1、專題1.1三角形的證明章末重難點題型【北師大版】號點5宜用二ft田性貴的甥合應用考京7能平分線曲的應配W點8 蜘市盲平價痔忤用的"用考點g等展三角用與全等三角蘆的綜合號點10與三角臉關的劫底問隨考點差強二角也的世西奢忘2等混M瞄9劇至考點3 ms合一r件面的應用號怠4等邊的劃定與性顯考點£盲角三角形卻的聿怪11嫁冽分沆I【考點1等腰三角形的性質(zhì)】【方法點撥】掌握等腰三角形的性質(zhì):1 .等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸。2 .等腰三角形的兩底角相等（簡稱“等邊對等角”）。3 .等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）。【例1】（

2、2018春?金水區(qū)校級期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在的直線的夾角為40則此等腰三角形的頂角是（）A. 50°B. 130C. 50° 或 140° D. 50° 或 130【變式1-1（2018秋?洪山區(qū)期中）如圖，已知AB = AC = BD,則/ 1與/ 2的關系是（A. 3/ 1 - / 2= 180°C. / 1+3/2= 180°B. 2/1 + /2=180°D. / 1 = 2/2【變式1-2（2018秋?祁江區(qū)期中）如圖，若 AB = AC,下列三角形能被一條直線分成兩個小等腰三角形的是（）

3、A. (1)(2)(3)B. (1)(3)(4) C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(4)【變式1-3(2018秋?新吳區(qū)期中)如圖，在第一個ABA1中/B=20° , AB=A1B,在A1B上取一點C,延長AA1到A2,使得A1A2=A1C,得到第二個 A1A2C；在A2c上取一點D,延長A1A2至ij A3,使得A2A3= A2D;，按此做法進行下去，則以點A4為頂點的等腰三角形的底角的度數(shù)為（C. 10°D. 5【考點2等腰三角形的判定】【方法點撥】掌握等腰三角形的判定：等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形。簡稱“等角對等邊” 牢記：（1）等腰三

4、角形的性質(zhì)“等邊對等角”與等腰三角形的判定“等角對等邊”的條件和結論正好相反,要注意區(qū)分；（2）判定定理可以用來判定一個三角形是等腰三角形，同時也是今后證明兩條線段相等的重要依據(jù)。【例2】（2019春?深圳期中）如圖， DE/BC, CG = GB, / 1=/2,求證： DGE是等腰三角形.【變式2-1（2018秋?雙陽區(qū)校級期中）如圖,BD是 ABC的角平分線，DE / BC,交AB于點E.求證: BED是等腰三角形.【變式2-2（2018秋?鳩江區(qū)期中）已知：如圖，。為4ABC的/ BAC的角平分線上一點，/ 1 = 7 2,求證： ABC是等腰三角形.【變式2-3（2019秋?望謨縣期

5、中）已知：如圖，銳角ABC的兩條高BD、CE相交于點O,且OB= OC .求證： ABC是等腰三角形.【考點3 “三線合一”性質(zhì)的應用】【方法點撥】 等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）。【例3】（2019秋?武昌區(qū)期中）如圖，在 ABC中，Z BAC=90° , ADXBC, BE平分/ABC, G為EF的中點，求證：AGXEF .【變式3-1（2019秋?青山區(qū)期中）在 ABC中，BC邊上白高AG平分/ BAC .（1）如圖1,求證：AB = AC;（2）如圖 2,點 D、E 在 ABC 的邊 BC 上，AD = AE, BC= 10cm, DE=6c

6、m,求 BD 的長.【變式3-2(2019?衡陽校級期中)已知：如圖，在等邊三角形 ABC的AC邊上取中點D, BC的延長線上取一點 E,使 CE=CD.求證：BD=DE.BAC=90° , AB = AC.【變式3-3】如圖所示， ABC是等腰直角三角形，/(1)若D為BC的中點，過 D作DM LDN分別交 AB、AC于M、N,求證：DM = DN;(2)若DM ±DN分別和BA、AC延長線交于 M、N,問DM和DN有何數(shù)量關系，并證明.【考點4等邊三角形的判定與性質(zhì)】【方法點撥】等邊三角形的性質(zhì)：(1)等邊三角形是軸對稱圖形，并且具有3條對稱軸;(2)等邊三角形的每個角

