1、第九章 解析幾何 第二節 圓錐曲線第二節第二節 圓錐曲線圓錐曲線第一部分第一部分 五年高考薈萃五年高考薈萃20092009 年高考題年高考題20092009 年高考數學試題分類匯編年高考數學試題分類匯編圓錐曲線圓錐曲線一、選擇題一、選擇題1.（2009 全國卷理）設雙曲線22221xyab（a0,b0）的漸近線與拋物線 y=x2 +1 相切，則該雙曲線的離心率等于( )A.3 B.2 C.5 D.6 【解析】設切點00(,)P xy，則切線的斜率為00|2x xyx.由題意有0002yxx又2001yx解得: 2201,2,1 ( )5bbxeaa . 【答案】C2.（2009 全國卷理）已知

2、橢圓22:12xCy的右焦點為F,右準線為l，點Al，線段AF交C于點B，若3FAFB ,則|AF =( )A. 2 B. 2 C.3 D. 3 【解析】過點 B 作BMl于 M,并設右準線l與 X 軸的交點為 N，易知 FN=1.由題意3FAFB ,故2|3BM .又由橢圓的第二定義,得2 22|233BF |2AF.故選A 【答案】A3.（2009 浙江理）過雙曲線22221(0,0)xyabab的右頂點A作斜率為1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為,B C若12ABBC ，則雙曲線的離心率是 ( ) A2 B3 C5 D10【解析】對于,0A a，則直線方程為0 xya，直線

3、與兩漸近線的交點為B，C，22,(,)aabaabBCab ababab則有22222222(,),a ba bababBCABababab ab ，因222,4,5ABBCabe 【答案】C4.（2009 浙江文）已知橢圓22221(0)xyabab的左焦點為F，右頂點為A，點B在橢圓上，且BFx軸， 直線AB交y軸于點P若2APPB ，則橢圓的離心率是（ ） A32 B22 C13 D12 【解析】對于橢圓，因為2APPB ，則12,2 ,2OAOFace 【答案】D5.（2009 北京理）點P在直線:1l yx上，若存在過P的直線交拋物線2yx于,A B兩點，且|PAAB，則稱點P為“點

4、” ，那么下列結論中正確的是 （ ） A直線l上的所有點都是“點” B直線l上僅有有限個點是“點” C直線l上的所有點都不是“點” D直線l上有無窮多個點（點不是所有的點）是“點”【解析解析】本題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學生的學習潛力,考查學生分析問題和解決問題的能力. 屬于創新題型. 本題采作數形結合法易于求解，如圖，設,1A m nP x x，則2,22Bmxnx，2,A Byx在上，2221(2)nmnxmx 消去n,整理得關于x的方程22(41)210 xmxm （1）222(41)4(21)8850mmmm 恒成立，方程（1）恒有實數解，應選 A.【答案答案】A6.(2009

5、 山東卷理)設雙曲線12222byax的一條漸近線與拋物線 y=x2+1 只有一個公共點，則雙曲線的離心率為( ). A. 45 B. 5 C. 25 D.5【解析】雙曲線12222byax的一條漸近線為xaby ,由方程組21byxayx,消去 y,得210bxxa 有唯一解,所以=2( )40ba,所以2ba,2221 ( )5cabbeaaa,故選 D. 【答案】D【命題立意】:本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念,以及直線與拋物線的位置關系,只有一個公共點,則解方程組有唯一解.本題較好地考查了基本概念基本方法和基本技能.7.(2009 山東卷文)設斜率為 2 的直線l過拋物線2

6、(0)yaxa的焦點F,且和y軸交于點A,若OAF(O為坐標原點)的面積為 4,則拋物線方程為( ). A.24yx B.28yx C. 24yx D. 28yx【解析】拋物線2(0)yaxa的焦點F坐標為(,0)4a,則直線l的方程為2()4ayx,它與y軸的交點為 A(0,)2a,所以OAF的面積為1| | 42 42aa,解得8a .所以拋物線方程為28yx ,故選 B. 【答案】B【命題立意】:本題考查了拋物線的標準方程和焦點坐標以及直線的點斜式方程和三角形面積的計算.考查數形結合的數學思想,其中還隱含著分類討論的思想,因參數a的符號不定而引發的拋物線開口方向的不定以及焦點位置的相應變

7、化有兩種情況,這里加絕對值號可以做到合二為一.8.（2009 全國卷文）雙曲線13622yx的漸近線與圓)0()3(222rryx相切，則r= ( ) A.3 B.2 C.3 D.6【解析】本題考查雙曲線性質及圓的切線知識，由圓心到漸近線的距離等于 r，可求r=3.【答案】A】A9.（2009 全國卷文）已知直線)0)(2(kxky與拋物線 C:xy82相交A、B兩點，F為C的焦點。若FBFA2,則k=().31 .32 .32 .322【解析】本題考查拋物線的第二定義，由直線方程知直線過定點即拋物線焦點（2，0） ，由2FAFB及第二定義知)2(22BAxx聯立方程用根與系數關系可求 k=2

