1、歐陽(yáng)家百創(chuàng)編拋物線的幾個(gè)常見(jiàn)結(jié)論及其應(yīng)用歐陽(yáng)家百（2021.03. 07）拋物線中有一些常見(jiàn).常用的結(jié)論，了解這些結(jié)論后在做選擇 題、填空題時(shí)可迅速解答相關(guān)問(wèn)題，在做解答題時(shí)也可迅速打開(kāi) 思路。結(jié)論一：若AB是拋物線'亠2刃（卩0）的焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）,且=£ 、A（xd） B/,）氣 貝y：小一丁，y1y2=-/o1 1例：已知直線AB是過(guò)拋物線2.心0）焦點(diǎn)f,求證：R'R 為定值。結(jié)論二： 若AB是拋物線宀2噸0）的焦點(diǎn)弦，且直線AB的9 p傾斜角為0C,則皿=晟 （«=#O） o （2）焦點(diǎn)弦中通 徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的弦）最短。例：已知

2、過(guò)拋物線y2=9v的焦點(diǎn)的弦AB長(zhǎng)為12,則直線AB傾斜角為。AB傾斜角為亍或亍。結(jié)論三：兩個(gè)相切：（1）以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相 切。（2）過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦的兩謊點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，以?xún)纱?足為直徑端點(diǎn)的圓與焦點(diǎn)弦相切。例：已知AB是拋物線）12網(wǎng)0）的過(guò)焦點(diǎn)F的弦，求證：（1）以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。歐陽(yáng)家百創(chuàng)編為直徑的圓與直線AB相切。結(jié)論四：若拋物線方程為心2網(wǎng)卩>0),過(guò)(2P, 0)的直線與之交于 A. B兩點(diǎn)，則OA丄OB。反之也成立。x = 2 ph結(jié)論五：對(duì)于拋物線其參數(shù)方程為八2卅設(shè)拋物線 巧上動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2"2用)，。為拋物線的頂點(diǎn)，顯然

3、k =型“"2以,艮”的幾何意義為過(guò)拋物線頂點(diǎn)。的動(dòng)弦紗的斜率.例 直線 >'亠與拋物線宀2"(p>0)相交于原點(diǎn)和A點(diǎn)，為拋物線 上一點(diǎn)，少和OA垂直，且線段肚長(zhǎng)為5伍，求P的值._ 1 _ 1解析：設(shè)點(diǎn)A 分別為(2冷2皿)，(2能,2皿),則"廠 ,5 = 7 = S = 一2kobA 的坐標(biāo)分別為誇，pj,(8p,-4p)=+(/? + 4p)2 =1713 = 5/13 p = 2 練習(xí)：i過(guò)拋物線心0)的焦點(diǎn)尸作一直線交拋物線于只°兩點(diǎn)，若線 丄+丄丄+丄皿段M與皿的長(zhǎng)分別是則“心故“彳12設(shè)拋物線y2"(p&g

4、t;0)的焦點(diǎn)為F ,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于 A 兩點(diǎn)點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且眈 x軸.證明直線M經(jīng)過(guò) 原點(diǎn)。Hp o_ p【證明：拋物線焦點(diǎn)為 邁丿.設(shè)直線加的方程為x=,wv+2，代入歐陽(yáng)家百創(chuàng)編拋物線方程，得八2陀-宀0 .若設(shè)心，脅Bg >,）,則 k =藝）小"-BC/X軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線<（，-V.；k =21日又由y；=2pXi，得兀"， 故咯*。,即直線AC經(jīng) 過(guò)原點(diǎn)。13.己知拋物線的焦點(diǎn)是F），準(zhǔn)線方程是x+y+2“，求拋物線的方 程以及頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸方程.【解：設(shè)PS"）是拋物線上的任意一點(diǎn)，由拋物線的定義得 如_1）2+（）,

5、_1）丁2|整理，得宀八2葉弘-8尸0,此即為所求拋物線的方程.拋物線的對(duì)稱(chēng)軸應(yīng)是過(guò)焦點(diǎn)F（,4）fi與準(zhǔn)線卄尸2 = 0垂直的直 線，因此有對(duì)稱(chēng)軸方程設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為M,可求得M（7-1）,于杲線段倂的中 點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn)，坐標(biāo)是©°）】備選1.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（L0準(zhǔn)線/的方程是"2廠2 = 0,試求該拋 物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和方程.解：依題意，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程為2"廠2 = 0 .設(shè)對(duì)稱(chēng)軸和準(zhǔn)線的交點(diǎn)杲M,可以求得乜5丿.設(shè)焦點(diǎn)為FiVF,則FM的中點(diǎn)是A,故得焦點(diǎn)坐標(biāo)為X'5丿.再設(shè)P3y）是拋物線上的任一點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義得歐陽(yáng)家百創(chuàng)編fx一纖 +y一斗"FT即為W 5丿 V 5)75化簡(jiǎn)整理得 4x2 + r+4-4.r-12y = 0所求拋物線的方程.例2己知