7、都等于 60°。等邊三角形的判定：(1)三邊相等的三角形是等邊三角形。(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形。(3)有兩個角是60°的三角形是等邊三角形。(4)有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形。【例4】(2018秋?松桃縣期末)如圖，點 P, M, N分別在等邊 ABC的各邊上，且 MPLAB于點P, MN，BC于點M, PNAC于點N.(1)求證： PMN是等邊三角形;(2)若 AB=12cm,求 CM 的長.【變式4-1(2018秋?邵陽縣期末)如圖，在等邊 ABC中，/ ABC與/ ACB的平分線相交于點 O,且ODA AB, OE/AC(1)試判定 ODE的

8、形狀，并說明你的理由;(2)若BC= 10,求 ODE的周長.【變式4-2(2019秋?壽光市期末)如圖， A、B、C三點在同一直線上，分別以 AB、BC為邊，在直線 AC 的同側作等邊 ABD和等邊 BCE,連接AE交BD于點M,連接CD交BE于點N,連接MN得 BMN .(1)求證： ABEA DBC.(2)試判斷 BMN的形狀，并說明理由.【變式4-3(2019秋？中江縣期末)如圖， ABC中，AB=BC = AC= 12cm,現(xiàn)有兩點 M、N分別從點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，已知點 M的速度為1cm/s,點N的速度為2cm/s,當點N第一次到 達B點時，M、N同時停止運動.(

9、1)點M、N運動幾秒后，M、N兩點重合？(2)點M、N運動幾秒后，可得到等邊三角形 AMN?（3）當點M、N在BC邊上運動時，能否得到以MN為底邊的等腰三角形 AMN?如存在，請求出此時M、N運動的時間.【考點5直角三角形全等的判定】【方法點撥】 對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成斜邊、直角邊"或“HL'【例5】（2018秋？思明區(qū)校級月考）如圖，在四邊形ABCD中，ADXBD, ACXCB, BD = AC.求證：【變式5-1（2019秋？睢寧縣校級月考）如圖， RtABC中，/

10、C = 90° , BC=2, 一條直線 MN = AB, M、N分別在AC和過點A且垂直于AC的射線AP上運動.問點M運動到什么位置，才能使 ABC和 AMN 全等？并證明你的結論.【變式5-2（2019秋?合浦縣期末）如圖，已知/ A=/D = 90° , E、F在線段BC上，DE與AF交于點O,【變式5-3（2019春?醴陵市期末）如圖， 在四邊形ABCD中，AB = AD, CA平分/ BCD, AEBC于點 巳AFCD交CD的延長線于點 F.求證： ABEA ADF .【方法點撥】掌握直角三角形兩條重要的性質(zhì):(1)斜邊上的中線為斜邊的一半。(2) 30°

11、;角所對直角邊為斜邊一半。且兩直角邊成J3倍關系。【例6】(2019春?沙坪壩區(qū)校級期末)如圖，在RtAABC 中，/ ACB=90° ,CD是斜邊AB上的中線，過點A作AEXCD于點F,交CB于點E,且/(1)求/ B的度數(shù):(2)求證：BC = 3CE.【變式6-1(2019春?新密市期中)如圖，在等邊三角形 ABC中，AB=4,點E是AC邊上的一點，過點 E作DE / AB交BC于點D,過點E作EF，DE,交BC的延長線于點 F.(1)求證： CEF是等腰三角形;(2)點E滿足 時，點D是線段BF的三等分點；并計算此時CEF的面積.【變式6-2(2019?沙坪壩區(qū)校級三模)如圖

12、,RtAACB 中，/ ACB=90°，/ A=30° , / ABC 的角平分線BE交AC于點E.點D為AB上一點，且 AD = AC, CD, BE交于點 M.（1）求/ DMB的度數(shù)；（2）若 CH，BE 于點 H ,證明：AB= 4MH.CS【變式6-3（2019春?城關區(qū)校級期中） 小明在學完北師大數(shù)學八年級（下）第一章后，看到這樣一道題目：“已知，如圖Z ABC=Z ADC = 90° , M、N分別是AC、BD的中點，求證：MN，BD .小明思考片亥i,找到了解決方法，他做了輔助線.聰明的你知道他做的輔助線是什么嗎？怎么證明的？小明又突然想到，在邊A

13、D上能找一點P,使得PB=PD,請你寫出證明過程.【考點7角平分線性質(zhì)的應用】【方法點撥】 掌握角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等牢記：（1）角平分線的性質(zhì)是證明線段相等的一個比較簡單的方法；（2）當遇到有關角平分線的問題時，通常過角平分線上的點向角的兩邊作垂線，構造相等的線段。【例7】（2019春?港南區(qū)期中）如圖，在 ABC中，/ C=90° , AC=BC, AD平分/ CAB交BC于D,DE LAB于E,若 AB=6cm,則 DBE的周長是（）A££A . 6 cmB. 7 cmC. 8 cmD . 9 cm【變式7-1（2018秋?九龍

