1、摘要本題為賓館的預定策略問題，涉及價格制定和經營策略問題。通過對題目中提供的數據，以及對所要求解的問題的分析，本小組認為符合時序預測問題的基本條件。對于第一問，要求估計第九周和第十周參考標準間房價，屬于短期預測。將對未來價格的預測問題分解為兩個問題：對一周內各天價格所占一周內總價的比例，和各周價格變化趨勢適。采用多段的、三次多項式趨勢外推法解決第一個問題，模型的誤差最大為0.39%，可見模型是十分精準的；同時采用三次多項式外推和一次移動平均法求解第二個問題，通過對比，一次移動平均法比趨勢外推得到的數據，與已知數據更為符合。同時，其預測值比較符合經濟規律，因而，其預測結果具有可靠性。對于問題二，

2、賓館采用升級客房檔次或賠款來解決超額接受客房預訂的糾紛。采用獨立重復試驗概型可以得到k個客人取消訂單的概率；在計算出賓館利潤的期望值，通過在賠償和客房數量上的限制條件，和保證賓館最大利潤的目的，可以確定出賓館超額提供預定的最大數。對于問題三，要求為賓館制定一個長期的經營策略，通過一二問的分析，可以得出合理的方案。一 問題重述某著名的旅游城市的A級賓館主要提供舉辦會議和游客使用的。客房通過電話或互聯網預定，這種預定具有很大的不確定性，客戶很可能由于各種原因取消預定。賓館為了爭取更大的利潤，一方面要爭取客戶，另一方面要降低客戶取消預定遭受的損失。為此，賓館采用一些措施。首先，要求客戶提供信用卡號，

3、預付第一天房租作為定金。如果客戶在前一天中午以前取消預定，定金將如數退還，否則定金將被沒收。其次，賓館采用變動價格，根據市場需求情況調整價格，一般來說周末價格比較高。研究的問題是：(1) 試建立客房預定價格的數學模型，并對以下實例作分析。表1給出了某賓館8周標準房價格(單位: 美元)，用你的模型說明價格變動的規律，并據此估計第9周和第10周的標準房參考價格。你還可以收集更多的數據來驗證你模型的價值（要求注明出處）。（2）在旅游旺季，賓館往往可以預定出超過實際套數的客房數, 以減低客戶取消預定時賓館的損失。當然這樣做可能會帶來新的風險, 因為萬一屆時有超出客房數的客戶出現, 賓館要通過升級客房檔

4、次或賠款來解決糾紛, 為此賓館還會承擔信譽風險. 某賓館有總統套房20套，豪華套房100套，標準間500套。試為該賓館制定合理的預定策略, 并論證你的理由。（3）請為該賓館制定一個長期的經營策略；并給總經理寫一篇短文有關管理經營的建議書。二、問題假設以及符號說明A：假設1， 在求解第一問中，假設第一周至第十周處在一個穩定的市場狀態（淡季或旺季）；2， 假設標準間的價格總體走勢僅由兩方面分量合成，即，每一周內的7日價格變化走勢，周均價走勢；2，假定所提供的數據與未來數據是連續的，不存在重大變故的干擾；3，假設賓館的三類客房比例與市場需求比例相同，不存在巨大的入住率差異；4，假設客人取消預定都是在

5、前一天中午以前；5，假設賓館除開客房開支以外，總的運營成本，等于至少六成的客房有人入住時所得的利潤；6，假設賓館對為得到房間的以預定客人的賠償為：同類房間利潤的一倍。7，假設客人訂房沒有批量預定的情況。B:符號說明主要符號代表含義Yi 一周內星期i的房價所占周總價比例的標準間價格的走比例Yk 標準間價格的周均價內走勢yk,i第k周，星期i的標準間均價k 第k周I 星期im1,m2,m3 接受預定的標準客房、豪華套間、總統套房的數量A 客人入住每間客房的利潤D 每位已經預定而又沒有得到客房的賠償C1,C2,C3 除客房以外的其他總成本，分攤到三類房間的分別總和P 一個已定客房的旅客在在前一天中午

