1、蘇教版八年級一次函數知識點整理蘇教版八年級上學期一次函數知識點整理（最新）知識點1 一次函數和正比例函數的概念若兩個變量x，y間的關系式可以表示成y=kx+b（k，b為常數，k0）的形式，則稱y是x的一次函數（x為自變量），特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函數.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=x等都是一次函數，y=x，y=-x都是正比例函數.【說明】 （1）一次函數的自變量的取值范圍是一切實數，但在實際問題中要根據函數的實際意義來確定.（2）一次函數y=kx+b（k，b為常數，b0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義相同，即自變量x的次數為1，一次項系數k必須

2、是不為零的常數，b可為任意常數.（3）當b=0，k0時，y=b仍是一次函數.（4）當b=0，k=0時，它不是一次函數.探究交流有人說：“正比例函數是一次函數，一次函數也是正比例函數，它們沒什么區別”點撥 這種說法不完全正確正比例函數是一次函數，但一次函數不一定是正比例函數，只有當b=0時，一次函數才能成為正比例函數知識點2 確定一次函數的關系式根據實際問題中的條件正確地列出一次函數及正比例函數的表達式，實質是先列出一個方程，再用含x的代數式表示y知識點3 函數的圖象把一個函數的自變量x與所對應的y的值分別作為點的橫坐標和縱坐標在直角坐標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象畫

3、函數圖象一般分為三步：列表、描點、連線知識點4 一次函數的圖象由于一次函數y=kx+b（k，b為常數，k0）的圖象是一條直線，所以一次函數y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b由于兩點確定一條直線，因此在今后作一次函數圖象時，只要描出適合關系式的兩點，再連成直線即可，一般選取兩個特殊點：直線與y軸的交點（0，b），直線與x軸的交點（-，0）.但也不必一定選取這兩個特殊點.畫正比例函數y=kx的圖象時，只要描出點（0，0），（1，k）即可.知識點5 一次函數y=kx+b（k，b為常數，k0）的性質（1）k的正負決定直線的傾斜方向；k0時，y的值隨x值的增大而增大；kO時，y的值隨x值的增大而減

4、小（2）|k|大小決定直線的傾斜程度，即|k|越大，直線與x軸相交的銳角度數越大（直線陡），|k|越小，直線與x軸相交的銳角度數越小（直線緩）；（3）b的正、負決定直線與y軸交點的位置；當b0時，直線與y軸交于正半軸上；當b0時，直線與y軸交于負半軸上；當b=0時，直線經過原點，是正比例函數（4）由于k，b的符號不同，直線所經過的象限也不同；如圖1118（l）所示，當k0，b0時，直線經過第一、二、三象限（直線不經過第四象限）；如圖1118（2）所示，當k0，bO時，直線經過第一、三、四象限（直線不經過第二象限）；如圖1118（3）所示，當kO，b0時，直線經過第一、二、四象限（直線不經過第三

5、象限）；如圖1118（4）所示，當kO，bO時，直線經過第二、三、四象限（直線不經過第一象限）（5）由于|k|決定直線與x軸相交的銳角的大小，k相同，說明這兩個銳角的大小相等，且它們是同位角，因此，它們是平行的另外，從平移的角度也可以分析，例如：直線y=x1可以看作是正比例函數y=x向上平移一個單位得到的知識點6 正比例函數y=kx（k0）的性質（1）正比例函數y=kx的圖象必經過原點；（2）當k0時，圖象經過第一、三象限,y隨x的增大而增大；（3）當k0時，圖象經過第二、四象限,y隨x的增大而減小知識點7 點P（x0，y0）與直線y=kx+b的圖象的關系（1）如果點P（x0，y0）在直線y=

6、kx+b的圖象上，那么x0,y0的值必滿足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是滿足函數解析式的一對對應值，那么以x0，y0為坐標的點P（x0，y0）必在函數的圖象上例如：點P（1，2）滿足直線y=x+1，即x=1時，y=2，則點P（1，2）在直線y=x+l的圖象上；點P（2，1）不滿足解析式y=x+1，因為當x=2時，y=3，所以點P（2，1）不在直線y=x+l的圖象上知識點8 確定正比例函數及一次函數表達式的條件（1）由于正比例函數y=kx（k0）中只有一個待定系數k，故只需一個條件（如一對x，y的值或一個點）就可求得k的值（2）由于一次函數y=kx+b（k0）中有兩個待定系數k，b，

