1、尋找 “創新”與“雙基”的平衡支點“概率的意義”教學案例與評析余杭區勾莊中學唐宏斌一、 背景介紹本節課是人教版義務教育課程標準實驗教科書·數學九年級上冊第二十五章“概率初步”（第三課時），相對于傳統的代數和幾何而言，概率論的形成較晚，相對于學生以前學習過的一些數學概念，概率定義的思考方式新穎而又獨特，這正是培養學生創新精神的一個極好機會。本節課緊緊抓住隨機事件發生的特點，精心設計實驗過程，期望通過學生親身的、大量的重復試驗活動，使他們深刻感受到隨機事件的這種特點，深刻感受概率定義的發生、發展過程。概念形成之后又設計了一系列的問題，通過交流、討論，深化學生對概率意義的理解，發展學生的數

2、學能力。二、教學過程1、提出問題首先通過抽牌游戲讓學生感受到從一副牌中任抽一張紅心的可能性要比是“小王”的可能性大，進而引發本節課問題：隨機事件發生的可能性究竟有多大？到底在多大？如何從數量上去刻畫它的大小？這正是本節課要研究的問題。板書概率的意義。師：下面我們從歷史上最精典、最簡單的硬幣拋擲實驗開始，具體研究一下隨機事件發生的可能性大小。2、直覺猜想學生拋擲一枚質地均勻的硬幣，猜想“正面向上”與“反面向上”的可能性各占一半。3、試驗驗證過程分四大步：第一步：學生拋擲硬幣兩次，“正面向上”的概率出現三種結果：1，0。師：顯然，兩次試驗并不能驗證猜想，其中有兩種結果與猜想有較大偏差，這是為什么？

3、生：試驗次數太少，試驗結果有偶然性。第二步：把全班學生分成10組，每組學生分別擲一枚硬幣50次，整理學生獲得的試驗數據，并記錄在表1中：表1活動前教師講清試驗要求，并要求學生：（1）要本著一絲不茍、嚴謹求實的科學精神，認真完成并記錄好試驗數據；（2）試驗時應相互合作，相互溝通。試驗結束后開始分析試驗數據。師：請同學們根據試驗數據想一想“正面向上”的頻率有什么規律。下面我們繼續增大試驗看看有什么新的發現，歷史上有很多數學家為了弄清其中的規律，曾做了成千上萬次的拋擲硬幣的試驗。請看看他們的試驗結果。表2第三步：分析數學家的試驗數據。師：隨著拋擲次數的增加。“正面向上”的頻率在0.5左右擺幅的什么規

4、律？生1：越來越小。師：為什么？生1：隨著拋擲次數的增加，“正面向上”的頻率與0.5的偏差越來越小。教師與學生一直計算、驗證生1的結論，然后將數學家的試驗數據繪制成散點圖（如圖1），進一步從“形”的角度直觀感受剛才得到的規律。圖1師：繪制成散點圖更能直觀感受到規律，下面我們將自己的試驗數據也繪制成散點圖。學生繪圖（如圖2）。圖2師：請同學們思考兩個散點圖反映出的規律是否相同？如果不同，為什么？第四步：對比分析，深化結論通過對比，學生發現：圖1中反映的規律并不能在圖2中得到反映。學生在圖2中看到的是：隨著拋擲次數的增加，“正面向上”的頻率在0.5左右擺動的幅度時大時小。教師追問原因，學生討論得出

5、試驗次數太少。師：你們認為試驗多少次才能出現上述規律？生：1萬次。師：1萬次就一定能出現上述規律嗎？生：1千萬次、1億次生：試驗次數越多越容易出現上述規律。評析：通過上面步步緊逼，主要讓學生體驗隨機事件的隨機性，另一方面感受到隨著試驗次數越來越大時，隨機事件又顯示出某種規律，同時滲透極限的思想。這時，教師可引導學生課后繼續試驗，獲得大量數據，感受隨機事件的統計規律。師：通過剛才的對比分析，我們得到：在經過大量重復試驗后，“正面向上”的頻率在0.5左右擺動的幅度越來越小，頻率呈現出一定的穩定性，穩定在0.5的附近。由于“正面向上”的頻率呈現上述穩定性，我們就用0.5這個常數表示“正面向上”發生的

