數的方法來解決問題。現代解方程的基本步驟，如移項、合并同類項、，方程兩邊乘以同一因子等等，丟番圖都已知道了。他尤其擅長解答不定方程，發明了許多巧妙的方法，被西方數學家譽為這門數學分支的開山鼻丟番圖也是古希臘最后一個大

26、數學家。遺憾的是，關 于他的生平。 后人幾乎一無所知，既不知道他生于何地， 也不知道他卒于何時。幸虧 有了這段奇特的墓志銘，才知 道他曾享有84歲的高齡。(2)希臘十字架問題圖上那只巨大的復活節彩蛋上有一個希臘十字架，從它引發出許多切 割問題，下面是其中的三個。(a)將十字架圖形分成四塊，用它們拼成一個正方形有無限多種辦法把一個希臘十字架分成四塊，再把它們拼成一個正方形，下圖給出了其中的一個解法。奇妙的是，任何兩條切割直線，只要 與圖上的直線分別平行，也可取得同樣的結果，分成的四塊東西總是能拼 出一個正方形。(b)將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個菱形將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個矩形

27、，要求其長是寬的兩倍。ZE7第二章 最完美的數完美數又稱為完全數, 最初是由畢達哥拉斯(Pythagoras) 的信徒發現的, 他們注意到:數 6 有一個特性, 它等于它自己的因子( 不包括它自身) 的和 : 6=1+2+3,下一個具有同樣性質的數是28,28=1+2+4+7+14接著是 496 和 8128. 他們稱這類數為完美數.歐幾里德在大約公元前350-300年間證明了:若 2n-1 是素數 , 則數2n-12n-1 (1) 是完全數.兩千年后, 歐拉證明每個偶完全數都具有這種形式. 這就在完全數與梅森數 ( 形式為 2 n 1 的素數 ) 之間建立了緊密的聯系, 到 1999 年 6

28、月 1 日為止 , 共發現了38 個梅森素數, 這就是說已發現了38 個完全數 .1：完全數是非常奇特的數, 它們有一些特殊性質, 例如每個完全數都是三角形數, 即都能寫成n(n+1)/2.6=1+2+3=3*4/228=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2496=1+2+3+4+.+31=31*32/22n-1 (2 n-1)=1+2+3+.+(2n-1)=(2 n-1)2 n/22：把它們(6 除外 ) 的各位數字相加, 直到變成一位數, 那么這個一位數一定是 1; 它們都是連續奇數的立方和(6 除外 ),22(2 3-1)=28=1 3+3324(2 5-1)=496=1 3+33+5

29、3+7326(2 7-1)=8128=1 3+33+53+73+93+113+133+1532n-1(2n-1)=1 3+33+53+.+(2 (n+1)/2 -1) 33：除了因子1 之外, 每個完全數的所有因子( 包括自身)的倒數和等于1,比如 :1/2+1/3+1/6=11/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1 4：完全數都是以6 或 8 結尾的 , 如果以 8 結尾 , 那么就肯定是以28 結尾.注意以上談到的完全數都是偶完全數, 至今仍然不知道有沒有奇完全數,如果真的存在奇完全數.第三章有理數的巧算有理數運算是中學數學中一切運算的基礎它要求同學們在理解有理數的有關概念、法則的基

30、礎上，能根據法則、公式等正確、迅速地進行運算不僅如此，還要善于根據題目條件，將推理與計算相結合，靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題，從而提高運算能力，發展思維的敏捷性與靈活性1括號的使用在代數運算中，可以根據運算法則和運算律，去掉或者添上括號，以此來改變運算的次序，使復雜的問題變得較簡單.例1計算：CD 47 - （1875-1 + 又 2二 士 0一4蛻（一2尸e r411）十分析中學數學中，由于負數的引入，符號“ +”與“-”具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運算符號，也是表示正數與負數的性質符號.因此進行有理數運算時，一定要正確運用有理數的運算法則，尤其是要注意去括號時符號的變化

