1、重慶三峽學院現代數學進展課程論文數學史與數學文化學習體會 院 系 數學與統計學院 專 業 數學與應用數學（師范）姓 名 年 級 2012級 學 號 指導教師 2015年5月10數學史與數學文化學習體會姓名：張力丹（重慶三峽學院數學與統計學院2012級數本2班）摘要：通過實例敘述了中外數學發展進程中凝練出的數學哲學思想的變革和相互聯系，概括了數學哲學思想的重要性、實用性以及數學和哲學水乳交融相輔相成的緊密聯系。最后分五個方面對數學史和數學文化課程學習的感悟體會和學習意義進行了總結提煉。關鍵詞：數學史；哲學；思想；數學文化；感悟.引言 我認為：數學史與數學文化作為一門課程一門學科，教授給我的絕不僅

2、僅只停留在數學作為一門科學在不斷發展演變的歷程中不勝枚舉的中外數學家以及數學發展史中具體事例和思想運動，更內涵而又豐滿地是教授我一種數學的哲學思想、事物的發展規律、唯物理性客觀的世界觀和方法論，是對我們今后人生的指引和極大豐富。同時也是對身為理工科大學生人文情操和文化素養的磨練及沉淀，這才是我認為學習完數學史數學文化這門課程的精神內核。數學史的離不開數學哲學，否則，就不能達到應有的深度。法國偉大的數學家亨利·龐加萊曾說：“如果我們想要預測數學的未來，那么適當的途徑是研究這們學科的歷史和現狀”在談到數學史對數學的重要性時，英國數學家格萊舍有一段經典名言：“ 任何一種企圖將一個學科和它的

3、歷史割裂開來，我確信，沒有哪一個學科比數學的損失更大。”無獨有偶，德國數學家漢克爾也形象地指出過數學的這一特點：“ 在大多數學科里，一代人的建筑被下一代人所摧毀，一個人的創造被另一個人所破壞。惟獨數學，每一代人都在古老的大廈上添加一層樓。”數學是歷史的科學，是由歷史成果積累而成的。經過數學史課程的學習，我被數學文化中深刻的哲學思想而深深吸引。通過老師課堂上的豐富舉例；通過一個個生動、緊張、嚴肅、活潑的數學家形象和事例；通過數學史上一次次的猜想、命題、假設、證明，一次次地發展變革，更是引發了我對數學的發展規律和其本質哲學思想變革的不斷思索。中國早期的數學哲學思想【1】墨經數學哲學思想的特點縱觀墨

4、家的數學成就，只是一些分散的數學知識積累。既沒有形成一個完整的公理體系，也沒有使用任何數學符號、幾何圖形、公式方程來反映其數學思想，僅在文字上進行了高度抽象的概括，卻沒有妨礙墨家科學思想在數學上體現。墨家科學思想的突出特點是將技術的應用與發展研究相結合，“巧傳則求其故”。巧指工藝技巧，傳指世代相傳，求就是探索尋找，故就是原因、道理即在世代相傳的手工技巧中找尋出規律并將其總結成科學真理，從而達到“以往知來，以知見隱”思格斯說：“數學的無限是從現實中借來的，所以它不能從它自身、從數學的抽象來說明而只能從現實來說明舊墨家的數學思想正是從社會生產與社會實踐中產生的，“摹略萬物之然，探究其所以然”的實證

5、主義科學態度使得墨家的科學活動有了明確的指導思想，這種對待自然科學求真唯實的作風不但促進了戰國時期科學技術的發展，而且逼近了近代科學發展的基礎，為古代中國科學發展開辟出一條有可能走向近代科學的道路。【2】九章算術注的數學哲學思想劉徽是我國古代偉大的數學家，所著九章算術注一書，是他畢生研究數學的結晶，在這本書里集中體現了劉徽對待數學的根本觀點，即唯物數學觀點唯物數學觀點是劉徽數學哲學思想的重要方面中國古代數學史上，對于數學來源和作用的認識，劉徽是持唯物觀點的代表者劉徽在思想上，作為算學的“九九之術”來源于觀天察地的實踐的思想是十分明確的。劉徽序言中的“庖犧氏始畫八卦”，意在表明八卦，從而表明“九

