1、自動控制原理典型例題q 畫根軌跡 分離（會合）點分別為-2.93和-17.1，分離（會合）角為90度。根軌跡為圓，如右圖所示。45例4-2（1）畫出系統的根軌跡；（2）計算當增益k為何值時，系統的阻尼比 是 ，并求此時系統的閉環特征根；（3）分析k對系統性能的影響。 510sssksG21q當 時，阻尼角 ，表示 角的直線為OB,其方程為 ，代入閉環特征方程整理后得：令實部和虛部分別為零，有解得由圖可知當 時直線OB與圓相切，系統的阻尼比 ，特征根為 。 2245450521052kjkk0520105kkk5, 5k5k2155jq 對于分離點 ，由幅值條件可知 對于會合點 ，有 由根軌跡圖

2、可知，當 時，閉環系統有一對不等的負實數極點，其瞬態響應呈過阻尼狀態。當 時，閉環系統有一對共軛復數極點，其瞬態響應呈欠阻尼狀態。當 時，閉環系統又有一對不等的負實數極點，瞬態響應又呈過阻尼狀態。93. 2858. 093. 21093. 2593. 21k07.1714.2907.17100 .17507.172k858. 00 k14.29858. 0 k k14.2945例4-3控制系統的結構圖如下圖所示。試繪制以a為參變量時的根軌跡。)(sR)(sY)2(1ss1as解 系統的閉環傳遞函數為：1)2(1)(assss用不含參數a的項去除閉環特征方程的兩邊，有：閉環系統的特征方程為：01

3、)2()(assssD1) 1(, 012122ssassas即畫出以a為參變量的根軌跡：10aaa例4-3系統的結構圖如圖所示。試繪制 的根軌跡。并說明閉環系統呈現欠阻尼狀態是的開環增益范圍。 0*k1*sk) 1(3sss)(sR)(sC解這里要畫以k*參量根軌跡。系統的閉環傳遞函數為：3333)(*2*2*2*sskskssssksks閉環特征方程為：033*2*2sskskss等效為：132)3(2*ssssk等效開環零點為：0，-3等效開環極點為：21jRoot LocusReal AxisImag Axis-3-2.5-2-1.5-1-0.50-1-0.500.51例4-3（續1）

4、例4-3（續2）其分離回合點計算如下：22)(, 32)(32)(,3)(22ssDsssDssNsssN根據：0)()()()(sDsNsDsN整理得：233, 0962, 12sss由根軌跡圖可以看出，分離回合點在-3，0區間，所以分離回合點為-1.243。對應的根軌跡增益k*為：95. 0332|)()(22243. 1*sssssNsDks當k*在0，0.95范圍內，閉環系統呈現欠阻尼狀態。例4-4控制系統的開環傳遞函數： 。試繪制當kg從0到正無窮大時的根軌跡。)2)(1 ()(ssksGgk解)2)(1()2)(1 ()(sskssksGggk度根軌跡）根軌跡（變化時，相當于正反饋

5、從當00gk例4-5系統結構圖如下。1、畫出根軌跡。2、求當k=5時閉環極點的位置。解 1、系統的開環傳遞函數為：)62() 1(2ssssk)(sR)(sC11s)62()62)(1() 1()(22sssksssssksGk開環極點為51, 0j求漸進線：180,60) 12(,67. 0mnkmnzp求極點 的出射角：51j2424)5180(90180211ddtg求根軌跡與虛軸的交點。系統的閉環特征方程為：0)62)(1()(23ksssssf列勞思陣列如下：002122610123kkkssss例4-5（續1）例4-5（續 2）當k=12時，輔助方程為： ，解得：01222s62,

6、 1js6j6j24242、當k=5時，閉環特征方程為：例4-5（續 3）0)5)(1)(1()(2sssssf0)562)(1()(23sssssf解方程可知，系統的4個閉環極點為：18. 21, 14, 32, 1jss該例中，開環傳遞函數有零極點相消。在畫根軌跡時，可以畫相消后的系統根軌跡。但是，要把消去的開環零、極點補上。檢驗一下消去的開環極點是否閉環系統的極點。若是的話，在考慮主導極點的時候，要把該極點考慮進去。本例中，顯然消掉的開環極點也是閉環極點。例5-1系統結構圖如右：試判斷閉環系統的穩定性并討論穩定性和k的關系。1sk-)(sR)(sC解：開環系統奈氏圖是一個半徑為 ，圓心在