31、.解CD原式="371181 一4 8J心白卜。452350r 4123=了 - 37 三 t=x = 20.50523田 12； q（2）原式二一廠一一 x 1一444025（一8）+12乂45 5-X -4 4163三 2540 + = 40 x 1 = 25 .162516注意 在本例中的乘除運算中，常常把小數變成分數，把帶分數變成 假分數，這樣便于計算.例 2 計算下式的值：211 X 555+445X 789+555X 789+211X 445.分析 直接計算很麻煩，根據運算規則，添加括號改變運算次序，可使計算簡單本題可將第一、第四項和第二、第三項分別結合起來計算解 原式=

32、(211 X 555+211X 445)+(445 X 789+555X 789)=211X(555+445)+(445+555) X789=211 x 1000+100OX 789 =1000X (211+789) =1 OOO OOO 說明 加括號的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數巧算中的 常用技巧例3在數1, 2, 3,，1998前添符號“+”和“-”，并依次 運算，所得可能的最小非負數是多少？分析與解因為若干個整數和的奇偶性，只與奇數的個數有關，所以在1, 2, 3,，1998之前任意添加符號“ +”或“-”，不會 改變和的奇偶性.在1, 2, 3,，1998中有1998+ 2個

33、奇數，即 有 999 個奇數，所以任意添加符號“+”或“- ”之后，所得的代數和總為奇數，故最小非負數不小于1 現考慮在自然數n, n+1, n+2, n+3之間添加符號“ +”或“-”顯然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=O這啟發我們將1, 2, 3,，1998每連續四個數分為一組，再按上述規則添加符號，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1 .所以，所求最小非負數是1說明 本例中，添括號是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計算大大簡化2用字母表示數我們先來計算(100+2) X (100-2)的值：(100+2)

34、 X (100-2)=100X 100-2 x 100+2X 100-4=1002-22這是一個對具體數的運算，若用字母a 代換100， 用字母 b 代換2，上述運算過程變為(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2 于是我們得到了一個重要的計算公式(a+b)(a-b)=a2-b2 ，這個公式叫平方差公式，以后應用這個公式計算時，不必重復公式的證明過程，可直接利用該公式計算例4計算3001 X2999的值.解 3001 X 2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999 .例5計算103 x 97X 10 009的值.解 原式=(100+3)(1

35、00-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919例6計算：24 69012 3462 -12 345x12 347分析與解直接計算繁.仔細觀察，發現分母中涉及到三個 連續整數：12 345, 12 346, 12 347.可設字母n=12 346,那 么 12 345=n-1 , 12 347=n+1,于是分母變為 n2-(n-1)(n+1).應 用平方差公式化簡得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1 ,即原式分母的值是1,所以原式=24 690 .例7計算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)分析

36、式子中2, 22, 24,每一個數都是前一個數的平方, 若在(2+1)前面有一個(2-1),就可以連續遞進地運用 (a+b)(a-b戶a2-b2 了.解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) X (216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) X (232+1) =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=(232-1)(232+1) =264-1例8計算：(1V U ( 1V 1 *HH I2叭n M剛分析在前面的例題中，應用過公式(a+b)(a-b)=a2-b2這個公式也可以反著使用，即a2-b

37、2=(a+b)(a-b)本題就是一個例子.解原式=(1+白1 -9(1 + 曰(1-9-=hm(1+目1+期34510111(12389 ,23499 北234910(11 1 11 =210 20,通過以上例題可以看到，用字母表示數給我們的計算帶來很大的 益處.下面再看一個例題，從中可以看到用字母表示一個式子，也可使計算簡化.例9計算:分析四個括號中均包含一個共同部分；W *”焉，匕 J1 x O我們用一個字母表示它以簡化計算.JUIJ_A_+ + -E" X231993原式=(外斗急百+一A" +正/|)-卜7+4)=壺觀察算式找規律例 10 某班 20 名學生的數學期

