1、第二講 Lecture Two 導熱方程及其求解方法Heat Conduction Equations and Their Solution MethodsCONTENTo 導熱方程表現形式及其推導o 導熱的單值性條件o 導熱方程的求解方法o 齊次問題o 精確分析解法之一 分離變量法什么是導熱方程？Energy Balance for Heat Conduction and Its Mathematical Form高等傳熱學導熱方程式數學形式針對熱傳導過程針對特定考慮區域簡化的熱力學thermodynamics 第一定律溫度場在時空領域內的內在聯系導熱方程有哪些型式？How many for

2、ms?高等傳熱學導熱方程式導熱積分方程 integral equation導熱微分方程 differential equation導熱變分方程variation equation高等傳熱學導熱積分方程及其推導Heat conduction integral equation and its deductionVAdVdAq no 假設模型：Assumption Heat Source-qv, Control Volume-V, Boundary Area-A, Differential Control Volume-dV Differential Boundary Area-dAdAnqAVV

3、dVqVdVe)(VVAVdVqdAnqdVe) (導入的凈熱流量 + 內熱源發熱量 = 內能增加量按熱平衡有：（針對控制容積control volume）導入的凈熱流量 net heat flow rate conducted 內熱源發熱量 heat generation of the inner source內能增加量 intrinsic energy increasing take expressions into above equation, we have：The above equation is called as integral form積分形式 of heat condu

4、ction （注意：各向同性，異性均適用）高等傳熱學tqVvVAdVqdAntdV)tc( 導熱積分方程heat conduction integral equation 代入上式，則有： 導熱積分方程（integral equation），針對物體內任意區域。將e = c t和VVAVdVqdAnqdV)e( 高等傳熱學導熱微分方程及其推導o 曾經的推導方式是怎樣？o 在具體坐標系下，對微元體(Different Element) 應用能量平衡原理o 基于導熱積分方程，利用散度定理(Divergence Theorem) 推導VVAdVqdVqdivdAnqVVVVdVqdVqdVe)(0)

5、(VVdVqqe0)(Vqqe按散度定理，將對面積的積分(Surface Integral)改為對體積的積分 (Volume Integral)則積分形式成為： 或： 上式為導熱能量方程的微分形式 Differential Form 去掉積分符號高等傳熱學0)()(VqtctVqtct)()(導熱微分方程 Heat Conduction Differential Equation 注意：只適用于各向同性材料0)(Vqqe各種常物性(Constant Property)材料的導熱微分方程o 穩態導熱+無內熱源：（橢圓型偏微分方程）（拉普拉斯方程）泊松方程） 0( 022tqtVtta21o無內熱

6、源項： （拋物線型偏微分方程）o 考慮熱傳播速度的有限性 對于無源項情況， （雙曲線型 hyperbola 偏微分方程） 是對拋物線型parabolic偏微分方程的一種修正 ttatc222211高等傳熱學正交坐標系正交坐標系(Orthogonal Curvilinear Coordinates)中的導熱微分方程中的導熱微分方程o 梯度 (gradient) 表達式在附錄 3 中式（A3.4）321332211111eqHeqHeqH311iiiiextHt溫度梯度：Hi稱為拉梅(Lame)系數（或度規系數） （a)311iiii)qHH(xHq根據附錄3式（A3.5），熱流密度(heat f

7、lux)的散度： 其中，H H1H2H3 由（a) 、（b)兩式及傅立葉導熱定律，可得:312)(1)(iiiixtHHxHt （b)將此表達式代入導熱微分方程，則：ViiiiqxtHHxHct312)(1)(Return to Content導熱的單值性條件Unique Solution of Heat Conductiono 幾何條件 Geometry conditiono 物理條件 Physical conditiono 時間條件 Initial conditiono 邊界條件 Boundary conditionu 第一類 the first kindu 第二類 the second

8、kindu 第三類 the third kind高等傳熱學The Conditions on the Boundary Surface Sio 第一類 the first kind高等傳熱學Temperature is prescribed along the boundary surface; for the general case it is a function of both time and position and represented in the formo 第二類 the second kindThe normal derivative of temperature is

9、 prescribed at the boundary surface. It is given in the form),( trfntiio 第三類 the third kindA linear combination of the temperature and its normal derivative is prescribed at the boundary surfaces.),( trfthntiiii),(trftiReturn to Content導熱方程的求解方法The Solution Methods高等傳熱學目前較少使用圖解法實驗模擬法數值解法近似分析解法分析解法No

10、w UseSeldomSoluiton GraphicSimulation Lab.Solution NumericalSolution eApproximatAnalysisExact 高等傳熱學精確分析解法種類Classification of the Exact Solutionso 直接積分法 Direct Integrationo 分離變量法 Variable Separation o 拉普拉斯變換法 Laplace Transformo 熱源法 Heat Source Method高等傳熱學直接積分解法本科階段常用的一種方法適用求解問題一維穩態導熱集總參數法求解的非穩態導熱高等傳熱