6、九之術”產生之遠古，而并非宣揚神秘主義事實上，1977年在我國發現的“裴李崗文化”遺址表明：“伏羲 女蝸”時代的晚期，正值新舊石器時代的“過渡時期”，這時，農業的發展推動了天文學的發展，古人從觀天察地的實中建立起八卦體系，后來這種八卦體系在周易中被記述下來，實際乃是我國古代科學數學發展的歷史見證劉徽對于數學起源認識的唯物觀點，更表現在他的“數學樹”觀念上他在九章算術注原序中論述數學是一棵大樹的思想時指出：事類相推，各有所歸故枝條雖多而同本干知，發其一端而已即是說，九章所述的數學知識，猶如一株枝繁葉茂的大樹，都發于空間形式的數量關系，故進一步說，劉數學樹之端實際上乃是空間形式與數量關系的統一且兩

7、者意義是相互聯系的例如，在用“矩”測物體時，就離不開“度”與“量”這種數形統一觀向來在劉徽數學研究的實踐中得到r充分體現例如，他用廣、從兩數乘積及廣、袤、高三數乘積分別定義幾何量長方形面積和長方體體積，據此證明 九章中一系列面積、體積公式與此同時，幾何的原理和方法叉成功地被應用于諸如整勾股數等代數公式的證明中劉徽對數學的唯物觀點還表現在他在具體工作中的求實精神和對數學研究中附會陰陽奇偶說的批判在九章算術成書后， 在對數學作用的認識上，劉徽既肯定了數學在實踐和理論上的作用唯物地表達了數學在認識自然界方面的重要作用雖然劉徽的唯物數學觀相比同時期的西方數學哲學思想要先進得多但是，由于中國傳統文化是封

8、建制度方法下的文化，而傳統數學作為傳統文化的一部分，也不免打上封建方法的烙印，表現出對圣賢的迷戀和膜拜圣賢無所不能，無所不知，無論什么都要打出圣賢的招牌才最有力，幾乎成為共識劉徽九章算術注原序中“周公制禮而九數”的說法，正是這種烙印的一種表現因此，劉徽的唯物數學觀具有時代的局限性綜上所述，劉徽雖然生活在封建制度方法下的古代晉朝，卻能客觀地總結前人的實踐經驗，唯物地創造性地發展我國的數學科學，不失為我國和世界同時期的偉大數學家，“劉徽”這個名字在數學科學史上必將光照千秋西方數學哲學思想的演變歷程及舉例數學史上產生過三次數學危機，而三次危機的產生與解決，客觀上揭示了數學內在矛盾運動的過程，也就是數

9、學史的一個縮影事物的辯證本性和辯證聯系常常是以悖論的形式出現的。三次數學危機正是由悖論引起的悖論是科學發展的一種強有力的內在的邏輯力量，思維雖然不能完整地把握客觀事物的辯證矛盾，但由于悖論的出現，卻使人看到了舊的理論同客觀事物的辯證性質之問的尖銳矛盾，在這種情況下，必然產生出新概念、新思想、新方法和新理論，悖論一旦得到解決，科學便隨之得到突破性的發展【1】悖論，芝諾悖論 數學史中的第一次數學危機 公元前五世紀的畢達哥拉斯學派相信“宇宙問的一切現象都能歸結為整數和整數比”，希帕索斯發現的“正方形一邊與對角線不可通約”即 悖論，嚴重沖擊了當時希臘人的普遍信條，在驚異不安之后，還是被迫努力尋求對“自

10、然數及其比不能包括一切幾何量”這一事實的理解。畢氏學派提出單子論概念去解決這一悖論。而單子論又受到芝諾悖論的否定進一步促使人們從直覺、經驗轉向追求邏輯和理性，引導出柏拉圖、亞里士多德、歐幾里得的公理幾何體系和邏輯學的出現和發展。而無理數的理論直到十九世紀才完成。【2】徽積分悖論數學史中的第二次數學危機 微積分這門學科的莫基人，人們公認是牛頓和萊布尼茲，但在微積分理論初創時期，不論是牛頓還是萊布尼茲，都無法越過從有限到無窮小量的鴻溝他們的證明都要依靠一個模糊的原理，即一個無窮小量既可以是一個極其微小的量，同時又可以是零，這就直接違反了最基本的邏輯規則“什么是無窮小”引出的微積分悖論造成了第二次數