8、 23.【答案】D】D1.（2009 安徽卷理）下列曲線中離心率為62的是 .22124xy .22142xy .22146xy .221410 xy 【解析】由62e 得222222331,1,222cbbaaa，選 B.【答案】11.（2009 福建卷文）若雙曲線222213xyaoa的離心率為 2，則a等于( )A. 2 B. 3 C. 32 D. 1【解析】由22223123xyaaac可知虛軸b= 3，而離心率e=a，解得a=1 或a=3，參照選項知而應選 D.【答案】D12.（2009 安徽卷文）下列曲線中離心率為的 是(. ( ) A. B. C. D. 【解析】依據雙曲線222

9、21xyab的離心率cea可判斷得.62cea.選 B?！敬鸢浮緽13.（2009 江西卷文）設1F和2F為雙曲線22221xyab(0,0ab)的兩個焦點, 若12FF，(0,2 )Pb是正三角形的三個頂點,則雙曲線的離心率為 A32 B2 C52 D3【解析】由3tan623cb有2222344()cbca,則2cea,故選 B.【答案】B14.（2009 江西卷理）過橢圓22221xyab(0ab)的左焦點1F作x軸的垂線交橢圓于點P，2F為右焦點，若1260FPF，則橢圓的離心率為 A22 B33 C12 D13 【解析】因為2(,)bPca，再由1260FPF有232 ,baa從而可

10、得33cea，故選B【答案】B15.（2009 天津卷文）設雙曲線)0, 0( 12222babyax的虛軸長為 2，焦距為32，則雙曲線的漸近線方程為（ ）A.xy2 B .xy2 C .xy22 D.xy21【解析】由已知得到2, 3, 122bcacb，因為雙曲線的焦點在 x 軸上，故漸近線方程為xxaby22【答案】C【考點定位】本試題主要考查了雙曲線的幾何性質和運用?？疾炝送瑢W們的運算能力和推理能力。16.(2009 湖北卷理)已知雙曲線22122xy的準線過橢圓22214xyb的焦點，則直線2ykx與橢圓至多有一個交點的充要條件是( )A. 1 1,2 2K B. 11,22K C

11、. 22,22K D. 22,22K 【解析】易得準線方程是2212axb 所以222241cabb 即23b 所以方程是22143xy聯立2 ykx可得22 3+(4k +16k)40 xx 由0 可解得 A.【答案】A17.（2009 四川卷文、理）已知雙曲線)0( 12222bbyx的左、右焦點分別是1F、2F，其一條漸近線方程為xy ，點), 3(0yP在雙曲線上.則1PF2PF( ) A. 12 B. 2 C. 0 D. 4【解析】由漸近線方程為xy 知雙曲線是等軸雙曲線，雙曲線方程是222 yx，于是兩焦點坐標分別是（2，0）和（2，0） ，且) 1 , 3(P或) 1, 3(P.

12、不妨去) 1 , 3(P，則) 1, 32(1PF，) 1, 32(2PF.1PF2PF01)32)(32() 1, 32)(1, 32(【答案】C】C18.（2009 全國卷理）已知直線20yk xk與拋物線2:8C yx相交于AB、兩點，F為C的焦點，若| 2|FAFB，則k ( )A. 13 B.23 C. 23 D. 2 23【解析】設拋物線2:8C yx的準線為:2l x 直線 20yk xk恒過定點P2,0 .如圖過AB、分 別作AMl于M,BNl于N, 由| 2|FAFB,則| 2|AMBN,點 B 為 AP 的中點.連結OB,則1|2OBAF, | |OBBF 點B的橫坐標為1

13、, 故點B的坐標為2 202 2(1,2 2)1 ( 2)3k , 故選 D.【答案】D19.（2009 全國卷理）已知雙曲線222210,0 xyCabab：的右焦點為F,過F且斜率為3的直線交C于AB、兩點，若4AFFB,則C的離心率為 ( ) A65 B. 75 C. 58 D. 95【解析】設雙曲線22221xyCab：的右準線為l,過AB、分 別作AMl于M,BNl于N, BDAMD于,由直線AB的斜率為3,知直線AB的傾斜角16060 ,|2BADADAB,由雙曲線的第二定義有1| |(|)AMBNADAFFBe 11|(|)22ABAFFB .又15643|25AFFBFBFBe

14、e .【答案】A20.（2009 湖南卷文）拋物線28yx 的焦點坐標是（ ） A （2，0） B （- 2，0） C （4，0） D （- 4，0）【解析】由28yx ,易知焦點坐標是(,0)( 2,0)2p ，故選 B. 【答案】B21.（2009 寧夏海南卷理）雙曲線24x-212y=1 的焦點到漸近線的距離為( )A.2 3 B.2 C.3 D.1【解析】雙曲線24x-212y=1 的焦點(4,0)到漸近線3yx的距離為3402 32d ,【答案】A22.（2009 陜西卷文） “0mn”是“方程221mxny”表示焦點在 y 軸上的橢圓”的 A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