14、坡區(qū)校級期中）如圖，AD是 ABC的角平分線，DELAB于E,已知 ABC的面積為28. AC=6, DE = 4,則AB的長為（c3A. 6B. 8C. 4D. 10【變式7-2（2018秋？思明區(qū)校級期中）如圖， ABC中，AB=6, AC = 4, AD平分/ BAC, DEAB于點E, BFLAC于點F, DE = 2,則BF的長為（）DCAA. 3B. 4C. 5D. 6【變式7-3（2018秋?西城區(qū)校級期中）如圖,AD是 ABC中/ BAC的角平分線，DE LAB于點E, S"BC= 24, DE = 4, AB=7,則 AC 長是（£B. 4A. 3C. 6

15、D. 5【考點8線段垂直平分線性質(zhì)的應用】【方法點撥】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等注意：（1）這里的距離指的是點與點之間的距離，也就是兩點之間線段的長度。（2）在使用該定理時必須保證兩個前提條件：一是垂直于這條線段，二是平分這條線段。【例8】（2019春?普寧市期中）如圖：在 ABC中，AB和AC的垂直平分線分別交 BC于點D、E,且點D在點E的左側，BC= 6cm,則 ADE的周長是A3B. 12cm【變式8-1（2019春?南華縣期中）如圖，在RtAABC 中，/ C = 90° , AC=3, BC=4, AB 的垂直平分D. 10【變

16、式8-2（2018秋?南崗區(qū)校級期中）如圖，在 ABC中，點E在邊AC上，DE是AB的垂直平分線, ABC的周長為19, 4BCE的周長為12,則線段 AB的長為（A. 9B. 8C. 7D. 6【變式8-3（2018春?雨城區(qū)校級期中）如圖，在4ABC中，PM、QN分別是AB、AC的垂直平分線，/13A. 50°B. 40【變式9-1（2018秋？臨清市期末）如圖，在等腰BAC= 100° 那么/ PAQ 等于（）C. 30°D, 20°【考點9等腰三角形與全等三角形的綜合】 例 9 （2019?東莞市模擬）如圖， ABC 中，AB=BC, Z ABC

17、 = 45° , BEAC 于點 E, AD，BC 于點 D,BE與AD相交于F .（1）求證：BF = AC;RtABC 中，/ACB = 90° , D 為 BC 的中點，DEAB,垂足為 巳過點B作BF / AC交DE的延長線于點F ,連接CF.(1)求證：CD=BF;(2)求證：ADXCF;(3)連接AF,試判斷 ACF的形狀.【變式9-2(2019秋?寧河縣校級月考)如圖，在 ABC中，AB=AC, /BAC=45° ,點D是BC的中點, 過點C作CEXAB,垂足為點 E,交AD于點F.(1)求證：AE=CE;(2)求證： AEFA CEB.【變式9-3

18、如圖，已知等腰三角形 ABC中，AB = AC,點D、E分別在邊AB、AC上，且AD=AE,連接BE、CD,交于點F.(1)判斷/ ABE與/ ACD的數(shù)量關系，并說明理由；【考點10與三角形有關的動點問題】【例10】(2018秋?全椒縣期末)已知 ABC中，AC = BC, / C= 120° ,點D為AB邊的中點，/ EDF =60° , DE、DF 分別交 AC、BC 于 E、F 點.(1)如圖 1 ,若 EF / AB.求證：DE= DF.【變式10-1】(2019秋?本溪期末) ABC中，AB=AC,點D為射線BC上一個動點(不與 B、C重合)，以AD為一邊向 A

19、D的左側作 ADE,使AD =AE, / DAE = / BAC,過點E作BC的平行線，交直線 AB 于點F,連接BE.(1)如圖 1,若/ BAC = /DAE = 60° ,則 BEF 是 三角形；(2)若/ BAC = Z DAE w60°如圖2,當點D在線段BC上移動，判斷 BEF的形狀并證明；當點D在線段BC的延長線上移動， BEF是什么三角形？請直接寫出結論并畫出相應的圖形.圖1S2畚用圖【變式10-2】(2018秋?十堰期末)在 ABC中，AB=AC, D是直線BC上一點，以 AD為一條邊在 AD的右側作 ADE ,使 AE = AD, / DAE = / B