38、末考試成績如下，請計算他們的總分與平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88分析與解若直接把20 個數加起來，顯然運算量較大，粗略地估計一下，這些數均在90 上下，所以可取90 為基準數，大于90 的數取“正”，小于 90 的數取“負”，考察這 20 個數與 90 的差，這樣會大大簡化運算所以總分為90X20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分為 90+(-1) +20=89.95.例

39、11計算1+3+5+7+1997+1999的值.分析 觀察發現：首先算式中，從第二項開始，后項減前項的差都等于2； 其次算式中首末兩項之和與距首末兩項等距離的兩項之和都等于2000，于是可有如下解法解 用字母 S 表示所求算式，即S=1+3+5+- +1997+1999. 再將S各項倒過來寫為S=1999+1997+1995+ +3+1. 將，兩式左右分別相加，得2s=(1 + 1999)+(3+1997)+ +(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+ +2000+2000(1000 個 2000)=2000X 1000.從而有 S=1000 000 .說明一般地，一列數，如果

40、從第二項開始，后項減前項的差都相等(本題3-1=5-3=7-5=3 = 1999-1997,者B等于2),那么，這列數的求和問題，都可以用上例中的“倒寫相加”的方法解決.例 13 計算 1+5+52+53+ +599+5100 的值.分析 觀察發現，上式從第二項起，每一項都是它前面一項的倍.如果將和式各項都乘以5,所得新和式中除個別項外，其余與原 和式中的項相同，于是兩式相減將使差易于計算.解設S=1+5+52+-+599+5100, 所以5s=5+52+53+ +5100+5101. 一得4s=5101-1,5ni -1所以說明 如果一列數，從第二項起每一項與前一項之比都相等 （本例中是都等

41、于5）,那么這列數的求和問題，均可用上述“錯位相減”法來解決.例14計算:1 ( 1 ( 1199SX 19991X2 + 2X3 """ 30133分析一般情況下，分數計算是先通分.本題通分計算將很 繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個關系式1_1_1C -k + 7L來把每一項拆成兩項之差，然后再計算，這種方法叫做拆項法.解由于1 _ 1 _ 1 1 _ 1 _ 1 1 _ 1 _ 11X2 = 1 -丁2 X 3 = 2 -4 = W 一甲所以原式=19991999說明 本例使用拆項法的目的是使總和中出現一些可以相消的相反數的項，這種方法在有理數巧算中很

42、常用.練習1.計算下列各式的值:-1+3-5+7-9+11- -1997+1999;(2)11 + 12-13-14+15+16-17-18+ +99+100;(3)1991 X 1999-1990X2000;4726342+472 6352-472 633 乂 472 635-472 634 X 472 636 ;X 33X55X71997X 1999(6)1+4+7+-+244;C 7 31 +杏士y金,二三'-JJJc ® n 1 + 31220302.某小組20名同學的數學測驗成績如下,試計算他們的平均分.63, 76, 97, 80, 90,81, 72, 77,

43、83, 73, 85, 92, 84, 75,76, 91, 86, 78, 74, 85.第四章 歸納與發現歸納的方法是認識事物內在聯系和規律性的一種重要思考方法，也是數學中發現命題與發現解題思路的一種重要手段這里的歸納指的是常用的經驗歸納，也就是在求解數學問題時，首先從簡單的特殊情況的觀察入手，取得一些局部的經驗結果，然后以這些經驗作基礎，分析概括這些經驗的共同特征，從而發現解題的一般途徑或新的命題的思考方法下面舉幾個例題，以見一般例 1 如圖2-99，有一個六邊形點陣，它的中心是一個點，算作第一層； 第二層每邊有兩個點（相鄰兩邊公用一個點）； 第三層每邊有三個點，這個六邊形點陣共有n 層