15、 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】將方程221mxny轉化為 22111xymn, 根據橢圓的定義，要使焦點在 y 軸上必須滿足110,0,mn所以11nm.【答案】C23.（2009 全國卷文）設雙曲線222200 xyabab1 ，的漸近線與拋物線21yx 相切，則該雙曲線的離心率等于（ ）A.3 B.2 C.5 D.6【解析】由題雙曲線222200 xyabab1 ，的一條漸近線方程為abxy ，代入拋物線方程整理得02 abxax，因漸近線與拋物線相切，所以0422 ab，即5522 eac，故選擇 C.【答案】C】C24.（2009 湖北卷文）已知雙曲線1412222

16、222byxyx的準線經過橢圓（b0）的焦點，則b=( )A.3 B.5 C.3 D.2 【解析】可得雙曲線的準線為2 1axc ,又因為橢圓焦點為2(4,0)b 所以有241b .即b2=3 故b=3.故 C.【答案】C27.（2009 天津卷理）設拋物線2y=2x的焦點為F，過點M（3，0）的直線與拋物線相交于A，B兩點，與拋物線的準線相交于 C，BF=2，則BCF與ACF的面積之比BCFACFSS=( )A.45 B.23 C.47 D.12 642-2-4-6-10-5510 x=-0.5F: (0.51, 0.00)h x = -2x+3g y = -12f y = y22ABFC【

17、解析】由題知12122121 ABABACFBCFxxxxACBCSS，又323221| BBByxxBF由A、B、M三點共線有BMBMAMAMxxyyxxyy 即23330320 AAxx，故2 Ax， 5414131212 ABACFBCFxxSS，故選擇 A?！敬鸢浮緼】A28.（2009 四川卷理）已知直線1:4360lxy和直線2:1lx ，拋物線24yx上一動點P到直線1l和直線2l的距離之和的最小值是（ ）A.2 B.3 C.115 D.3716 【考點定位】本小題考查拋物線的定義、點到直線的距離，綜合題?！窘馕?1】直線2:1lx 為拋物線24yx的準線，由拋物線的定義知，P到

18、2l的距離等于P到拋物線的焦點)0 , 1(F的距離，故本題化為在拋物線24yx上找一個點P使得P到點)0 , 1(F和直線2l的距離之和最小，最小值為)0 , 1(F到直線1:4360lxy的距離，即25|604|min d，故選擇 A?！窘馕?2】如圖，由題意可知22|3 1 06|234d 【答案】A】A二、填空題29.（2009 寧夏海南卷理）設已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點為F(1，0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點。若AB的中點為（2，2） ，則直線l的方程為_.【解析】拋物線的方程為24yx，2111122122222212121212124,4441yxA x yB x

19、yxxyxyyyyxxxxyy則有，兩式相減得，直線l 的方程為y-2=x-2, 即y=x【答案】y=x30.（2009 重慶卷文、理）已知橢圓22221(0)xyabab的左、右焦點分別為12(,0),( ,0)FcF c，若橢圓上存在一點P使1221sinsinacPFFPF F，則該橢圓的離心率的取值范圍為 【解析 1】因為在12PFF中，由正弦定理得211221sinsinPFPFPFFPF F則由已知，得1211acPFPF，即12aPFcPF設點00(,)xy由焦點半徑公式，得1020,PFaex PFaex則00()()a aexc aex記得0()(1)()(1)a caa e

20、xe cae e由橢圓的幾何性質知0(1)(1)a exaae e 則，整理得2210,ee 解得2121(0,1)eee 或，又，故橢圓的離心率( 21,1)e【解析 2】 由解析 1 知12cPFPFa由橢圓的定義知 212222222caPFPFaPFPFaPFaca則即，由橢圓的幾何性質知22222,20,aPFacacccaca則既所以2210,ee 以下同解析 1.【答案】21,131.（2009 北京文、理）橢圓22192xy的焦點為12,F F，點P在橢圓上，若1| 4PF ，則2|PF ；12FPF的大小為 .【解析解析】本題主要考查橢圓的定義、焦點、長軸、短軸、焦距之間的關

21、系以及余弦定理. 屬于基礎知識、基本運算的考查. 229,3ab，22927cab，122 7FF ，又1124,26PFPFPFa，22PF ， 又由余弦定理，得22212242 71cos2 2 42FPF ，12120FPF，故應填2, 120.32.（2009 廣東卷 理）巳知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為32，且G上一點到G的兩個焦點的距離之和為 12，則橢圓G的方程為 【解析】23e，122 a，6a，3b，則所求橢圓方程為193622yx.【答案】193622yx33.（2009 四川卷文）拋物線24yx的焦點到準線的距離是 .【解析】焦點F（1，0） ，準線方程