20、AC,連接 CE .(1)如圖，當點 D在BC延長線上移動時，若/ BAC=25° ,則/ DCE =.(2)設/ BAC= a, / DCE= &當點D在BC延長線上移動時，a與3之間有什么數(shù)量關系？請說明理由；當點D在直線BC上(不與B, C兩點重合)移動時，a與3之間有什么數(shù)量關系？請直接寫出你的結論.備用圖備用圖【變式10-3】（2019秋?上城區(qū)期末）如圖 1,在等邊 ABC中，線段AM為BC邊上的中線，動點 D在直 線AM （點D與點A重合除外）上時，以 CD為一邊且在CD的下方作等邊 CDE,連接BE.（1）判斷AD與BE是否相等，請說明理由；（2）如圖2,若A

21、B=8,點P、Q兩點在直線 BE上且CP = CQ = 5,試求PQ的長；（3）在第（2）小題的條件下，當點 D在線段AM的延長線（或反向延長線）上時.判斷 PQ的長是否 為定值，若是請直接寫出PQ的長；若不是請簡單說明理由.15【考點1等腰三角形的性質(zhì)】【方法點撥】掌握等腰三角形的性質(zhì)：1 .等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸。2 .等腰三角形的兩底角相等（簡稱“等邊對等角”）。3 .等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）。【例1】（2018春?金水區(qū)校級期中） 已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在的直線的夾角為40則此等腰三角形的頂角是

22、（）A. 50°B. 130C. 50° 或 140D. 50° 或 130【分析】由題意可知其為銳角等腰三角形或鈍角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以應分開來討論.【答案】解：當為銳角時，如圖:. /ADE = 40° , / AED=90° ,，/A=50° ,當為鈍角時，如圖：頂角/ BAC = 180° 50° = 130° .故選：D.【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，分類討論是正確解答本題的關鍵.【變式1-1（2018秋?洪山區(qū)期中）如圖，已知 AB = AC = B

23、D,則/ 1與/ 2的關系是（A. 3/1 /2=180°B, 2/1 + /2=180°C. Z 1+3/2= 180°D, Z 1 = 2/21和/ C之間的關系，再根據(jù)三角形外角的【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得/性質(zhì)可得/ 1和/ 2之間的關系.【答案】解：AB=AC=BD,.Z B=Z C= 180° - 2/ 1,1-/ 2=180° - 2/1,3/ 1 - / 2=180° .故選：A.【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等，三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)；熟練掌握等腰三角

24、形的性質(zhì)，弄清角之間的數(shù)量關系是解決問題的關鍵，本題難度適中.【變式1-2（2018秋?祁江區(qū)期中）如圖，若 AB = AC,下列三角形能被一條直線分成兩個小等腰三角形的6【分析】根據(jù)等腰三角形的判定對個選項逐一分析，只有不能被一條直線分成兩個小等腰三角形【答案】解：中作/ B的角平分線即可；過A點作BC的垂線即可；中以A為頂點AB為一邊在三角形內(nèi)部作一個 72度的角即可;只有選項不能被一條直線分成兩個小等腰三角形.故選：B.【點睛】考查了等腰三角形的判定方法以及三角形的內(nèi)角和定理；進行嘗試操作是解答本題的關鍵.【變式1-3（2018秋?新吳區(qū)期中）如圖，在第一個ABA1中/B=20°

25、; , AB=A1B,在A1B上取一點C,延長AA1到A2,使得A1A2=A1C,得到第二個 A1A2C；在A2c上取一點D,延長A1A2至ij A3,使得A2A3= A2D;，按此做法進行下去，則以點A4為頂點的等腰三角形的底角的度數(shù)為（21A. 175°B. 170°C. 10°D, 5【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出/BA1A的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出/ CA2A1, / DA3A2及/ EA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出/ A6的度數(shù).【答案】解：.在 ABA1 中，/ B=20° , AB = A1B,BA1A=

26、A1A2= A1C, / BA1A 是 A1A2c 的外角, / CA2A1 =80°40同理可得/ DA3A2=20° , / EA4A3= 10-/An=T'以點A4為頂點的底角為/ A5.2 A5="=5',故選：D.【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出/CA2A1, / DA3A2及/EA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關鍵.【考點2等腰三角形的判定】【方法點撥】掌握等腰三角形的判定：等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形。簡稱“等角對等邊”牢記：（1）等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”與等腰三

27、角形的判定“等角對等邊”的條件和結論正好相反，要注意區(qū)分；（2）判定定理可以用來判定一個三角形是等腰三角形，同時也是今后證明兩條線段相等的重要依據(jù)。【例2】（2019春?深圳期中）如圖， DE/BC, CG = GB, / 1=/2,求證： DGE是等腰三角形.【分析】根據(jù)已知條件，容易得出 ADE, 4ABC都是等腰三角形，則G為等腰 ABC底邊BC的中點,為此連接AG,由等腰三角形的軸對稱性質(zhì)，得出結果【答案】解：連接AG, DE / BC, ./ ABC = / 1, / ACB = Z 2.又,一/ 1 = 7 2, ./ ABC = / ACB.又 G為BC中點， AGXBC. AG

