1、學習必備歡迎下載二次函數與相似三角形12例 1 如圖 1,已知拋物線yx2x的頂點為 A，且經過原，與 x 軸交于點 0、B。4（1） 若點 C 在拋物線的對稱軸上，點 D 在拋物線上，且以 0、C、D、B 四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求 D 點的坐標；（2） 連接0A、AB，如圖 2，在 x 軸下方的拋物線上是否存在點P，使得 0BP 與厶 0AB相似？若存在，求出 P 點的坐標；若不存在，說明理由。分析:1.當給出四邊形的兩個頂點時應以兩個頂點的連線為四邊形的邊和對角線來考慮問題以 0、C、D、B 四點為頂點的四邊形為平行四邊形要分類討論：按 0B 為邊和對角線兩種情況2.函數中因動點

2、產生的相似三角形問題一般有三個解題途徑1求相似三角形的第三個頂點時，先要分析已知三角形 的邊和角的特點，進而得出已知三 角形是否為特殊三角形。根據未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應邊分類討論。2或利用已知三角形中對應角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數、對稱、旋轉等知識來推導邊的大小。3若兩個三角形的各邊均未給出，則應先設所求點的坐標進而用函數解析式來表示各邊的長 度，之后利用相似來列方程求解。解:如圖 1,當 0B 為邊即四邊形 0CDB 是平行四邊形時，CD 壘 0B,12由0 (x -2)21得x1=0,x2=4 ,4 B(4,0),0B = 4. D 點的橫坐標為 612將

3、x= 6 代入y (x -2)21,得 y = 3,4- D(6, 3);學習必備歡迎下載根據拋物線的對稱性可知，在對稱軸的左側拋物線上存在點D,使得四邊形 ODCB 是平行四邊形，此時 D 點的坐標為(一 2, - 3),當 OB 為對角線即四邊形 OCBD 是平行四邊形時，D 點即為 A 點，此時 D 點的坐標為(2,1)如圖 2，由拋物線的對稱性可知 :AO = AB, / AOB=ZABO.若厶 BOP 與厶 AOB 相似，必須有/ POB =ZBOA=ZBPO設 OP 交拋物線的對稱軸于 A點,顯然A(2-1)1直線OP的解析式為y = _-x2,112由x x x,24得x1= 0

4、, x2=6.- P(6, 3)過 P 作 PE 丄 x 軸，在 Rt BEP 中,BE = 2,PE = 3, PB = J3豐4. PB OB,BO 梓 / BPO, PBO 與厶 BAO 不相似，同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P 點.所以在該拋物線上不存在點P,使得 BOP 與厶 AOB 相似.考點：二次函數綜合題.分析：(1 )將 A (3, 0), C (0, 4)代入 y=ax2- 2ax+c,運用待定系數法即可求出拋物線的 解析式；2例 2 (2013 涼山州壓軸題)如圖，拋物線 y= - x+x+4 交 x 軸于 A、B 兩點，與 y 軸交于點 C, 以 O

5、G OA為邊作矩形 OADC 交拋物線于點 G.(1 )拋物線的對稱軸 I 在邊 OA(不包括 OA 兩點)上平行移動，分別交 x 軸于點 E,交 CD 于點 F,交 AC于點 M 交拋物線于點 P,若點 M 的橫坐標為 m 請用含 m 的代數式表示 PM 的長；(2)在(1)的條件下，連結 PC 則在 CD 上方的拋物線部分是否存在這樣的點P,使得以P、C、F 為頂點的三角形和 AEM 相似？若存在，求出此時m 的值，并直接判斷 PCM 的形狀；若不存在，請說明理由.學習必備歡迎下載(2)先根據A C的坐標，用待定系數法求出直線AC 的解析式，進而根據拋物線和直線AC的解析式分別表示出點 P

6、、點 M 的坐標，即可得到 PM 的長；(3)由于/PFC 和/AEM 都是直角，F 和 E 對應，則若以 P、C F 為頂點的三角形和 AEM 相似時，分兩種情況進行討論： 厶 PF3AAEM厶 CFPAAEM 可分別用含 m 的代數式 表示出 AE EM CF PF 的長，根據相似三角形對應邊的比相等列出比例式，求出m 的值，再根據相似三角形的性質，直角三角形、等腰三角形的判定判斷出PCM 的形狀.解答：解：(1)：拋物線 y=ax2- 2ax+c (0)經過點(2)設直線 AC 的解析式為 y=kx+b , A ( 3, 0),點 C (0, 4),f3k+b=04直線 AC 的解析式為

