1、第第 三三 章章 微分中值定理與導數(shù)的應用微分中值定理與導數(shù)的應用一、羅爾一、羅爾(Rolle)定理定理定理定理(Rolle) 若若函數(shù)函數(shù)f ( x ) 滿足滿足（1）在閉區(qū)間）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)上連續(xù)（2）在開區(qū)間）在開區(qū)間(a,b)內可導內可導（3）在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等）在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等f(a)=f(b)0)()(),(,),( fxfbaba在該點的導數(shù)為零，即在該點的導數(shù)為零，即使得函數(shù)使得函數(shù)內至少存在一點內至少存在一點則在則在例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上上連連續(xù)續(xù)在在 ( 1,3),在內可導, 0)3()1( ff且且),1(2)

2、( xxf)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f3. 1 微分中值定理幾何解釋幾何解釋: :xyo)(xfy abC1 2 若連續(xù)曲線弧的兩個若連續(xù)曲線弧的兩個端點的縱坐標相等，端點的縱坐標相等，且除去兩個端點外處且除去兩個端點外處處有不垂直于橫軸的處有不垂直于橫軸的切線，切線，.,切切線線是是水水平平的的在在該該點點處處的的上上至至少少有有一一點點在在曲曲線線弧弧CAB注注 Rolle定理有三個條件：閉區(qū)間連續(xù)；開區(qū)間可導定理有三個條件：閉區(qū)間連續(xù)；開區(qū)間可導 區(qū)間端點處的函數(shù)值相等；區(qū)間端點處的函數(shù)值相等；這這三個條件只是充分條件，而非必要條件三個條件只是充分條件，而非必要條件如：

3、如：y=x2在在-1,2上滿足上滿足(1),(2)，不滿足，不滿足(3)卻在卻在(-1,2)內有一點內有一點 x=0 使使0200 xxxy但但定理的條件又都是必須的，即為了保證結論成立定理的條件又都是必須的，即為了保證結論成立三個條件缺一不可。三個條件缺一不可。例如例如,;2 , 2, xxy,)0(2 ,2一一切切條條件件滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的不不存存在在外外上上除除在在f . 0)( xf但但在在內內找找不不到到一一點點能能使使又例如又例如,; 0)0(,1 , 0(,1)( fxxxf在在0,1上除去上除去x=0不連續(xù)外，滿足羅爾定理的不連續(xù)外，滿足羅爾定理的一切條件一切條件,(

4、 )0.fx但在(0,1)內找不到一點能使再再例如例如.1 , 0,)( xxxf在在0,1上除去端點的函數(shù)值不相等外，滿足羅爾上除去端點的函數(shù)值不相等外，滿足羅爾定理的一切條件定理的一切條件,.0)(的的點點但但也也找找不不到到使使 xf羅爾定理的結論是在開區(qū)間內至少有一使導數(shù)羅爾定理的結論是在開區(qū)間內至少有一使導數(shù)等等0的點。有的函數(shù)這樣的點可能不止一個；的點。有的函數(shù)這樣的點可能不止一個；另外還要注意點另外還要注意點并未具體指出，即使對于給定并未具體指出，即使對于給定的具體函數(shù)，點的具體函數(shù)，點也也不一定能指出是哪一點，不一定能指出是哪一點，如如)2ln()( xxxf在在-1，0上滿足

5、羅爾定理的全部條件，而上滿足羅爾定理的全部條件，而)2ln(2)( xxxxf但卻但卻不易找到使不易找到使 的點的點0)( xf但但根據定理，這樣的點是存在的根據定理，這樣的點是存在的.即便如此，我們即便如此，我們將會看到，這絲毫不影響這一重要定理的應用將會看到，這絲毫不影響這一重要定理的應用. 例例1不求函數(shù)不求函數(shù)f(x) (x 1)(x 2)(x 3)的導數(shù)的導數(shù),判斷判斷方程方程f (x)00有幾個實根，以及其所在范圍。有幾個實根，以及其所在范圍。 解：解：f(1) f(2) f(3) 0，f(x)在在1, 2，2, 3上滿足上滿足羅爾定理的三個條件。羅爾定理的三個條件。 在在 (1,

6、 2) 內至少存在一點內至少存在一點 1，使使 f ( 1) 0， 1是是 f (x)=0的一個實根。的一個實根。 在在(2, 3)內至少存在一點內至少存在一點 2，使使f ( 2) 0， 2也是也是f (x)=0的一個實根。的一個實根。 f (x) =0是二次方程，只能有兩個實根，分別在是二次方程，只能有兩個實根，分別在區(qū)間區(qū)間(1, 2)及及(2, 3)內。內。二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理)1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了與與羅羅爾爾定定理理相相比比條條件件中中注注意意).()()( fabafbf結論亦可寫成結論亦可寫成幾何解釋幾何解釋:xoy