22、1x，焦點到準線的距離是 2.【答案】2】234.（2009 湖南卷文）過雙曲線C：22221xyab(0,0)ab的一個焦點作圓222xya的兩條切線，切點分別為A，B，若120AOB（O是坐標原點） ，則雙曲線線C的離心率為 .【解析】12060302AOBAOFAFOca , 2.cea 【答案】2】235.（2009 福建卷理）過拋物線22(0)ypx p的焦點F作傾斜角為45的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的長為 8，則p _ 【解析】由題意可知過焦點的直線方程為2pyx，聯立有22223042ypxpxpxpyx，又222(1 1 ) (3 )4824pABpp ?！敬鸢浮?

23、236.（2009 遼寧卷理）以知F是雙曲線221412xy的左焦點，(1,4),AP是雙曲線右支上的動點，則PFPA的最小值為 。【解析】注意到P點在雙曲線的兩只之間,且雙曲線右焦點為F(4,0), 于是由雙曲線性質|PF|PF|2a4 而|PA|PF|AF|5 兩式相加得|PF|PA|9,當且僅當A、P、F三點共線時等號成立.【答案】937.（2009 寧夏海南卷文）已知拋物線C的頂點坐標為原點，焦點在x軸上，直線y=x與拋物線C交于A，B兩點，若2,2P為AB的中點，則拋物線C的方程為 ?！窘馕觥吭O拋物線為y2kx，與yx聯立方程組，消去y，得：x2kx0，21xx k22，故24yx.

24、【答案】24yx38.(2009 湖南卷理)已知以雙曲線 C 的兩個焦點及虛軸的兩個端點為原點的四邊形中，有一個內角為 60 o，則雙曲線 C 的離心率為 . 【解析】連虛軸一個端點、一個焦點及原點的三角形，由條件知，這個三角形的兩邊直角分別是, (b c b是虛半軸長，c是焦半距)，且一個內角是30，即得tan30bc，所以3cb，所以2ab，離心率3622cea.【答案】6239.（2009 年上海卷理）已知1F、2F是橢圓1:2222byaxC（ab0）的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且21PFPF .若21FPF的面積為 9，則b=_. 【解析】依題意，有2222121214|18|2|

25、cPFPFPFPFaPFPF，可得 4c2364a2，即a2c29，故有b3?！敬鸢浮?三、解答題三、解答題40.(2009 年廣東卷文)（本小題滿分 14 分）已知橢圓G的中心在坐標原點,長軸在x軸上,離心率為23,兩個焦點分別為1F和2F,橢圓G上一點到1F和2F的距離之和為 12.圓kC:0214222ykxyx)(Rk的圓心為點kA.(1)求橢圓G 的方程(2)求21FFAk的面積(3)問是否存在圓kC包圍橢圓G?請說明理由.解解（1）設橢圓G的方程為：22221xyab （0ab）半焦距為c; 則21232aca , 解得63 3ac , 22236279bac 所求橢圓G的方程為：

26、221369xy. (2 )點KA的坐標為,2K 1 2121126 326 322KA F FSFFV（3）若0k ，由01215210120622可知點（6，0）在圓kC外， 若0k ，由01215210120)6(22可知點（-6，0）在圓kC外； 不論K為何值圓kC都不能包圍橢圓G.41.（2009 浙江理） （本題滿分 15 分）已知橢圓1C：22221(0)yxabab的右頂點為(1,0)A，過1C的焦點且垂直長軸的弦長為1 （I）求橢圓1C的方程； （II）設點P在拋物線2C：2()yxh hR上，2C在點P處的切線與1C交于點,M N當線段AP的中點與MN的中點的橫坐標相等時，

27、求h的最小值解解（I）由題意得212,121babba所求的橢圓方程為2214yx， （II）不妨設21122( ,),(,), ( ,),M x yN xyP t th則拋物線2C在點 P 處的切線斜率為2x tyt，直線 MN 的方程為22ytxth，將上式代入橢圓1C的方程中，得2224(2)40 xtxth，即222224 14 ()()40txt th xth，因為直線MN與橢圓1C有兩個不同的交點，所以有4221162(2)40thth ，設線段 MN 的中點的橫坐標是3x，則21232()22(1)xxt thxt， 設線段PA的中點的橫坐標是4x，則412tx，由題意得34xx

28、，即有2(1)10th t ，其中的22(1)40,1hh 或3h ；當3h 時有220,40hh，因此不等式4221162(2)40thth 不成立；因此1h ，當1h 時代入方程2(1)10th t 得1t ，將1,1ht 代入不等式4221162(2)40thth 成立，因此h的最小值為 142.（2009 浙江文） （本題滿分 15 分）已知拋物線C：22(0)xpy p上一點( ,4)A m到其焦點的距離為174（I）求p與m的值；（II）設拋物線C上一點P的橫坐標為(0)t t ，過P的直線交C于另一點Q，交x軸于點M，過點Q作PQ的垂線交C于另一點N若MN是C的切線，求t的最小值

