1、小學數(shù)學教學研究自考復習資料教材小學數(shù)學專題研究李星云著第一章 小學數(shù)學課程目標及內(nèi)容一、數(shù)學是一種研究客觀世界中數(shù)量關系和空間形式的一門科學。數(shù)學本質(zhì)：數(shù)學是一種研究思想事物的科學一一恩格斯。二、數(shù)學的作用：一種科學只有在成功運用數(shù)學時，才算達到了真正完美的地步。 數(shù)學是一切科學技術(shù)的基礎，數(shù)學的內(nèi)容、思想、方法和語言已廣泛滲入自然和社會科學中，數(shù)學作為一種文化，已成人們的共識。三、我國數(shù)學課程及演變過程：(1)萌芽時期(公元前 600年前)(2)初等數(shù)學時期(公元前600科一一17 世紀中葉）（3）變量數(shù)學時期（17世紀中口+ 19 世紀20年代）（4）近代數(shù)學時期（19世紀20年代一一

2、第二次世界大戰(zhàn)）（5）現(xiàn)代數(shù)學時期（第二次世界大戰(zhàn)以來） 作為一門學科，在我國卻遲到隋唐時期，才 在國子監(jiān)設算學館。置博士、助教，選定和 注釋從漢朝以來的十部算經(jīng)，以算經(jīng) 十書著。算經(jīng)十書 是我 國古代數(shù)學發(fā)展和成就的代表文獻，構(gòu)成了我國古代傳統(tǒng)數(shù)學體系。周髀算 經(jīng)勾股定理；九章算術(shù)方程章中第13題是著名“五家共井”最早的不定方程 問題；孫子算經(jīng)“知客幾何” “雞兔 同籠”尤其是“物不知數(shù)”是后來馳名于世 的“大衍求一術(shù)”的起源，是中國古代數(shù)學 最具獨創(chuàng)精神的成就之一。張丘建算經(jīng) 提出了有趣的不定方程和解法“百雞問題”； 緝古算經(jīng)三次方程的代數(shù)解法；數(shù)學記遺“九宮圖”。三國時期劉徽用 割 圓術(shù)

3、求出了圓周率值為 3.14 ,之后法國數(shù) 學家偉達用解析方法求出冗值。世界上第一本討論排列組合的書是周易算學作為小學課程則從近代光緒二十八年 （1902年）才正式開始。1892年編筆算數(shù)學，則是我國學校里的 第一部算學教科書。1903 年春編制 最新教科書 我國自己編寫的 第一本正式的小學算學課本 問世。1978 年 2 月全日制十年制小學數(shù)學教學大綱 （試行草案） 明確將 小學算術(shù)改為統(tǒng)一的數(shù)學。1992 年三個面向“面向現(xiàn)代化” 、 “面向世界” 、 “面向未來” 。四、 國外數(shù)學課程變革的簡況及趨勢。20 世紀初，德國數(shù)學家克萊因發(fā)起并領導了數(shù)學教育近代化運動。現(xiàn)代數(shù)學運動發(fā)展是不平衡的

4、，分 三種類型： 1. 革新型 如英美； 2. 進化型 如蘇聯(lián)；3. 中間型 如日本。相似之處：1. 精簡傳統(tǒng)的算術(shù)內(nèi)容：2. 增 減或滲透集合、函數(shù)、統(tǒng)計等現(xiàn)代數(shù)學內(nèi)容；3. 用 結(jié)構(gòu)思想處理傳統(tǒng)內(nèi)容。“回歸基礎”改為“走向基礎” 。大眾數(shù)學 : 目標讓全體學生學好數(shù)學、 學習更多的數(shù)學而且是需要的數(shù)學。五、小學數(shù)學課程目標與分析（參考課標）小學數(shù)學課程目標是小學教育方向和性質(zhì)的表征，也是小學數(shù)學教育活動，包括組織教學內(nèi)容、確定教學要求、選擇教學方法、進行質(zhì)量評估、決定考試命題等進行的依據(jù)。1 、小學數(shù)學課程目標制定的依據(jù)2 、小學數(shù)學課程目標3 、小學數(shù)學課程內(nèi)容六、學科數(shù)學與科學數(shù)學課程