7、)(xfy ABabC1 D2 .,ABCAB線平行于弦線平行于弦在該點處的切在該點處的切一點一點上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧xNM( )( )( )f bf afba 推論推論 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上的導數(shù)恒為零，那上的導數(shù)恒為零，那么么f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上是一個常數(shù)。上是一個常數(shù)。 證明：證明：在區(qū)間在區(qū)間I上任取兩點上任取兩點x1，x2(x1x2)，應用拉應用拉格朗日中值定理，就得格朗日中值定理，就得 f(x2) f(x1) f ( )(x2 x1) (x1 x2)。由假定，由假定，f ( ) 0，所以所以f(x2) f(x1) 0，即即 f(x2) f(x1)

8、。因此因此 f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上是一個常數(shù)。上是一個常數(shù)。 證明：證明：設設f(x) ln(1 x)，顯然顯然f(x)在區(qū)間在區(qū)間0, x上滿足上滿足拉格朗日中值定理的條件，根據定理，就有拉格朗日中值定理的條件，根據定理，就有 f(x) f(0) f ( )(x 0)，0 x。又由又由0 0 時，xxxx)1ln(1。 xxxx)1ln(1。 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理Cauchy定理又稱為廣義微分中值定理定理又稱為廣義微分中值定理結構圖結構圖Lagrange定理定理特例特例Rolle定理定理推廣推廣Cauchy定理定理拉格朗日中值定理又稱拉格朗日中值定理又稱微分中值

9、定理微分中值定理. .第二節(jié)第二節(jié) 洛必達法則洛必達法則洛必達法則洛必達法則型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、:00 型型未未定定式式解解法法二二、00,1 ,0 ,0 洛必達法則洛必達法則型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、:00 定義定義()()( )( )( )lim( )0.0 xaxxaxf xF xf xF x 如果當或時，兩個函數(shù)與都趨于零或都趨于無窮大，那么極限可能存在、也可能不存在通常把這種極限稱為或型未定式例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()( .)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(

10、,)2(;)()(,)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaxFxfaxaxaxax 那末那末或為無窮大或為無窮大存在存在且且都存在都存在及及點的某去心鄰域內點的某去心鄰域內在在都趨于零都趨于零及及函數(shù)函數(shù)時時當當設設定理定理定義定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導再這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則. .,該法則仍然成立該法則仍然成立時時當當 x使用洛必達法則，即使用洛必達法則，即定理的條件，可以繼續(xù)定理的條件，可以繼續(xù)滿足滿足型，且型，且仍屬仍屬如果如果)(),(00)()(xFxfxFxf

11、.)()(lim)()(lim)()(lim xFxfxFxfxFxfaxaxax.)()(lim)()(limxFxfxFxfxx .,也有相應的洛必達法則也有相應的洛必達法則時的未定式時的未定式當當 xax 例例 1求bxaxxsinsinlim0(b 0)。 解解：babxbaxabxaxbxaxxxxcoscoslim)(sin)(sinlimsinsinlim000 例例 2求123lim2331xxxxxx。 解解：) 1()23(lim123lim23312331xxxxxxxxxxxx 23266lim12333lim1221xxxxxxxbabxbaxabxaxbxaxxxx

12、coscoslim)(sin)(sinlimsinsinlim000babxbaxabxaxbxaxxxxcoscoslim)(sin)(sinlimsinsinlim000babxbaxabxaxbxaxxxxcoscoslim)(sin)(sinlimsinsinlim000。 ) 1()23(lim123lim23312331xxxxxxxxxxxx 23266lim12333lim1221xxxxxxx23266lim12333lim1221xxxxxxx。 例例 3求30sinlimxxxx。 解解：30sinlimxxxx203cos1limxxxxxx6sinlim061 例例

13、4求xxx1arctan2lim。 30sinlimxxxx203cos1limxxxxxx6sinlim06130sinlimxxxx203cos1limxxxxxx6sinlim06130sinlimxxxx203cos1limxxxxxx6sinlim061。 解解：xxx1arctan2lim22111limxxx11lim22xxxxxx1arctan2lim22111limxxx11lim22xxxxxx1arctan2lim22111limxxx11lim22xxxxxx1arctan2lim22111limxxx11lim22xxx。 例例 5求nxxxlnlim(n0)。 解

14、解：nxxxlnlim11limnxnxx01limnxnx 例例 6xnxexlim(n 為正整數(shù)，0)。 解解：xnxexlimxnxenx1limxnxexnn22) 1(lim 0!limxnxen。 nxxxlnlim11limnxnxx01limnxnxnxxxlnlim11limnxnxx01limnxnxnxxxlnlim11limnxnxx01limnxnx。 xnxexlimxnxenx1limxnxexnn22) 1(limxnxexlimxnxenx1limxnxexnn22) 1(limxnxexlimxnxenx1limxnxexnn22) 1(lim 型未定式解法