28、LDE 且平分 DE,DG = GE.【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線的知識點，解題要充分利用已知條件，聯(lián)系所學結論，靈活選用解法.【變式2-1（2018秋?雙陽區(qū)校級期中）如圖，BD是4ABC的角平分線，DE/ BC,交AB于點E.求證: BED是等腰三角形.【分析】依據(jù)角平分線即可得到/EBD = Z DBC ,依據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到/EDB = Z DBC ,進而得出/EBD = /EDB,由此可得 BED是等腰三角形.【答案】證明 BD是 ABC的角平分線， EBD = Z DBC. DE / BC, ./ EDB = Z DBC . ./ EBD = Z EDB,

29、 ED = EB,. .BED是等腰三角形.【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.【變式2-2（2018秋?鳩江區(qū)期中）已知：如圖，O為4ABC的/ BAC的角平分線上一點，/ 1 = 7 2,求證： ABC是等腰三角形.【分析】要證明三角形是等腰三角形，只需證明/ABC=Z ACB即可，只要/ 5=7 6,只要三角形全等即可，作出輔助線可證明三角形全等，于是答案可得.【答案】證明：作 OELAB于E, OF ± AC T F ,. AO 平分/ BAC, .OE = OF （角平分線上的點到角兩邊的距離相等）Z 1 = 7

30、2,.OB = OC. RtAOBERtAOCF (HL).1 + Z 5=Z 2+Z6.即/ ABC = Z ACB.AB= AC.ABC是等腰三角形.【點睛】此題主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定及性質(zhì)；作出輔助線構建全等的三角形是正確解答本題的關鍵.【變式2-3（2019秋?望謨縣期中）已知：如圖，銳角ABC的兩條高BD、CE相交于點O,且OB= OC .求證： ABC是等腰三角形.【分析】由OB=OC,即可求得/ OBC=/OCB,又由，銳角 ABC的兩條高BD、CE相交于點O,根 據(jù)三角形的內(nèi)角和等于 180° ,即可證得 ABC是等腰三角形.【答案】證明：; OB

31、=OC,OBC = Z OCB, 銳角 ABC的兩條高BD、CE相交于點 O, ./ BEC = Z CDB=90° , . / BEC+Z BCE + Z ABC=Z CDB + Z DBC+/ ACB= 180° , .180° - Z BEC- Z BCE = 180° - Z CDB - Z CBD , ./ ABC = / ACB, . AB= AC,. .ABC是等腰三角形；【點睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，以及角平分線的判定等知識.此題難度不大，注意等角對等邊與三線合一定理的應用.【考點3 “三線合一”性質(zhì)的應用】【方法點撥】 等腰

32、三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）。【例3】（2019秋?武昌區(qū)期中）如圖，在 ABC中，/ BAC=90° , ADXBC, BE平分/ABC, G為EF的中點，求證：AGXEF .29【分析】只要證明 AF = AE,利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)即可解決問題；【答案】證明：: BE平分/ ABC .ZABE = Z CBEZAEF = 90° -/ABE又. / AFE = / DFB = 90° -Z CBE ./ AFE = / AEF, .AFE為等腰三角形又G為EF的中點 AGXEF.【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和判定，

33、解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.【變式3-1（2019秋?青山區(qū)期中）在 ABC中，BC邊上白高AG平分/ BAC .（1）如圖1,求證：AB = AC;（2）如圖 2,點 D、E 在 ABC 的邊 BC 上，AD = AE, BC= 10cm, DE=6cm,求 BD 的長.囹二【分析】(1)想辦法證明/ B=/C即可解決問題.BD = CE即可解決問題.【答案】(1)證明：如圖1中，B G"131 AG為/ BAC的平分線，BAG = Z CAG, AG為BC邊上高 ./ AGB = / AGC=90° , ./ B=Z C,AB= AC.(2)如圖2中

34、，作AGXBC于G.(2)如圖2中，作AGXBC于G.利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明圄2 AB= AC, AG ± BC,BG = CG, AD=AE, AGXBC,DG=EG,BG-DG = CG- EG,BD = CE, BC= 10cm, DE = 6cm,BD = 2cm.【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和判定，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.【變式3-2(2019?衡陽校級期中)已知：如圖，在等邊三角形 ABC的AC邊上取中點D, BC的延長線上取一點 E,使 CE=CD.求證：BD=DE.DBE = Z【分析】欲證BD=DE,只需證/ DBE = /E

