1、重視數學思想方法的教學“中學數學核心概念、思想方法結構體系及其教學設計的理論與實踐”初中第六次課題會議成果綜述人民教育出版社中學數學室李海東摘要：本文通過對二元一次方程組和反比例函數的教學中數學思想方法的剖析，闡述了數學思想方法隱喻性、層次性、活動性、過程性的特點，并提出要結合引入過程、問題設計、小結等環節加強數學思想方法的教學 關鍵詞：數學思想方法；教學設計 “中學數學核心概念、思想方法結構體系及其教學設計的理論與實踐”初中第六次課題會議，于2010年4月810日在江蘇省南通市召開。本次會議與人教版初中數學課標教材修訂工作征求意見會同時舉行。參加本次課題會研究課和評課活動

2、的代表，除課題組成員外，還有部分人教版初中數學課標教材培訓講師團的成員，南通市初中數學教師等共200多人。 本次會議以“消元二元一次方程組的解法”為題，由北京五中分校曹自由老師、山西省陽泉市第十九中學翟秀蕊老師各上了一堂現場研究課；以“反比例函數的圖象和性質”為題，由天津市新華中學李慶老師、江蘇省南通市第一初級中學許磊老師各上了一堂現場研究課。這兩個課題都是常規的教學內容，內容看似簡單，但其中蘊含著豐富的數學思想方法。在研究課后的評課、討論環節，除了對教學設計和課堂教學的成敗得失進行了客觀的分析點評外，很多老師都談到了這兩個課題所蘊含的思想方法。會后，課題組成員的反思文章中，思想方法

3、也是大家主要研究的內容。現將本次會議會上討論和會后反思的成果整理出來，以供研究和討論。 一、對數學思想方法的認識 “數學思想方法”一詞，在數學教育、數學教學領域已被廣泛使用。對于什么是數學思想方法，數學家和數學教育工作者有諸多論述。概括起來，大家通常是從“數學思想”和“數學方法”兩個角度進行闡述的。數學思想是對數學對象的本質認識，是從某些具體的數學內容（如概念、命題、規律）和數學認識過程中提煉出來的基本觀點和根本想法，對數學活動具有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想。數學方法是指數學活動中所采用的各種方式、手段途徑、策略等。 數學知識、數學方法、

4、數學思想是數學知識體系的三個層次，它們相互聯系，協同發展。數學知識是數學思想方法解決問題所依附的材料；數學方法是解決問題的途徑、手段，是數學思想發展的前提；數學思想是一類數學方法本質特征的反映，是數學方法的靈魂。數學思想和數學方法是緊密聯系的，通常，在強調數學活動的指導思想時稱數學思想，在強調具體操作過程時則稱數學方法。 對于中學數學中常用的數學思想方法，數學家和數學教育工作者的表述也不盡相同。概括起來，可以分為兩類。一類是科學思想在數學中的應用，如分類討論、分析與綜合、歸納與演繹、類比、化歸思想等；另一類是數學學科特有的思想方法，如符號與變元表示、模型化、集合與對應、公理化與結構化

5、、數形結合、函數與方程、極限、算法與程序化、概率統計的思想方法等等。 數學思想方法的學習和領悟能使學生所學的知識不再是零散的知識點，它能幫助學生形成有序的知識鏈，建立良好的認知結構；它是銘記在人們頭腦中起永恒作用的數學觀點和文化，是使學生提高數學思維水平，建立科學的數學觀念，從而發展數學、運用數學的保證。因此必須重視數學思想方法的教學。在初中數學教學中，數學思想方法的教學可分為三個層次：滲透、介紹和突出。滲透，就是要在具體的數學知識的教學中，融進某些抽象的數學思想方法，使學生對這些思想方法有一些初步的感覺或直覺。例如，對于集合與對應、公理化與結構化、極限、算法與程序化的思想方法等。介

6、紹，就是要把某些數學思想方法在適當時候引進到數學知識中，使學生對這些思想方法由初步的理解，有一定的理性認識。例如，對符號與變元表示、模型化、數形結合、函數與方程、概率統計、分類、化歸的思想方法等。突出，就是要在介紹的基礎上經常性地予以強調，使學生能加以運用。初中數學教學中要突出的有數形結合、函數與方程、化歸的思想方法等。當然，隨著學生學習的不斷深入，對數學思想方法的要求也是不斷深入的。例如算法的思想方法在初中階段可以結合解方程（組）等進行“滲透”，到了高中就要求是“介紹”甚至“突出”的層次了。 二、做好內容解析，析出教學內容蘊含的數學思想方法 除“核心概念”外，“思想方法”