5、內(nèi)容的載體是教材教科書。學科數(shù)學的內(nèi)容是依賴于科學數(shù)學二建立和發(fā)展的。1. 作為科學的數(shù)學 ，它不考慮人們是否能夠理解和接受，只要能完備而又精確地闡明某種數(shù)學理論，更深刻地反應世界的空間形式和數(shù)量關系就行。而作為學科的數(shù)學必須遵循學生的認知規(guī)律和心理特點，往往日常生活、生產(chǎn)中的具體事例出發(fā)，對現(xiàn)象進行描述，然而轉(zhuǎn)向定義、定律、性質(zhì)等的揭露。2. 作 為科學數(shù)學，對所有的定理、法則等都必須進行嚴格的論證和推導，而作為學科的數(shù)學限于學生的接收水平，往往通過列舉一些事例用不完全歸納法得出結(jié)論。3. 作 為科學的數(shù)學，完全按照數(shù)學倫理的邏輯系統(tǒng)進行安排，可以難易起伏不均；作為學科數(shù)學在不影響科學性的前

6、提下，兼顧小學生的認知規(guī)律。對某些內(nèi)容可以適當調(diào)整。由此可見，科學數(shù)學是作為人類認識的結(jié)果而呈現(xiàn)的， 已完全揭示數(shù)量關系和空間形式為目的； 而學科數(shù)學可看作為認識對象而存在。對作為小學 學科的數(shù)學 而言，除了正確反映科學數(shù)學的知識外， 還必須充分遵循小學生的認知規(guī)律，有利于使他們學懂、學好、學活。有利于發(fā)展他們的智能，有利于進行思想品德教育。七、小學數(shù)學課程內(nèi)容編排原則：1. 以數(shù)與計算為主線，以數(shù)與形式為重點，把各部分內(nèi)容按其彼此的內(nèi)在聯(lián)系結(jié)合起來。2. 由 淺入深，由易到難，循序漸進，螺旋上升。3. 突 出重點，分散難點。4. 把 數(shù)學知識和數(shù)學應用結(jié)合起來。5. 注 重趣味性。數(shù)學學科的

7、特點 ： 1. 高度的抽象性 2. 嚴密的邏輯性 3. 應用的廣泛性。第二章 小學數(shù)學解題的理論依據(jù)一、 數(shù) 學問題及其組成1、1 、 數(shù)學問題雖然名稱不同， 敘述內(nèi)容不同，但它們卻有一個共同的特點， 即是在一定的知識背景中提出的。 知識背景主要包括已有的概念、理論和方法。因此，我們認為 依照數(shù)學問題的解答與知識背景的關系， 可以把數(shù)學問題大致分為兩類： 常規(guī)問題和非常規(guī)問題。2 、 依照 數(shù)學問題提法的意義是否明確，數(shù)學問題的條件是否充分， 我們還可以把數(shù)學問題劃分為： 可能問題和不可能問題。3 、數(shù)學問題的 組成成分 是條件、目標和運算。 （三大組成部分也叫構(gòu)成要素）二、 智力結(jié)構(gòu)與活動方

8、式1 、智力兩個方面：一是天賦的潛力、特性和發(fā)展的容量； 即健全的神經(jīng)代謝的總和。二是發(fā)展得以進行下去的大腦功能，即能夠決定操作和理解的功能。皮亞杰關于 智力階段的劃分感知運動階段（02 歲）前運算階段（ 2 7 歲）具體運算階段（711 歲）形式運算階段（11 歲以上）同化和順應是相對立的兩種力量。 同化是一個人按照過去的經(jīng)驗、 圖示來活動； 順應則是根據(jù)面臨的新信息所作的改變和思考。2、智力活動方式：（ 1 ）根據(jù)基本的心理過程，分為知覺方式、記憶方式和思維方式。（ 2 ）根據(jù)完成的主要功能，分為定向方式、執(zhí)行和控制方式。（ 3 ）根據(jù)標準和規(guī)范化程度，分為計算性方式、算法指令性方式、啟發(fā)

9、性方式。（ 4 ） 根據(jù)動作的共同性，分為一般方式和具體方式。另外， 根據(jù)智力活動在人類不同認知領域里的運用程度， 又可以分為一般方式 （如分析、綜合、抽象、概括、比較等）和限于某一認識領域的特殊方式。二、 數(shù) 學思維品質(zhì)及其發(fā)展水平1、 1、思維： 人腦對客觀事物的本質(zhì)特征、相互關系及其內(nèi)在規(guī)律性的概括的、 間接的反映， 是人們對外接輸入的信息的感知的基礎上經(jīng)過分析、綜合、比較、抽象、概括等智力活動方式， 對其加工、 推理和獲得理性認識的心理過程。2、思維的 本質(zhì) ：思維是間接認識事物，是通過感知與被直接認識的事物有著合乎規(guī)律的聯(lián)系的另一個對象而實現(xiàn)的。3、思維的 類型 ： 1. 邏輯性思維