7、需要兩個獨立的條件確定兩個關于k，b的方程，求得k，b的值，這兩個條件通常是兩個點或兩對x，y的值知識點9 待定系數法先設待求函數關系式（其中含有未知常數系數），再根據條件列出方程（或方程組），求出未知系數，從而得到所求結果的方法，叫做待定系數法其中未知系數也叫待定系數例如：函數y=kx+b中，k，b就是待定系數知識點10 用待定系數法確定一次函數表達式的一般步驟（1）設函數表達式為y=kx+b；（2）將已知點的坐標代入函數表達式，解方程（組）；（3）求出k與b的值，得到函數表達式例如：已知一次函數的圖象經過點（2，1）和（-1，-3）求此一次函數的關系式解：設一次函數的關系式為ykx+b（k

8、0），由題意可知， 解 此函數的關系式為y=【說明】 本題是用待定系數法求一次函數的關系式，具體步驟如下：第一步，設（根據題中要求的函數“設”關系式y=kx+b，其中k，b是未知的常量，且k0）；第二步，代（根據題目中的已知條件，列出方程（或方程組），解這個方程（或方程組），求出待定系數k，b）；第三步，求（把求得的k，b的值代回到“設”的關系式y=kx+b中）；第四步，寫（寫出函數關系式）.知識點11 一次函數與一次方程（組）、不等式的關系解一次方程（組）與不等式問題一 次 函 數 問 題從“數”的角度從“形”的角度解一元一次方程kxb=0當一次函數y=kxb的函數值（y值）等于0時求自變量

9、x的值當直線y=kxb上點的縱坐標為0時，求這個點的橫坐標是什么（即求直線與x軸的交點坐標）解一元一次方程kxb=c當一次函數y=kxb的函數值（y值）等于c時求自變量x的值當直線y=kxb上點的縱坐標為c時，求這個點的橫坐標是什么？解一元一次不等式 kxb0（或0）當一次函數y=kxb的函數值（y值）大于0（或小于0）時求自變量x的值當直線y=kxb上的點的縱坐標大于0（或小于0）時，求這些點的橫坐標在什么范圍（即求直線與x軸的交點坐標的上方（或下方）的部分直線的橫坐標的范圍）解一元一次不等式 kxbm（或m）當一次函數y=kxb的函數值（y值）大于m（或小于m）時求自變量x的值當直線y=k

10、xb上的點的縱坐標大于m（或小于m）時，求這些點的橫坐標在什么范圍？解一元一次不等式 kxbmxn當一次函數y=kxb的值大于mxn的值時，對應的自變量x的范圍是多少？在相同橫坐標的情況下,當直線y=kxb上的點的縱坐標大于直線y=mxn上的點的縱坐標時，求這些點的橫坐標在什么范圍？解二元一次方程組當一次函數y=kxb與y=mxn的值相等時，對應的自變量x的值是多少？這個函數值是多少？當直線y=kxb與直線y=mxn相交時求交點坐標思想方法小結 ： （1）函數方法函數方法就是用運動、變化的觀點來分析題中的數量關系，抽象、升華為函數的模型，進而解決有關問題的方法函數的實質是研究兩個變量之間的對應

11、關系，靈活運用函數方法可以解決許多數學問題（2）數形結合法數形結合法是指將數與形結合，分析、研究、解決問題的一種思想方法，數形結合法在解決與函數有關的問題時，能起到事半功倍的作用知識規律小結 （1）常數k，b對直線y=kx+b(k0）位置的影響當b0時，直線與y軸的正半軸相交；當b=0時，直線經過原點；當b0時，直線與y軸的負半軸相交當k，b異號時，即-0時，直線與x軸正半軸相交；當b=0時，即-=0時，直線經過原點；當k，b同號時，即-0時，直線與x軸負半軸相交當bO，bO時，圖象經過第一、二、三象限；當k0，b=0時，圖象經過第一、三象限；當bO，bO時，圖象經過第一、三、四象限；當kO，

12、b0時，圖象經過第一、二、四象限；當kO，b=0時，圖象經過第二、四象限；當bO，bO時，圖象經過第二、三、四象限（2）直線y=kx+b（k0）與直線y=kx(k0)的位置關系直線y=kx+b(k0)平行于直線y=kx(k0)當b0時，把直線y=kx向上平移b個單位，可得直線y=kx+b；當bO時，把直線y=kx向下平移|b|個單位，可得直線y=kx+b（3）直線b1=k1x+b1與直線y2=k2x+b2（k10 ，k20）的位置關系k1k2y1與y2相交；y1與y2相交于y軸上同一點（0，b1）或（0，b2）；y1與y2平行；y1與y2重合典 型 例 題例1 已知y-3與x成正比例，且x=2