15、型未定式解法二、二、00,1 ,0 ,0 關鍵關鍵: :將其它類型未定式化為洛必達法則可解決將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型的類型 .),00()( 型型 0. 1步驟步驟:,10 .0100 或或 例例7求求0+limxx n ln x (n0)。 0. lim0 nxnx 解解：xxnxlnlim0+nxxx 0 lnlim10 1lim nxnxx 例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 . 2步驟步驟:0sinlim2cossinxxxxx步驟

16、步驟:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取對數(shù)取對數(shù).0 例例9 9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 1洛必達法則是求未定式的一種有效方法，但最洛必達法則是求未定式的一種有效方法，但最好能與其它求極限的方法結合使用。例如能化簡時應盡好能與其它求極限的方法結合使用。例如能化簡時應盡可能先化簡，可以應用等價無窮小替代或重要極限時，可能先化簡，可以應用等價無窮小替代或重要極限時，應盡可能應用，這樣可以使運算簡捷。應盡可能應用，這樣可以使運算簡捷。 例例 10求xx

17、xxxsintanlim20。 解解：xxxxxsintanlim2030tanlimxxxx22031seclimxxx應注意的問題：應注意的問題： xxxx6tansec2lim2031tanseclim3120 xxxxxxxxxsintanlim2030tanlimxxxx22031seclimxxxxxxxxsintanlim2030tanlimxxxx22031seclimxxx xxxx6tansec2lim2031tanseclim3120 xxxxxxxx6tansec2lim2031tanseclim3120 xxxx。 2本節(jié)定理給出的是求未定式的一種方法。當定本節(jié)定理給

18、出的是求未定式的一種方法。當定理條件滿足時，所求的極限當然存在理條件滿足時，所求的極限當然存在(或為或為 )，但定理，但定理條件不滿足時，所求極限卻不一定不存在。條件不滿足時，所求極限卻不一定不存在。 例例 11求xxxxsinlim。 解解：因為極限)()sin(limxxxx1cos1limxx不存在， 所以不能用洛必達法則。所以不能用洛必達法則。 xxxxsinlim1sin1limxxx但其極限是存在的：但其極限是存在的：xxxxsinlim1sin1limxxx。 第三節(jié)第三節(jié) 泰勒泰勒(Taylor)公式公式 多項式是一類很重要的函數(shù)，其明顯特點是結構多項式是一類很重要的函數(shù)，其明

19、顯特點是結構簡單，因此無論是數(shù)值計算還是理論分析都比較方便簡單，因此無論是數(shù)值計算還是理論分析都比較方便從計算的角度看，只須加、減、乘三種運算，這是其從計算的角度看，只須加、減、乘三種運算，這是其它函數(shù)所不具備的優(yōu)點它函數(shù)所不具備的優(yōu)點 。用多項式近似地表示給定函。用多項式近似地表示給定函數(shù)的問題不僅具有實用價值，而且更具有理論價值。數(shù)的問題不僅具有實用價值，而且更具有理論價值。一、問題的提出一、問題的提出例例如如, , 當當x很很小小時時, , xex 1 , , xx )1ln()()()(000 xxxfxfxf xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 不足不足:問題問題:1、

20、精確度不高；、精確度不高； 2、誤差不能估計、誤差不能估計.nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 ),(00 xfa 代代入入)(xPn中中得得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!0)(xfannn nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 ( )( )( )nnRxf xP x誤差二、泰勒二、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理)()(!)()(!2)()()

21、()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 )()(!1)()(010)1(之之間間與與在在xxxxnfxRnnn -拉格朗日型余項拉格朗日型余項 1010)1()(!1)(!1)()( nnnnxxnMxxnfxR -佩亞諾型余項佩亞諾型余項0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即( )2(0)(0)( )(0)(0)2!()nnnfff xffxxxno x) 10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2

22、nnnnxnxfxnfxfxffxf麥克勞林麥克勞林( (MaclaurinMaclaurin) )公式公式(1)10( )()(1)!nnfxxn0() no xx三、簡單的應用三、簡單的應用解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffffxnexf )()1(注意到注意到代入公式代入公式,得得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式21().2!nxnxxexo xn 解解)(! 21122xoxxex 244 cos1()2!4!xxxo x 又)(127)()! 412! 21(3cos2

23、44442xoxxoxxex 4440)(127limxxoxx 原原式式.127 例例 2 2 計計算算 403cos2lim2xxexx . . )(! 2114422xoxxex 第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)單調性與曲線凹凸性函數(shù)單調性與曲線凹凸性 導數(shù)符號與單調性導數(shù)符號與單調性 單調性的判定步驟單調性的判定步驟 凹凸與拐點的定義凹凸與拐點的定義 二階導數(shù)符號與凹凸性二階導數(shù)符號與凹凸性 凹凸與拐點的判定步驟凹凸與拐點的判定步驟一、單調性的判別法一、單調性的判別法 函數(shù)在某區(qū)間上是否具有單調性是我們在研究函數(shù)在某區(qū)間上是否具有單調性是我們在研究函數(shù)的性態(tài)時，首先關注的問題。第一章中已經給函數(shù)的性