11、學危機宣稱“存在就是被感知”的主觀唯心主義者貝克萊呼之為“逝去量的鬼魂”，旨在挽救宗教、宣揚唯心主義，所有的數學家、自然科學家、哲學家都在各抒己見。在近兩個世紀的爭論、探討中達朗貝爾、波爾查諾、柯西、阿貝爾、狄里克列、外爾斯特拉斯等人都做了大量的工作，建立了“一”的極限、連續定義，將導數、積分建立在嚴格的極限基礎之上，最終以外爾斯特拉斯、戴德金、康托爾建立實數理論及由此的極限理論，消除了微積分理論中的悖論，克服了第二次數學危機。極限理論是微積分理論的基礎，它的建立體現了人們對無窮小量認識的深化過程，在微積分的歷史上，這個過程雖然是曲折的，但是人們的思想終于突破了形而上學的框框，掌握了無窮小量的

12、辨證本質，這是唯物辯證法的一個勝利。徽積分悖論的消除還有重大的科學意義，它使得在微積分理論的基礎上建設起來的高樓大廈，再也無需有基礎下陷之憂慮了進人二十世紀之后，它對社會生產和科學技術的許多領域都產生了更加巨大的推動作用【3】羅素悖論 數學史中的第三次數學危機 1900年正當龐加萊在國際數學家大會上宣稱“數學已經被算術化了，現在的數學已經絕對嚴格”之時，羅素悖論導致了第三次數學危機，因為“集合的集合”究竟屬于哪類集合的疑難，作為集合論基礎的皮亞諾公理出現了漏洞，使現代數學大廈出現了一條裂縫。為解決這場危機，邏輯主義、直觀主義和形式主義三學派開展了長達半個世紀的爭論，至今雖以統一“數學基礎”而使

13、羅素悖論的震波漸趨平息，但徹底消除基礎的裂痕已無可能不過，人們還是獲得了重大進步，如類型論、公理集合論等，對數學、邏輯、語言，乃至科學、哲學理論等都有了更加冷靜、本質的認識，這是作為“智慧的人” 的一步重大的提高【4】微積分中蘊涵的豐富哲學思想微積分中蘊涵著豐富的哲學思想，如“量變到質變”、“對立統一規律”、“特殊存在于一般之中”等。1積分概念中蘊涵的哲學思想定積分、重積分、曲線積分、曲面積分的產生是解決實際問題的需要，解決的基本方法是：有限分割，以直代曲或以勻代變的近似計算，有限積累的求和，極限轉化 比如定積分的概念是由求曲邊梯形的面積引出的，和式ni=lfi）xi表示n個矩形面積之和；當0

14、時，lim，ni=lf(i)xi 則是曲邊梯形的面積。馬克思曾對微積分作過一番歷史考察他把這一時期稱為“神秘的微積分”時期并有這樣的評論：“于是，人們自己相信了新發現的算法的神秘性。這種算法肯定是通過不正確的數學途徑得出了正確的(而且在幾何應用上是驚人的)結果.【5】非歐幾何的哲學思想認識論的變革法國哲學家、數學家彭加萊說過：非歐幾何的發現，是認識論一次革命的根源簡單講，人們可以說，這一發現已經勝利的打破了那個為傳統邏輯所要求的束縛住任何理論的兩難論題：即科學的原理耍么是必然真理(先驗綜合的邏輯結論)；要么是斷言的真理(感官觀察的事實)他指出：原理可能是簡單的任意約定但是這些約定決不是同我們的

15、心靈和自然界無關的，它們只能靠著一切人的默契才能存在，它們并且緊密地依賴著我們所生活的環境中的實際外界條件，事實上正是由于這一點。對于探索未知或目前無法感知的事物我們可以在哲學的領域里依靠我們對自然界的認識作某種“默契約定”，這是認識一切事物的開始和基礎另外，我們在理論評判中，放棄非彼即此的評判，愛時斯坦就說過：這種非彼即此的評判是不正確的這些評判家、數學家的評判尤疑是非歐幾何創立后，其對思想、理論建立特別是對認識論有最為直接的影響；更進一步的近代的理論和技術的進步均離不開它的內在影響，像“相對論”的產生、特別是對時空的進一步認識，集合論、現代分析基礎、數理邏輯、量子力學等學科建立與發展均可以