10、2. 非邏輯性思維。形式邏輯思維 ：是以概念、判斷、推理等思維方式，同一律，矛盾律、排中律等思維規(guī)律，歸納、演繹、類比、科學假設等思維方法為其研究對象。辯證邏輯思維： 研究的是思維形式如何正確反映客觀事物的運動變化、 事物的內(nèi)部矛盾、 事物的有機聯(lián)系和轉(zhuǎn)化等問題， 其主要特點是用有限量來描述和刻畫。4 、 數(shù)學思維 ：又叫數(shù)學型思維，就是以數(shù)和形為思維的對象。 以數(shù)學的語言和符號為思維的載體， 以認識和發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律為目的的一種思維。數(shù)學思維品質(zhì) ：靈活性、積極性、目的性、 記憶性、 廣闊性、 深刻性、 批判性、準確性、簡捷性、獨創(chuàng)性和證明性。數(shù)學思維水平的評定： 第一級水平第五級水平前兩級水平

11、是小學年級的學生所特有的，第三級水平是初中年級學生所特有的；第四級水平是高中年級學生所特有的，至于第五級水平無論是幾何方面還是代數(shù)方面的， 均屬于數(shù)學思維的現(xiàn)代水平。 一般的中學階段的學生是難以達到的。四、 影響小學數(shù)學解題的心理因素： （兩大）（1） 問題解決的特征 ： 1. 問題情境因素 2. 解題者的個體特征 （解題者知識經(jīng)驗基礎和個性品質(zhì)） 3. 解題中的認知策略（解題者用來調(diào)節(jié)注意、回憶和思維的技能）（2） 遷移與思維定勢：遷移 是指一種知識、技能的學習和應用對另一種知識、技能的學習和應用所施加的影響。思維定勢 ： 指的是一種思維的定向預備狀態(tài)，在思維不受到新干擾的情況下，人們按照既

12、定的方向或者方法去思考。第三章 小學數(shù)學解題的認知過程1、 小學數(shù)學學習及認知學習 ： 從廣義上理解，學習是有機體憑借經(jīng)驗的獲得而產(chǎn)生的比較持久的行為（思維、想象記憶、感知等內(nèi)部心理活動和語言、表情、動作等外部活動）變化。從狹義上理解， 學習是指學生在老師指導下，有目的、有計劃、有組織、有步驟地進行的獲得知識、形成技能、培養(yǎng)能力、發(fā)展個性的過程。桑代克刺激反應理論， 學習是刺激和反應的聯(lián)結(jié)。苛勒完形理論， 學習是零碎和知覺信息的再組織過程。托爾曼認知理論， 學習是對環(huán)境中的刺激， 依其關系形成一種新的認知結(jié)構(gòu)的過程，是意義的獲得和實現(xiàn)期望的過程等等。小學數(shù)學學習： 是在教師指導下獲得數(shù)學知識、

13、數(shù)學技能和數(shù)學能力，發(fā)展個性數(shù)學品質(zhì)的過程。由于數(shù)學自身具有邏輯的嚴謹性、 高度的抽象性及應用的廣泛性， 所以，小學數(shù)學學習的核心內(nèi)容和最終母的是解決小學數(shù)學問題。小學數(shù)學解題： 作為小學生的一種特殊心理活動，綜合起來說，它屬于一種認知學習。小學數(shù)學解題是一種逐漸深入的，具體某種程度創(chuàng)新性和思維對策的心理活動 （認知）過程。不求甚解、生搬硬套、機械呆板等等，都不是小學數(shù)學解題的真實含義。2、 認知結(jié)構(gòu)：是指個體在感知及理解客觀現(xiàn)實的基礎上， 在頭腦里形成的一種心理結(jié)構(gòu)。 簡單點說認知結(jié)構(gòu)就是在個體頭腦里的知識結(jié)構(gòu)。小學數(shù)學解題作為小學數(shù)學學習的主要內(nèi)容和方式，其意義也就在于不斷積極主動地建立、

14、擴大和重新組織數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，并伴隨著同化和順應等特征。小學數(shù)學解題并不是數(shù)學知識的簡單應用，而是以原有數(shù)學認知結(jié)構(gòu)為依據(jù)，對新知識進行加工。3、 技能： 是順利完成某種任務的一種心智或動作的活動方式， 她需要通過練習才能形成。動作 ： 泛指在完成一項具體任務中所涉及的一系列操作，以完善、合理方式組織起來并順利進行時，就成為動作技能。心智系指借助于內(nèi)部語言在頭腦中進行的認識活動。它包括感知、記憶、想象和思維，但以抽象思維為它的主要成分。技能和能力 ： 是不同的概念，二者既有聯(lián)系，又有區(qū)別。技能是指完成一定任務的活動方式， 能力則是順利完成任務的個性心理特征。技能的形成以一定的能力為前提，反過來又

