1、word數學建模人口增長模型摘要:人口的增長是當前世界上引起普遍關注的問題作為世界上人口最多的國家，我國的人口問題是十分突出的由于人口基數大盡管我國已經實行了20多年的方案生育政策人口的增長依然很快，巨大人口壓力會給我國的社會 政治經濟醫療就業等帶來了一系列的問題。因此研究和解決人口問題在我國顯得尤為重要。我們經常在報刊上看見關于人口增長預報，說到本世紀，或下世紀中葉，全世界的人口將到達多少億。你可能注意到不同報刊對同一時間人口的預報在數字商場有較大的區別，這顯然是由于用了不同的人口整張模型計算出來的結果。人類社會進入20世紀以來，在科學和技術和生產力飛速開展的同時世界人口也以空前的規模增長。

2、人口每增加十億的時間，有一百年縮短為十幾年。我們賴以生存的地球已經攜帶著他的60億子民踏入下一個世紀。長期以來，人類的繁殖一直在自然地進行著，只是由于人口數量的迅速膨脹和環境質量的急劇惡化，人們才猛然醒悟，開始研究人類和自然的關系、人口數量的變化規律以及如何驚醒人口控制等問題。 本論文中有兩個模型： （1） ：中國人口的指數增長模型，并用該模型進行預測，與實際人口數據進行比擬。2：中國人口的Logistic圖形，標出中國人口的實際統計數據進行比擬。 而且利用MATLAB圖形 ，標出中國人口的實際統計數據，并畫出兩種模型的預測曲線。 關鍵字：人口預測；Malthus模型；Logistic模型；M

3、ATLAB軟件.word1、 問題背景及重述1.1問題的背景中國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國開展的關鍵因素之一。我國自1973年全面推行方案生育以來，生育率迅速下降，取得了舉世矚目的成就，但全面建設小康社會仍面臨著人口的形勢和嚴峻挑戰。隨著我國經濟的開展、國家人口政策的實施，未來我國人口頂峰期到底有多少人口，專家學者們的預測結果不一。因此，根據已有數據，運用數學建模的方法，對中國人口做出分析和預測是一個重要問題。 1.2 問題的重述下表列出了中國19821998年的人口統計數據，取1982年為起始年(t=0)，1982年的人口101654萬人，人口自然增長率為14，以36億作為我國人

4、口的容納量，試建立一個較好的人口數學模型并給出相應的算法和程序，并與實際人口進行比擬。時間(年)198219831984198519861987人口(萬人)101654103008104357105851107507109300時間(年)198819891990199119921993人口(萬人)111026112704114333115823117171118517時間(年)19941995199619971998人口(萬人)1198501211211223891236261248102、 問題分析對于人口增長的問題，其影響因素有很多，比方：人口基數，出生率，死亡率，人口男女比例，人口年齡結

5、構的組成，人口的遷入率和遷出率，人口的生育率和生育模式，國家的醫療開展情況，國家的政治策略等眾多的因素。如果把這些因素都要考慮進去，那么該問題根本無從下手。因此，應該根據中國人口自身開展的特點，選取相應的能夠表達我國人口開展特點的模型。人口開展模型有連續形式和離散形式，因為題目所給的 圖1 1790-1980年間美國的人口數據圖數據是每個年份的具體數據，可以將這些數據視為連續的。根據表格中的數據，我們使用MATLAB編程附錄1畫出散點圖。圖1中國19821998年的人口數據圖從圖中我們可以看到人口數在 19821998 年是呈增長趨勢的，且增長趨勢類似于指數型增長，因此，我們可以先建立一個指數

6、增長模型Malthus模型。但是，由于地球上的資源是有限的，它只能提供一定數量的生命生存所需的條件，因此人口不可能無限制增加。隨著人口數量的增加，自然資源，環境條件等對人口再增長的限制作用將越來越顯著。于是我們假設在人口較少時，可以把人口增長率看成常數，但隨著人口的增加，我們應該把人口增長率視為一個隨著人口增加而減小的量，從而我們可以將模型一Malthus模型優化為一個阻滯增長模型Logistic模型。3、 模型假設（1） Malthus模型假設我國人口的增長符合人口指數增長的規律，即滿足Malthus模型的兩個前提：第一， 食物是人類生存所必需的；第二， 兩性間的情欲是必然的，而且幾乎會保持

7、現狀。從這兩個“人類本性的固定法那么 出發，可以得出一個最根本的經濟比例：食物或生活資料的增長與人口的增殖之間的關系。馬爾薩斯說， 人口的增殖比生活資料增長的要快，人口是按幾何級數增長的，而生活資料那么只按算術級數增長。但是，馬爾薩斯并不認為這兩個級數就是人口規律的反映，他提出，保持兩個級數平衡的唯一出路就是抑制人口的增長。他把所謂支配人類命運的永恒的人口自然法那么， 歸納成以下三個定理。三個定理：第一點是人口的制約原理， 說明人口與生活資料之間必然存在某種正常的比例， 即“人口的增長， 必然要受到生活資料的限制；第二點是人口的增殖原理， 即“生活資料增加， 人口也常隨著增加；第三點是馬爾薩斯

8、人口原理的核心， 稱之為人口的均衡原理， 即“占優勢的人口繁殖力為貧困和罪惡所抑制，因而使現實的人口得以與生活資料保持平衡。這個原理與前兩個原理是緊密相連的，它說明人口與生活資料之間最終將實現均衡， 但是這種均衡不是自然實現的，而是種種“抑制的產物。所以，Malthus模型假設條件如下：1 設P(t)表示t時刻的人口數，且P(t)連續可微。2 人口的增長率r是常數(增長率=出生率-死亡率)。3 人口數量的變化是封閉，即人口數量的增加與減少只取決于人口中個體的生育與死亡，且每一個都具有同樣的的生育能力與死亡率。 二Logistic模型由于地球上的資源有限，當人口數量開展到一定階段后，會產生一系列