7、也是本課題研究的重點內容，數學思想方法具有隱喻性的特點，它隱于知識內部，要經過反復體驗才能領悟和運用。數學思想方法的教學，首先需要從對教學內容的分析入手，析出其中蘊含的數學思想方法。課題組的教學設計框架中第一條就是“內容和內容解析”，其用意不僅是要在揭示概念內涵的基礎上，說明概念的核心，對概念在中學數學中的地位進行分析，還要求對其中隱含的數學思想方法做出明確表述。這就要求我們要理解教學內容所反映的數學思想方法。 1“二元一次方程祖的解法”教學中的數學思想方法分析。 在學習這部分內容之前，學生已學習了一元一次方程，那時要解的是含有一個未知數的一個方程。對于“如何解由含有多個未

8、知數的多個方程組成的方程組”的新問題，自然可以聯想到相關的“解含有一個未知數的一元一次方程”的老問題，這是非常自然的思考方法。怎樣解決新問題呢？首先就是要設法把復雜的新問題轉化為老問題形式，這就是化未知為已知、化復雜為簡單、化陌生為熟悉、化困難為容易的化歸思想。這里將新問題轉化為老問題就是要將含多個未知數的多個方程，轉化為含有一個未知數的一個方程，先求出一個未知數，再逐步擴大戰果，求出其余未知數。這也是非常自然的思考方法，這種“將未知數的個數由多化少、逐一解決”的思想就是消元思想。確立了解決問題的思路，接下來就是如何實現消元了，也就產生了代入與加減兩種消元的方法。而為了實現“代入”與“加減”，

9、還需要具體的代數的恒等變換的方法。 “消元二元一次方程組的解法”的教學中蘊含的思想方法體現了數學思想方法的層次性的特點，這種層次也反映了對數學內容本質的認識的概括程度的高低。這里，化歸是第一個層次，消元是第二個層次，代入和加減是第三個層次，恒等變換是第四個層次。從培養學生良好的思維習慣和方法的角度看，本節課的教學不僅要讓學生學會用代入法或加減法解二元一次方程組，更重要的是要引導學生產生和理解消元思想，體會解決新問題的過程（化歸）。消元是學生自覺地、主動地理解和掌握代入法、加減法等具體解法的基礎，也是避免死記硬背解法程序的關鍵。 2“反比例函數的圖象和性質”教學中的數學思想方

10、法分析。 反比例函數的圖象和性質，蘊含著數形結合、變化與對應、類比、轉化等豐富的數學思想方法。 首先，反比例函數圖象和性質，本身就是“數”與“形”的統一體通過對圖象的研究和分析，可以確定函數本身的性質，體現了數形結合的思想方法。反比例函數是自變量和因變量之間具有反比例關系的函數，無論從其概念，還是其性質（在某一象限內，y隨x的增大而增大或減小）都體現了變化與對應的函數思想。研究反比例函數的圖象與性質時，由“解析式（確定自變量取值范圍）”到“作圖（列表、描點、連線）”，再到“性質（觀察圖象探究性質）”，充分體現了由“數”到“形”，再由“形”到“數”的轉化過程，這種函數解析式及

11、性質與函數圖象之間的聯系，體現了兩者間的轉化對分析解決問題的特殊作用，是轉化思想的具體應用。 另外，從研究方法上來看，反比例函數的學習也體現了研究函數的一般套路和方法，是繼一次函數學習之后的再一次強化。教材中呈現的不論是“函數概念函數的圖象和性質函數的實際應用”的整體結構，還是具體研究函數概念、函數圖象和性質的處理也都是一脈相承的。這種同構對于學生明確學習任務，建立完善的認知結構也將是非常有意義的。正因為如此，研究反比例函數的圖象和性質可以類比研究正比例函數的圖象和性質來進行。需要注意的是，這里的類比不僅僅有研究內容的類比（包括自變量的取值范圍，函數圖象的形狀、位置，函數的增減性等）

12、，更重要的是研究方法的類比，也就是數形結合地研究函數圖象與性質的“三步曲”（畫出函數圖象從圖象上觀察函數的性質用數學語言描述這些性質）。要注意，類比不僅僅要關注“同”，也要關注“異”，“異”才是體現某一知識本質屬性的東西。例如，反比例函數圖象的不連續性是其與正比例函數圖象的一個不同點，它也是反比例函數需要在不同象限內分別討論增減性的原因，這也是本課學生的認知難點。解決這一難點的辦法是要回到解析式上（x0），而這正是從“形”到“數”，這也是數形結合的思想方法的體現。 三、精心設計教學過程，有意識地進行數學思想方法教學 數學思想方法具有過程性的特點，它蘊含于數學知識的發生發展過