29、解解（）由拋物線方程得其準線方程：2py，根據拋物線定義點)4 ,(mA到焦點的距離等于它到準線的距離，即41724p，解得21p拋物線方程為：yx 2，將)4 ,(mA代入拋物線方程，解得2m（）由題意知，過點),(2ttP的直線PQ斜率存在且不為 0，設其為k。則)(:2txktylPQ，當, 02kkttxy 則)0 ,(2kkttM。聯立方程yxtxkty22)(，整理得：0)(2tktkxx即：0)()(tkxtx，解得, tx 或tkx)( ,(2tktkQ，而QPQN ，直線NQ斜率為k1 )(1)(:2tkxktkylNQ，聯立方程yxtkxktky22)(1)(整理得：0)(

30、)(1122tktkkxkx，即：0 1)()(2tkktkxkx 0)(1)(tkxtkkkx，解得：ktkkx1)(，或tkx) 1)(,1)(22ktkkktkkN，) 1() 1(1)( 1)(2222222ktkktkkkttktkkktkkKNM而拋物線在點 N 處切線斜率：ktkkykktkkx2)(21)(切MN 是拋物線的切線，ktkkktkktk2)(2) 1() 1(2222， 整理得02122ttkk0)21 (422tt，解得32t（舍去） ，或32t，32mint43.（2009 北京文） （本小題共 14 分） 已知雙曲線2222:1(0,0)xyCabab的離心

31、率為3，右準線方程為33x 。（）求雙曲線C的方程；（）已知直線0 xym與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓225xy上，求m的值. 【解析解析】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力解解（）由題意，得2333acca，解得1,3ac，2222bca，所求雙曲線C的方程為2212yx .（）設A、B兩點的坐標分別為 1122,x yxy，線段AB的中點為00,M xy， 由22120yxxym得22220 xmxm（判別式0 ）,12000,22xxxm yxmm,點00,M xy在圓225xy上

32、，2225mm，1m .44.（2009 北京理） （本小題共 14 分）已知雙曲線2222:1(0,0)xyCabab的離心率為3，右準線方程為33x （）求雙曲線C的方程；（）設直線l是圓22:2O xy上動點0000(,)(0)P xyx y 處的切線，l與雙曲線C交于不同的兩點,A B，證明AOB的大小為定值.【解法解法 1】1】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力（）由題意，得2333acca，解得1,3ac， 2222bca，所求雙曲線C的方程為2212yx .（）點0000,0P xyx y 在圓2

33、22xy上，圓在點00,P xy處的切線方程為0000 xyyxxy ，化簡得002x xy y.由2200122yxx xy y及22002xy得222000344820 xxx xx ，切線l與雙曲線 C 交于不同的兩點 A、B，且2002x，20340 x ，且222000164 34820 xxx ，設A、B兩點的坐標分別為 1122,x yxy，則20012122200482,3434xxxxx xxx，cosOA OBAOBOA OB ，且121212010220122OA OBx xy yx xx xx xy ，212012012201422x xxxxx x xx2222000

34、02222000082828143423434xxxxxxxx22002200828203434xxxx. AOB的大小為90.【解法解法 2】2】 （）同解法 1.（）點0000,0P xyx y 在圓222xy上，圓在點00,P xy處的切線方程為0000 xyyxxy ，化簡得002x xy y.由2200122yxx xy y及22002xy得222000344820 xxx xx 222000348820 xyy xx 切線l與雙曲線 C 交于不同的兩點 A、B，且2002x，20340 x ，設 A、B 兩點的坐標分別為 1122,x yxy，則2200121222008228,3

35、434xxx xy yxx，12120OA OBx xy y ， AOB的大小為90.（22002xy且000 x y ，220002,02xy，從而當20340 x 時，方程和方程的判別式均大于零）.45.（2009 江蘇卷） （本題滿分 10 分）在平面直角坐標系xoy中，拋物線C的頂點在原點，經過點A（2，2） ，其焦點F在x軸上。（1）求拋物線C的標準方程；（2）求過點F，且與直線OA垂直的直線的方程；（3）設過點( ,0)(0)M mm 的直線交拋物線C于D、E兩點，ME=2DM，記D和E兩點間的距離為( )f m，求( )f m關于m的表達式。 46.(2009 山東卷理)（本小題

36、滿分 14 分）設橢圓E: 22221xyab（a,b0）過M（2，2） ，N (6,1)兩點，O 為坐標原點，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且OAOB ？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因為橢圓E: 22221xyab（a,b0）過M（2，2） ，N (6,1)兩點,所以2222421611abab解得22118114ab所以2284ab橢圓E的方程為22184xy（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且OAOB ,設該圓的切線方程