24、態(tài)時，首先關注的問題。第一章中已經給出了函數(shù)在某區(qū)間上單調的定義，但利用定義來判出了函數(shù)在某區(qū)間上單調的定義，但利用定義來判定函數(shù)的單調性卻是很不方便的。定函數(shù)的單調性卻是很不方便的。xyo)(xfy xyo)(xfy abAB( )0fx( )0fxabBA 從幾何圖形上看，表示單調函數(shù)的曲線當自變量從幾何圖形上看，表示單調函數(shù)的曲線當自變量在單調區(qū)間內按增加方向變動時，曲線總是上升在單調區(qū)間內按增加方向變動時，曲線總是上升（下降）的。進一步若曲線在某區(qū)間內每點處的切（下降）的。進一步若曲線在某區(qū)間內每點處的切線斜率都為正（負），曲線就是上升（下降）的線斜率都為正（負），曲線就是上升（下降）

25、的 這這就就啟示我們：能否利用導數(shù)的符號來判定單調啟示我們：能否利用導數(shù)的符號來判定單調性性 ？回答是肯定的。？回答是肯定的。定理定理( ) , ( , ). 1( , )( )0( ) , (2)( , )( )0( ) , .yf xa ba ba bfxyf xa ba bfxyf xa b設函數(shù)在上連續(xù)，在內可導 （） 如果在內，那么函數(shù)在上單調增加；如果在內，那么函數(shù)在上單調減少例例1 1解解.1的單調性的單調性討論函數(shù)討論函數(shù) xeyx1.xye ,)0 ,(內內在在 , 0 y(,0函數(shù)在上單調減少；,), 0(內內在在, 0 y0,).函數(shù)在上單調增加(,). 定義域例例2 2

26、.)(32的單調區(qū)間的單調區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù)xxf 解解(,). 定義域)0(,32)(3 xxxf.,0導數(shù)不存在導數(shù)不存在時時當當 x時，時，當當0 x, 0)( xf(,0f x（ ）在上單調減少；時，時，當當 x0, 0)( xf( )0,)f x在上單調增加；單調減區(qū)間為單調減區(qū)間為，0 ,( )., 0 32xy 單調增區(qū)間為單調增區(qū)間為二、單調區(qū)間求法二、單調區(qū)間求法問題問題: :如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調的，如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調的，但在各個部分區(qū)間上單調但在各個部分區(qū)間上單調定義定義: :若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內是單調若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內是單調的

27、，則該區(qū)間稱為函數(shù)的的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調區(qū)間單調區(qū)間.導數(shù)等于零的點導數(shù)等于零的點(駐點駐點)和不可導點，可能是單調和不可導點，可能是單調區(qū)間的分界點區(qū)間的分界點單調區(qū)間求法單調區(qū)間求法:1. 在在 f 的定義域上求的定義域上求 f 的零點及的零點及 f 不存在的點；不存在的點；2. 2. 用用 f 的零點及的零點及 f 不存在的點將不存在的點將 f 的定義區(qū)間的定義區(qū)間劃分為子區(qū)間；劃分為子區(qū)間；3. 3. 根據根據 f 在各子區(qū)間內的符號確定在各子區(qū)間內的符號確定 f 的單調性。的單調性。4. 4. 二、三兩步可借助于表格方式完成。二、三兩步可借助于表格方式完成。例例3 332( )

28、29123.f xxxx確定函數(shù)的單調區(qū)間解解(,). 定義域12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，得，解方程解方程0)( xf. 2, 121 xx的的單單調調性性列列表表如如下下：的的符符號號與與將將 ff (, 1 1, 22, )f 在上單調增；在上單調減；在上單調增。xf (x)f (x)(, 1) (1, 2)(2, ) xyO11y=x3說明說明: 一般地，如果一般地，如果f (x)在某區(qū)間內在某區(qū)間內的有限個點處為零，在其余各點處的有限個點處為零，在其余各點處均為正均為正(或負或負)時，那么時，那么f(x)在該區(qū)間在該區(qū)間上仍舊是單調增加上仍舊是單調增加(或單調減少

29、或單調減少)的。的。 例例4討論函數(shù)討論函數(shù)y x3的單調性。的單調性。 解：解：函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為 (, )。 y 3x2，當當x 0時，時，y 0。 因為當因為當x 0時，時，y 0。所以函數(shù)所以函數(shù)y x3在區(qū)間在區(qū)間(, 0及及0, )內都是單調增加的。內都是單調增加的。 因此函數(shù)在整個定義域因此函數(shù)在整個定義域(, )內是單調增加的。內是單調增加的。注注 利用導數(shù)符號與單調性之間的關系可證明利用導數(shù)符號與單調性之間的關系可證明一些不等式。一些不等式。 ) 1(111)(22xxxxxxf。 因為當因為當x1時，時，f (x)0，所以所以f(x)在在1, )上上f(x)單單調