15、對能力的發(fā)展起重要的促進作用。數(shù)學動作技能 ： 指運用工具繪圖的技能，測量技能、使用計算工具的技能等。數(shù)學心智技能 ： 指數(shù)的計算技能、式的恒等變形技能、解方程、解不等式的技能，推理論證技能、運用數(shù)學方法的技能等。這兩種數(shù)學技能既有 聯(lián)系又有區(qū)別 。方面數(shù)學心智技能的形成， 與數(shù)學動作技能有關；另一方面，數(shù)學動作技能又受數(shù)學心智技能控制。數(shù)學認知技能 ： 的形成， 也有一個過程，就小學數(shù)學解題而言，可以概括成認知階段、聯(lián)結(jié)形成階段和自動階段。小學數(shù)學解題中的數(shù)學認知技能盡管有上述的幾個階段，但最終得以形成，都要經(jīng)歷一個從“會”到“熟”的過程，其間必須不斷通過有計劃、有目的的練習，才能完成這一轉(zhuǎn)

16、變。發(fā)展： 作為一般意義上的理解是指人的各種特性在結(jié)構(gòu)上和機能上的變化。 發(fā)展有生理發(fā)展和心理發(fā)展之分。四、認知發(fā)展： 是指與大腦生長和知識技能有關的發(fā)展方面。 涉及人在知覺、 記憶、思維、語言、智力等方面種種功能的發(fā)展變化。小學數(shù)學認知發(fā)展可以理解為小學數(shù)學認知結(jié)構(gòu)和數(shù)學認知技能的發(fā)展， 是通過小學數(shù)學活動過程來體現(xiàn)的。 認知發(fā)展一般包含這幾個階段： 1. 輸入階段 2. 同化和順應階段 3. 應用階段。 以上三個階段是密切聯(lián)系的。第四章 小學數(shù)學解題的實質(zhì)和結(jié)構(gòu)一 、小學數(shù)學解題的含義小學數(shù)學解題 即小學數(shù)學領域中的問題解決，不但要關心問題的結(jié)果，而且要關心求得結(jié)果的過程， 也就是問題解決

17、的整個思考活動。 所以小學數(shù)學解題指的是按照一定的思維對策進行的一個思維過程， 一步一步地靠近目標，最終達到目標。其含義就是思考的活動及探索的過程。19 世紀中葉，德國數(shù)學家格拉斯曼才成功地建立了一個算術(shù)基本公理體系， 解決和統(tǒng)一禮物在此之前人們一直混淆的上述問題。小學數(shù)學解題也就意味著找出這樣一個數(shù)學的一般原理（定義、公理、法則、定律、公式）的序列，當應用他們到問題的條件或者條件的推論（解法的中間結(jié)果）時，就能得到問題所要求的答案。2、 小學數(shù)學解題的結(jié)構(gòu)奧蘇伯爾解題結(jié)構(gòu)模式： 1. 呈現(xiàn)問題的情境 2. 明確問題的目標與已知條件 3. 填補空隙的過程4. 解答后的檢驗。小學數(shù)學解題的幾個階

18、段： 1. 分析題意2. 尋找解法 3. 實行解法 4. 回顧解法3、 小學數(shù)學解題的趨向教育心理學認為根據(jù)解題者尋求解答的趨向可以把解題分為 兩種主要方式 ，一種是嘗試錯誤式，另一種是頓悟式。嘗試錯誤式 是由進行無定向的嘗試， 重復無效動作，糾正暫時性嘗試錯誤。直至出現(xiàn)解決問題得以成功的一系列反應所組成的行動。頓悟式 解決問題嘗試錯誤式不同，它具有一定的“心向” ，努力發(fā)現(xiàn)手段與目標之間的有意義的聯(lián)系， 而這種聯(lián)系正是問題賴以解決的基礎。在小學數(shù)學解題中， 嘗試錯誤式和頓悟式實際上司不能絕對化的， 嘗試錯誤式解決可能是隱含在內(nèi)而不表露于外的。 所以看不出是嘗試錯誤式，未必就是頓悟式。頓悟式解