7、 的圓。顯然，k=1時，包圍(-1,j0)點，k1時，奈氏曲線逆時針包圍 (-1,j0)點一圈，N=-1，而 ，則 閉環系統是穩定的。1kP0kkPNZ當k=1時，奈氏曲線通過(-1,j0)點，屬臨界穩定狀態。當k1時，曲線逆時針包圍-1點，當k1時系統穩定，否則不穩定。00kP)(0例5-1（續）例5-2系統的開環傳遞函數為： ，試問當k=20時，閉環系統是否穩定？)5()(2sskesGsk解思路：閉環系統穩定時，開環相位穩定裕度 大于零。即當頻率等于幅值穿越頻率 時， 。所以先求幅值穿越頻率，再求相位穩定裕度 。c0)(180jGk12520520)5(20)(2jsjsjsksssss

8、G令解得：3294. 3c則相位穩定裕度為：6823.49)2590(1801cctg所以閉環系統是穩定的，并且有一定相角裕度。 考慮一下：當k=20時，為了保證閉環系統穩定，延遲環節的延遲時間最大可取多少？ 當延遲時間一定時，為了保證閉環系統穩定，k的臨界值是多少？例5-3已知最小相位系統的開環對數幅頻特性曲線如圖所示。試判斷系統的穩定性。解求出穿越頻率處的相角，計算相角穩定裕度，若相角穩定裕度大于零，則系統穩定。由圖知：低頻段漸進線斜率為-40，表明系統有兩個s=0開環極點。在w=2處，斜率變化為-20，表明遇到一個一階微分環節。在w=10處，斜率變化為-40，表明遇到一個一階慣性環節。據

9、此有：40402020601 . 0110c2例5-3（續）設系統的開環放大系數為K，有：20=logK-vlogw，當w=1時，解得：K=10。故系統的開環傳遞函數為：) 11 . 0() 15 . 0(10)(2ssssGk2log201 . 02log4060c40402020601 . 0110c21 . 02log40,1 . 0log2log4010logxx解得：5c系統的相角穩定裕量為： ，系統穩定。穿越頻率處的相角為：37.1381 . 01805 . 0)(11ccctgtg63.41)(180c例5-4系統結構如圖a所示。其中G2(s)為最小相位環節，該環節的頻率特性如圖

10、b所示，用乃氏判據判斷系統的穩定性。( )0TkG2(s)21s)(sR)(sC圖a1T00j圖b)(2sG解由圖b知，G2(s)應為零型環節，且有：0)(,| )(| ; 0)0(, 1| )0(| , 022TGGT可知：11)(2TsssG11)(2TsssG系統的開環傳遞函數：) 1() 1()(2TsssksGkkG2(s)21s)(sR)(sC-1例5-4（續1）) 1()() 1()(2jTjjkjGkTtgtgTtgtg1111180180)(11| )(|22222TkjGk假設k=0例5-4（續2）) 1()() 1() 1() 1)(1()() 1)(1() 1()() 1()(222222222TTkjTTkjTjTjjTjkjTjjkjGk| )(| ,0)(0jGk0| )(| ,0)(jGk完整的乃氏圖見下頁。 0 0頻特性為負。時，實頻特性為正，虛，00k1, 2, 1Tk例5-4（續3） 畫出完整的映射圖，可知：順時針繞-1點轉動一圈。而系統無開環右半極點，所以在k0的情況下，閉環系統不穩定。例5-4（續4） 同樣，當k0時，畫出系統乃氏圖如下頁所示。并畫出完整的映射圖，可知：順時針繞-1點轉動2圈。而系統無開環右半極點，所以在k0的情況下，閉環系統也不穩定。例5-4（續5） 0 01, 2,