11、學特點：一般正交曲線坐標系第一類邊界條第一類邊界條件下一維穩態件下一維穩態導熱導熱無內熱源無內熱源ViiiiqxtHHxHct312)(1)(0)(11321dxdtHHHdxd213211CdxHHHCt通解：高等傳熱學邊界條件：第一類邊界條第一類邊界條件下一維穩態件下一維穩態導熱導熱無內熱源無內熱源213211CdxHHHCt特解： 1321132121221111dxHHHdxHHHttttllxlwwwx1 常數是等溫面；熱流密度不僅沿導熱方向x1變化，而且在等溫面上也會變化。高等傳熱學第一類邊界條第一類邊界條件下一維穩態件下一維穩態導熱導熱無內熱源無內熱源 1321132121221

12、111dxHHHdxHHHttttllxlwww請由以上結果演繹出直角坐標系、圓柱坐標系和球坐標系下的表達式高等傳熱學第一類邊界條第一類邊界條件件下三種典型形狀下三種典型形狀無內熱源無內熱源時的溫時的溫度分布對比度分布對比 結果給你何種啟示？表達成無量綱形式有什么好處？Lxttttwww1212)ln()ln(1121212rrrrttttwww21121211111rrrrttttwww大平板長圓筒壁球形壁高等傳熱學進一步思考進一步思考 這樣的分析方法給你何種啟示？上述問題在第二類邊界條件時又有什么表現？上述問題在第三類邊界條件時又有什么表現？上述問題在各種邊界條件混合時又有什么表現？ 集總

13、熱容系統非穩態導熱問題The transient heat conduct problem in the lumped heat capacity systemp集總熱容系統又稱為集中熱容系統p集總熱容系統為虛擬系統、人為系統 忽略物體內各點溫度的微小變化，認為物體各點溫度相等，質量和熱容匯總到了一點，這樣的系統稱為集總熱容系統（Lumped Heat Capacity System）何為集總熱容系統？集總參數法使用的條件 the applied condition of the Lumped Parameters methodo 集總參數法使用的條件是：Bi0o 此時反映了物體的內部熱阻外部

14、熱阻（表面換熱熱阻）o 此時物體內部的各點溫度趨于一致o 集總參數法適用條件細化n 物體導熱系數thermal conductivity相當大；n 物體幾何尺寸非常小；n 表面換熱系數surface heat convection coefficient很小集總參數法示例模型Lumped Parameters Method demonstration設物體具有發熱率heat generation rate為qV（常數）的內熱源 inner heat source，處于溫度為tf的環境下，其邊界上的平均換熱系數為h（可為常數，也可隨時間改變） Vq)tt (hAddtcVVf其中：、c、A、V分

15、別為物體的密度 density、比熱 capacity、表面積 surface area 和體積 volume。與過去不同Whats this mean?模型的各種可能情況the possible cases of this modenCase 1: 有內熱源、環境溫度為常數tf = const.nCase 2: 無內熱源、環境溫度隨時間線性變化tf = f()nCase 3: 無內熱源、環境溫度隨時間呈周期變化tf = f()情況1：有內熱源、環境溫度為常數Case1: inner heat source exists, ambient temperature is constantcVhA

16、cqcVhAddvifitttt0|0設ti為物體的初始溫度，過余溫度 excess temperature = t - ti，則守恒方程成為：Where:I.C.：與過去不同A1R ,hcVChCRcqCRddhvh11vhqhAVCRC)1exp(1)1exp(1)(CRqhAVhvvvqhlhAVqP)1exp(1CRPh再令 let：（稱為總熱容量，總表面換熱熱阻）則：上式通解 general solution 為：結合初始條件combine I.C.可得：再引入參數introducing parameter again：結果可寫成無量綱形式 non-dimensional form：

17、簡化表達簡化表達)1exp(1 , 0CRPh故：vvhFoBilalC2R1)exp(1vvFoBiP)exp(1vvFoBi 針對無內熱源情況，若選V/A = l作為特性尺度length scale，則有：故：無內熱源時：上兩式說明：有熱源時，物體最終達到的溫度 utmost temperature 比無內熱源時達到的溫度高出P攝氏度 degree Celsius 。這反映了P的物理意義。 情況2：無內熱源、環境溫度隨時間線性(linear)變化kttifkddchAcVcRhc0|0導熱微分方程成為：其中，稱為熱慣性時間常數（Thermal inertia time constant）。

18、 結合初始條件：Transient term comes from effects of the system initial condition and the thermal inertia;第一項來自系統初始條件和熱慣性的影響； Quiz steady state term is the temperature changing rule because of the disturbance. 第二項來自擾動作用下溫度的變化規律。)(k)exp(bccc瞬間（transient）分量準穩態（Quiz steady state）分量解的結果及意義result and the physica

19、l meaning高等傳熱學tittf = ti+ kk準穩態kc)(kckf物體及環境溫度隨時間變化的圖示時，當)(cb熱慣性時間常數（Thermal inertia time constant）的物理意義？進入準穩態后，物體以相同速率跟隨環境溫度變化，數量上比環境溫度小一恒定值bc。 0)exp(ccb可以看到，c之值越大，進入準穩態所需的時間將越長情況3：無內熱源、環境溫度隨時間呈周期(periodical) 變化)cos(_ffftttdfccc)(1)exp()exp(1)cos()(_fiffttt)exp()11()cos(11)(22_22cfciffciftttttt)arctan(c結合初始條件