1、專題 09 導數的幾何意義-切線問題【熱點聚焦與擴展】導數的幾何意義為高考熱點內容，考查題型文科多為選擇、填空題，理科常出現在解答題中，難度中等或更小.歸納起來常見的命題探究角度有：求切線方程問題.確定切點坐標問題.已知切線問題求參數.(4)切線的綜合應用.(一)與切線相關的定義1、切線的定義：在曲線的某點A 附近取點 B,并使 B 沿曲線不斷接近 A.這樣直線 AB 的極限位置就是曲線在點 A的切線(1) 此為切線的確切定義，一方面在圖像上可定性的理解為直線剛好與曲線相碰，另一方面也可理解為一個動態的過程，讓切點 A 附近的點向A不斷接近，當與A距離非常小時，觀察直線AB是否穩定在一個位置上

2、(2)判斷一條直線是否為曲線的切線，不再能用公共點的個數來判定。例如函數y=x3在-1,-1處的切線， 與曲線有兩個公共點(3) 在定義中，點B不斷接近A包含兩個方向，A點右邊的點向左接近，左邊的點向右接近，只有無論從哪個方向接近，直線AB的極限位置唯一時，這個極限位置才能夠成為在點A處的切線。對于一個函數，并不能保證在每一個點處均有切線。例如y = x在(0,0)處，通過觀察圖像可知，當x = 0左邊的點向其無限接近時，割線的極限位置為y = -x，而當x = 0右邊的點向其無限接近時，割線的極限位置為y = x，兩個不同的方向極限位置不相同，故y = x在(0,0 )處不含切線(4) 由于

3、點B沿函數曲線不斷向A接近，所以若f x在A處有切線，那么必須在A點及其附近有定義(包括 左邊與右邊)2、 函數f(x)在點X0處的導數f(X0)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點(X0,f(x。)處的切線的斜率(瞬時速度就 是位移函數s(t)對時間t的導數).相應地，切線方程為yf(x0)=f(x)(xX。).3、從導數的幾何意義中可通過數形結合解釋幾類不含導數的點：(1)函數的邊界點：此類點左側(或右側)的點不在定義域中，從而某一側不含割線，也就無從談起極限位置故切線不存在，導數不存在；與此類似還有分段函數如果不連續，則斷開處的邊界值也不存在導數(2)已知點與左右附近點的割線極限位置不相同

4、，則不存在切線， 故不存在導數例如前面例子y = x在0,0處不存在導數此類情況多出現在單調區間變化的分界處，判斷時只需選點向已知點左右靠近，觀察極限位置是否 相同即可.（3）若在已知點處存在切線， 但切線垂直x軸，則其斜率不存在，在該點處導數也不存在.例如：y =3x在0,0處不可導.綜上所述：（1）- （ 3）所談的點均不存在導數，而（1）（ 2）所談的點不存在切線，（3）中的點存在切線，但沒 有導數由此可見：某點有導數則必有切線，有切線則未必有導數（二）方法與技巧：1、求切線方程的方法：一點一方向可確定一條直線，在求切線時可考慮先求出切線的斜率（切點導數）與切點，在利用點斜式寫出直線方程

5、 2、 若函數的導函數可求，則求切線方程的核心要素為切點A的橫坐標x0，因為x0可“一點兩代”，代入到原函數，即可得到切點的縱坐標f X。，代入到導函數中可得到切線的斜率fX。=k,從而一點一斜率，切線即可求所以在解切線問題時一定要盯住切點橫坐標，千方百計的把它求解出來3、求切線的問題主要分為兩大類，一類是切點已知，那么只需將切點橫坐標代入到原函數與導函數中求出切點與斜率即可，另一類是切點未知，那么先要設出切點坐標x0,y0,再考慮利用條件解出核心要素X。，進而轉化成第一類問題4、在解析幾何中也學習了求切線的方法，即先設出切線方程， 再與二次方程聯立利用厶=0 求出參數值進而解出切線方程。解析

