1、課時(shí)跟蹤檢測（三十）等比數(shù)列一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快2.（2018 鹽城期中）在等比數(shù)列an中，已知 ai+ a?= 1,a3+ a4= 2,則 a9+ aio=_ .解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q,則 a3+玄玄4= q2（ai+ a?）,所以 q2= 2,所以 a?+ ai= q8（ai+a2）= i6.答案：i63. （20i8 蘇州期末）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，已知 a?= 6, a?3ai= i2,貝 U S5=_ .解析：Ta2= 6, a3 3ai= i2,解得 ai= 2, q= 3,二 S5=害=242.i 3答案：2424.在等比數(shù)列an

2、中，若 aia5= i6, a4= 8,貝 V a6=_ ,解析：由題意得，a2a4= aia5= i6,所以 a2= 2，所以 q2= 04= 4,所以 a6= a4q2= 32.a2答案：325. （20i9 南京一模）若等比數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,且 ai= i, S6= 3S3,則 a?的值為解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q, 因?yàn)?ai= i, S6= 3S3,當(dāng) q= i 時(shí)，不滿足 S = 3S3； 當(dāng) qzi 時(shí)，可得=叫1,1 (2018 徐州期末) )設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q,前 n 項(xiàng)和為 Sn,若 S?是 S3與 S4的等 差中項(xiàng)，解析：ai+ a3+ a5a

3、i+ a3+ a5ai+ a3+ a5 2a2+a4+a6 qai+a3+a5 2ai+ a3+ a5答案：21. （2019 如東中學(xué)檢測）已知等比數(shù)列an的公比 q= 1,ai+ 83+ a5貝 y35=a2+ a4+ a6aiq= 6, aiq23ai= i2且 q 0,q iq i化簡得 q3+ i = 3，即 q3= 2, 所以 a7= aiq6= 4.答案：4則實(shí)數(shù) q 的值為_ .解析：/ S2是 S3與 S4的等差中項(xiàng)，2S2= S3+ S4， 2a3+ a4= 0,解得 q= 2.答案：2416. （2018 常州期末）已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且 ai+a2=9，a3

4、+a4+a5+a6解析：9兩式相除可得 q2 1 3+ q4= 90,即 qa3+ a4+ a5+ a&= aiq2+ q5+ q4+ q6= 40,1=10(舍)或q2= 9.又 an 0,所以 q = 3,故at=，所以a7+ a8+ a9=34+ 35+ 37=1 053,9答案：117二保咼考，全練題型做到咼考達(dá)標(biāo)3 (2019 如皋模擬) )已知數(shù)列an是正項(xiàng)等比數(shù)列， 滿足 Iog2an+1= 1+ log2an(n N*),且a1+ a2+ a3+ a4+ a5= 2,貝 V Iog2( (a51+ a52+ a53+ a54+ a55)=_ .解析：/ log2an+1

5、= 1 + gan,/. log2aJ= 1,可得 q = 2.ana1+ a2+ a3+ a4+ a5= 2,log2(a51+ a52+ a53+ a54+ a55)=log2(a1+ a2+ a3+ a4+ a5)q50 = log2251= 51.答案：5155 設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q(0vqv1)，前 n 項(xiàng)和為 Sn.若存在 m N ,使得 am+ am+2=；am+1,且 Sm= 1 022am+1,則 m 的值為_.解析：am+am+2= ?am+1,Sm=1 022am+1,a1q + a1q= a1q ,1 q022a1qm,41解得 m= 9, q=答案：94. （2

6、018 啟東檢測）數(shù)列an滿足 an+1=入n1（n N,入R且 爐 0）,若數(shù)列an1是等比數(shù)列，則 =_.解析:2因?yàn)閿?shù)列an 1是等比數(shù)列，所以 2 = 1,得匸2.人答案：25. （2019 姜堰模擬）已知等比數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且& =解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q,由 S3= 28,6. （2018 海安中學(xué)測試）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列數(shù)列an的前 n 項(xiàng)積為 Tn，若 T2m-1= 512,則 m=_ .解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知am+1am-1= am= 2am（m 2），所以 am= 2,即數(shù)列an為 常數(shù)列，an= 2，所以 T2m-1= 22m 1

