1、高中數學課件-第五章-第一節-數列的概念與簡單表示法1.了解數列的概念和幾種簡單的表示方法了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、列表、 圖象、通項公式圖象、通項公式).2.了解數列是自變量為正整數的一類函數了解數列是自變量為正整數的一類函數.2.數列的通項公式數列的通項公式 如果數列如果數列an的第的第n項項an與與 之間的關系可以用一之間的關系可以用一 個公式個公式 來表示，那么這個公式叫這個數列的來表示，那么這個公式叫這個數列的 通項公式通項公式.1.數列的概念數列的概念 按照按照 排列著的一列數稱為數列，一般用排列著的一列數稱為數列，一般用 表表 示，數列中的每一個數叫做這個數列的項

2、示，數列中的每一個數叫做這個數列的項.一定順序一定順序an n序號序號n nan nf(n n)思考探究思考探究(1)數列的通項公式唯一嗎？是否每個數列都有通項公式？數列的通項公式唯一嗎？是否每個數列都有通項公式？提示：提示：不唯一，如數列不唯一，如數列1,1，1,1，的通項公式可的通項公式可以為以為an n(1)n n或或an n ，有的數列沒有，有的數列沒有通項公式通項公式.1()1()nn 為為奇奇數數為為偶偶數數(2)數列是否可以看作一個函數，若是，其定義域是什么？數列是否可以看作一個函數，若是，其定義域是什么？提示：提示：可以看作一個函數，其定義域是正整數集可以看作一個函數，其定義域

3、是正整數集N*(或或它的有限子集它的有限子集1,2,3，n n)，可表示為，可表示為an nf(n n).3.數列的表示方法數列的表示方法 數列的表示方法有數列的表示方法有 、 、 .列表法列表法公式法公式法圖象法圖象法1.下列說法正確的是下列說法正確的是 () A.數列數列1,3,5,7可表示為可表示為1,3,5,7 B.數列數列1,0，1，2與數列與數列2，1,0,1是相同的數是相同的數 列列 C.數列數列 的第的第k項為項為1 D.數列數列0,2,4,6，可記為可記為2 n n1nn 1k解析：解析：根據數列的定義與集合定義的不同可知根據數列的定義與集合定義的不同可知A，B不正確；不正確

4、；D項項2 n n中的中的n n N*，故不正確；，故不正確；C中中an n ，ak1 .答案：答案：C1nn 1k2.已知數列已知數列1， ， ， ， ，則，則3 是這是這 個數個數 列的列的 () A.第第22項項B.第第23項項 C.第第24項項 D.第第28項項解析：解析：數列的通項公式是數列的通項公式是an n ，令，令3 ，解得解得n n 23，所以，所以3 是這個數列的第是這個數列的第23項項.答案：答案：B73521n 521n 521n 53.已知數列已知數列an n的前的前n n項的乘積為項的乘積為Tn n ， n n N*，則，則a100 () A.3198 B.3199

5、 C.3200 D.3201解析：解析：a100 3199.答案：答案：B10099TT23n22100993322(10099 )3 4.數列數列an n的前的前n n項和項和Sn nn n21，則，則an n.解析：解析：當當n1時，時，a1S12；當當n2時，時，an nSn nSn n1(n n21)(n n1)21n n2(n n1)22n n1，an答案：答案： 2(1),21 (2).nnn 2(1)21 (2)nnn 5.設數列設數列an n中，中，a12，an n1an nn n1，則通項，則通項an n .解析：解析：由由an n1an n n n 1，an n1an n

6、n n 1，a2a12，a3a23，a4a34，an nan n1 n n ，累加得累加得an na123n n，an n .答案：答案：(1)12n n (1)12n n 1.觀察法就是觀察數列的特征，找出各項共同的規律，觀察法就是觀察數列的特征，找出各項共同的規律， 橫看橫看“各項之間的關系結構各項之間的關系結構”，縱看，縱看“各項與項數各項與項數n的關的關 系系”，從而確定數列的通項公式，從而確定數列的通項公式.2.利用觀察法求數列的通項時，要抓住以下幾個特征：利用觀察法求數列的通項時，要抓住以下幾個特征：(1)分式中分子、分母的特征；分式中分子、分母的特征；(2)相鄰項的變化特征；相鄰