6、幾何中的曲線與函數同在坐標系下，所以兩個方法可以互通。若某函數的圖像為圓錐曲線，二次 曲線的一部分，則在求切線時可用解析的方法求解，例如:切線方程，則可考慮利用圓的切線的求法進行解決。若圓錐曲線可用函數解析式表示，像焦點在y軸的拋物線，可看作y關于x的函數，則在求切線時可利用導數進行快速求解（此方法也為 解析幾何中處理焦點在y軸的拋物線切線問題的重要方法）【經典例題】21例 1【2017 課標 1,文 14】曲線y =x2+在點（1，2）處的切線方程為 _x【答案】y = x 1【解析】試題分析：設 = /(X) )則 (功=2 乂一丄，所以 f( (i) )=2_i=iXy “ 1 - x2

7、（圖像為圓的一部分）在5、在處理切線問題時要注意審清所給已知點是否為切點的切線”則意味著該點有可能是切點，有可能不是切點 “在某點處的切線”意味著該點即為切點，而“過某點.如果該點恰好在曲線上那就需要進行分類討論了所以在(1.2)處的切魚戔方不呈為 J-2 = 1X( (X-1), g 卩 F =丸+1例 2【2017 天津，文 10】已知 aR，設函數 f(x)二 ax_l nx 的圖象在點(1,f(1)處的切線為I，則I在y軸上的截距為_._【答案】1【解析】試題分析：兀1)=4,切點為 M -八力=口一丄，則切線的斜率為f切線方程為：X曠“他-0(英-1，令x=om=bJ在p軸的截距為L

8、【名師點睛】本題考查了導數的幾何意義，屬于基礎題型，函數f x在點x0處的導數x0的幾何意義是曲線y = f x在點P x0,y處的切線的斜率相應地，切線方程為y-y二廠X。x-x注意：求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過點P的切線的不同，謹記，有切點直接帶入切點，沒切點設切點，建立方程組求1312切點.例 3【2018 屆遼寧省沈陽市東北育才學校高三第 三次模擬】己知曲線f x = x3- x2 ax 3上存在兩32條斜率為 3 的切線，且切點的橫坐標都大于零，則實數a的取值范圍為 ()A.3,13B.(3,13C.(-：,1D.(-：，13)(4丿444【答案】A【解析】由題意可知 x=

9、x2-x，a= 3，即有兩個解，且x1,x2均大于零。即x2-x，a-3 = 0,1 -4 a -3 013，解得3. a,選 A.X1X2二a - 3 04例 4.已知函數 y= x2的圖象在點(x0,)處的切線為 I，若 I 也與函數 y= In x ，x (0,1)的圖象相切，貝UX0的取 值范圍為()【答案】D5【解析】函數:廠的導數為，圖像在點處的切線的斜率為:,切線方程為 r _y =-設切線與一相切的切 點為 ，門:二，即有的導數為，可得2觀二”，切線方程為y _hnn = +（x_nh令x = 0,可得y = Inm -1 =由0 mL且 XQ11.解得Ko 1,宙m =-z-

10、,可得疔- 1= 0,令fix) = X1-ln(2x) - Lx 1,f(x) = 2x-0, f(X)在龍 1時單調遞増，且fC屁)=2-lnV2 -KO,= 3-lnV3-l0,所以有-111(2絢)-1 = 0的根扯e (V2.V3),故選D.例 5【2018 屆重慶市高三4 月（二診）】曲線xy -x 2y-5=0在點A 1,2處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（）49A.9B.49C.6【答案】B113【解析】由xy -X 2y -5 = 0,j1曲線在點A 1,2處的切線方程為y-2二-丄x-1.3令x=0，得y=7；令y =0得x = 7.317切線與兩坐標軸所圍成的三角

11、形的面積為S = 72349選 B.6例 6【2018 屆江西省南昌市高三一輪訓練】直線y二kx 1與曲線f x二alnx b相切于點P 1,2，則ab =A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】f x的導函數為f x二旦,x7又直線y =kx 1與曲線f x二alnx - b相切于點P 1,2,2=k 1 2二bk = a故選：C.例 7【2018 屆河南省高三 4 月測試】已知函數：在點， 處的切線為，動點在直線 上，貝卜的最小值是（）A. 4 B. 2 C. D.【答案】D【解析】由題得廠CO = = 1 = r（o）=e = 1所咲切線方程為y i =工7即X -y+ 1 = 0,