7、 y= -x+4.3T點 M 的橫坐標為 m 點 M 在 AC 上 ,一4M點的坐標為(m, - m+4),3T點P的橫坐標為 m 點 P 在拋物線 y= - x2+x+4 上,點 P 的坐標為(m - m +m+4 ,2427 PM=PEME=(m+m+4 m+4 =-m+m3327即 PM-m+ m (0vm 3);3(3)在(2)的條件下，連結 PC 在 CD 上方的拋物線部分存在這樣的點P ,使得以 P、C、F 為頂點的三角形和 AEM 相似.理由如下：由題意，可得AE=3- m, EM=- m+4 CF=m PF=2 2-m+m+4- 4=- m+m若以 P、C、F 為頂點的三角形和

8、 AEM 相似，分兩種情況：若 PF3AAEM 則 PF: AE=FCEM即(-m+m): (3 - m) =m：(- m+4),/ m0且 m3, m=：.16/PFCAAEM/PCF2AME/ AMENCMFPCF=/ CMF在直角ACMF 中,/ CMFNMCF=90 , / PCF+NMCF=90 ,即/ PCM=90 , PCM 為直角三角形；若 CFPAAEM 貝UCF： AE=PF EM 即 m(3 - m) = (- m+m) : (- m+4 , / m0且 m3,/ m=1A (3, 0),點 C (0, 4),9a - 6a+c=0工二4拋物線的解析式為解得 3,2y=

9、- x +x+4;學習必備歡迎下載CFPAAEMCPF2AME/ AMEMCMF / CPF=/ CMF CP=CM PCM 為等腰三角形.綜上所述，存在這樣的點P 使厶 PFC與厶AEM 相似.此時 m 的值為二或， PCM 為直角三16角形或等腰三角形.點評：此題是二次函數的綜合題，其中涉及到運用待定系數法求二次函數、一次函數的解析式，矩形的性質，相似三角形的判定和性質， 直角三角形、等腰三角形的判定，難度適中.要 注意的是當相似三角形的對應邊和對應角不明確時，要分類討論，以免漏解.練習1、已知拋物線y二-ZxbEx經過PC、3,3)E i53,0及原點0(0,0).33I 2丿(1 )過

10、P點作平行于x軸的直線PC交y軸于C點，在拋物線對稱軸右側且位于直線PC下方的拋物線上，任取一點Q,過點Q作直線QA平行于y軸交x軸于A點，交直線PC于B點，直線QA與直線PC及兩坐標軸圍成矩形OABC是否存在點Q,使得AOPC與PQB相似？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，說明理由.(2)如果符合(2)中的Q點在x軸的上方，連結OQ，矩形OABC內的四個三角形OPC,PQB,OQP,OQA之間存在怎樣的關系？為什么?學習必備歡迎下載(1)存在.22設Q點的坐標為(m, n)，則n m3解之得，iri = 2/3, m2= . 2.m = 2 3時，n =2,即為Q點，所以得Q(2,32)要使

11、OCPQBP,-BQ PB，則有m 3OC CP3m2= . 3，當m = , 3時，即為P點,當耳=3.3時，n=-3,所以得Q(3、3-3).故存在兩個Q點使得OCP與PBQ相似.Q點的坐標為(2.3,2,(3.3, - 3).CP J3r(2)在RtOCP中，因為tan. COP所以.COP =30、.OC 3當Q點的坐標為(2、3,2)時，.BPQ =. COP =30：.所以OPQ =/OCP二/B二/QAO =90.因此，OPCA PQB,OPQ,OAQ都是直角三角形.又在RtOAQ中，因為tan QOQA3.所以乙QOA =30；.AO 3即有POQ二QOA二 QPB二COP二3

12、0.所以OPC PQB OQP OQA, 又因為QP丄OP,QA丄OA POQ =/AOQ =30；,BQ pB要使OCP PBQ,，則有CP OC聽3-nm- 3，53_m3解之得，mi| = 3、3,學習必備歡迎下載所以OQAOQP., , 22.在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數y - -x 2x 3的圖象與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C.(1)若直線丨：y = kx(k =0)與線段BC交于點D(不與點B,C重合)，則是否存在這樣 的直線丨，使得以B,O,D為頂點的三角形與BAC相似？若存在，求出該直線的函數 表達式及點D的坐標；若不存在，請說明理由；A(-