30、增加。因此當調增加。因此當x1時，時，f(x)f(1) 0，即即 0)13(2xx， 4 函數(shù)單調性的判定法函數(shù)單調性的判定法 也就是xx132(x1)。 例例 5證明：當證明：當 x1 時，時，xx132 。 證證明明：令令)13(2)(xxxf ，則，則 三、曲線的凹凸性與拐點三、曲線的凹凸性與拐點定義定義: 若曲線段向上（下）彎曲，若曲線段向上（下）彎曲，則稱之為則稱之為凹（凸）的。凹（凸）的。xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段（圖形上任意弧段（ ）位于所張弦的上方。位于所張弦的上方。xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段（圖形上任意弧段（ ）位于所張弦的下方。位于所張弦的

31、下方。ABC問題問題: 如何用準確的數(shù)學語言描述曲線的凹凸性如何用準確的數(shù)學語言描述曲線的凹凸性?的中點的中點的中點的中點 定義定義121212( ),()(),(),22( );f xIIxxf xf xx xff xI設在區(qū)間 上連續(xù) 如果對 上任意兩點恒有那么稱在 上的圖形是凹的121212,()()(),22( );Ix xxxf xf xff xI如果對區(qū)間 上任意兩點恒有那么稱在 上的圖形是凸的四、曲線凹凸的判定四、曲線凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞減遞減)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)

32、()1(),(,),(,)(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內內若在若在二階導數(shù)二階導數(shù)內具有內具有在在上連續(xù)上連續(xù)在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 例例6 6.3的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解解,32xy ,6xy 時，時，當當0 x, 0 y為凸的；為凸的；在在曲線曲線0 ,(時，時，當當0 x, 0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0 .)0 , 0(點點是是曲曲線線由由凸凸變變凹凹的的分分界界點點注意到注意到,xyO11y=x3五、曲線的拐點及其求法五、曲線的拐點及其求法連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為連續(xù)曲線上凹凸的

33、分界點稱為曲線的拐點曲線的拐點.定理定理 2 2 如果如果)(xf在在),(00 xx內存在二階導內存在二階導數(shù)數(shù), ,則點則點 )(,00 xfx是拐點的必要條件是是拐點的必要條件是0)(0 xf. .1.1.定義定義2.2.拐點的求法拐點的求法例例8 8.3的拐點的拐點求曲線求曲線xy 解解,0時時當當 x,3132 xy532,9yx 0.xy 時, 不存在, 0,)0 ,( y內內但在但在;0 ,(上是凹的上是凹的曲線在曲線在 , 0,), 0( y內內在在.), 0上是凸的上是凸的曲線在曲線在.)0 , 0(3的拐點的拐點是曲線是曲線點點xy 凹凸與拐點的判定步驟凹凸與拐點的判定步驟

34、不不存存在在的的點點；的的零零點點以以及及求求 )( )( )1(xfxf 間間；的的定定義義區(qū)區(qū)間間分分割割為為子子區(qū)區(qū)用用上上述述點點將將 )( )2(xf與與拐拐點點。確確定定凹凹凸凸在在各各子子區(qū)區(qū)間間上上的的符符號號以以確確定定 )( )3(xf 。兩兩步步可可用用列列表表方方式式完完成成、 )3()2(例例2 2.14334凹、凸的區(qū)間凹、凸的區(qū)間的拐點及的拐點及求曲線求曲線 xxy解解(,) 定義域,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點拐點

35、拐點拐點)1 , 0()2711,32(, 02/3 0, 2/3(0,1),(2/311/ 27 此函數(shù)在及，+ 上是凹的、在上是凸的，拐點為,)。第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的極值與函數(shù)的極值與 最大值最小值最大值最小值 由單調性的判定法則，結合函數(shù)的圖形可知，由單調性的判定法則，結合函數(shù)的圖形可知，曲線在升、降轉折點處形成曲線在升、降轉折點處形成“峰峰”、“谷谷”，函，函數(shù)在這些點處的函數(shù)值大于或小于兩側附近各點數(shù)在這些點處的函數(shù)值大于或小于兩側附近各點處的函數(shù)值。函數(shù)的這種性態(tài)以及這種點，無論處的函數(shù)值。函數(shù)的這種性態(tài)以及這種點，無論在理論上還是在實際應用上都具有重要的意義，在理論上還是在實際應

36、用上都具有重要的意義，值得我們作一般性的討論。值得我們作一般性的討論。一、函數(shù)極值的定義一、函數(shù)極值的定義oxyab)(xfy 1x2x4x5x6xoxyoxy0 x0 x 設函數(shù)設函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a, b)內有定義，內有定義，x0 (a, b)x1x2x3x4x5x6x7xyOab y=f(x) f(a)和和 f(b)是否為極值？是否為極值？ x U(x0)，有有f(x)f(x0)，則稱則稱f(x0)是函數(shù)是函數(shù)f(x)的一的一。如果如果 U(x0)，個極小值；函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)個極小值；函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點取