44、，試問第n 層有多少個點？這個點陣共有多少個點？分析與解我們來觀察點陣中各層點數的規律，然后歸納出點陣共有第一層有點數：1 ；第二層有點數：1X6;第三層有點數：2X6;第四層有點數：3X6;第n層有點數：（n-1）x6.因此，這個點陣的第n層有點（n-1） X6個.n層共有點數為例 2 在平面上有過同一點P， 并且半徑相等的n 個圓， 其中任何兩個P 點外無其他公共點，那么試問：(1)這n 個圓把平面劃分成多少個平面區域？(2)這 n 個圓共有多少個交點？分析與解(1)在圖2-100 中，設以P 點為公共點的圓有1， 2， 3， 4，5 個 (取這n 個特定的圓)， 觀察平面被它們所分割成的

45、平面區域有多少個？為此，我們列出表18 118 1 易知S2-S1=2，S3-S2 = 3,S4-S3 = 4 ,S5-S4= 5,由此，不難推測Sn-Sn-1 = n .把上面(n-1)個等式左、右兩邊分別相加，就得到Sn-Si=2 + 3 + 4 + n,因為Si=2,所以S n-Sn-1 =n ，即Sn=S n-1 n的正確性略作說明.因為 Sn-1 為 n-1 個圓把平面劃分的區域數，當再加上一個圓，即當n個圓過定點P 時，這個加上去的圓必與前n-1 個圓相交，所以這個圓就被前 n-1 個圓分成n 部分，加在Sn-1 上，所以有Sn=Sn-1 n(2)與 (1)一樣，同樣用觀察、歸納、

46、發現的方法來解決為此，可列出表 18 218 2 容易發現a2-ai = 1,a3-a2 = 2, a4-a3 = 3,a5-a4 = 4,an-i-an-2 = n-2,anan-1 = n-1 .n 個式子相加注意 請讀者說明an=an-i + (n-1)的正確性.例3設a, b, c表示三角形三邊的長，它們都是自然數，其中 a<b <c,如果b=n(n是自然數)，試問這樣的三角形有多少個？分析與解我們先來研究一些特殊情況：(1)設 b=n=1，這時 b=1 ,因為 awbw c,所以 a=1 ,c 可取 1,2,3, .若 c=1,則得到一個三邊都為1的等邊三角形；若 02,

47、由于a+b=2,那 么a + b不大于第三邊c,這時不可能由a, b, c構成三角形，可見，當 b=n=1 時，滿足條件的三角形只有一個(2)設 b=n=2 ，類似地可以列舉各種情況如表18 3這時滿足條件的三角形總數為：1+2=3 (3)設 b=n=3 ，類似地可得表18 4這時滿足條件的三角形總數為：1 2 3=6通過上面這些特例不難發現，當b=n 時，滿足條件的三角形總數為：這個猜想是正確的.因為當b=n時，a可取n個值(1, 2, 3，n), 對應于a的每個值，不妨設 a=k(1 < k< n).由于bwc<a + b,即n<c< n+k,所以c可能取的值

48、恰好有k個(n, n + 1, n + 2,，n + k-1).所以, 當 b=n 時，滿足條件的三角形總數為：例4設1x2X3x3Xn縮寫為n!(稱作n的階乘)，試化簡：1 ! X1+ 2! X 2+3! X 3 + n! X n.分析與解先觀察特殊情況：(1)當 n=1 時，原式=1=(1 +1)! -1;(2)當 n=2 時，原式=5=(2 +1)! -1;(3)當 n=3 時，原式=23=(3+1)! -1;(4)當 n=4 時，原式=119=(4+1)! -1 .由此做出一般歸納猜想：原式=(n+1) ! -1.下面我們證明這個猜想的正確性.1+原式= 1+(1 ! X1+2! X

49、2 + 3! X3+n! X n)=1 ! X 2 + 2! X 2 + 3! X3+n! Xn=2 ! +2 ! X 2 + 3! X 3+ - +n ! X n=2! X3+3! X3+n! Xn=3 ! +3 ! x 3+n! x n = -=n ! +n ! x n=(n + 1)!,所以原式=(n+1)! -1.例5設x>0,試比較代數式x3和x2+x+2的值的大小.分析與解 本題直接觀察，不好做出歸納猜想，因此可設 x等于某些 特殊值，代入兩式中做試驗比較，或許能啟發我們發現解題思路.為此， 設x=0 ,顯然有x3<x2+x+2.設 x=10,貝U有 x3=1000,