37、為ykxm解方程組22184xyykxm得222()8xkxm,即222(12)4280kxkmxm, 則=222222164(12)(28)8(84)0k mkmkm,即22840km12221224122812kmxxkmx xk ,22222222212121212222(28)48()()()121212kmk mmky ykxm kxmk x xkm xxmmkkk要使OAOB ,需使12120 x xy y,即2222228801212mmkkk,所以223880mk,所以223808mk又22840km,所以22238mm,所以283m ,即2 63m 或2 63m ,因為直線y

38、kxm為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為21mrk,222228381318mmrmk,2 63r ,所求的圓為2283xy,此時圓的切線ykxm都滿足2 63m 或2 63m ,而當切線的斜率不存在時切線為2 63x 與橢圓22184xy的兩個交點為2 62 6(,)33或2 62 6(,)33滿足OAOB ,綜上, 存在圓心在原點的圓2283xy，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且OAOB .因為12221224122812kmxxkmx xk ,所以22222212121222224288(84)()()4()41212(12)kmmkmxxxxx xkkk ,

39、2222222121212228(84)|()(1)()(1)(12)kmABxxyykxxkk422424232 45132134413441kkkkkkk, 當0k 時22321|11344ABkk因為221448kk所以221101844kk,所以223232111213344kk,所以46 | 2 33AB當且僅當22k 時取”=”. 當0k 時,4 6|3AB . 當AB的斜率不存在時, 兩個交點為2 62 6(,)33或2 62 6(,)33,所以此時4 6|3AB ,綜上, |AB |的取值范圍為46 | 2 33AB即: 4| 6,2 33AB 【命題立意】:本題屬于探究是否存

40、在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關系直線與圓的位置關系和待定系數法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關參數問題以及方程的根與系數關系.47. (2009 山東卷文)（本小題滿分 14 分）設mR,在平面直角坐標系中,已知向量(,1)amx y,向量( ,1)bx y,ab,動點( , )M x y的軌跡為E.（1）求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀; （2）已知41m,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且OAOB(O為坐標原點),并求出該圓的方程;(3)已知41m,設直線l與圓 C:222xyR(1R2)相切于

41、A1,且l與軌跡E只有一個公共點B1,當R為何值時,|A1B1|取得最大值?并求最大值.解解（1）因為ab,(,1)amx y,( ,1)bx y,所以2210a bmxy , 即221mxy. 當m=0 時,方程表示兩直線,方程為1y;當1m 時, 方程表示的是圓當0m且1m時,方程表示的是橢圓; 當0m時,方程表示的是雙曲線.(2).當41m時, 軌跡E的方程為2214xy,設圓心在原點的圓的一條切線為ykxt,解方程組2214ykxtxy得224()4xkxt,即222(14)8440kxktxt,要使切線與軌跡 E 恒有兩個交點A,B, 則使=2 222226416(14)(1)16(

42、41)0k tktkt,即22410kt ,即2241tk, 且12221228144414ktxxktx xk 222 22222212121212222(44)84()()()141414ktk ttky ykxt kxtk x xkt xxttkkk,要使OAOB , 需使12120 x xy y,即222222224445440141414ttktkkkk,所以225440tk, 即22544tk且2241tk, 即2244205kk恒成立.所以又因為直線ykxt為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為21trk,222224(1)45115ktrkk, 所求的圓為2245xy.當切

43、線的斜率不存在時,切線為552x,與2214xy交于點)552,552(或)552,552(也滿足OAOB.綜上, 存在圓心在原點的圓2245xy，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且OAOB .(3)當41m時,軌跡E的方程為2214xy,設直線l的方程為ykxt,因為直線l與圓C:222xyR(1R0）與x軸的左、右兩個交點，直線l過點B,且與x軸垂直，S為l上異于點B的一點，連結AS交曲線C于點T.(1)若曲線C為半圓，點T為圓弧AB的三等分點，試求出點S的坐標；（II）如圖，點M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點，試問：是否存在a,使得O,M,S三點共線？若存在，求出a

44、的值，若不存在，請說明理由。 解解 方法一方法一()當曲線 C 為半圓時，1,a 如圖，由點 T 為圓弧AB的三等分點得BOT=60或 120.(1)當BOT=60時, SAE=30.又AB=2,故在SAE 中,有tan30,( ,);SBABs t (2)當BOT=120時,同理可求得點S的坐標為(1,2 3) ,綜上, 2 3(1,)3S或S(1, 2 3)()假設存在(0)a a ,使得O,M,S三點共線.由于點M在以SB為直線的圓上,故BTOS.顯然,直線AS的斜率k存在且k0,可設直線AS的方程為()yk xa.由222222242221(1)20()xya kxa k xa kaa