35、,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及角的等量關系可證明/E = 30°/ ABC =30°【答案】證明：. ABC為等邊三角形，BD是AC邊的中線, BDXAC, BD 平分/ ABC, / DBE = CD = CE, ./ CDE = Z E./ACB = 60° ,且/ ACB 為CDE 的外角, ./ CDE+Z E=60° . ./ CDE = Z E= 30° , ./ DBE = Z DEB = 30° ,BD = DE.【點睛】本題考查等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和為180°等知識.此類已知三角形邊之間的關系

36、求角的度數(shù)的題，一般是利用等腰(等邊)三角形的性質(zhì)得出有關角的度數(shù)，進而求出所求角的度數(shù).【變式3-3】如圖所示， ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90° , AB = AC.(1)若D為BC的中點，過 D作DM LDN分別交 AB、AC于M、N,求證：DM = DN;(2)若DM ±DN分別和BA、AC延長線交于 M、N,問DM和DN有何數(shù)量關系，并證明.國2【分析】(1)連接AD,可得/ ADM = / CDN ,可證 AMDCND,可得 DM = DN ;(2)連接 AD,可得/ ADM = / CDN ,可證 AMD CND ,可得 DM = DN .【答案】解

37、：(1)連接AD, D為BC中點，AD = BD, / BAD = / C, . /ADM+/ADN =90° , Z ADN+Z CDN = 90° , ./ADM =Z CDN,在AMD和ACND中，Nad?" cdn，AD=CD ,KBAD=ZC .AMD ACND (ASA),DM = DN .(2)連接 AD, D 為 BC 中點，AD = BD, / BAD = Z C, . /ADM+/MDC =90° , / MDC + /CDN=90° , ./ADM =Z CDN, . / MAD =MAC+DAC = 135°

38、, /NCD = 180° - Z ACD = 135在AMD和ACND中，rZAEM=ZCBN& AD=CD ，tZMAD=ZNCD.AMD ACND (ASA),DM = DN .【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證AMDACND是解題的關鍵.【考點4等邊三角形的判定與性質(zhì)】【方法點撥】等邊三角形的性質(zhì)：(1)等邊三角形是軸對稱圖形，并且具有3條對稱軸；(2)等邊三角形的每個角都等于60°。等邊三角形的判定：(1)三邊相等的三角形是等邊三角形。(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形。(3)有兩個角是60°的三

39、角形是等邊三角形。(4)有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形。【例4】(2018秋?松桃縣期末)如圖，點 P, M, N分別在等邊 ABC的各邊上，且 MPLAB于點P, MN，BC于點M, PNLAC于點N.(1)求證： PMN是等邊三角形；(2)若 AB=12cm,求 CM 的長.【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出/ A=Z B=Z C,進而得出/ MPB=/NMC = / PNA=90° , 再根據(jù)平角的意義即可得出/ NPM = Z PMN = Z MNP ,即可證得 PMN是等邊三角形；(2)易證得 PBMA MCNA NAP,得出 PA= BM = CN, PB=

40、 MC = AN ,從而求得 BM + PB = AB= 12cm,根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出2PB=BM,即可求得PB的長，進而得出 MC的長.【答案】解：（1） . ABC是正三角形,，/A=/ B=/ C, MPXAB, MN ±BC, PNXAC, ./ MPB = Z NMC = Z PNA=90° , ./ PMB =/ MNC = Z APN, ./ NPM =Z PMN = / MNP, .PMN是等邊三角形；(2)根據(jù)題意4 PBMAMCNA NAP,PA= BM = CN, PB=MC = AN,BM+PB=AB=12

41、cm, . ABC是正三角形，A=/ B=/ C= 60 , -2PB=BM, .2PB+PB=12cm,PB= 4cm,MC = 4cm.【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平角的意義，三角形全等的性質(zhì)等， 得出/NPM = /PMN=/ MNP是本題的關鍵.【變式4-1（2018秋?邵陽縣期末）如圖，在等邊 ABC中，/ ABC與/ ACB的平分線相交于點 O,且OD/ AB, OE/AC（1）試判定 ODE的形狀，并說明你的理由;(2)若BC= 10,求 ODE的周長.【分析】(1)證明/ ABC = /ACB=60° ;證明/ ODE=/ABC=60° , /