6、可能性的大小。師：請同學們思考當“正面向上”的頻率穩定在0.5時，“反面向上”的頻率呈現出什么規律？生：“反面向上”的頻率也穩定在0.5。師：至此我們驗證了之前的猜想，拋擲一枚質地均勻的硬幣時，“正面向上”和“反面向上”的可能性各占一半。4、得出定義略5、理解定義問題：根據概率的意義，判斷下列表述是否正確并說明理由。（1）某位射擊運動員在同一條件下進行射擊練習，三次全部射中10環，于是他說自己射中10環的概率為100%。（2）在大量重復試驗中，隨機事件發生的頻率在不斷變化。因此，該事件的概率不是確定的值。學生經過交流、討論后，得出以下結論。頻率與概率的區別：隨機事件發生的概率是一個常數，而這一

7、事件發生的頻率是波動的。頻率與概率的聯系：當試驗的次數很多時，事件發生的頻率穩定在相應的概率附近，因此可以通過大師的試驗，用頻率估計概率。問題2：請同學們根據概率的定義思考事件A的概率P（A）的范圍。6、鞏固應用練習1：某商場設立一個可以自由轉動的轉盤（如圖3），并規定：購物10元以上就能獲得一次轉動轉盤的機會，轉盤停止時指針落在哪一個區域就獲得相應的獎品，表3是活動進行中的一組統計數據。表3圖3（1）計算指針落在“鉛筆”區的頻率（精確到0.01）；（2）根據頻率的穩定性估計：假如你去轉動該轉盤一次，你獲得鉛筆的概率約是多少（精確到0.01）？練習2：天氣預報說下星期一降水概率是90%，星期三

8、降水概率是10%，于是有位同學說：“下星期一肯定下雨，下星期三肯定不下雨。”你認為他說的對嗎？練習3：樂樂去看病，醫生告訴他：“你需要馬上動手術！”樂樂問：“醫生，這種手術成功的概率是多大？”醫生說：“這種手術成功的概率是百分之九十九，我已經成功地做了九十九例，你將是第一百例。”樂樂聽了醫生的話，拔腿就跑，心想：我絕不會做你手術刀下的犧牲品，樂樂的想法對不對？你覺得樂樂可以做這個手術嗎？為什么？7、小結提高（1）你能談談概率的意義與你真實想象的一樣嗎？有什么區別？（2）舉例說明概率在日常生活中的應用。學生根據自己的理解，有感而發，互相辯論。教師對正確的回答給予表揚和鼓勵，對錯誤的提法給予澄清和

9、糾正，從而進一步加深了對概率意義的理解和認識。三、觀點碰撞1、觀課教師的課后評析：（1）游戲引入，激發興趣，開門見山，直奔主題，目標明確，啟動思維。）（2）整個試驗驗證的過程分為四步，層層推進，步步深入，一氣呵成，自然而流暢，在教師的引導下，學生親自參與了猜想試驗收集試驗數據分析試驗結果的過程，學生通過親身的、大量的重復試驗活動，深刻感受到隨機事件一方面具有隨機性，另一方面又呈現出一種統計規律性，從而感受知識的生成、發展與變化。在對隨機現象進行探索的過程中，發展了學生的數學能力。）（3）執教者為了深化對概率意義的理解，從三個方面（字面理解、錯誤辨析、確定范圍）對概率的意義進行了多角度、多側面、

10、多層次的深入理解，與時下有些課只追求表面的熱鬧、浮華相比，足見執教者對學生“雙基”的重視。）（4）教師為鞏固定義，設計了三個問題，第一個根據頻率的穩定性去估計概率，后兩個是已知概率的大小去判斷事件發生的可能性的大小，并進一步澄清了學生的一些錯誤認識。）2、專家及觀課教師的部分觀點觀點1：課堂教學的有效性是衡量一節好課的關鍵要素。這里所說的有效性表現在三個方面：“教學效果”，教學效果是指教學活動的結果，它考察的重點是學生的具體學習進步與教學發展；“教學效益”，教學效益是指教學效果或結果與教學目標相吻合，滿足了社會和個人的教育要求；“教學效率”，教學效率是指單位教學投入所獲得的教學產出。有效的教學

11、表現為：應引導學生積極、主動地參與學習；應使教師與學生、學生與學生之間保持有效互動的過程；應為學生的主動建構提供學習材料、時間以及空間上的保障；使學習者形成對知識真正的理解；必須關注學習者對自己以及他人學習的反思；應使學生獲得對該學科的積極體驗與情感。觀點2：知識與技能目標是三維目標中的基礎性目標，對基礎知識和基本技能的掌握是課堂教學的一項極其重要的常規性任務，它是教師設計教學過程必須明確的內容。然而由于認識上的片面和觀念上的偏差，在不少課堂上，最應該明確的知識與技能目標，反而出現缺失或者變得含糊。一些課聽下來總讓人覺得虛，我們不能像傳統課堂那樣只抓“雙基”，但也絕不能走向另一個極端，放棄“雙