13、1,0)B(3,0),C(0,3)練習 3 圖(1)假設存在直線l : y二kx(k =0)與線段BC交于點D(不與點B, C重合)，使得以B, O,D為頂點的三角形與BAC相似.2 2(2) 若點P是位于該二次函數對稱軸右邊圖象上不與頂點重合的任意一點，試比較銳角NPCO與NACO的大小(不必證明)，并寫出此時點P的橫坐標XP的取值范圍y學習必備歡迎下載在y-x 2x 3中，令y=0，則由-x 2x 0，解得Xi- -1,x3A(-1,0), B(3,0).令x=0，得y=3. C(0,3).設過點O的直線丨交BC于點D，過點D作DE丄x軸于點E.學習必備歡迎下載:點B的坐標為（3,0），點

14、C的坐標為（0,3），點A的坐標為（-1,0）.二AB =4,OB =OC =3, NOBC=45.BC =73=372 .要使BODBAC或厶BDOBAC,9解得BE =DE=（負值舍去）493二OE =OB BE =3=-.44點D的坐標為 將點 D 的坐標代入y = kx（k = 0）中，求得 k=3.滿足條件的直線丨的函數表達式為y=3x.或求出直線AC的函數表達式為y=3x，3，則與直線AC平行的直線丨的函數表達式為y =3x此時易知BODBAC，再求出直線BC的函數表達式為y =-x 3聯立y =3x,y = -x 3求得點D的坐標為= 2.2 .已有.B=/B，則只需BD|BO|

15、IBO凹BC BA成立.若是，則有BD_|BO口BC _3沢3血_972一|BA|_4而NOBC =45,|BE =|DE在RtABDE中，由勾股定理，得2BE2+ DE=2 BE2=BD若是，則有BC學習必備歡迎下載而NOBC =45, |BE =|DE學習必備歡迎下載2 2 2 2卜 二在RtABDE中，由勾股定理，得BE DE|=2 BE = BD| =(2血)2.解得BE| = DE =2(負值舍去).二OE =0B - BE =3-2=1.點D的坐標為(1,2).將點D的坐標代入y = kx(k = 0)中，求得k=2.滿足條件的直線l的函數表達式為y = 2x.存在直線丨：y =

16、3x或y =2x與線段BC交于點D(不與點B,C重合)，使得以B, O,D為頂點的三角形與BAC相似，且點D的坐標分別為3,9或(1,2).14 4丿(2)設過點C(0,3), E(1,0)的直線y = kx 3(k = 0)與該二次函數的圖象交于點P.將點E(1,0)的坐標代入y = kx 3中，求得k = -3.此直線的函數表達式為y = -3x 3.2 2設點P的坐標為(x,-3x 3)，并代入y = -X 2x 3，得x -5x = 0.解得Xi=5,X2= 0(不合題意，舍去).x =5,y =-12.點P的坐標為(5,12).此時，銳角 PCO二.ACO.又:二次函數的對稱軸為x

17、=1,點C關于對稱軸對稱的點C的坐標為(2,3).當Xp5時， 銳角PCO： ： ：ACO； 當xp=5時， 銳角PCO-/ACO；當2 xp：5時，銳角PCO ACO.學習必備歡迎下載23.如圖所示，已知拋物線y=x -1與x軸交于A、B 兩點，與y軸交于點C,過點 A 作AP / CB 交拋物線于點 P .在X軸上方的拋物線上是否存在一點M，過 M 作 MG _X軸于點 G,使以 A、M、G 三點為頂點的三角形與.：PCA 相似.若存在，請求出 M 點的坐標； 否則，請說明理由.解:假設存在A(-1,0)B(1,0)C(0,_1) . PAB= . BAC =45 PA _ AC在 Rt

18、AOC 中，OA=OC=1 AC=.2在 Rt PAE 中，AE=PE=3 AP=3.2設 M 點的橫坐標為m，貝 y M(m,m2-1)點 M 在y軸左側時，則m：-1- M (_2,3) MG _ x 軸于點 G , . MGA= . PAC =90(i)當 AMG時，有詈MGCA2 m_1 m1TAG=-m -1,MG=m2-1即=:-匸3/2J22解得- -1（舍去）m2（舍去）(ii )當:MAG時有些=匹CA PAm -1 m 1 ”/口 一一:-一=解得:、23、2m=1（舍去）學習必備歡迎下載點 M 在y軸右側時，則(i)當 AMG s .：PCATAG=m 1, MG=m2-