16、看成是非歐幾何的直接結果非歐幾何的創立所產生的震蕩至今余波未消限【5】潛無窮與實無窮中的辯證法任何事物的內部都包含著互相對立又互相統一的兩個方面，徐利治教授在談到“潛在無限”和“實在無限”時明確提出“兩種無限只不過是對同一對象的兩個側面的反映”實際上既不存在沒有潛在無限的實無限，也不存在沒有實無限的潛無限，實無限都必須是某一潛無限基礎上飛躍而完成的無限過程，潛無限都是某一個實無限的初始片斷可見，無窮觀的發展過程中也蘊含著豐富的辯證法內涵.顯然，三次危機的產生和消除過程包含了豐富的哲學問題。每一次危機的消除都促進了學的發展，而哲學的發展也是數學得以突破的主要因素之一。學習這段歷史的過程，也是我們

17、歷經人的認識在各個歷史階段中的局限性和相對性的過程歷史就是智慧，它橫跨千年，把從原始的信仰到辯證地理性的分析之間那漫長曲折的歷程都展現在我們面前品味每個智慧的節點，從經驗論到唯理論，再從形而上學到辯證法，不斷的矛盾，不斷的反思，促使我們逐步摒棄不正確的思想，樹立健康的哲學觀念，而隨之提高的哲學修養必然導致我們對數學更深層次的思考這樣也必然會再次遇到矛盾，數學的發展又將在矛盾的解除中實現，哲學理論亦將再次走向深入.一部數學史縱貫五千年，橫亙東西方，其中蘊涵的哲學意義已是十分充盈，而現代數學還在迅猛發展，有許多問題亟待解決，這就需要我們在數學史教學中加強哲學觀念的培養，對科學中最一般的、最深刻的價

18、值、真、善、美抱以熱烈的感情，去上下求索。因為：不論運用怎樣的思維原則和思想方法，最終還是屬于哲學.滲透于實際生活中數學哲學思想【1】特殊化思想特殊化思想的意義在于當研究的對象比較復雜時，通過對其特殊情況的研究，將會使我們對研究的對象有個初步了解，并且幫助我們熟悉所面臨的問題的類型，這對于進一步處理以至最終解決這個問題有很大好處。另外，事物的共性存在于個性之中。對個別的特殊情況的討論，常常可以凸現問題的關鍵，從而揭示出問題的本質。只要我們尋找到題目蘊涵的特殊和一般之間的聯系，運用特殊化思想能起到事半功倍的效果.【2】轉化思想數學方法論中所論及的轉化是指把待解決或未解決的問題，通過某種轉化過程，

19、歸結到一類已經能解決或者解決比較容易解決的問題中去，正所謂正難則反的思想，最終求獲原問題之解答的一種手段和方法。該方法在解題中被廣泛用到。大學數學的學習中我們經常利用該方法，比如將多元函數的微分和積分相關問題轉化為一元函數的微分和積分等.【3】函數思想函數的思想是用運動和變化的觀點，集合與對應的思想，去分析和研究數學問題中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖象和性質去分析問題轉化問題，從而使問題獲得解決。對于一些常見的實際問題的處理我們需要轉化為數學問題，分析變量之間的聯系，要構造函數，利用相關函數的思想借助導數等相關定理解決問題.【4】數形結合的思想“數缺形時少直覺 形缺數時難入

20、微 數形結合萬般好”說的就是數形結合的思想就是把問題中的數量關系與相應的圖形結合起來，由數的性質得到相應圖形的性質，或由圖形的特征得出相應的數量關系，從而解決問題.在大學數學的解題中，根據題中“數”的結構特征，構造出與之相應的幾何圖形，并利用圖形的特征規律來研究解決問題，可以化抽象為直觀，易于顯露出問題的內在聯系.數學史課程學習的意義和感悟數學史與數學文化的學習過程中加強了我們理工科大學生本身薄弱欠缺的科學人文精神，不但引導我們了解數學與人類社會發展的相互作用，追尋數學發展的歷史軌跡，而且讓我們充分體會數學中蘊含的哲學思想、美學價值及其應用的廣泛性，幫助我們樹立正確的價值取向，培養形成高尚的人

21、格，為提高理工大學生整體素質打下良好的基礎。 具體分以下五點介紹下課程結束后我的學習體會和學習感想：【1】從數學家的道德品質中感受人格魅力培養人文精神課程對我們進行人文精神培養，弘揚了數學家高尚的道德品質，培養了我們探索未知，追求真理的人文精神。以數學的內在精神為導向，引導我們樹立正確人生觀。數學精神是人類文明的崇高精神，是一種敢于堅持數學思想的勇氣和不斷追求真理的意識。把數學知識與其建立的背景有機地結合起來，這是以數學史實幫助我們領悟數學精神和數學發展的一般規律。誠實、求是，是數學理性精神的本質特征。數學語言的精確性使得數學中的結論不會模棱兩可，數學中不存在偽科學，不允許有任何弄虛作假的行為