12、A a - 4-1 = 0, - - = -14- 2 畑-2= 22=V2當且僅當a=i b = -i時取等）,故選D 已知拋物線_朋為 軸負半軸上的動點，-為拋物線的切線，| :【答案】A2 2【解析】設切線-的方程為，代入拋物線方程得 ，由直線與拋物線相切得歸,得心存叫-訓,故也皿冷仆護-莽說當心乎時，曲勵的最小值為4故選 A.例 9【2018 屆江西省師范大學附屬中學、九江第一中學高三 11 月聯考】設曲線y JFSX在點n,1 j處的切線sinx2丿與直線x -ay 1 =0平行，則實數a等于（a二1b =2分別為切點，則1A.止 B.!的最小值為1C.1D.例 8【2018 屆廣東

13、省 2018 屆高三一模】1A._1B.丄C._2D.22【答案】A【解折】因為J =匕二所以# = T器y|n=-i,所臥曲線y二土空在點魚1處的切線的smxSJUx迄sinx 2J斜率為-L因為該切線與直線兀一刪+1 = 0平行,所以丄=-1,解得 a = -故選A.a例 10.求過點A 2,8，且與曲線f x =x3相切的直線方程【答案】y =12X-16或y =3x 2【解析】A 2,8滿足f x，但題目并沒有說明A是否為切點，所以要分A是否為切點進行分類討論。當A是切點時，易于求出切線方程，當A不是切點時，切點未知，從而先設再求，設切點x0, y0，切線斜率為k，三個未知量需用三個條

14、件求解：y0=fx0，k=fx0，k =y 一yAXo- XA解：（1）當A 2,8為切點時fx=3x2f2i=12切線方程為：y-8=12 x-2 = y=12x-16（2）當A 2,8不是切點時，設切點P x0,y0 x0=2，切線斜率為k而x。-8 = x。- 2 x22xo47x。=22 2 2-方程等價于：3x。=x。- 2x。- 4= x。-x。-2二。解得：X。=2（舍），x。= Ty -1,k =3切線方程為y，1=3x，1= 3x 2綜上所述：切線方程為y =12x -16或y =3x 2.【名師點睛】（1）由于在導數中利用極限的思想對切線進行了嚴格定義，即割線的極限位置是切

15、線，從而不能局 限的認為切3yo = )k =3x：，消去k,y。可得:3x：二y。-8xo- 23xo -8x。- 29線與曲線的公共點一定就是切點，存在一條直線與曲線相切于一點，并與曲線的另一部分相交于一點 的情況，本題便是一個典型的例子(2)在已知一點求切線方程時，要注意切線斜率不僅可用切點的導數值來表示，也可以用已知點與切點來進行 表示，進而增加可以使用的條件【精選精練】1.【2018 屆北京市育英中學高三十月月考】曲線y=xex2x_1在點0,-1的切線方程為()A.y =3x -1B.y = _3x -1C.y =3x 1D.y - -3x 1【答案】A【解析】由y y = = +

16、2x-l,得龍工+2 所以#+診+ 2 = 3 丄所以切線斜率為 3所以在點(0-1)的切線方程為 p+1 = 3 廠艮卩 y = 3 乂一 1.故選 A.2【2018 屆吉林省長春市高三監測(三)】已知，設函數；的圖象在點處的切線為，則在軸上的截距為()A.:B.1C. D.1【答案】Bf (x) - a - - J【解析】由題意可知，:-aky - a = (a -l)(;v - 1)令忑二0屏二 1故選:B._ _ . 1213【2018 屆北京市育英中學高三十月月考】已知曲線f x x -3lnx的一條切線的斜率為，則切點橫坐標42為( )A.-2B.3C.2或-3D.2【答案】D11