50、x2+x + 2=112 ,所以x3>x2+x+2.設 x=100 ,貝U有 x3>x2+x+2 .觀察、比較，兩式的條件和結論，可以發現：當 x值較小時，x3 <x2+x+2 ;當 x 值較大時，x3>x2+x+2 .那么自然會想到：當x=?時，x3=x2+x+2呢？如果這個方程得解，則 它很可能就是本題得解的“臨界點”.為此，設x3=x2+x + 2,則x3-x2-x-2 = 0,(x3-x2-2x) + (x-2尸0 ,(x-2)(x2+x+1)=0 .因為x>0,所以x2+x+1 >0,所以x-2=0 ,所以x=2 .這樣(1)當 x=2 時，x3=

51、x2+x+2 ;(2)當0<x<2時，因為x-2<0, x2+x+2 >0,所以(x-2)(x2 + x+2)<0,即x3-(x2 + x+2) < 0,所以 x3<x2 + x + 2.(3)當x>2時，因為x-2 >0, x2+x+2 >0,所以(x-2)(x2+x+2)>0,x3-(x2+x + 2)>0,所以 x3>x2 + x + 2.綜合歸納 (1)， (2)，(3)，就得到本題的解答練習七1試證明例7 中：(即每兩條直線都2平面上有n 條直線，其中沒有兩條直線互相平行相交)，也沒有三條或三條以上的直線通

52、過同一點試求：(1)這n 條直線共有多少個交點？(2)這n 條直線把平面分割為多少塊區域？然后做出證明.)3求適合x5=656356768 的整數x（提示：顯然x不易直接求出，但可注意其取值范圍：505< 656356768<605,所以 502cx<602.）第五章 生活中的數學（儲蓄、保險與納稅）儲蓄、保險、納稅是最常見的有關理財方面的數學問題，幾乎人人都會遇到，因此，我們在這一講舉例介紹有關這方面的知識，以增強理財的自我保護意識和處理簡單財務問題的數學能力1儲蓄銀行對存款人付給利息，這叫儲蓄存入的錢叫本金一定存期（年、月或日）內的利息對本金的比叫利率本金加上利息叫本利和

53、利息=本金X利率X存期，本利和二本金X （1 +利率經X存期）.如果用p, r, n, i, s分別表示本金、利率、存期、利息與本利和，那么有i=prn ， s=p（1+rn） 例 1 設年利率為0.0171 ，某人存入銀行2000 元， 3 年后得到利息多少元？本利和為多少元？解 i=2000 X 0.0171 X 3=102.6（元）.s=2000 x (1+0.0171 x 3)=2102.6(元).答 某人得到利息102.6 元，本利和為2102.6 元以上計算利息的方法叫單利法，單利法的特點是無論存款多少年，利息都不加入本金相對地，如果存款年限較長，約定在每年的某月把利息加入本金，這

54、就是復利法，即利息再生利息目前我國銀行存款多數實行的是單利法不過規定存款的年限越長利率也越高例如，1998 年 3 月我國銀行公布的定期儲蓄人民幣的年利率如表22 1 所示用復利法計算本利和，如果設本金是 p元，年利率是r,存期是n年, 那么若第1年到第n年的本利和分別是S1, S2,，sn,則s1=p(1+r)，s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r) 2，S3 = S2(1+r)=p(1+r) 2(1+r)=p(1+r)3,Sn=p(1+r)n.例 2 小李有 20000 元，想存入銀行儲蓄5 年，可有幾種儲蓄方案，哪種方案獲利最多？解 按表 22 1 的利率計算(1)連續存五個1 年期，則5 年期滿的本利和為20000(1+0.0522)5 弋 25794(元).(2)先存一個2 年期，再連續存三個1 年期，則5 年后本利和為20000(1+0.0558 X 2) (1+0.0522)3 弋25898(元).(3)