37、得極值的點稱為極值點極值的定義：極值的定義：取得極值的必要條件：取得極值的必要條件：觀察極值與切線的關系：觀察極值與切線的關系：在極值點處，如果函數(shù)曲線有切線，則切線是水平的在極值點處，如果函數(shù)曲線有切線，則切線是水平的xyOabx1x2x3x4x5x6x7 y=f(x) 定理定理1 （必要條件）（必要條件）設函數(shù)設函數(shù)f(x)在點在點x0處可導，且在處可導，且在x0處取得處取得極值，那么極值，那么f (x0) 0駐點：駐點： 使導數(shù)為零的點使導數(shù)為零的點(即方程即方程f (x) 0的實根的實根)叫函數(shù)叫函數(shù)f(x)的駐的駐點點應注意的問題：應注意的問題： 可導函數(shù)可導函數(shù)f(x)的極值點必定

38、是函數(shù)的駐點但反過來，函數(shù)的極值點必定是函數(shù)的駐點但反過來，函數(shù)f(x)的駐點卻不一定是極值點的駐點卻不一定是極值點觀察函數(shù)觀察函數(shù)f(x) x在在x 0 0處的導數(shù)與極值情況處的導數(shù)與極值情況xyOy=x3在在 x=0處，處， f (0) 0.但函數(shù)在但函數(shù)在x=0無極值無極值 定理定理2（第一充分條件）（第一充分條件）設函數(shù)設函數(shù)f(x)在點在點x0的一個鄰域內連的一個鄰域內連續(xù)，在續(xù)，在x0的左右鄰域內可導的左右鄰域內可導 (1) 如果在如果在x0的某一左鄰域內的某一左鄰域內f (x)0，在在x0的某一右鄰域內的某一右鄰域內 f (x)0，那么函數(shù)那么函數(shù)f(x)在在x0處取得極大值；處

39、取得極大值； (2) 如果在如果在x0的某一左鄰域內的某一左鄰域內f (x)0，那么函數(shù)那么函數(shù)f(x)在在x0處取得極小值；處取得極小值； (3)如果在如果在x0的左右鄰域內的左右鄰域內f (x)不改變符號，那么函數(shù)不改變符號，那么函數(shù)f(x)在在 x0處沒有極值處沒有極值取得極值的第一充分條件：取得極值的第一充分條件：取得極值的第一充分條件的幾何意義：取得極值的第一充分條件的幾何意義：x1x2x3x4x5x6x7xyOab y=f(x) f (x)0 f (x)0 f (x)0在極小值點附近在極小值點附近在極大值點附近在極大值點附近例例1 1 求函數(shù)求函數(shù)f(x) 1 (x 2)2/3的極

40、值的極值 解解 (1)當當x 2時，時，(2)函數(shù)無駐點，函數(shù)無駐點， x 2是不可導點；是不可導點； (3)列表判斷：列表判斷： x f (x) f (x) ，222 222， 不存在不存在1極大值極大值函數(shù)函數(shù)f(x)在在x 2取得極大值，極大值為取得極大值，極大值為f(2) 1 f (x) 3232x；確定極值點和極值的步驟：確定極值點和極值的步驟： (1)求出導數(shù)求出導數(shù)f (x)； (2)求出求出f(x)的全部駐點和不可導點；的全部駐點和不可導點； (3)列表判斷（考察列表判斷（考察f (x)的符號在每個駐點和不的符號在每個駐點和不可導點的左右鄰近的情況，以便確定該點是否是極可導點的

41、左右鄰近的情況，以便確定該點是否是極值點，如果是極值點，還要按定理值點，如果是極值點，還要按定理 2 確定對應的函確定對應的函數(shù)值是極大值還是極小值）；數(shù)值是極大值還是極小值）； (4)確定出函數(shù)的所有極值點和極值確定出函數(shù)的所有極值點和極值 函數(shù)函數(shù)f(x)的極大值為的極大值為f( 1) 10，極小值為極小值為f(3) 22 例例2 2 求函數(shù)求函數(shù)f(x) x 3 3x 2 9x 5的極值的極值 解解 (1)f (x) 3x 2 6x 9 3(x 1)(x 3) (2)令令3(x 1)(x 3) 0， 得駐點得駐點x 11，x 2 3 (3)列表判斷：列表判斷：(3, ) 22(, 1)

42、1( 1, 3)3 f (x) 00 f(x) 10極大極大極小極小x應注意的問題：應注意的問題： 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在駐點在駐點x 0處的二階導數(shù)處的二階導數(shù)f (x 0) 0，那么點那么點x 0一定是極值點，并且可以按二階導數(shù)一定是極值點，并且可以按二階導數(shù)f (x 0)的符來判定的符來判定f(x 0)是是極大值還是極小值但如果極大值還是極小值但如果f (x 0) 0，定理定理3就不能應用就不能應用 定理定理2 (第二充分條件第二充分條件) 設函數(shù)設函數(shù)f(x)在點在點x 0處具有二階導數(shù)處具有二階導數(shù)且且f (x 0) 0，f (x 0) 0，那么那么 (1)當當f (x 0)0時