6、以前取消預定的概率gkk 人未按時入住的概率LR(k) 設賓館相應與每種gk的利潤Y(LR) 那么賓館的利潤期望為三、 問題分析顯然，從本題提供的數據和所要求解的問題來看，它是屬于時間序列的預測問題，故考慮用多項式趨勢外推和移動平均法等方法求解。第一問：題目中給出了八周的標準間房價數據，要求預測第九、第十周的標準間房價，屬于短期預測問題。顯然，從所給數據來看，要建立單一時間變量的函數來確定房價是很難的，不過更具日常經驗和經濟學規律分析，可將影響標準間的房價變動的因素歸納到兩方面：即，一周內房價的分布，和以周均價為代表的長期上漲規律。第二問:顯然，預定了客房的客人取消預定的概率是相互獨立的，則，

7、m個預定中，有k個客人取消訂單的事件符合獨立重復試驗概型；同時，由于k的不同導致賓館利潤的不同，故先計算出賓館利潤對于某一個k值的函數，在通過概率加權的辦法算出賓館利潤的期望，通過取定合適的m值，使得利潤期望最大，從而得出合適的賓館客房超額預定策略。第三問：通過一二問的求解，提供建議四、模型建立4.1對于第一問：顯然，在未來某一周內，由于工作日和雙休日的固定，以及其所導致的對賓館客房的需求的固定，可以推定：該周內任意一天的標間價格所占的七天總價的比例yi與yi的關系是不變的;同時，根據經濟規律可知，標準間的周均價yk隨時間的推移是按某種規律上漲的，因此，可以建立周數k與yk的關系。那么，未來第

8、k周，星期i的標準間的價格yk,i上述兩種決定價格變動規律的因素共同決定的。由此可得 yk,i的表達式：yk,j=yi*yk4.2對于第二問，根據訂房客人取消預定的變化，賓館的利潤也是變化的。為了確定一個最優的預定策略，將所有可能的情況根據其概率進行加權運算，最終得到具有代表性的總體利潤的期望，從而確定一個合理的預定策略。k 人未按時入住的概率為gk，賓館相應與每種gk的利潤為LR(k)，那么賓館利潤的期望為：五、求解方法5.1第一問的求解5.1.1首先對標準間在每個周內的價格走勢作分析，建立其周內變化模型。對一周內各天的均價走勢的研究，得到一周內的價格變動，可以反應標準間價格變動因素中的一個

9、周期性因素。通過對數據的分析得到前八周內，星期一至周日分別的標準間價格均值：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日標間均價50.550.546.75119125.2595.554.25其折線圖如下：于是得到一周內各天的均價比例如下：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日標準間均價50.550.546.75119125.2595.554.25周均價541.75541.75541.75541.75541.75541.75541.75比例9.32%9.32%8.63%21.97%23.12%17.63%10.01%由于題目中已明確說明：，賓館采用變動價格，根據市場需求情況調整價格，一般來說周

10、末價格比較高。同時結合上圖，對建立的各周內模型采用分段的多項式趨勢外推法建立函數。分別用線性趨勢外推，以及三次多項式外推，建立的分段函數如下：通過matlab求解方程組（代碼見附錄代碼一），得到趨勢外推法的解如下其模擬的效果如下：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日均價50.550.546.75119125.2595.554.25總價541.75541.75541.75541.75541.75541.75541.75比例0.0932160.0932160.0862940.2196590.2311950.1762810.100138擬合比例0.0932530.0932530.0862940

11、.21910.23210.17570.1003誤差0.04%0.04%0.00%0.25%0.39%0.33%0.16%從驗證值與實際數據的誤差來看，誤差最大的為0.39%，在允許范圍內，模擬效果比較理想。5.1.2.再對標準間前八周的周均價走勢作分析，建立周間均價變化模型，并預測九十周均價。、多項式外推法求解（代碼見附錄代碼二）對周間標準間的價格變化的研究，得到其周均價的價格走勢，可以較為直觀的反應在較長時間段內整體的價格趨勢，以便于作短期預測。通過對題目所提供的數據，分析得到前八周各自的均價， 根據對周均價走勢的分析，和題目其他已知條件，首先通過趨勢外推法建立模型如下三次多項式外推其擬合前