7、項的變化特征；(3)拆項后的特征；拆項后的特征；(4)各項符號特征等，并對此進行歸納、聯想各項符號特征等，并對此進行歸納、聯想. 特別警示特別警示根據數列的前根據數列的前n項寫出數列的一個通項公項寫出數列的一個通項公式是不完全歸納法，它蘊含著式是不完全歸納法，它蘊含著“從特殊到一般從特殊到一般”的思想，的思想，由不完全歸納得出的結果是不可靠的，要注意代值檢由不完全歸納得出的結果是不可靠的，要注意代值檢驗，對于正負符號變化，可用驗，對于正負符號變化，可用(1)n或或(1)n1來調整來調整. 寫出下列數列的一個通項公式：寫出下列數列的一個通項公式：(1)3,5,7,9，.(2) ， ， ， ， ，

8、.(3)1， ， ， ， ， ，.(4) ，1， ， ， ， ，.(5)3,33,333,3 333，.1234783132151632133415362310717926113713思路點撥思路點撥課堂筆記課堂筆記(1)各項減去各項減去1后為正偶數，所以后為正偶數，所以an n2n n1.(2)每一項的分子比分母少每一項的分子比分母少1，而分母組成數列，而分母組成數列21 ， 22 ， 23 ， 24，所以，所以an n .(3)奇數項為負，偶數項為正，故通項公式中含有因子奇數項為負，偶數項為正，故通項公式中含有因子(1)n n；各項絕對值的分母組成數列；各項絕對值的分母組成數列1,2,3,

9、4；而各項絕對；而各項絕對值的分子組成的數列中，奇數項為值的分子組成的數列中，奇數項為1，偶數項為，偶數項為3，即奇數，即奇數項為項為21，偶數項為，偶數項為21，所以，所以an n(1)n n . 21n 212n 也可寫成也可寫成an n .1,3,nnnn 為為正正奇奇數數為為正正偶偶數數(4)偶數項為負而奇數項為正，故通項公式中必含有因子偶數項為負而奇數項為正，故通項公式中必含有因子(1)n n1，觀察各項絕對值組成的數列，從第，觀察各項絕對值組成的數列，從第3項到第項到第6項可見，分母分別由奇數項可見，分母分別由奇數7,9,11,13組成，而分子則是組成，而分子則是321,421,5

10、21,621，按照這樣的規律，第，按照這樣的規律，第1、2兩項兩項可改寫為，可改寫為， ，所以，所以an n(1) n n1 .21121 2212 21 2121nn (5)將數列各項改寫為將數列各項改寫為 ，分母都是，分母都是3，而分子分別是而分子分別是101,1021,1031,1041，所以，所以an (10n n1).13數列的通項數列的通項an n與前與前n n項和項和Sn n的關系是：的關系是：an n 111 ,2 ,nnSnSSn 特別警示特別警示在應用此關系式求通項時，要分在應用此關系式求通項時，要分n n1和和n n 2兩種情況討論，最后檢驗兩種情形能否適合用一個式子表兩

11、種情況討論，最后檢驗兩種情形能否適合用一個式子表示，若能，將示，若能，將n n1的情況并入的情況并入n n 2時的通項時的通項an n；若不能，；若不能，就用分段函數表示就用分段函數表示. (2009安徽高考安徽高考)已知數列已知數列an n的前的前n n項和項和Sn n2 n n22 n n ，數列，數列bn n的前的前n n項和項和Tn n2bn n.(1)求數列求數列an n與與bn n的通項公式；的通項公式；(2)設設cn n bn n，證明：當且僅當，證明：當且僅當n n 3時，時，cn n1cn n.2na思路點撥思路點撥課堂筆記課堂筆記(1)a1S14；對于對于n n2，有，有a

12、n nSn nSn n12 n n(n n 1)2(n n 1) n n 4 n n.綜上，綜上，an n的通項公式的通項公式an n4 n n.將將n n1代入代入Tn n2bn n，得，得b12b1，故，故T1b11.(求求bn n)法一：法一：對于對于n n 2，由由Tn n12bn n1，Tn n2bn n得得bn nTn nTn n1(bn nbn n1)，bn n bn n1，bn n21n n.12(求求bn n)法二：法二：對于對于n2，由由Tn n2bn n得得Tn n2(Tn nTn n1)，2Tn n2Tn n1，Tn n2 (Tn n12)，Tn n221 n n(T1