12、基”。“雙基”畢竟是學生學習的重要“抓手”，也是過程與方法，情感態度與價值觀的不可缺少的“物質”載體，是促進學生全面發展的重要平臺。因此，每節課都應該讓學生有實實在在的認知收獲。觀點3：對概率意義的正確理解是建立在學生通過大量重復試驗后，發現事件發生的頻率可以刻畫隨機事件發生可能性的基礎上的。結合學生的認知規律和教材特點，本節課引導學生親身經歷猜測試驗收集數據分析結果的探索過程。這符合數學課程標準“從學生已有生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象為數學模型并進行解釋與應用的過程”的理念。觀點4：貼近生活現實的問題情境，不僅易于激發學生的求知欲與探索熱情，而且會促進他們面對要解決的問題時大膽

13、猜想，主動試驗，收集數據，分析結果，為尋求問題解決主動與他人交流合作。在知識的主動建構過程中，促進了教學目標的有效達成。更重要的是，主動參與數學活動的經歷會使學生終身受益。觀點5：隨機現象是現實世界中普遍存在的，概率教學的一個重要目標就是培養學生的隨機觀念。為了實現這一目標，教學設計中讓學生親身經歷對隨機事件的探索過程，通過與他人合作探究，使學生自我主動修正錯誤經驗，揭示頻率與概率的關系，從而逐步建立正確的隨機觀念，也為以后進一步學習概率的有關知識奠定了基礎。觀點6：本節課力求為學生提供從事數學活動的時間與空間，為學生的自主探索與同伴間的交流合作提供保障，從而促進學生學習方式的轉變，使之獲得廣

14、泛的數學活動經驗。教師在學習活動中是組織者、引導者與合作者，應注意評價學生在活動中的參與程度、自信心以及是否愿意交流等，并給學生以適時的引導與鼓勵。四、課堂教學分析主動探究學習不等于意義學習。奧蘇貝爾認為，意義學習有兩個先決條件：（1）學生表現出一種意義學習的傾向，即表現為一種在新學的內容與自己已有的之間建立聯系的傾向；（2）學習內容對學生具有潛在意義，即能夠與學生已有的知識結構聯系起來。這里的兩個“聯系”應該是實質性的聯系。任何學習，只要符合上述兩個條件，都是意義學習。而有些教師錯誤地理解了主動探究學習，認為只要學生的興趣被調動起來了，課堂氣氛活躍了，學生參與這個過程等就有意義了，恰恰沒有意

15、識到意義學習所強調的兩個聯系。作為教師，應更關注學生在這一過程中能否獲取一定的知識，是否表現出一種意義學習的傾向，是否進行了反思，相應的學習能力、問題解決能力、社會交往能力等是否得到了提高。在數學課堂教學中，教師不應簡單地認為主動探究學習等于意義學習，應盡量讓學生進行有意義的主動探究學習。在“三維目標”中，“知識與技能”是基礎性目標，“過程與方法”是核心性目標，“情感態度與價值觀”是終極性目標。顯而易見，核心目標與終極目標均屬于長效性目標，不可一蹴而就，長效性目標的實現離不開“知識與技能”的學習，同時“知識與技能”的學習也必須以有利于長效性目標的實現為前提。對基礎知識和基本技能的掌握是課堂教學

16、的一項極其重要的常規性任務，它是教師設計教學過程必須明確的內容。時下的“數學雙基”幾乎成了一個被遺忘的角落，創新精神的培養也顯得華而不實，嚴重影響了學生數學素養的提高。“雙基”是學生學習的重要“抓手”，也是過程與方法，情感態度與價值觀的不可缺少的“物質”載體，是促進學生全面發展的重要平臺。這符合數學課程標準“從學生已有生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象為數學模型并進行解釋與應用的過程”的理念。因此，應把“數學雙基”和數學創新精神的培養放在一直進行研究，找出適度的平衡，每節課都應該讓學生有實實在在的認知收獲。本課例的一個突出特點是兼顧了學生的創新精神的培養和“數學雙基”的落實。1、關于創新精神的培養本節課主要是通過“概率”這個概念的產生、形成過程來實現創新精神的培養的，執教者科學、巧妙地設計了一系列問題、一系列步驟，即抽牌游戲中提出問題直覺猜想二次試驗上百次試驗數學家實驗（成千上萬次）對比分析解決猜想形成概念。在這個過程中，教師的教學過程及學生的學習過程統一于師生共同參與的研究、分析、討論、探索、發現的過程中，使學生的思維經歷了數學家的思維過程。由此，學生的創新精神得到培養。2、關于“雙基”的教學在概念概念形成過