19、1圖 3學習必備歡迎下載分析：(1)首先求出點 A、B 的坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的解析式；(2)設點 C 坐標為(m, 0) ( m 0),根據已知條件求出點 E 坐標為(m, 8+n);由于點 E 在拋物線上，則可以列出方程求出m 的值在計算四邊形 CAEB 面積時，利用 S四邊形CAE= SACE+S梯形OCEB- SABCO,可以簡化計算;2即m 1_m-1尸-3、2解得：mi = -1(舍去)m2=4 M (4,15)存在點 M，使以 A、M、G 三點為頂點的三角形與 .：PCA 相似4 7M 點的坐標為(-2,3),(一，),(4,15)4.(2013?曲靖壓軸題)如圖，

20、在平面直角坐標系xOy 中，直線 y=x+4 與坐標軸分別交于AB 兩點，過 A、B 兩點的拋物線 y= - x2-3x+4.點 D 為線段 AB 上一動點，過點 D 作 CDLx軸于點 C,交拋物線于點 E.(1 )當 DE=4 時，求四邊形 CAEB 的面積.(2)連接 BE 是否存在點 D,使得 DBE 和厶 DAC 相似？若存在，求此點 D 坐標；若不存在， 說明理由.解得mi = -1(舍去)m2=2339(ii )當.：MAGs：FCA 時有CA PA學習必備歡迎下載分析：(1)首先求出點 A、B 的坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的解析式；(2)設點 C 坐標為(m, 0) (

21、 m 0),根據已知條件求出點 E 坐標為(m, 8+n);由于點 E 在拋物線上，則可以列出方程求出m 的值在計算四邊形 CAEB 面積時，利用 S四邊形CAE= SACE+S梯形OCEB- SABCO,可以簡化計算;考點：二次函數綜合題.學習必備歡迎下載(3)由于 ACD 為等腰直角三角形，而 DBE 和ADAC 相似，則 DBE 必為等腰直角 三角形分兩種情況討論，要點是求出點 E 的坐標，由于點 E 在拋物線上，則可以由 此列出方程求出未知數.解答：解：(1)在直線解析式 y=x+4 中，令 x=0，得 y=4 ;令 y=0，得 x= - 4, A (- 4, 0), B (0, 4)

22、點 A (- 4, 0), B (0, 4 )在拋物線 y= - x+bx+c 上，.r- 16-4b+c=0* ,lc二4解得：b=- 3, c=4,拋物線的解析式為：y= - x2- 3x+4 (2) 設點 C 坐標為(m, 0) ( m 0),貝 U 0C=- m AC=4+m/ 0A=0B=4 BAC=45 , ACD 為等腰直角三角形， CD=AC=4+mCE=CD+DE=4+m+4=8+m 點 E 坐標為(m, 8+m) 點 E 在拋物線 y=- x2- 3x+4 上，2 8+m=- m - 3m+4,解得 m= 2. C (- 2 , 0), AC=0C=2 CE=6S四邊形CA

23、EB=SACE+S梯形OCEB-SBC(=X2X6+丄(6+4)X2 -丄X2X4=12.222(3) 設點 C 坐標為(m, 0) ( m45,而拋物線左側任意一點K,都有/ KCNC 45,所以點 M 不存在.解答：解：(1)v拋物線 y= (x - 3) (x+1 )與 x 軸交于 A, B 兩點(點 A 在點 B 左側),當 y=0 時，(x 3) (x+1) =0,解得 x=3 或-1,點 B 的坐標為(3, 0).2 2/y= ( x - 3) (x+1) =x - 2x - 3= (x - 1)- 4,(2)如右圖.拋物線 y= (x - 3) (x+1) =x2- 2x - 3

24、 與與 y 軸交于點 C,C點坐標為(0,- 3). 對稱軸為直線 x=1, 點 E 的坐標為(1, 0).連接 BC,過點 C 作 CHLDE 于 H,貝 U H 點坐標為(1 , - 3), CH=DH=1/ CDHMBCOMBCH=45, CD= ：, CB=3 :, BCD 為直角三角形.分別延長 PC DC 與 x 軸相交于點 Q R./ BDEdDCPMQCR/CDBdCDEdBDE=45 +/DCP/QCOdRCOQCR=45 +ZDCP/ CDBdQCOBCSAQOC OQ -忑手, OQ=3OC=9 即 Q (- 9 , 0).學習必備歡迎下載直線 CQ 的解析式為 y= - x- 3,3直線 BD 的解析式為 y=2x - 6.f