13、2)21 n n ，Tn n221 n n ，bn nTn nTn n1(221 n n)(222 n n)21 n n.綜上，綜上，bn n的通項公式的通項公式bn n21n n.12(2)法一：法一：由由cn n bn nn n225n n，得得 (1 )2，當且僅當當且僅當n n3時，時，1 ，即即c cn n1c cn n.法二：法二：由由c cn n bn nn n225 n n ，得，得c cn n1c cn n24 n n(n n1)22 n n 224 n n(n n 1)22，當且僅當當且僅當n n3時，時，c cn n1c cn n0，即，即c cn n1c cn n1nn

14、cc 121n1n432若將若將“Sn n2n n22n n”改為改為“Sn n3n nb”，如何求，如何求an n.解：解：當當n n1時，時，a a1S13b；n n2時，時，an nSn nSn n123n n1.當當b1時，時，a12適合適合an n23n n1，an n23n n1；當當b1時，時，a13b不適合不適合an n23n n1，an n綜上可知，當綜上可知，當b1時，時，an n23n n1；當當b1時，時，an n 131 ,2 3.nbnn 1 1 131 ,2 3.nbnn 1 1 由由a1和遞推關系求通項公式，可觀察其特點，一般和遞推關系求通項公式，可觀察其特點，

15、一般常利用常利用“化歸法化歸法”、“累加法累加法”、“累乘法累乘法”等等.1.構造等比數列，已知首項構造等比數列，已知首項a1，如果遞推關系為，如果遞推關系為an n1 qan nb(nN*)時，求數列時，求數列an的通項公式的關鍵是將的通項公式的關鍵是將 an n1qan nb轉化為轉化為an n1aq(an na)的形式，其中的形式，其中 a的值可由待定系數法確定，即的值可由待定系數法確定，即qan nban n1qan n (q1)aa (q1).(此種方法稱為待定系數法此種方法稱為待定系數法)1bq 2.已知已知a1且且an nan n1f(n n)(n n2)，可以用，可以用“累加法

16、累加法”，即，即an n an n1f(n n)，an n1an n2f(n n1)，a3a2f(3)，a2 a1f(2). 所有等式左右兩邊分別相加，得所有等式左右兩邊分別相加，得 (an nan n1)(an n1an n2)(a3a2)(a2a1)f(n n) f(n n1)f(3)f(2)， 即即an na1f(2)f(3)f(n n1)f(n n).3.已知已知a1且且 f(n n)(n n2)，可以用，可以用“累乘法累乘法”，即，即 f(n)， f(n n1)， f(3)， f(2)，所有等式，所有等式 左右兩邊分別相乘，得左右兩邊分別相乘，得 f(n n)f(n n 1)f(3)

17、f(2)，即即an na1f(2)f(3)f(n n1)f(n n).1nnaa 12nnaa 21aa1nnaa 12nnaa 32aa21aa1nnaa 32aa 根據下列條件，確定數列根據下列條件，確定數列an n的通項公式的通項公式.(1)a11，an n13an n2；(2)a12，an n1an n3n n2.思路點撥思路點撥課堂筆記課堂筆記(1)an n13an n2，an n113(an n1)，即即 3，又，又a11，a112，數列數列an n1是以是以2為首項，以為首項，以3為公比的等比數列為公比的等比數列.an n123n n1，an n23n n11.111nnaa (

18、2)an n1an n3n n2，an nan n13n n1(n n2)，an n(an nan n1)(an n1an n2)(a2a1)a1(3n n1)(3n n4)52 n n (n n2).當當n n1時，時，a1 (311)2符合公式，符合公式，an (3 n n 2 n n).2312n 312nn 1212若將若將(1)中的中的“an n13an n2”改為改為“an n1(n n1)an n”，如何求如何求an n.解：解：an n1(n n1)an n， n n1. n n， n n 1，1nnaa 1nnaa 12nnaa 3， 2，a11.累乘可得，累乘可得，an n