19、題也不一定是徹底的、完善的和即時的，盡管看上去解答是突然出現(xiàn)的， 事實上卻往往經(jīng)歷著一定的甚至是相當曲折的過程。4、 小學數(shù)學解題的規(guī)則常規(guī)問題解題規(guī)則： 1. 公式規(guī)則 2. 恒等式規(guī)則 3. 定理規(guī)則 4. 定義規(guī)則非常規(guī)問題就是沒有一般解題規(guī)則的數(shù)學問題，它的解題步驟序列，可以利用技巧將其轉(zhuǎn)化為等價的常規(guī)問題，或分解為若干個小常規(guī)問題，或通過分析、綜合等方法來尋求。算術(shù)基本公式體系是小學數(shù)學中的定義、公理、定理、法則等之間的邏輯關系。小學數(shù)學解題是以思考為內(nèi)涵， 以問題目標為定向的心理活動過程。第五章 小學數(shù)學解題的思想方法化歸 類比 歸納美籍匈牙利數(shù)學家波利亞在怎樣解題 數(shù)學與合情推理

20、關于數(shù)學解題的核心觀點就是發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造。蘇聯(lián) 婭諾夫斯卡婭解題意味著什么解題也就意味著把所要解的問題轉(zhuǎn)化到已經(jīng)解過的問題。法國 笛卡爾 我所解決的每一個問題都將成為范例，以用于解決其他問題。一、化歸法的一般模式為：化歸法的特點： 在于它具有較強的目的性、方向性和概括性 。基本原則： 是由未知到已知， 由難到易、由繁到簡；它的方向就是如何實現(xiàn)由所要解決的問題向已解決的或較容易解決的問題的轉(zhuǎn)化， 這里蘊含著發(fā)現(xiàn)、 發(fā)明及創(chuàng)造性的活動。從廣義上的理解化歸是一種思想， 如果從狹義上來看， 化歸乃是重要的常用的和具體的解決方法之一，而且又有分割組合、映射反演等分別。分割組合的一般模式 ：分割組合： 就是

21、把所要求的問題，按照可能和需要，分割成若干部分，使他們更容易于求解，再將這些解答有機地組合起來，過渡到問題的最終結(jié)論。映射反演 就是映射和反演兩種方法并用。映射：就是在兩類數(shù)學對象或兩個數(shù)學集合的元素之間建立的某種對應關系。反演：就是從已知運算往回推（每一步運算都以其逆運算來代替，相對映射而言，反演就是逆映射。 ）在數(shù)學解題中， 這種 映射反演具體表現(xiàn)為坐標法、復數(shù)定向法、換元法等。萬能發(fā)現(xiàn)法： （笛卡爾）這種模式在某些情況下是不適用的。 這種方法包含了“數(shù)學化” 、 “代數(shù)化” 、 “計算化”等合理的化歸思想方法。二、 類比法 ： 是根據(jù)兩個或兩類不同的對象在某些方面（如特征、屬性、關系等）

22、的類同之處， 猜測著兩個對象在其它方面也可能有類同之處， 并作出某種判斷的推理方法。基本模式：類比的結(jié)論屬于或然性推論， 因為從前提到結(jié)論并不具備邏輯必然性。也就是說，類比也有一定的局限性， 其結(jié)論常常是不可靠地的，甚至是完全錯誤的。三、歸納法： 是指通過對特殊情形的分析引出普遍的結(jié)論的推理方法。 德國大數(shù)學家高斯就曾說過， 他的許多定理靠的是歸納法發(fā)明的，證明只是一個補行的手續(xù)。歸納常常是建立在有目的、 有計劃的觀察和試驗基礎上的。根據(jù)對象是否完備， 歸納法又分為完全歸納法和不完全歸納法兩種。完全歸納法 ： 是根據(jù)某類事物中每一個對象的情況或每一個子類的情況， 而作出該類事物的一般性結(jié)論的推

23、理。上面兩種安全歸納推理， 前者根據(jù)每一個情況而得出一般性結(jié)論， 后者根據(jù)每一類特殊（子類）情況而得出一般性結(jié)論。它們子本質(zhì)上是相互聯(lián)系的，前者是后者的特例，后者死前者的推廣。所以，通常也可以把后者作為完全歸納推理的一般形式。完全歸納法實質(zhì)上也是一種演繹推理。不完全歸納法 ： 是根據(jù)對某類事物中的一部分對象的情況， 而作出關于該事物的一般性結(jié)論的推理。不完全歸納法的推理形式：和歸納法不同， 數(shù)學歸納法屬于論證的范疇，而不是猜測的方法。但是在歸納法與數(shù)學歸納法之間也存在著相互依賴、 相互滲透的辯證關系。換言之，數(shù)學歸納法所證明的往往是由歸納法所得出的猜測， 而歸納法所得出的猜測有些可用數(shù)學歸納法