45、yk xa得設點22222(,),(),1TTTa kaT xyxaa k 故22221Taa kxa k,從而222()1TTakyk xaa k.亦即2222222(,).11aa kakTa ka k22222222( ,0),(,)11a kakB aBTa ka k 由()xayk xa得( ,2),( ,2).s aakOSaak 由BTOS,可得2222224012a ka kBT OSa k 即2222240a ka k0,0,2kaa經檢驗,當2a 時,O,M,S 三點共線. 故存在2a ,使得 O,M,S 三點共線.方法二方法二: :()同方法一.()假設存在a,使得O,M

46、,S三點共線.由于點M在以SO為直徑的圓上,故SMBT.顯然,直線AS的斜率k存在且k0,可設直線AS的方程為()yk xa由222222222221(1)20()xya bxa k xa kaayk xa得設點(,)TTT xy,則有42222().1Ta kaxaa k 故22222222222222,()().111TTTaa kakaa kakxyk xaTaa ka ka ka k從而亦即221( ,0),TBTSMTyB akka kxaa k 故由()xayk xa得S(a, 2ak),所直線 SM 的方程為22()yaka k xaO,S,M三點共線當且僅當O在直線SM上,即2

47、2()aka ka.0,0,2aKa故存在2a ,使得O,M,S三點共線.60.（2009 遼寧卷文、理） （本小題滿分 12 分）已知，橢圓C以過點A（1，32） ，兩個焦點為（1，0） （1，0） 。（1）求橢圓C的方程；（2）E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。 （）解解 由題意，c1,可設橢圓方程為2222114xybb。 因為A在橢圓上，所以2219114bb，解得2b3，2b34（舍去） 。所以橢圓方程為 22143xy （）證明證明 設直線方程：得3(1)2yk x，代入22143xy得 22233+4+

48、4 (32 )4()1202kxkk xk（）設（Ex，Ey） ，（Fx，Fy） 因為點（1，32）在橢圓上，所以2234()12234Ekxk， 32EEykxk。又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數，在上式中以k代k，可得2234()12234Fkxk， 32FFykxk 。所以直線EF的斜率()212FEFEEFFEFEyyk xxkkxxxx。即直線EF的斜率為定值，其值為12。 61.（2009 寧夏海南卷理） （本小題滿分 12 分） 已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在s軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是 7 和 1.（）求橢圓C的方程；（）若P為橢圓C上的動

49、點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，OPOM=，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。 解解 ()設橢圓長半軸長及半焦距分別為ac，由已知得1,4,37acacac解得， 所以橢圓C的標準方程為221167xy （）設( , )M x y，其中4,4x 。由已知222OPOM及點P在橢圓C上可得2222911216()xxy。整理得2222(169)16112xy，其中4,4x 。（i）34時?；喌?9112y 所以點M的軌跡方程為4 7( 44)3yx ，軌跡是兩條平行于x軸的線段。（ii）34時，方程變形為2222111211216916xy，其中4,4x 當304時，點M的軌跡為中

50、心在原點、實軸在y軸上的雙曲線滿足44x 的部分。當314時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足44x 的部分；當1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓；62.（2009 陜西卷文） （本小題滿分 12 分）已知雙曲線C的方程為22221(0,0)yxabab，離心率52e ，頂點到漸近線的距離為2 55。 （1）求雙曲線C的方程；(2)如圖，P是雙曲線C上一點，A，B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若1, ,23APPB ，求AOB面積的取值范圍。方法一方法一 解解（）由題意知，雙曲線C的頂點（0，a）到漸近線2 505axby 的距離為，所以22

51、2 55abab所以2 55abc由2222 5525125abcacbaccab得所以曲線C的方程是2y421x（）由（）知雙曲線 C 的兩條漸近線方程為2yx 設( ,2 ),2 ),0,0A mm Bnn mn（由,),APPBPuu u ruurm - n 2(m + n)得點的坐標為（1+1+將 P 點的坐標代入222(1)1,44yx化簡得m n=因為2 ,AOB14tan()2,tan,sin2225又5 ,5OAm OBn所以111sin22() 122AOBSOAOBmn記111( )() 1, ,223S則211( )(1)2S由( )01S得又S（1）=2，189( ),

52、 (2)334SS當1時，AOB面積取到最小值2，當當13時，AOB面積取到最大值83所以AOB面積范圍是82,3方法二方法二（）由題意知，雙曲線 C 的頂點（0，a）到漸近線2 505axby 的距離為，222 52 555ababcab即由2222 5525125abcacbaccab得所以曲線C的方程是2y421x.（）設直線AB的方程為,ykxm由題意知2,0km由2,),222ykxmmmAyxkk得點的坐標為（由2,),222ykxmmmByxkk 得點的坐標為（121,(),()122122mmAPPBPkkkk得點的坐標為（uu u ruur將P點的坐標代入21x2y4得222