42、 OED = Z ACB=60° ,即可解決問題.(2)證明BD = OD;同理可證 CE=OE;即可解決問題.【答案】解：(1) AODE是等邊三角形；理由如下：.ABC是等邊三角形，ABC = / ACB=60° ; OD / AB, OE / AC, ./ODE =/ABC=60° , Z OED = Z ACB = 60° ,.ODE為等邊三角形.(2) OB 平分/ABC, OD/AB,/ ABO = / DOB , / ABO = / DBO , ./ DOB =Z DBO , .BD = OD;同理可證 CE=OE; .ODE 的周長=BC

43、=10.【點睛】該題主要考查了等邊三角形的判定及其性質(zhì)的應用問題；解題的關鍵是靈活運用平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)來分析、判斷、解答.【變式4-2(2019秋?壽光市期末)如圖，A、B、C三點在同一直線上，分別以 AB、BC為邊，在直線 AC的同側作等邊 ABD和等邊 BCE,連接AE交BD于點M,連接CD交BE于點N,連接MN得 BMN .(1)求證： ABEA DBC.(2)試判斷 BMN的形狀，并說明理由.【分析】(1)由三角形ABD與三角形BCE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩條邊對應相等，兩個角相等都為 60° ,利用SAS即可得到三角形 ABE與三角形DBC全

44、等；(2)三角形BMN為等邊三角形，理由為：由第一問三角形ABE與三角形DBC全等，利用全等三角形的對應角相等得到一對角相等，再由/ABD = Z EBC = 60° ,利用平角的定義得到/MBE = Z NBC =60° ,再由EB=CB,利用ASA可得出三角形 EMB與三角形CNB全等，利用全等三角形的對應邊相等 得到MB=NB,再由/ MBE = 60° ,利用有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得出三角形BMN為等邊三角形.【答案】解：(1)證明：二等邊 ABD和等邊 BCE, .AB=DB, BE = BC, Z ABD = Z EBC=

45、60° , ./ ABE = / DBC = 120° ,在 ABE和 DBC中，誣二DE 一 ZABE=ZD3C, 力E 二 BCABEA DBC (SAS);(2) BMN為等邊三角形，理由為：證明：. ABEADBC, ./ AEB = / DCB,又/ ABD = Z EBC=60° , ./MBE = 180° -60° -60° =60° ,即/ MBE = Z NBC =60° ,在 MBE和 NBC中， rZAEB=ZDCB ，EB=CB , 1Zmbe=Znbc . MBEA NBC (ASA),

46、BM= BN, / MBE = 60° ,則ABMN為等邊三角形.【點睛】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關鍵.同時做第二問時注意利用第一問已證的結論.【變式4-3(2019秋？中江縣期末)如圖， ABC中，AB=BC = AC= 12cm,現(xiàn)有兩點 M、N分別從點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，已知點 M的速度為1cm/s,點N的速度為2cm/s.當點N第一次到達B點時，M、N同時停止運動.(1)點M、N運動幾秒后，M、N兩點重合？(2)點M、N運動幾秒后，可得到等邊三角形AMN?(3)當點M、N在BC邊上運動時，能否得

47、到以MN為底邊的等腰三角形 AMN?如存在，請求出此時M、N運動的時間.【分析】(1)首先設點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，表示出 M , N的運動路程，N的運動路程比M的運動路程多12cm,列出方程求解即可；(2)根據(jù)題意設點 M、N運動t秒后，可得到等邊三角形 AMN,然后表示出 AM, AN的長，由于/ A 等于60° ,所以只要 AM=AN三角形ANM就是等邊三角形；(3)首先假設 AMN是等腰三角形，可證出 ACMA ABN,可得CM=BN,設出運動時間，表示出 CM, NB, NM的長，列出方程，可解出未知數(shù)的值.【答案】解：(1)設點M、N運動x秒后，M、N兩點重合

48、，XX 1+12=2x,解得：x=12;(2)設點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形 AMN,如圖，AM = tX1 = t, AN = AB - BN= 12- 2t,三角形4 AMN是等邊三角形，.t= 12 -2t,解得t = 4,點M、N運動4秒后，可得到等邊三角形4 AMN.(3)當點M、N在BC邊上運動時，可以得到以MN為底邊的等腰三角形,由(1)知12秒時M、N兩點重合，恰好在 C處,如圖，假設 AMN是等腰三角形， . AN= AM,，/AMN =Z ANM, ./ AMC =/ ANB, AB= BC=AC, .ACB是等邊三角形，./ C=Z B,在ACM和ABN中， -