13、時，y=7.（1）寫出y與x之間的函數關系式； （2）當x=4時，求y的值；（3）當y=4時，求x的值分析 由y-3與x成正比例，則可設y-3=kx，由x=2，y=7，可求出k，則可以寫出關系式解：（1）由于y-3與x成正比例，所以設y-3=kx把x=2，y=7代入y-3=kx中，得7-32k， k2y與x之間的函數關系式為y-3=2x，即y=2x+3（2）當x=4時，y=2×4+3=11（3）當y4時，4=2x+3，x=.學生做一做 已知y與x+1成正比例，當x=5時，y=12，則y關于x的函數關系式是 .老師評一評 由y與x+1成正比例，可設y與x的函數關系式為x=k（x+1）.

14、再把x=5，y=12代入，求出k的值，即可得出y關于x的函數關系式設y關于x的函數關系式為y=k（x+1）.當x=5時，y=12， 12=（5+1）k，k=2y關于x的函數關系式為y=2x+2【注意】 y與x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要誤認為y=kx+1.例2 （2003·哈爾濱）若正比例函數y=（1-2m）x的圖象經過點A（x1，y1）和點B（x2，y2），當x1x2時，y1y2，則m的取值范圍是（ ）AmO Bm0 Cm Dm分析 本題考查正比例函數的圖象和性質，因為當x1x2時，y1y2，說明y隨x的增大而減小，所以1-2mO,m，故正確答案為D項例3（2003&#

15、183;陜西）已知直線y=2x+1（1）求已知直線與y軸交點M的坐標；（2）若直線y=kx+b與已知直線關于y軸對稱，求k，b的值老師評一評 （1）令x=0，則y=2×0+1=1，M（0，1）直線y=2x+1與y軸交點M的坐標為(0，1)（2）直線y=kx+b與y=2x+l關于y軸對稱，兩直線上的點關于y軸對稱又直線y2x+1與x軸、y軸的交點分別為A（-，0），B（0，1）,A（-，0），B（0，1）關于y軸的對稱點為A（-，0），B（0，1）直線y=kx+b必經過點A（-，0），B（0，1）把 A（-，0），B（0，1）代入y=kx+b中得 k-2，b1小結 當兩條直線關于x軸（

16、或y軸）對稱時，則它們圖象上的點也必關于x軸（或y軸）對稱例如：對于兩個一次函數，若它們關于x軸對稱，求出已知一個一次函數和x軸、y軸的交點，再分別求出這兩個點關于x軸的對稱點，利用求出的兩個對稱點，就可以求出另一個函數的解析式例4 已知y+2與x成正比例，且x=-2時，y=0（1）求y與x之間的函數關系式；（2）畫出函數的圖象；（3）觀察圖象，當x取何值時，y0？（4）若點（m，6）在該函數的圖象上，求m的值；（5）設點P在y軸負半軸上，（2）中的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點，且SABP=4，求P點的坐標分析 由已知y+2與x成正比例，可設y+2=kx，把x=-2，y=0代入，可求出k

17、，這樣即可得到y與x之間的函數關系式，再根據函數圖象及其性質進行分析，點（m，6）在該函數的圖象上，把x=m，y=6代入即可求出m的值解：（1）y+2與x成正比例，設y+2=kx（k是常數，且k0）當x=-2時，y=0 0+2k·（-2），k-1函數關系式為x+2=-x， 即y=-x-2（2）列表；x0-2y-20描點、連線，圖象如圖1123所示（3）由函數圖象可知，當x-2時，y0當x-2時，y0(4)點（m，6）在該函數的圖象上，6=-m-2,m-8（5）函數y=-x-2分別交x軸、y軸于A，B兩點，A（-2，0），B（0，-2）SABP=·|AP|·|OA|

18、=4，|BP|=. 點P與點B的距離為4又B點坐標為(0，-2),且P在y軸負半軸上，P點坐標為(0，-6).例5 已知一次函數y=（3-k）x-2k2+18.（1）k為何值時，它的圖象經過原點（2）k為何值時，它的圖象經過點（0，-2）（3）k為何值時，它的圖象與y軸的交點在x軸的上方？（4）k為何值時，它的圖象平行于直線y=-x（5）k為何值時，y隨x的增大而減小？分析 函數圖象經過某點，說明該點坐標適合方程；圖象與y軸的交點在y軸上方，說明常數項bO；兩函數圖象平行，說明一次項系數相等；y隨x的增大而減小，說明一次項系數小于0解：（1）圖象經過原點，則它是正比例函數k-2 當k=-3時，