53、4(1)4mk設Q為直線AB與y軸的交點，則Q點的坐標為（0，m）AOBS=AOQBOQSS.22111()222114()2222 411() 12ABABOQ xOQ xm xxmmmmkkkggg63.（2009 四川卷文、理） （本小題滿分 12 分） 已知橢圓2221(0)xyabab的左、右焦點分別為12FF、，離心率22e ，右準線方程為2x 。（I）求橢圓的標準方程；（II）過點1F的直線l與該橢圓交于MN、兩點，且222 263F MF N ，求直線l的方程。解解 （I）由已知得2222caac，解得2,1ac 221bac 所求橢圓的方程為2212xy . （II）由（I）

54、得1( 1,0)F、2(1,0)F若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為1 x，由22112 xxy得22 y設2( 1,)2M、2( 1,)2 N， 2222( 2,)( 2,)( 4,0)422 F MF N，這與已知相矛盾。若直線l的斜率存在，設直線直線l的斜率為k，則直線l的方程為(1)yk x，設11( ,)M x y、22(,)N xy，聯立22(1)12yk xxy，消元得2222(12)4220kxk xk 22121222422,1212kkxxx xkk， 121222(2)12kyyk xxk， 又211222(1,),(1,) F MxyF Nxy 221212(2,)

55、 F MF Nxxyy 22222221212228222 26(2)()12123 kkF MF Nxxyykk化簡得424023170kk解得2217140或(舍去) kk 1 k 所求直線l的方程為11或 yxyx 64.（2009 全國卷文） （本小題滿分 12 分） 如圖，已知拋物線2:E yx與圓222:(4)(0)Mxyrr相交于A、B、C、D四個點。（）求r的取值范圍（）當四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點P的坐標。解：解：（）將拋物線2:E yx代入圓222:(4)(0)Mxyrr的方程，消去2y，整理得227160 xxr拋物線2:E yx與圓222:(4

56、)(0)Mxyrr相交于A、B、C、D四個點的充要條件是：方程（1）有兩個不相等的正根 016070)16(449221212rxxxxr即 442525rrr或或。解這個方程組得425 r15(,4)2r.（II）設四個交點的坐標分別為11( ,)A xx、11( ,)B xx、22(,)C xx、22(,)D xx。則由（I）根據韋達定理有212127,16xxx xr，15(,4)2r則2112211212 |() |()2Sxxxxxxxx 222212121212()4(2)(72 16)(415)Sxxx xxxx xrr 令216rt，則22(72 ) (72 )Stt 下面求2

57、S的最大值。方法 1：由三次均值有：221(72 ) (72 )(72 )(72 )(144 )2Sttttt 331 7272144128()()2323ttt 當且僅當72144tt，即76t 時取最大值。經檢驗此時15(,4)2r滿足題意。方法 2：設四個交點的坐標分別為11( ,)A xx、11( ,)B xx、22(,)C xx、22(,)D xx則直線 AC、BD 的方程分別為)(),(112121112121xxxxxxxyxxxxxxxy 解得點P的坐標為)0 ,(21xx。設21xxt ，由216rt 及（）得)41, 0( t 由于四邊形 ABCD 為等腰梯形，因而其面積|

58、 )22(212121xxxxS 則4)(2(2122122112xxxxxxxxS 將721 xx，txx 21代入上式，并令2)(Stf ，等)270(34398288)27()27()(232 tttttttf，)76)(72(2985624)(2 tttttf，令0)( tf得67 t，或27 t（舍去）當670 t時，0)( tf；當67 t時0)( tf；當2767 t時，0)( tf故當且僅當67 t時，)(tf有最大值，即四邊形 ABCD 的面積最大，故所求的點P的坐標為)0 ,67(。 65.（2009 湖北卷文） （本小題滿分 13 分）如圖，過拋物線y22PX(P0)的焦

59、點 F 的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向準線L作垂線，垂足分別為M1、N1 ()求證：FM1FN1:()記FMM1、FM1N1、FN N1的面積分別為S1、 、S2、 ，S3，試判斷S224S1S3是否成立，并證明你的結論。 （1）證明證明 方法一方法一 由拋物線的定義得11,MFMMNFNN 1111,MFMMM FNFNNN F 如圖，設準線l與x的交點為1F111/MMNNFFQ 111111,FFMMM FFFNNN F 而0111111180FFMMFMFFNN FN即0111122180FFMFFN 0111190FFMFFN故11FMFN方法二方法二 依題意，焦點為(,

60、0),2pF準線 l 的方程為2px 設點 M,N 的坐標分別為1122,),),M x yN xy（直線 MN 的方程為2pxmy，則有11121112(,),(,),(,),(,)22ppMyNyFMp yFNp y 由222pxmyypx 得2220ympyp于是，122yymp，212y yp 22211120FMFNpy ypp ，故11FMFN（）解解 22134SS S成立，證明如下：方法一方法一 設1122( ,),(,)M x yN xy，則由拋物線的定義得1112| |,| |22ppMMMFxNNNFx，于是11111111| |()|222pSMMFMxy2121121