43、，函數(shù)時，函數(shù)f(x)在在x 0處取得極小值處取得極小值討論討論：函數(shù)：函數(shù) f 1(x) x 4，f 2(x) x 3在點在點x 0是否有極值？是否有極值？ f 1(x) 4x 3， f 1(0) 0， f 1(x) 12x 2， f 1(0) 0當當x0時，時， f 1(x)0時，時， f 1(x)0 f 1(0)為極小值為極小值 f 2(x) 3x 2， f 2(0) 0， f 2(x) 6x ， f 2(0) 0 f 2(x) 0， f 2(0)不是極值不是極值 1012112xy101x1234y (2)令令f (x) 0，求得駐點求得駐點x 11，x 2 0，x 3 1 (3)f

44、(x) 6(x 2 1)(5x 2 1) (4)因因f (0) 60，所以所以x 0為為極小值點，極小值為極小值點，極小值為 f(0) 0 (5)因因f ( 1) f (1) 0，用定用定理理 3 無法判別無法判別 例例3 3 求函數(shù)求函數(shù)f(x) (x 2 1)3 1的極值的極值 解法一解法一 (1)f (x) 6x(x 2 1)2同理，同理，f(x)在在1處也沒有極值處也沒有極值 因為在因為在 1的左右鄰域內的左右鄰域內f (x)0， 所以所以f(x)在在 1處沒有極值；處沒有極值；2101x12y f(x) (x 2 1)3 1 f (x) f(x) (1)f (x) 6x(x 2 1)

45、2 (2)令令f (x) 0，求得駐點求得駐點x 11，x 2 0，x 3 1 (3)列表判斷：列表判斷： x ，111111，000 000，111 111， 0 0+00無極值無極值無極值無極值極小值極小值 f (x)在在x 0處取得極小值，極小值為處取得極小值，極小值為 f(0) 0 解法二解法二極值與最值的關系：極值與最值的關系：x1x2x3x4x5xyOab y=f(x)最大值：最大值：f (b)， 最小值：最小值：f (x3) 觀察：觀察：x1x2x3x4x5xyOab y=f(x)最大值：最大值：f (x4)， 最小值：最小值：f (x3) 觀察：觀察： 設函數(shù)設函數(shù)f(x)在閉

46、區(qū)間在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則函數(shù)的最大值和最小上連續(xù)，則函數(shù)的最大值和最小值一定存在函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點取得，值一定存在函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點取得，如果最大值不在區(qū)間的端點取得，則必在開區(qū)間如果最大值不在區(qū)間的端點取得，則必在開區(qū)間(a，b)內取得，內取得，在這種情況下，最大值一定是函數(shù)的極大值因此，函數(shù)在閉區(qū)在這種情況下，最大值一定是函數(shù)的極大值因此，函數(shù)在閉區(qū)間間a，b上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中最大者同理，函數(shù)在閉區(qū)間的函數(shù)值中最大者同理，函數(shù)在閉區(qū)間a，b上的最小值一定上的最

47、小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中最小者是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中最小者極值與最值的關系：極值與最值的關系： 設設f(x)在在(a，b)內的駐點和不可導點內的駐點和不可導點(它們是可能的極值點它們是可能的極值點)為為x1，x2， ，xn，則比較則比較f(a)，f(x 1)， f(x 2)， ，f(x n)，f(b)的大小，其中最大的便是函數(shù)的大小，其中最大的便是函數(shù)f(x)在在a，b上的最大值，最小的上的最大值，最小的便是函數(shù)便是函數(shù)f(x)在在a，b上的最小值上的最小值 求最大值和最小值的步驟：求最大值和最小值的步驟： (1)求出求出f(x)在在(a，b)

48、內的所有駐點和不可導點；內的所有駐點和不可導點； (2)求出函數(shù)在上述點處和區(qū)間端點處的函數(shù)值；求出函數(shù)在上述點處和區(qū)間端點處的函數(shù)值； (3)比較上述函數(shù)值，找出最大的和最小的比較上述函數(shù)值，找出最大的和最小的最大值和最小值的求法：最大值和最小值的求法： 例例4 求函數(shù)求函數(shù)y 2x3 3x2 12x 14在在 3, 4上的最大值與最小值上的最大值與最小值 解解 f(x) 2x 3 3x 2 12x 14， f (x) 6x 2 6x 12 6(x 2)(x 1)， 解方程解方程f (x) 0，得得 x12，x2 1，由于由于 f( 3) 2( 3)3 3( 3) 2 12( 3) 14 2