12、后對比如下周次每周價格走勢擬合函數值偏差143.5714285730.116930.88%24967.351937.45%35389.957969.73%4169100.147240.74%590.42857143100.131710.73%670.4285714392.123730.80%776.1428571478.33522.88%867.5714285760.97849.76%擬合曲線見下圖。可見，其誤差以十分明顯。其中，前6周誤差都超過10%，最大的第三周甚至達到69.73%。而且根據它預測的第九、十周均價分別為42.2653，24.4082元。根據日常經驗可知，均價隨時間的推移是逐

13、步上漲的，這與之不符。故，此時采用三次趨勢外推是不合理的；若采用更高次的多項式外推法，可使前八周內誤差減小，但其預測將變得更加不合常規。于是，此處不能采用多項式趨勢外推。接下了，本文將采用一次移動平均的方法對第九第十周預測。采用一次移動平均法求解（代碼見附錄代碼三）為了使數據最終結果與原始數據比較符合，并減小統計數據中由于偶然因素較大的數據的影響，取移動平均的觀測點數為8。其最終擬合結果如下（為了便于繪圖，在原始數據中令第九十周均價為0，不過這不影響算法的準確度）設未來第k周的周均價值為yk,則yk+1=18j=k-7kyj其對九、十周的預測結果為77.3929元，與 81.6205元，比較符

14、合均價整體走勢。5.1.3.綜上，可得未來第k周，星期i的標準間價格的預測值yk,i得表達式： 根據以上公式計算出來的第九第十周標準間價格如下表：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日第九周50.52 50.52 46.75 118.70 125.74 95.19 54.34 第十周53.28 53.28 49.30 125.18 132.61 100.39 57.31 5.2求解第二問5.2.1僅考慮賠償現金的情況下：賓館標準客房、豪華套間、總統套房的實有數量分別為n1,n2,n3;設賓館接受預定的標準客房、豪華套間、總統套房的數量分別為m1,m2,m3;客人入住的客房的利潤為A元每間；

15、已經預定而又沒有得到客房的賠償為D元每間；賓館除客房以外的其他成本分攤給三類房間，分別總共為C1,C2,C3元；設一個已定客房的旅客在在前一天中午以前取消預定的概率為p；其中k 人未按時入住的概率為gk，則有： gk=Cmkpk(1-p)(m-k)；當m很大時，為了便于計算gk，根據泊松分布和二項分布的聯系知道，此時可以用前者計算后者的近似值：即有，gk=(mp)ke-(mp)k！;設賓館相應與每種gk的利潤為LR，那么LR(k)=m-kA-c, (m-k)nnA-m-k-nD-c, m-k>n那么賓館的利潤期望為根據假設，除去客房開支以外，賓館總的運營成本，等于至少六成的客房有人入住時

16、所得的利潤；即C=0.6nA。顯然，賓館的n,D,A,p短期內都是已知常數。過可以通過數值模擬的方法取定m，使得Y(LR)最大。對Y(LR)進行等價變形得：對標準間而言對豪華間而言對總統包間而言顯然，隨著p的增大，即1-p的減小，利潤是逐漸增大的。根據m和p取不同的值，利潤的期望變化如下：A根據下圖，標準間的最大利潤在1-p=0.95時，在m1=530時取得。B根據模擬計算圖，豪華間在所有情況下，都在m2=100左右取得最大利潤。C，根據模擬計算圖，總統包間在所有情況下，都在m3=20左右取得最大利潤假設取1-P=0.95。此時，賓館為了取得最大期望利潤率，根據前述計算結果可知，標準客房的預訂