17、【解析】設曲線/（x）=l-31nx的一條切線的斜率為；的則切點橫坐標為花，且0.42（劉=卜-32 x-XQ= 2 或兀=3（舍去）故選 D.點睛：本題主要考查了導數的幾何意義即函數在某點處的導數，即為在該點出的切線的斜率，在處理該問題中需 注意切點的重要性，主要利 用：切點出的導數為斜率；切點坐標滿足曲線方程；切點坐標滿足切線方程共切線，貝U a的取值范圍為（）A.0,1B.【答案】D fr(0)=_ =2&即扇+2花一3 = 0.4.【2018 屆廣西桂林、賀州、崇左三市咼三第二次聯考】若曲線x2eGy =x與曲線C2: y =a（a 0）存在公D.【答案】C 【解析】因為k =

18、Xo=ex，所以切線方程為y - y二exx -xo，即y - e二e x - xo，令x = 0得 y =1 -xe,截距小于 0 時，y = 1 -xex：，解得x 1，故選 C.6【2018 屆陜西省西安市八校高三上第一次聯考】曲線y=x3上一點B處的切線I交x軸于點AOAB（O為原點）是以A為頂點的等腰三角形，則切線I的傾斜角為（）A. 30 B. 45 C. 60 D. 120【答案】C【解析】 對曲線尸x3求導得設切點鞏冷y y）則0點處的切線r的斜率為坯h 二切線/的方程為y-xjy-xj =3x=3x（x*xx*x令y-fi?y-fi?得/JJ JVOABOAB是以A A為頂點

19、的等腰三角形|OA = OB|，即開彳苗+（好）241-X。肓【解析】y在點m，m2的切線斜率為xe2m，y在點an、eenA的切線的斜率為二，故ane2m，由斜率公aa式得2m二enex-，即m=2 n-2,則4n-4有解.由y=4x-4，y的圖象有交點即可，相切時有m naa22eea，所以a，故選 D.44【點睛】本小題主要考查利用導數研究曲線上某點的切線方程，過曲線上某點出的切線的斜率，就是函數在該點處的導數值，是中檔題要求曲線上某點的切線方程,需要到兩個量，一個是切點，一個是切線的斜率，分別求得切點和斜率，然后根據點斜式可寫出切線方程5【2018 屆東北三省四市高三一模】已知過曲線y

20、二ex上一點P x0, y0作曲線的切線，若切線在y軸上的截距小于 0時，則A.0，二 B. 1，:C. 1，:D. 2,:13切線I的斜率為3x02= .3切線I的傾斜角為60故選 C.7【2018 屆江西省金溪一中、 余江一中等五市八校高三上第一次聯考】直線/與曲線相切于點,則的值為（）A.1B. C.1D.【答案】A【解析】 由直線、I與曲線-相切于點,則點-滿足直線、1的方程，即:，即卩I由； 叮_冷;，則b_二加.-,則，解得誇_丄，故選 A.8【2018 屆遼寧省沈陽市郊聯體高三上學期期末】已知正數m, n滿足mn 3，則曲線f x = - x3 n2x在點23【答案】A【解析】/

21、()= ：+耳3則+ 可得f (K)在點 Sf(HL)處的切線的斜率為k二十洛F故選A1 月月考】若曲線y=xx2-1在點1,1處的切線經過點2,m，則m =()A.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】y=3x2,2x，所以切線的斜率為k=5，切線方程為y = 5x-1，1=5x-4，所以m=2 5-4 = 6，選 D.10【2018 屆遼寧省沈陽市東北育才學校高三三模】己知曲線f x=X3-X2 ax 3上存在兩條斜率為 3 的32切線，且切點的橫坐標都大于零,則實數a的取值范圍為(【答案】A2x a = 3，即有兩個解，且X?均大于零。即xx，a-3=0，(B.DC.匸空D.,J3 2丿阮3丿：3,3!3丿m, f m|處的切線的傾斜角的取值范A.A伯3,413B.(3, C.4(-：,？ D.(_二，乎)圍為()由正如，n,満“吟，可得宀則傾斜角的范圍罡9【2018 屆山西省太原十二中高三【解析】由題意可知f X =15_4a30，解得3x2=a -3 0【點睛】轉化為f x =x2- x，a = 3有兩個正數解，用韋達和判別式或根的分布求得范圍11【2018 屆四川省高三春季診斷性測試】 已知直線 是曲線:與曲線的一條公切線，與曲線切于點，且一是函數； 的零點，則 的解析式可能為()A. f(x) =+ 2