24、來證明。而且，更為重要的是，歸納的過程往往為應用數(shù)學歸納法去證明相應的結(jié)論打下了基礎； 反之證明的過程則加深了對原來猜測的理解。四 創(chuàng)造性及其體現(xiàn)創(chuàng)造： 一般是指創(chuàng)造者的主觀意識活動，通過科學實踐而對自然界的某一方面或某些方面的合乎規(guī)律的反映，它是一種現(xiàn)象。創(chuàng)造的三大基本特征： 1. 實踐性 2. 創(chuàng)造者的創(chuàng)造能力充分發(fā)揮 3. 創(chuàng)新性， 即開創(chuàng)性和新穎性。創(chuàng)造性作為一個認知范疇的概念， 系指一種能力或特性，按教育心理學的觀點，它和人的智力、 智慧品質(zhì)以及人格等有著密切的關系。創(chuàng)造和創(chuàng)造性不能等同，不可相互替代，但兩者共處一體。因為如果強調(diào)過程，著眼于心理機制的話，那么創(chuàng)造即是一種特殊的解決問

25、題的活動，是解決問題的最高表現(xiàn)。 而任何問題的解決都需要一定的創(chuàng)造性作為基礎。創(chuàng)造性既然貫穿在始于問題提出， 終于問題解決這一創(chuàng)造過程中，就起內(nèi)涵來說，它也具有一定的階段性。想象、靈感和直覺，通常被人們稱做創(chuàng)造性的精華。 （核心）想象： 是在頭腦中改造記憶中的表象而創(chuàng)造新形象的過程。 它既是一種具有極大的自由度的思維活動形式， 同時又是可以自覺地引導進行的一種積極主動的心理形象。靈感 ： 是指人們在創(chuàng)造過程中，由于某種誘因的作用而突發(fā)的一種非邏輯的思維活動。靈感的特點： 靈感引發(fā)的隨機性、靈感顯現(xiàn)的暫時性、靈感顯現(xiàn)過程中的情感性。靈感的產(chǎn)生不是憑空生產(chǎn)的， 不是考等待就能來臨的。它的誘發(fā)有著漫

26、長的有意識的活動，有著相當?shù)男燎谂蛯嵺`為基礎。如愛迪生說：天才乃是99% 的勤奮加 上 1% 的靈感。小學數(shù)學解題中， 我們也應該通過有意識的思考，去誘發(fā)靈感。直覺簡單得說就是直接去覺察。直覺的三個明顯的特征：1. 它對問題的內(nèi)在規(guī)律（即客觀事物的本質(zhì)聯(lián)系）的深刻理解。2. 這種理解來自經(jīng)驗的積累。3. 經(jīng)驗積累到一定的程度突然理性與感性產(chǎn)生共鳴時，表現(xiàn)為豁然貫通的一種頓悟式的理解。直覺： 是從感性經(jīng)驗達到理性飛躍的人的認識過程的一種特殊表現(xiàn)形式，是邏輯順序的高度簡縮。總之想象、靈感、直覺的出現(xiàn)，不僅意味著常規(guī)思維中的“跳躍” ，邏輯順序的“中斷” ，及由此而得到的創(chuàng)造性。而且三者常常又是

27、緊密聯(lián)系和相互作用的， 或是想象誘發(fā)了靈感和直覺，或是靈感和直覺喚起了活躍的想象。第六章 小學數(shù)學解題能力分析一、 小 學數(shù)學解題能力的成分從廣義上講， 數(shù)學能力 是順利完成數(shù)學活動所必備的，且直接影響其活動效率的一種心理特征，它是在數(shù)學活動過程中形成和發(fā)展起來的，并在這類活動中主要變現(xiàn)出來的比較穩(wěn)定的心理特征。 從狹義上講，數(shù)學能力即理解為解決數(shù)學問題的個性特征。運算能力 ： 這些運算能力最初表現(xiàn)為對其知識的理解和技能的形成上， 進而體現(xiàn)在根據(jù)具體問題的特點，恰當?shù)睾侠磉\用運算， 與其他各種運算的靈活運用和巧妙的結(jié)合上。這也就表現(xiàn)出一種解題的能力，即運算能力。空間想象能力： 在空間形式的問題

