1、第一講 數學的起源與早期發展主要內容：數與形概念的產生、河谷文明與早期數學、西漢以前的中國數學。1、數與形概念的產生從原始的“數”到抽象的“數”概念的形成，是一個緩慢、漸進的過程。原始社會末期，人們對數的概念比較模糊，因而在進行物物交換時顯得很不方便，“數”概念的形成就顯得非常迫切。也就是說，人從社會生產活動中認識到了具體的數，導致了記數法。“屈指可數”表明人類記數最原始、最方便的工具是手指。如，手指計數（伊朗，1966），結繩計數（秘魯，1972）（美國自然史博物館藏有古代南美印加部落用來記事的繩結，當時人稱之為基普），文字5000年（伊拉克，2001）（楔形數字），西安半坡遺址出土的陶器殘

2、片。早期幾種記數系統，如古埃及、古巴比倫、中國甲骨文、古希臘、古印度、瑪雅（瑪雅文明誕生于熱帶叢林之中，瑪雅是一個地區、一支民族和一種文明，分布在今墨西哥的尤卡坦半島、危地馬拉、伯利茲、洪都拉斯和薩爾瓦多西部）等。世界上不同年代出現了五花八門的進位制和眼花繚亂的記數符號體系，足以證明數學起源的多元性和數學符號的多樣性。2、河谷文明與早期數學2.1 古代埃及的數學背景：古代埃及簡況埃及文明上溯到距今6000年左右，從公元前3500年左右開始出現一些小國家，公元前3000年左右開始出現初步統一的國家。古代埃及可以分為5個大的歷史時期：早期王國時期（公元前3100前2688年）、古王國時期（前268

3、6前2181年）、中王國時期（前2040前1768年）、新王國時期（前1567前1086年）、后期王國時期（前1085前332年）。（1）古王國時期：前2686前2181年。埃及進入統一時代，開始建造金字塔，是第一個繁榮而偉大的時代。（2）新王國時期：前1567前1086年。埃及進入極盛時期，建立了地跨亞非兩洲的大帝國。直到公元前332年亞歷山大大帝征服埃及為止。埃及人創造了連續3000多年的輝煌歷史，建立了國家，有了相當發達的農業和手工業，發明了銅器、創造了文字、掌握了較高的天文學和幾何學知識，建造了巍峨宏偉的神廟和金字塔。吉薩金字塔（公元前2600年）（剛果，1978），它顯示了埃及人極其

4、精確的測量能力，其中它的邊長和高度的比例約為圓周率的一半。古埃及最重要的傳世數學文獻：紙草書，來自現實生活的數學問題集。萊茵德紙草書（1858年為蘇格蘭收藏家萊茵德購得，現藏倫敦大英博物館，主體部分由84個數學問題組成，其中還有歷史上第一個嘗試“化圓為化”的公式）。莫斯科紙草書（1893年由俄國貴族戈列尼雪夫購得，現藏莫斯科普希金精細藝術博物館，包含了25個數學問題）。埃及紙草書（民主德國，1981）。數學貢獻：記數制，基本的算術運算，分數運算，一次方程，正方形、矩形、等腰梯形等圖形的面積公式，近似的圓面積，錐體體積等。公元前4世紀希臘人征服埃及以后，這一古老的數學完全被蒸蒸日上的希臘數學所取

5、代。2.2 古代巴比倫的數學背景：古代巴比倫簡況兩河流域（美索不達米亞）文明上溯到距今6000年之前，幾乎和埃及人同時發明了文字“楔形文字”。（1）古巴比倫王國：公元前1894前729年。漢穆拉比（在位前 1792前 1750）統一了兩河流域，建成了一個強盛的中央集權帝國，頒布了著名的漢穆拉比法典。（2）亞述帝國：前8世紀前612年，建都尼尼微 （今伊拉克的摩蘇爾市）。（3）新巴比倫王國：前612前538年。尼布甲尼撒二世（在位前604前562年）統治時期達到極盛，先后兩次攻陷耶路撒冷，建成世界古代七大奇觀之一的巴比倫“空中花園”。世界古代七大奇觀指埃及金字塔、巴比倫空中花園、阿苔密斯神殿、摩