17、水平因該取530、豪華套房的預訂水平取100、總統套房的預訂水平取20時，賓館利潤最大。而其中，豪華套房、總統套房的最大利潤分別在101和21處取得，m的數量太少，不適合超額預訂，況且賠率較大，賓館從經濟的角度考慮，豪華套房、總統套房不應該接受超額預訂。根據求出的數據可知，對于標準客房來說，當標準客房的超額預訂水平為530 時， 最大可能超額入住5人，且概率為0.0796，即說明，最大可能賠償5個人。5.2.2在同時考慮升級客房檔次或賠款的情況下對于標準房間，由于沒有更低級的房間升級到標準房間，故在不同的概率值下， 期望利潤率隨訂房水平的變化情況相似。 由5.1 的求解可知，在1-P=0.95

18、 的情況下，賓館為達到，最大期望收益率，標準客房的超額預訂水平為530，豪華套房和總統套房不需要超額預訂。在標準客房的530 超額預訂水平下，最大可能是需要賠償5 個人。我們不妨假設賓館此時的處理方式是給其中2 人退預定金，并賠償標準間利潤的一倍；給另外3 人升級為豪華套房。于是，對于豪華套房來說，由于客滿，已經預定豪華套房的客人不能入住的概率將增加。由于豪華套房本身不超額預訂，那么，賓館最明智的處理方式是預留3 個房間，提供給不能住標準客房的客人，以減少損失。結論是：當賓館的處理方式是賠償客人費用或升級客人鎖定房間的等級時，賓館的預訂策略是標準客房預訂水平定為530，豪華客房預訂水平定為97

19、，總統套房的預訂水平定為20。5.3為該賓館制定一個長期的經營策略；并給總經理寫一篇短文有關管理經營的建議書。根據第一二問的求解，可以知道，賓館的有關經營定價策略；不過對于長期的預測與規劃，本模型同樣適用，只是涉及的具體參數，計算數據等要隨時間的推移和市場的變化而更新，從而可以制定科學合理的經營策略。同時，也要適度靈活處置市場即時變更，以適應波動的市場。六、計算機結果及分析6.1.第一問結果為第九第十周標準間價格如下表：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日第九周50.52 50.52 46.75 118.70 125.74 95.19 54.34 第十周53.28 53.28 49.30

20、 125.18 132.61 100.39 57.31 6.2第二問的結果為A僅考慮賠償現金的情況下賓館的超額預訂策略是標準客房預訂水平定位530，同時，其賠償額度為每間賠償以相當于一間同等級別的客房利潤的現金，豪華套房和總統套房不提供超額預訂。B在同時考慮升級客房檔次或賠款的情況下賓館的預訂策略是標準客房預訂水平定為530，豪華客房預訂水平定為97，總統套房的預訂水平定為20。6.3本模型的優缺點優點：模型的精確度較高，比如第一問的誤差不超過1%，結果可靠； 采用多種方法對比計算，結果優化程度較好。 結合各種市場數據和經濟規律，結果的可靠度較高。缺點：模型的建立中考慮的因素不夠全面，比如第二

21、問的求解當中，還可以將超額預訂對賓館的信譽度，一致于入住率的影響加入考慮。七、參考文獻1： 蒲俊，數學建模講義； 2： 曾建軍，李世行，matlab語言與數學建模，安徽理工大學；3： 李順初，概率統計教程；科學出版社；4： 孫 岳，楊永均，湯玚，中國礦業大學暑期數學建模集訓；八、附錄、某賓館8周標準房價格(單位: 美元)周次周一周二周三周四周五周六周日129.00 29.00 29.00 69.00 79.00 35.00 35.00 235.00 35.00 35.00 69.00 99.00 35.00 35.00 335.00 35.00 35.00 89.00 99.00 39.00

22、39.00 439.00 39.00 39.00 329.00 329.00 329.00 79.00 579.00 79.00 79.00 119.00 119.00 119.00 39.00 639.00 39.00 39.00 99.00 99.00 89.00 89.00 789.00 89.00 59.00 89.00 89.00 59.00 59.00 859.00 59.00 59.00 89.00 89.00 59.00 59.00 、代碼代碼一：x= 3 4 5 6 7y1=0.0862944160.2196585140.2311952010.1762805720.10013844y= 0 0 0 0 0wc=zeros(1,7)figurehold onplot(x,y1,'r-')b=polyfit(x,y1,3)plot(x,polyval(b,x),'g-