7、= 512= 29,即卩 2m 1 = 9,所以 m= 5.答案：52an+1.*一 一,7.已知數(shù)列an中，a1=2，且=4(an+1an)(n N ),則其前 9 項(xiàng)和 S9=an解析：由已知，得 aJn+1= 4anan+1 4a：,即an+14anan+1+4an=(an+12an)2=0,所以 an+1= 2an,所以數(shù)列an是首項(xiàng)為 2，公比為 2 的等比數(shù)列,故 X 1=210一2=1 022 答案：1 0228.（2019 徐州調(diào)研）已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn且 S& 2S4= 6,貝 Va?+aan中，右 am+1am-1=2am(m2),得 an+1

8、一 1=入n 2 =，化簡得擊=養(yǎng)，解得+ an + a12的最小值為 _解析：因?yàn)?S8 2S4= 6,所以 S8 S4= S4+ 6.由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，S4, S8 S4, S12 S8成等比數(shù)列,2所以 S4( (Sl2 S8) )= (S8 S4),答案：249.在公差不為零的等差數(shù)列 an中，a1= 1, a2, a4,成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；設(shè) bn=2an,Tn=b1+b2+bn，求Tn. 解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d,a1= 1,則依題意有*2（a1+ 3d）=（a1+ d 何+ 7d）,解得 d= 1 或 d= 0（舍去）,所以 an= 1 + (

9、n 1) = n.由(1)得 an= n,所以 bn= 2n,所以bn是首項(xiàng)為 2,公比為 2 的等比數(shù)列,所以Tn=容=2n+1-210.（2018 蘇州高三期中調(diào)研）已知數(shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，a1= 1, a?= 2,且 an+1an+2對任意 n N 恒成立，記an的前 n 項(xiàng)和為 Sn.（1）若 a3= 3，求 a5的值；證明：對任意正實(shí)數(shù)p, a2n+ POjn-1成等比數(shù)列；是否存在正實(shí)數(shù) t,使得數(shù)列Sn+ t為等比數(shù)列若存在，求出此時(shí)an和式；若不存在，說明理由.解：（1）因?yàn)?a1a4= a2a3，所以 a4= 6,又因?yàn)?a2a5= a3a4,所以 a5= 詁=9.rana

10、n+3=an+1an+2,（2）證明：由 I_n+1an+4=an+2an+3,兩式相乘得anan+1an+3an+4=an+1an+2an+3,因?yàn)?an0，所以 anan+4= an+2（n N ）,從而an的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均構(gòu)成等比數(shù)列，所以ag+a10+an+a12=S12S$= =S4S4+箜+1224,當(dāng)且僅當(dāng)S4=6時(shí)S4號成立.故 a?+ aio+ an + ai2的最小值為24.bn+1所以苛=2,anan+3=Sn的表達(dá)設(shè)公比分別為 q1, q2,貝 V a2n= a?qj1= 2 比1, a?n-1= ag；q；1,又因?yàn)橐?叱，所以a4=a2= 2=2生，即 q1=q,

11、an+2ana3aiqi設(shè) qi= q,= q,貝 V a,n+ pa,n-1= q(a,n- 2+ pa,n- 3),且 a,n+ pa,n-1 0 恒成立，所以數(shù)列a2n+ pa2n-1是首項(xiàng)為 2 + p,公比為 q 的等比數(shù)列.法一：在中令 p= 1,則數(shù)列a2n+ a2n-1是首項(xiàng)為 3,公比為 q 的等比數(shù)列,3k, q= 1,k+(a2+a1)= 3 1-qI1 - q ,rk-1“3k2q,q=1,S2k-1=S2k-a2k=3 1-qkkT,2q,qz1,1-q且 S1= 1, S2= 3, S3= 3 + q, S4= 3+ 3q, 因?yàn)閿?shù)列Sn+ t為等比數(shù)列，(S2+t