9、問題，如食物短缺、居住和交通擁擠等。另外，隨著人口密度的增加，疾病將會增多，死亡率會上升，因此，人口的增長率不會是Malthus所假設的是一個常數不改變，而是會隨著人口數量增加而減少。假設增長率r表示P(t)的函數r(p)，且r(p)為p的減函數。1. 設r(p)為p的線性函數，r(p)=r-kp。2. 自然資源與環境條件所能容納的最大人口數為Pm，即當P=Pm時，增長率r(p)=0。4、 變量說明符號表示意義P人口數量t年份r人口自然增長率人口最大容納量起始年人口5、 模型建立與模型求解5.1 Malthus模型由假設一，時刻到時刻人口增量為于是可得 由別離變量法解得模型的解為對該模型兩邊同

10、時取對數得到一次線性擬合函數取表中1982到1998年的數據在MATLAB中M文件附錄2進行線性最小二乘擬合可得出:f =0.013141 t - 14.5121所以可知r=0.013141,p(t)=101654*exp(0.013141*(t-1982)用MATLAB進行指數擬合得到下列圖圖2可以看出擬合曲線根本吻合，但是隨著時間t的增加其誤差逐漸加大，所以需要對其修正。5.2 Logistic模型由假設二可知，記p(t)是第t年的人口數量，人口增長率r(p)是p的線性函數，r(p)=r-kp。最大人口容納量為Pm。即當P=Pm時，增長率r(p)=0。所以，(5.2.1)同樣利用別離變量法

11、求得其解(5.2.2)根據5.2.1式作出的曲線圖圖1以及由5.2.2式作出p-t曲線圖圖2OOx圖1 曲線圖 Ox圖1 曲線圖 圖1 曲線圖圖2 p-t曲線圖從上述曲線圖以及表達式中，我們可以總結出如下規律：，它說明不管人口初始狀態是什么樣，人口總數最終都將趨于最大人口容納量。當p(t)>pm時，<0；當p(t)<pm時，>0。它說明當人口數量超過最大人口容納量時，人口數量將減少，當人口數量小于最大人口容納量時，人口數量將增加。人口變化率在時取到最大值，即人口總數到達極限值一半之前是加速生長的，經過此點后，增長率會逐漸減小至0。采用非線性最小二乘估計法對參數r和pm進

12、行估計，通過使用matlab編寫程序附錄4可得：r =0.01137，pm =3.7465e+04用MATLAB擬合圖像如下圖36、 模型檢驗及結果分析經過前面模型建立的工作，已建立出Malthus模型和Logisic模型。現在根據所建立的模型預測相關年份的人口數量，并與實際人口數量相比擬以檢驗模型的優劣性。Malthus模型與Logistic模型對我國人數據的擬合結果年份實際人口/萬計算人口P1計算人口P21982101654101650101650198310300810300010250019841043571043601033501985105851105740104201986107

13、507107140105060198710930010856010592019881110261099901067901989112704111450107660199011433311292010853019911158231144201094101992117171115930110290199311851711746011118019941198501190201120701995121121120590112960199612238912219011386019971236261238001147701998124810125440115670對表中數據進行分析可知：對于短期預測，這兩

14、個模型根本一致，但使用模型一更簡單；對于中長期預測，模型二要強于模型一。7、 模型評價與推廣1、 優點：首先我們采用圖表結合法，比擬直觀地表達出題中所給的信息，并據此得出了人口增長的根本規律。根據所給出的數據，對其進行分析得出了人口增長率與人口總數的線性關系，從而建立了人口阻滯增長模型，對未來人口數的預測作出了較為準確的判斷。模型一是依據英國神父T·Malthus的發現建立了指數型增長模型，經過我們實際數據的檢驗，發現其人口早期的增長情況與Malthus模型的預測根本相符，然而隨著時間的增加，該模型的預測結果明顯出現了不合理性。其原因就是我們將人口增長率視為常數，因此需要對r進行修正

15、。所以，我們將r表示為p的減函數，從而推導建立了模型二2、 缺點：本文對模型一中的參數只做了線性估計，所以其計算結果與實際誤差較大模型二中僅考慮了r與p的關系是線性的，沒有考慮非線性關系8、 參考文獻1.司守奎，孫兆亮，孫璽菁，周剛，仲維杰，康淑瑰.數學建模算法與應用第二版.國防工業出版社，2022年2.姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型第四版.高等教育出版社·北京.2022年3.儲昌木，沈長春.數學建模及其應用.西南交通大學出版社·成都.2022年4 胡守信，李柏年.基于MATLAB的數學實驗M.北京科學出版社.2004年6月5 揚啟帆，康旭升，等.數學模型M.北京：高等教育

16、出版社.2006年5月6 于學軍. 中國人口科學 2000年第2期，時間：2000-4-6，中國人口信息網.word附錄：1) syms x yx0=1982:1:1998y0=101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810xlabel('x')ylabel('y')plot(x0,y0,'*')2) t=1982:1:1998;y=log(101654) l

17、og(103008) log(104357) log(105851) log(107507) log(109300) log(111026) log(112704) log(114333) log(115823) log(117171) log(118517) log(119850) log(121121) log(122389) log(123626) log(124810)p1=polyfit(t,y,1);f=poly2str(p1,'t')3) syms x y px0=1982:1:1998y0=101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810xlabel('x')ylabel('y')plot(x0,y0,'*')hold ont=1982:1:1998p=101654.*exp(0.013141.*(t-1982)plot(x,p,'r','LineWidth',0.5);legend('