6、索拉斯陵墓、宙斯神像、亞歷山大燈塔、羅德島太陽神銅像，他們是分布于西亞、北非和地中海沿岸的古跡，是古代西方人眼中的全部世界，而中國的長城距他們太遠了。記錄者古希臘哲學家費隆·拜占廷說過：“心眼所見，永難磨滅”。 公元前6世紀中葉，波斯國家逐漸興起，并于公元前538年滅亡了新巴比倫王國。了解古代美索不達米亞文明的主要文獻是泥版，迄今已有約50萬塊泥版出土。蘇美爾計數泥版（文達，1982）。現在泥版文書中大約有300多塊是數學文獻：以60進制為主的楔形文記數系統，長于計算，發展程序化算法的熟練技巧（開方根），能處理三項二次方程，有三次方程的例子，三角形、梯形的面積公式，棱柱、方錐的體積公

7、式。泥版楔形文，普林頓322（現在美國哥倫比亞大學圖書館，年代在公元前1600年以前，數論意義：整勾股數）。巴比倫泥板和彗星（不丹，1986）。2.3 西漢以前的中國數學黃河壺口瀑布（中國，2002）史記·夏本紀大禹治水（公元前21世紀） 中提到“左規矩，右準繩”，表明使用了規、矩、準、繩等作圖和測量工具，而且知道“勾三股四弦五”。考古學的成就，充分說明了中國數學的起源與早期發展。1952年在陜西西安半坡村出土的，至今六七千年的陶器上刻畫的符號中，有一些符號就是表示數字的符號。在殷墟出土的商代甲骨文中，有一些是記錄數字的文字，表明中國已經使用了完整的十進制記數，包括從一至十，以及百、

8、千、萬，最大的數字為三萬。殷墟甲骨上數學（商代，公元前1400前1100年，19831984年間河南安陽出土）。算籌（1971年陜西千陽縣西漢墓出土）是中國古代的計算工具，它的起源大約可上溯到公元前5世紀，后來寫在紙上便成為算籌記數法。至遲到春秋戰國時代，又開始出現嚴格的十進位制籌算記數（約公元前300年）。怎樣用算籌記數呢？公元34世紀成書的孫子算經記載說：“凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。”為了避免涂改，在唐代以后，我國又創用了一種商業大寫數字，又叫會計體：壹、貳、叁、肆、伍、陸、柒、捌、玖、拾、佰、仟、萬。中國傳統數學的最大特點是建立在籌算基礎之上，是中國傳統

9、數學對人類文明的特殊貢獻，這與西方及阿拉伯數學是明顯不同的。我國是世界上首先發現和認識負數的國家。戰國時法家李悝（約公元前455前395年）曾任魏文侯相，主持變法，我國第一部比較完整的法典法經（現已失傳）中已應用了負數，“衣五人終歲用千百不足四百五十”，意思是說，5個人一年開支1500錢，差450錢。甘肅居延海附近（今甘肅省張掖市管領）發現的漢簡中有“負四筭（suàn，籌碼，同算），得七筭，相除得三筭”的句子。在2002年中國考古發現報告會上，介紹了繼秦始皇陵兵馬俑坑之后秦代考古的又一重大發現：湖南龍山里耶戰國秦漢時期城址及秦代簡牘。2002年7月，考古人員在湖南龍山里耶戰國秦漢古城出土了36000余枚秦簡，記錄的是秦始皇二十六年至三十七年（即公元前221前210年）的秦朝歷史，其中有一份完整的“九九乘法口訣表”。 在管子、荀子、戰國策等先秦典籍中，都提到過“九九”，但實物還是首次發現，這是我國有文字記錄最早的乘法口訣表。最后給一首數字詩，取自宋朝理學家邵康節（公元10111077年，中國占卜界的主要代表人物）寫的一首詩，描繪像花園一樣美麗的地方，一幅樸實自然的