28、中，所要研究的是圖形的形狀，圖形的大小，圖形與圖形的位置的關系等。在研究過程中，除直接給出一些基本圖形的性質(zhì)外， 總是要根據(jù)所給具體圖形的特點和解決它的需要，把它分解和重新組合， 即在頭腦中進行感知和操作， 出現(xiàn)或構(gòu)造出一些異于所給圖形的新圖形，并找到新的關系。這又表現(xiàn)出一種解題的能力即空間想象能力。邏輯思維能力： 數(shù)學問題的解決是解題者從感知獲得的感性材料出發(fā)， 通過分析和綜合、抽象和概括、判斷和推理等邏輯思維方法，去粗取精、去偽取真，由此及彼、由表及里的改造，才上升到理性認識，從而領會和掌握數(shù)學的規(guī)律和本質(zhì)。因此，這仍然表現(xiàn)出一種解題的能力， 邏輯思維能力這三者之間的關系既相互區(qū)別， 又相

29、互聯(lián)系和制約的， 所以習慣上把他們概括成數(shù)學解題能力的主要成分。瑞典心理學家魏德林為代表的歐美心理學家認為組成數(shù)學解題能力的因素有：1. 一般因素 G （主要指智力因素）2. 數(shù)因素 N （對數(shù)概念的理解和應用）3. 空間因素S （對空間形式的理解、想象和抽象）4. 語言因素 V （用語言表達數(shù)學關系）5. 推理因素 R （運用邏輯思維、形象思維和直覺思維）日本的大橋正夫等學者， 認為數(shù)學解題能力包括以下三個方面：A 、 數(shù)理性的領會能力：具體要求是使之抽象化，使之數(shù)量化和圖形化，使之記號化或形式化。B 、概括能力：具體要求是使之擴展，集中歸納，改變觀點和改變條件。C 、思維能力：具體要求是有

30、計劃按步驟地進行思考，進行類比或?qū)Ρ龋懈鶕?jù)地進行證明。蘇聯(lián)心理學家魯捷茨基： 1. 使數(shù)學材3.料形式化能力 2. 概括數(shù)學材料的能力用數(shù)學和其他符號進行運算能力 4. 連續(xù)而有節(jié)奏的邏輯推理能力 5. 縮短推理過程的能力 6. 逆轉(zhuǎn)心理過程的能力 7. 靈活的思維能力 8. 數(shù)學記憶能力 9. 形成空間概念的能力 10. 借助形象化 （直觀） 努力。我們認為小學數(shù)學解題能力是取決于數(shù)學學科和數(shù)學活動的個人特性， 是小學生順利完成解題這種特殊的數(shù)學活動時所表現(xiàn)出來的心理品質(zhì)的綜合。 概括數(shù)學材料、 逆轉(zhuǎn)心理過程、 靈活性、 借助形象化等即是這種心理品質(zhì)綜合體中的具體成分。2、 概括數(shù)學材料能

31、力主要表現(xiàn)：1 .在從所給數(shù)學材料的形成和結(jié)構(gòu)中， 能迅速抓住事物的“數(shù)”和“形” ，找出或發(fā)現(xiàn)具有數(shù)學意義的關系與特征2. 正確辨認出或分離出某些對解決問題有效的成分與有數(shù)學意義的結(jié)構(gòu)。概括數(shù)學材料， 還在于感知題目的形式結(jié)構(gòu)。 所謂題目的形式結(jié)構(gòu)是指構(gòu)成題目實質(zhì)的相互關聯(lián)的量的綜合體。概括數(shù)學材料的能力還充分體現(xiàn)在這樣兩個方面： 一是從特殊的和具體的事物中，概括出某些一般的熟識的教學模式； 二是從孤立的和特殊的事物中， 概括出未知的數(shù)學模式。 綜合起來也就是從具體內(nèi)容擺脫出來， 并且在各種對象、 關系和運算的結(jié)構(gòu)中， 概括出相似的、 一般的和本質(zhì)的東西。克魯捷茨基認為對數(shù)學材料的概括能力，

32、 還應表現(xiàn)在問題的類型上即從不同的題目中發(fā)現(xiàn)一般類型， 能從較簡單的題目過渡到相同類型較復雜的題目， 以及怎樣吧一種類型從表面上相似的其他類型的題目中區(qū)分出來。 這樣有助于在解決問題時， 解題者也就能夠迅速概括出所要解決的問題， 發(fā)現(xiàn)和過去所熟悉的問題的相似之處，從而將解法平移過來。3、 逆轉(zhuǎn)心理的能力： 指的是重建一種心理過程的方向的能力， 即不僅取向而且取逆向； 不僅從正面而且從反面； 不僅從因到果， 而且執(zhí)果索因地進行分析， 是問題得以解決。小學數(shù)學解題過程， 逆轉(zhuǎn)心理過程還具體體現(xiàn)在正逆雙方面的理解、 思考和應用上， 這樣不僅有利于深入領會概念、 公式、 法則， 而且能達到解題迅速，