12、(= (S1+(S3+t(S3+ t(S2+ t (S4+ tp+t)= (1 +1j(3+ q+ t )2(3 + q+ t) = (3+ t3+3q+tyt= 1,或q= 4所以 S2k= 4k- 1= 22k- 1, S2k-1= 22k-1- 1,從而對任意 n N*有 Sn= 2n- 1,S + t此時(shí) Sn+ t = 2n，嚴(yán) =2 為常數(shù)，滿足Sn+ t成等比數(shù)列，Sn-1十 t當(dāng) n 2 時(shí)，an= Sn- Sn-1= 2n 2n 1= 2n 1,又 a1= 1,所以 an= 2n 1(n N ), 綜上，存在 t= 1使數(shù)列Sn+ t為等比數(shù)列，此時(shí) an= 2n-1, Sn

13、= 2n- 1(n N*). 法二：由(2)知 a2n= 2qn 1, a2n-1= qn1,且 St= 1, S?= 3, S3= 3+ q, S4= 3 + 3q, 因?yàn)閿?shù)列Sn+ t為等比數(shù)列，(S2+ tf= (S1+ t (S3+ t V所以呂2(S3+ t) = (S2+ t (S4+ t即 R3+12= (1+5+ q+t)即 t+6= q1+1,1(3+ q+ tf= (3+ t3+3q+ t lt= q- 3,t= 1,t= 3,解得或i(舍去).q=4q=0所以S2k= (a2k+a2k-1) )+ (a2k-2+a2k-3) )+ 所以即 N+6=q1+tt=q-3,：t

14、_03(舍去).q= 0解得所以 a2n= 2qn 1= 22n 1, a2n-1= 22n 2,從而對任意 n N 有 an= 2n 1,所以 Sn= 2+ 21+ 22+ 2nT=仁2= 2n 1,1 2S + t此時(shí) Sn+ t = 2n,綜上，存在 t= 1 使數(shù)列Sn+ t為等比數(shù)列，此時(shí) an= 2n1, Sn= 2n 1(n N).三上臺階，自主選做志在沖刺名校1._ 各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an中，若 a1 1,a2 3，則 a4的取值范圍是 _a203解析：設(shè)an的公比為 q,則根據(jù)題意得 q=訂=,答案：弓，82.(2018 泰州中學(xué)高三學(xué)情調(diào)研) )設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足

15、 2a5= a? 0,若存在兩項(xiàng) a“,am,使得a1=4、；anam，貝 Vm+n=_.解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q.正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足 2a5= a3 a4,則 2a3q2=比(1 2一1一F_一q)，可得 2q2+ q 1 = 0, q0,解得 q = Q，若存在兩項(xiàng) an, am,使得 a1= 4 anam,可得答案：63. (2019 蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研) )已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,站=3,且對任意的正整數(shù) n, 都有 Sn+1=入n+ 3n+s 其中常數(shù)Z0.設(shè) bn=爭(n N*).(1)若 A 3，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；若入工 1 且入工 3，設(shè) Cn=an+-3n

16、(n N ),證明數(shù)列cn是等比數(shù)列；入一 3(3)若對任意的正整數(shù) n，都有 bnw3,求實(shí)數(shù) 入的取值范圍.+ *解：因?yàn)?Sn+1=01+3,nN,所以當(dāng) n2 時(shí)，Sn=入n-1+ 3n,從而 an+1=入n+ 2 3n, n 2, n N -在 Sn+1=入n+ 3n 1中，令 n= 1,可得 a2=入a+ 2x31,滿足上式，所以 an+1=入n+ 2 3n, n N .n*Sn-1+ tn= 6.(1)當(dāng)0=3 時(shí)，an+1=3an+2 3,nN,an+1an22從而 3+1 =孑 + ，即 bn+1 bn= 3,又 b1=詈=1，所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為 1,公差為 2 的等差數(shù)列， 0,若 1VH 3,Jv0,人32入一32 2n+1 所以 g=1+ （n -1）x2=.證明：當(dāng)心 0 且將 3 且將 1 時(shí)，Cn=an+ 3 3n=入務(wù)-l+2 31+ 3 3n又C1=3+ir3工0， 所以Cn是首項(xiàng)為，公比為 入的等比數(shù)列,A3在(2)中，若 入=1,貝 UCn= 0 也可使 an有意義，所以當(dāng)入工 3 時(shí)，Cn=3入/ 廠當(dāng)= 3 時(shí)，bn=2+1，顯然不滿足條件，故3.3當(dāng) 3 時(shí)，b.七x亠亡.入一 1*若心 3, 0, bnVbn+1,