19、它的圖象經過原點（2）該一次函數的圖象經過點（0，-2）.-2=-2k2+18，且3-k0， k=±當k=±時，它的圖象經過點(0，-2)（3）圖象與y軸的交點在x軸上方，即b0-2k2+180， -3k3，當-3k3時，它的圖象與y軸的交點在x軸的上方（4）函數圖象平行于直線y=-x，3-k=-1， k4當k4時，它的圖象平行于直線x=-x（5）隨x的增大而減小，3-kO k3 當k3時，y隨x的增大而減小例6 已知直線y=kx+b經過點（，0），且與坐標軸圍成的三角形的面積為，求此直線的解析式.錯解：直線經過點（，0），0=k+b,設直線y=kx+b與x軸、y軸的交點坐

20、標分別為A（-，0），B（0，b），又SABO=,SABO=|OA|·|OB|=·（-）·b=.即，由得b=-k，代入中得k=-2，b=5.所求直線的解析式為y=-2x+5分析 上述解法出現了漏解的情況，由于解題時忽略了|OA|=|-|，|OB|=|b|中的絕對值符號，因此，也就漏掉了一個解析式正解：直線經過點（，0），0=k+b，設直線y=kx+b與x軸、y軸的交點坐標分別為A（-，0），B（0，b），|OA|=|-|=|，|OB|=|b|.又SAOB=，SAOB =|OA|·|OB|=·|·|b|=，即， 由得b=-k，代入中得|

21、k|=2，k12，k2-2，b1-5，b25所求直線的解析式為y=2x-5或y=-2x+5例7 （2004·沈陽）某市的A縣和B縣春季育苗，急需化肥分別為90噸和60噸，該市的C縣和D縣分別儲存化肥100噸和50噸，全部調配給A縣和B縣已知C，D兩縣運化肥到A，B兩縣的運費（元噸）如下表所示（1）設C縣運到A縣的化肥為x噸，求總運費W（元）與x（噸）的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）求最低總運費，并說明總運費最低時的運送方案分析 利用表格來分析C，D兩縣運到A，B兩縣的化肥情況如下表則總運費W（元）與x（噸）的函數關系式為：W=35x+40（90-x）+30（100-x）

22、+4560-（100-x）=10x+4800自變量x的取值范圍是40x90解：（1）由C縣運往A縣的化肥為x噸，則C縣運往B縣的化肥為（100-x）噸D縣運往A縣的化肥為（90-x）噸，D縣運往B縣的化肥為（x-40）噸由題意可知W35x+40（90-x）+30（100-x）+45（x-40）10x+4800自變量x的取值范圍為40x90總運費W（元）與x（噸）之間的函數關系式為w1Ox+480O（40x9O）（2）100， W隨x的增大而增大當x=40時， W最小值=10×40+4800=5200（元）運費最低時，x=40，90-x=50（噸），x-40=0（噸）當總運費最低時，運

23、送方案是：C縣的100噸化肥40噸運往A縣，60噸運往B縣，D縣的50噸化肥全部運往A縣例8 （2004·黑龍江）圖1130表示甲、乙兩名選手在一次自行車越野賽中，路程y（千米）隨時間x（分）變化的圖象（全程），根據圖象回答下列問題（1）當比賽開始多少分時，兩人第一次相遇？（2）這次比賽全程是多少千米？（3）當比賽開始多少分時，兩人第二次相遇？分析 本題主要考查讀圖能力和運用函數圖象解決實際問題的能力解決本題的關鍵是寫出甲、乙兩人在行駛中，路程y（千米）隨時間x（分）變化的函數關系式，其中：乙的函數圖象為正比例函數，而甲的函數圖象則是三段線段，第一段是正比例函數，第二段和第三段是一次函數，需分別求出解：（1）當15x33時，設yAB=k1x+b1，把（15，5）和（33，7）代入， 解得k1=,b1=, yAB=x+. 當y=6時，有6=x+， x=24。比賽開始24分時，兩人第一次相遇（2）設yOD=mx,把（4，6）代入，得m=，當X=48時，yOD=×48=12（千米） 這次比賽全程是12千米（3）當33x43時，設yBC=k2x+b2，把（33，7）和（43，12）代入，解得k2=，b2=-.yBC=x-.解方程組得得 x=38.當比賽開始38分時，兩人第二次相遇例9 （2004·濟南）如圖1131所示，已知直線y=x+3的圖