19、n n(n n 1)(n n 2)321.32aa21aa 由于數列可以視為一種特殊的函數，所以在研究數列由于數列可以視為一種特殊的函數，所以在研究數列問題時，可以借助研究函數的許多方法進行求解，如：問題時，可以借助研究函數的許多方法進行求解，如：1.有關數列最大、最小項、數列有界性問題均可借助數有關數列最大、最小項、數列有界性問題均可借助數 列的單調性來解決；列的單調性來解決；2.將數列的項的最值問題轉化為二次函數的最值問題解決將數列的項的最值問題轉化為二次函數的最值問題解決.特別警示特別警示在利用數列的函數性質解題時一定要注意在利用數列的函數性質解題時一定要注意n n只能取正整數只能取正整

20、數. 已知函數已知函數f(x)2x2x，數列，數列an n滿足滿足f(log2an n)2n n.(1)求數列求數列an n的通項公式；的通項公式；(2)求數列求數列an n的最大項的最大項.思路點撥思路點撥課堂筆記課堂筆記(1)依題意得依題意得f(log2an)2 2an 2n， 2nan10，又，又an0，an n.(2)由由(1)得，得，an1an (n1)( n) 1 10，an1an，即數列，即數列an為遞減數列，其最大項為為遞減數列，其最大項為a1 1. 高考對本節內容的常規考法是：已知數列的通高考對本節內容的常規考法是：已知數列的通項或遞推關系式，求數列的各項項或遞推關系式，求數

21、列的各項.09年陜西高考打破年陜西高考打破傳統的考查方式，將數列與導數相結合命題，考查傳統的考查方式，將數列與導數相結合命題，考查了學生綜合運用所學知識處理問題的能力，是高考了學生綜合運用所學知識處理問題的能力，是高考命題的一個新方向命題的一個新方向. 考題印證考題印證 (2009陜西高考陜西高考)設曲線設曲線yxn1(nN*)在點在點(1,1)處的切處的切線與線與x軸的交點的橫坐標為軸的交點的橫坐標為xn，則，則x1x2xn等于等于 () A.B. C. D.1 【解析解析】f(x)(n1)xn，f(x)在點在點(1,1)處的切線斜處的切線斜率率kn1，則切線方程：，則切線方程：y1(n1)

22、(x1)，令，令y0，切線與切線與x軸交點橫坐標軸交點橫坐標xn ，x1x2xn .【答案答案】B 自主體驗自主體驗 對正整數對正整數n，設曲線，設曲線yxn(1x) 在在x2處的切線與處的切線與y軸交點的縱坐標為軸交點的縱坐標為an，則數列，則數列 的前的前n項和項和Sn .解析：解析：yxn(1x)，y(xn)(1x)(1x)xnnxn1(1x)(xn).f(2)n2n12n(n2)2n1.在點在點x2處點的縱坐標為處點的縱坐標為y2n，切線方程為切線方程為y2n(n2)2n1(x2)，與與y軸交點縱坐標為軸交點縱坐標為y(n1)2nan， 2n成等比數列，首項為成等比數列，首項為2，公比

23、為，公比為2，前前n項和為項和為 (2n1)22n12.答案：答案：2n121.數列數列an：1， ，的一個通項公式是的一個通項公式是 () A.an(1)n1 B.an(1)n1 C.an(1)n1 D.an(1)n1解析：解析：可用驗證法取可用驗證法取n1，可知只有，可知只有D適合適合.答案：答案：D2.數列數列an中，中，an1 ，a12，則，則a4 () A. B. C. D. 解析：解析：由遞推關系式可得由遞推關系式可得a2 ，a3 ，a4 .答案：答案：B3.已知數列已知數列an的通項公式是的通項公式是ann2kn2，若對于，若對于 nN*，都有，都有an1an成立，則實數成立，則實數k的取值范圍是的取值范圍是 () A.k0 B.k1 C.k2 D.k3解析：解析：an1an，即，即(n1)2k(n1)2n2kn2，則則k(2n1)對于對于nN*都成立，而都成立，而(2n1)在在n1時時取到最大值取到最大值3，所以，所以k3. 答案：答案：D4.已知數列已知數列an滿足滿足a1a2a3ann2n1， 則數