13、程中，數學概念和原理的形成過程是進行數學思想方法教學的載體，沒有“過程”就沒有“思想”。數學思想方法還具有活動性的特點，學生頭腦中的數學思想方法也是在數學學習活動中逐步形成的，數學思想方法的學習重在體驗和領悟，逐步形成用這些思想方法進行思維的習慣。這就要求我們精心設計教學過程，從問題的提出、情景的創設，到教學方法的選擇，整個教學過程都要精心設計安排，做到有意識有目的地進行數學思想方法的教學。 1引入過程重視“先行組織者”的使用，加強研究方法的指導。 奧蘇伯爾提出：在呈現具體內容之前，先呈現一些密切相關的、包容范圍廣但又非常容易使人理解和記憶的引導性材料先行組織者。先行組織者

14、能激活認知結構中已具備的相關概念，使學生認識到它們之間的聯系；先行組織者為將要學習的材料提供了一個框架或線索，起到了“導游圖”的作用，能使學生對學習進程心中有數，幫助學生建立有意義學習的心向，有助于學生掌握研究問題的方法。 例如，在反比例函數的圖象和性質的引入部分，兩位老師的教學設計都是類比了正比例函數的圖象和性質，先讓學生回顧正比例函數的圖象和性質，并列出表格，列出解析式、形狀、位置、圖象趨勢、增減性等，接下來類比這些內容研究反比例函數的圖象和性質。北京的王玉起、雷曉莉，天津的何志平老師都指出，這樣教學也體現了類比的思想，但立意似乎低了些，沒有讓學生真正體會到研究函數圖象和性質的思

15、想方法。事實上，在給出課題后，可以先給學生這樣的先行組織者：要研究反比例函數的圖象與性質，首先思考我們研究過哪些函數的圖象和性質？是怎么研究的？也就是要研究那些問題？研究的方法是什么？這樣設問，也是要讓學生回顧正比例函數的圖像和性質，但顯然觀點高了，不僅復習正比例函數的圖象是什么，有哪些性質，更重要的是讓學生明確研究函數圖象和性質的的基本套路，要明確研究哪些問題，還要知道研究的方法，這才是對學生進行數學思維策略的引導。這樣從整體上概括地思考一下研究的內容和方法，不僅對學生領悟數學思想方法有作用，而且也有助于學生創新精神和實踐能力的培養。 2設計好的問題，讓學生經歷思想方法的形成過程&

16、#160;要使學生真正理解數學思想方法，必須要有他們自己身體力行的實踐，從自己親身經歷的探索思考過程中獲得體驗，從自己不斷深入的概括活動中，獲得對數學思想方法的領悟。因此，在數學教學設計中，在運用數學思想方法產生解決問題策略的“關節點”上，要注意提出恰當的、對學生數學思維有適度啟發的問題，結合問題的解決，讓學生經歷思想方法的形成過程。 例如，人教社宋莉莉老師指出，對于“消元二元一次方程組的解法”這一內容，兩位教師采用了不同的方式引導學生分析求解方程組的思路。曹老師在給出上節課的方程組并讓學生回憶已學過的與解方程有關的知識后，直接讓學生嘗試自己根據等式的性質求解給定的方程組。缺少了引導

17、學生回憶解一元一次方程中的化歸過程，以及要將解二元一次方程組的問題轉化為解一元一次方程的體現化歸思想的問題，喪失了一次向學生滲透化歸這一重要思想方法的機會。翟老師再結合問題情境得到方程組和一元一次方程3x2(143x)=14后，沒有直接對二者進行比較（這種比較有利于發現未知與已知的聯系，為學生指明了將未知轉化為已知的一種途徑），轉而另外給出兩個二元一次方程，讓學生練習用含一個未知數的式子表示另一個未知數。這種引導，不如在解決同一問題的兩種解法中尋求聯系更加自然，更有利于學生思維的發展。 在教學設計時，還要注意例子的選擇。一個好例子勝過百次抽象說教。好例子能給學生的數學活動提供一個“生

18、長點”，使他們在遇到具體問題時能受到例子的啟發而想到該怎么做，也有助于結合它們理解解決問題的思想方法。例子的選擇要注意指向核心的知識和思想方法。例如，在“二元一次方程組的解法”的教學設計中，兩位老師都使用了如和的解方程組例子。教師的本意是突出訓練整體代換的方法進行消元。實際上，相比化歸、消元而言，整體代換更是技巧，如果是方法，也是比前文講的“恒等變換”還要最低層次的方法。作為二元一次方程組織的解法的第一課時，本節課選擇的例題和練習應更關注基本題型，以更有助于學生對基本思想方法的理解。 3發揮小結的作用，讓學生學習的思想方法也納入認知系統。 小結不僅要引導學生歸納知識結構，還要對思想方法進行概括總結，這一點也逐步得到了老師們的重視。但在目前的數學教學中，小結往往“八股化”，教師