49、ZOZB , tZAMC=ZAHB .ACM ABN,CM = BN,設當點M、N在BC邊上運動時，M、N運動的時間y秒時， AMN是等腰三角形，CM = y- 12, NB=36-2y, CM = NB,y - 12= 36 - 2y,解得：y=16.故假設成立.當點M、N在BC邊上運動時，能得到以 MN為底邊的等腰三角形 AMN,此時M、N運動的時間為16 秒.【考點5直角三角形全等的判定】【方法點撥】 對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有 HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成斜邊、直角邊"或“HL'【例5】（201

50、8秋？思明區(qū)校級月考）如圖，在四邊形 ABCD中，ADXBD, ACXCB, BD = AC.求證：ABDABAC;【分析】根據(jù) ADXBD, ACXCB,可得/ ADB = /BCA=90° ,而 AB = BA, BD = AC,利用 HL 可證RtAADBRtABCA.【答案】證明：ADXBD, ACXCB,ADB = / BCA=90° ,在 RtAADB 和 Rt BCA 中，AB=BA, BD=AC, RtAADB RtABCA (HL)【點睛】本題考查了全等三角形的判定，解題的關鍵是證明RtAADB RtABCA.【變式5-1(2019秋？睢寧縣校級月考)如圖

51、， RtABC中，Z 0 = 90° , BC=2, 一條直線 MN = AB, M、N分別在AC和過點A且垂直于AC的射線AP上運動.問點M運動到什么位置，才能使 ABC和 AMN 全等？并證明你的結論.【分析】由條件可知/ C = Z MAN =90° ,且AB=MN,故要使 ABC和 AMN全等則有 AM與CA對應或AM和BC對應，從而可確定出 M的位置.【答案】解：當點C和點M重合或AM = 2時兩個三角形全等，證明如下：FAX AC, ./ BCA=Z MAN = 90° ,當點C、點M重合時，則有 AM=AC,在 RtAABC 和 RtA MNA 中，

52、(I AC=ATi! RtAABC RtA MNA (HL),當 AM= BC=2 時，在 RtAABC 和 RtA MNA 中，(IBC二AM RtAABC RtA MNA (HL),綜上可知當點C和點M重合或AM = 2時兩個三角形全等.35【點睛】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵，即SSS SAS ASA、AAS 和 HL.【變式5-2（2019秋?合浦縣期末）如圖，已知/ A=/D = 90° , E、F在線段BC上，DE與AF交于點O,且 AB=CD, BE=CF.求證：RtA ABF RtADCE .【分析】由于 ABF與4DCE是直角三

53、角形，根據(jù)直角三角形全等的判定的方法即可證明.【答案】證明：; BE= CF, . BE+EF= CF + EF,即 BF=CE, / A=Z D=90° ,. .ABF與 DCE都為直角三角形，二在 RtAABF 和 RtADCE 中，J,AB=CD RtAABF RtADCE （HL）.【點睛】此題考查了直角三角形全等的判定，解題關鍵是由BE= CF通過等量代換得到 BF=CE.【變式5-3（2019春?醴陵市期末）如圖， 在四邊形ABCD中，AB = AD, CA平分/ BCD, AEBC于點 巳AFLCD交CD的延長線于點 F.求證： ABEA ADF .【分析】首先由角平分

54、線的性質(zhì)定理得到：AE = AF,再由HL判定RtAABERtAADF即可.【答案】證明：: CA平分/ BCD, AEBC于點E, AF LCD交CD的延長線于點 F,AE= AF.在 RtAABE 與 RtAADF 中,件和I. AE=AF3 RtAABERtAADF (HL).【點睛】本題考查了全等三角形的判定與角平分線的性質(zhì).判定兩個三角形全等的一般方法有:SSS SAS39ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與, 若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.【考點6直角三角形性質(zhì)的綜合應用】【方法點撥】掌握直角三角形兩條

55、重要的性質(zhì)：（1）斜邊上的中線為斜邊的一半。（2） 30°角所對直角邊為斜邊一半。且兩直角邊成J3倍關系。【例6】（2019春?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，在RtABC中，/ ACB=90° , CD是斜邊 AB上的中線，過點A作AEXCD于點F,交CB于點E,且/ EAB = / DCB .(1)求/ B的度數(shù)：(2)求證：BC = 3CE.【分析】（1）根據(jù)余角的性質(zhì)得到/ ECF = /CAF,求得/ CAD=2ZDCB,由CD是斜邊AB上的中線,得到CD = BD,推出/ CAB=2ZB,于是得到結論；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結論.【解答】解：（1） AEXCD, ./ AFC = / ACB=90° , ./CAF + /ACF = /ACF + /ECF=90° , ./ ECF = / CAF, . / EAD = Z DCB, ./ CAD = 2/DCB ,.CD是斜邊AB上的中線,CD =