33、簡捷的目的。4、 靈活性 又稱變通性： 愛因斯坦看成是創(chuàng)造你的典型特征。 在數(shù)學解題過程中， 靈活性指的是解題思路的靈活轉(zhuǎn)換盒迅速重組。從認知心理學的角度看， 所謂的靈活性系指解題途徑的多樣化， 判斷其強弱的標準一般是指解題者從一種心理運算到另一種心理運算的輕快平衡和敏捷程度。靈活性和深刻性。 思維深刻的小學生容易擺脫通常方法的羈絆， 靈活自如地考慮問題； 而靈活性很強的小學生， 也常常能發(fā)現(xiàn)一些出乎意料的解題方法， 更深刻地認識問題。5、 在小學數(shù)學解題中， 小學生應努力完善語言 + 邏輯和視覺形象這兩個方面的相互轉(zhuǎn)換， 即在一定程度上依靠視覺意象， 把數(shù)學關系視覺化， 對比較抽象的數(shù)學系統(tǒng)

34、也作出一種形象的解釋， 這就是所謂的 “借助形象化” 的全部內(nèi)涵。借助于想象化 的根本目的在于從直觀上來理解較為抽象的數(shù)學關系， 形成再現(xiàn)性想象， 從而促進創(chuàng)造性的活動。 從其模式（視覺的形象）來看，它和語言邏輯模式有著不同的特征， 但在具體解題過程中， 它們是相互聯(lián)系和作用的， 因此，單純地強調(diào)解題中的視覺形象化作用則也是片面的。借助形象化所得到的 數(shù)學關系、數(shù)學規(guī)律、 數(shù)學形式結(jié)構(gòu)、 數(shù)學知識系統(tǒng)和推證模式等， 比起其他方式來， 更能保持記憶。數(shù)學氣質(zhì) 有如下的三種類型：分析型：傾向于用語言邏輯的詞語去思考幾何型：習慣于用視覺形象的詞語去思考混合型：綜合上述兩類特征。數(shù)學能力是解決數(shù)學問題

35、的一種個體心理特征。第七章 小學數(shù)學研究專題導引1、 數(shù)學學科品格：1. 積極的思維態(tài)度： 這種不斷的抽象化， 一般化和統(tǒng)一化為數(shù)學思維的不斷升華，提供必要的以及可能的條件，促進數(shù)學的發(fā)展。2. 科學的思維方式 ： （ 1 ）是數(shù)學通過秩序、和諧、對稱、整齊、簡約等形式來表現(xiàn)與之聯(lián)系的思維情趣， 并在此基礎上， 形成學習或研究科學以及從事創(chuàng)造性的勞動具體方法。（2） “技術(shù)化”向“科學化”的過渡。 “技術(shù)化”是指只注意具體實用的技巧， 而沒有形成某種思想，停留在經(jīng)驗和技術(shù)層面。而科學化則表現(xiàn)為注重定量分析， 注重形式邏輯，注重抽象思維。3. 強烈的思維內(nèi)驅(qū)動 ： 從數(shù)學發(fā)展這一角度來看， 思維

36、內(nèi)驅(qū)動主要是由數(shù)學內(nèi)部發(fā)展和外部需要相適應而產(chǎn)生的。 從數(shù)學學習這一角度來看， 思維內(nèi)驅(qū)動主要是來源于數(shù)學材料與人的認識的矛盾沖突。4. 密集的腦力當量 。 某種學科知識總量為 T ，其腦力總付出為R ，這兩者之反比，即為單位知識所含有的腦力付出，通稱腦力當量C用公式表示，即C=R/T 。2、 數(shù)學活動教學觀： 由于數(shù)學本身是一種演繹法與結(jié)構(gòu)法相互矛盾又相互作用的活動過程， 所以它的教學就必須還其本來面目，不僅注重演繹法，而且還設計出一種符合學生的認識規(guī)律和數(shù)學發(fā)展規(guī)律的教學過程， 這就是數(shù)學活動教學觀。數(shù)學活動教學可分為這樣三個階段：1. 具體材料的數(shù)學化，即從實際生活中提取數(shù)學模型2. 數(shù)學材料的邏輯組織化，即通過辨析、歸納、直覺、類比、想象、尋找方向和線索， 用邏輯方法吧數(shù)學材料組織到邏輯材料體系中去。3. 數(shù)學結(jié)論的應用化。即把理解和掌握結(jié)論轉(zhuǎn)變?yōu)楦泳唧w的思維， 并能同所