22、存在。數學讓人不迷信權成，不屈服干權貴；數學讓人堅持原則，忠于真理.培養我們自尊、自信、自愛的獨立人格。又理智、自律是科學文化人的重要人格特征。數學能夠去其浮躁，凈化人的靈魂。數學的思維方式，教育人們理智地思考問題，三思而后行。數學發展史中的公理化方法、結構方法、數學模型方法拓撲等方法，培養我們思維的條理性、整體性、創造性 深刻性，久而久之，養成從全局出發，抓住事物的本質，自覺按客觀規律辦事的習慣.【2】以數學家的道德實踐為榜樣，學會敢干堅持真理通過學習數學史與數學文化，了解到數學家在追求真理時所表現出來的奉獻精砷，在數學研究中的艱辛勞動，數學家的成功與失誤，數學家的成長與發展道路，數學家的品

23、德力量等等，讓我認識到數學發展過程中看似簡簡單單的公式和定理背后，都有前人巨大的付出和汗水，所有這些也深深地激勵和鞭策我們，在普遍存在的崇拜“歌星”，輕視“科星”的環境中，不同流合污，不隨波逐流，學會敢干堅持真理.數學的前進和發展的道路郜不是平坦的，無理數的發現，非歐幾何的創立，微積分的發現等等這些例都說明了這一點數學家們或是堅持真理，不畏權成，或是堅持不懈，努力追求，很多人甚至付出畢生的努力阿基米德在敵人破城而人危及生命的關頭仍沉浸在數學研究之中，為的是“我不能留給后人一條沒有證完的定理”歐拉31歲右眼失明，晚年視力極差最終雙目失明，但他仍以堅強的毅力繼續研究，它的論文多而且長，以致在他去世

24、之后的1 0年內，他的論文仍在科學院的院刊持續發表。經過學習數學史，可以讓我們正確看待學習過程中遇到的困難，重新樹立學習數學的信心.【3】從數學家的思維方法獲得思想啟迪，樹立科學世界觀數學本身充滿了矛盾、運動、發展和變化，體現著唯物論的辯證法，是體現唯物論和辯證法非常廣泛 具體的學科。數學中有許多概念都是從客觀現實中抽象出來的，從古至今許多前人總結的法則 公式 結論都是按照“從實踐中來，到實踐中去”或遵循“由特殊到一般，再由一般到特殊”的認識規律而產生、推導、歸納 概括 推廣、發展、應用的.讓我們在今后的學習探索過程中處處體會到數學中的矛盾轉化原理：對于一個數學問題(或生活中的問題)，可以通過

25、把未知轉化為已知的問題，或者將復雜的問題轉化為簡單的問題去解決，這我們在學習和日常生活中解決實際問題提供了幫助。同時使我們在學習中體驗和領會事物的絕對與相對、現象與本質、靜止與運動、具體與抽象、特殊與一般，量變與質變、實踐與認識、對立與統一的辯證關系，培養我們的科學思維方法，提高分析和解決問題的能力.【4】以數學史為鏡，明事理，知榮辱，擔責任學習數學史讓我更清楚了一個事實：古代中國的數學有其輝煌的一面例如“祖氏原理”比西方稱之為的“卡瓦列原理”要早1000年，要憲的“高次方程數值解法”，比西方國家早出500多年，秦九韶的“大衍求一術”，現被公認為“中國剩余定理”，比西方同類結果早500年朱世杰的“招差術”比西方同類結果早300多年等等，并且中國古代的數學常以歌謠形式和算法口訣出現，形式活潑、朗朗上口，深入民間。然而古代中國的數學因“重算法，輕演譯”，再加上古時“天朝帝國”的妄大、自守，導致16、17世紀當近代數學在歐洲蓬勃興起之時，中國數學就明顯地落后了。學習數學史就是要讓我們學會以史為鏡，明事理知榮辱，擔責任，正式歷史和現實，在實現個人價值的同時努力奮斗，為日后中國的數學事業發展添磚加瓦.參考文獻1Karl Marx 資本論第一卷、第三卷增補（恩格斯著）.武漢出版社 2010-22 郭貴春,康仕慧.走