49、3； f( 2) 2( 2)3 3( 2) 2 12( 2) 14 34； f(1) 2 3 12 14 7； f(4) 24 3 34 2 124 14 142， 比較可得比較可得f(x)在在 x 4取得它在取得它在 3，4上的最大值上的最大值f(4) 142 , ,在在x 1取得它在取得它在 3，4上的最小值上的最小值f(1) 7 例例5 鐵路線上鐵路線上AB段的距離為段的距離為100km工廠工廠C距距A處為處為20km，AC垂直于垂直于AB為了運輸需要，要在為了運輸需要，要在AB線上選定一點線上選定一點D向工廠向工廠修筑一條公路已知鐵路每公里貨運的運費與公路上每公里貨修筑一條公路已知鐵路

50、每公里貨運的運費與公路上每公里貨運的運費之比運的運費之比3: :5為了使貨物從供應站為了使貨物從供應站B運到工廠運到工廠C的運費最的運費最省，問省，問D點應選在何處？點應選在何處？100kmDABC20km最大值和最小值的應用：最大值和最小值的應用： 解解 設設AD x (km)，則則 DB 100 x ，100kmDABC20kmCD2220 x2400 x 設從設從B點到點到C點需要的總運費為點需要的總運費為y，那么那么y 5kCD 3kDB (k是正數(shù)是正數(shù))，即即 y5k2400 x3k(100 x) (0 x100)先求先求y對對x的導數(shù)：的導數(shù)： y k340052xx，解方程解方

51、程y 0，得得x 15由于 y|x0400k，y|x15380k，y|x100500k2511，其中以其中以y|x 15 380k為最小，因此當為最小，因此當AD x 15km時，總運費為最省時，總運費為最省 解解 設設AD x (km)，則則 DB 100 x ，CD2220 x2400 x 設從設從B點到點到C點需要的總運費為點需要的總運費為y，那么那么y 5kCD 3kDB (k是某個正數(shù)是某個正數(shù))，即即 y5k2400 x3k(100 x) (0 x100) 如果如果f(x)在一個區(qū)間在一個區(qū)間(有限或無限，開或閉有限或無限，開或閉)內可導且只有一個內可導且只有一個駐點駐點x0，并且

52、這個駐點并且這個駐點x0是函數(shù)是函數(shù)f(x)的極值點，那么，當?shù)臉O值點，那么，當f(x0)是極是極大值時，大值時，f(x0)就是就是f(x)在該區(qū)間上的最大值；當在該區(qū)間上的最大值；當f(x0)是極小值時，是極小值時，f(x0)就是就是f(x)在該區(qū)間上的最小值在該區(qū)間上的最小值特殊情況下的最大值與最小值：特殊情況下的最大值與最小值： f(x0) Oa x0 b x y f(x ) y f(x0) Oa x0 b x y f(x ) y 應當指出，實際問題中，往往根據問題的性質就可以斷定函應當指出，實際問題中，往往根據問題的性質就可以斷定函數(shù)數(shù)f(x)確有最大值或最小值，這時如果確有最大值或最

53、小值，這時如果f(x)在定義區(qū)間內部只有一在定義區(qū)間內部只有一個駐點個駐點x0，那么不必討論那么不必討論f(x0) 是否是極值，就可以斷定是否是極值，就可以斷定 f(x0)是最是最大值或最小值大值或最小值 把一根直徑為把一根直徑為d 的圓木鋸成截面為矩形的梁問的圓木鋸成截面為矩形的梁問矩形截面的高矩形截面的高h和寬和寬b應如何選擇才能使梁的抗彎截面模量應如何選擇才能使梁的抗彎截面模量W 最大最大?其中其中d hb 解解 b 與與h 有下面的關系：有下面的關系： h 2 d 2 b 2，因而 W61b(d 2b 2) (0bd)W61bh 2 例例 6 由于梁的最大抗彎截面模量在由于梁的最大抗彎

54、截面模量在(0，d)內一定存在，而函數(shù)內一定存在，而函數(shù)W在在(0，d)內只有一個駐點，內只有一個駐點，所以當b d 時，31W的值最大這時，的值最大這時， b31d 是唯一的駐點 W 61(d 23b 2)， h32d 于是有于是有d :h :b 3:2:1 f (x)0， f (x)0，abxyO y=f(x)ab函數(shù)單調增加函數(shù)單調增加 f (x)0，復習：復習：3.6 與函數(shù)圖像的描繪與函數(shù)圖像的描繪xyO函數(shù)單調減少函數(shù)單調減少曲線是曲線是凹的凹的 y=f(x) f (x)0，abxyO y=f(x)ab函數(shù)單調減少函數(shù)單調減少曲線是曲線是凸的凸的 f (x)0， f (x)0，相反時相反時s0 xyOM0 x0Mxs0,dxds21y21ydxds M0MM x0 x x+D DxD DxD DyxyOD Ds弧微分公式弧微分公式二、曲率及其計算公式二、曲率及其計算公式曲率是描述曲線