1、課時跟蹤檢測（五一）直線與橢圓的位置關系一、題點全面練21 若直線 mx+ ny= 4 與OO: x2+ y2= 4 沒有交點，則過點 P（m, n）的直線與橢圓 專+2y=1 的交點個數是（）4A .至多為 1B . 2解析：選 B 由題意知42 2, 即卩 m2+ n2v2,vm +nF（0,5 2）的橢圓，截直線 y= 3x 2 所得弦中點的橫坐標1為 1，則該橢圓的方程是（）2 22x 紅 A+=175252 2cN +y- =1C.25 十 75y2= 1 消去 y,得 5x2+ 8tx+ 4(t2 1) = 0,2 2點 P(m, n)在橢圓 x + y =941 的內部，故所求交

2、點個數是2.2 2x y ,B.+= 175252 2D紅=11.解析：選 C3x 2,由題設知2C=52，設橢圓方程為七+a消去 y,整理得( (10a2 450)x2 12(a2 50)x+ 4(a2 50) a2( (a2 50)= 0,2x1+ x2=12 a50 = 1,解得 a2= 75,所以橢圓方程為10a 450由根與系數的關系得2 225+753.斜率為 1 的直線21與橢圓 4+y2=1相交于 A，B兩點，則|AB|的最大值為BVC.58 10DP解析：選 C 設 A,B 兩點的坐標分別為（X1, y1）, （x2, y2）,直線 l 的方程為y= x+1,2.中心為原點，

3、一個焦點為y= x+1,2 2 . 2以 3vav2 化簡可得1v；+ev1從而可得 2vev3，選6.已知 F1（- 1,0）, F2（1,0）是橢圓 C 的兩個焦點，過 F2且垂直于 x 軸的直線與橢圓 C 交于A, B 兩點，且|AB|= 3,貝 U C 的方程為_ .2 2解析：設橢圓 C 的方程為x2+y2= 1（a b0），則 c= 1.因為過 F2且垂直于 x 軸的直線a b八2占則 Xi+ x2=-8t, X1X2= 5. |AB|=+ k2|x1-x2| =1 +k2 X1+X2 )4X1X2-24ft1 4X-5=誓，5 - t2,當 t=0時，|AB|max=4_510.

4、4設 F1,F2分別是橢圓x+ y2= 1 的左、右焦點，若橢圓上存在一點 P,使（+ 命）PFI4=0（0 為坐標原點），則 F1PF2的面積是B.3解析：選D( (_0P+ 0F2) )PF1=( 0Ft.) )=麗敲=0,.PF1丄PF2,ZF1PF2=90.設|PFT|=m, |PF2|=n，貝 U m+ n= 4, m + n = 12,2mn= (m+ n) m n = 4, 、八一.11上=?mn= 1.22予+詁=1(a b 0)的左頂點 A 且斜率為5.過橢圓 C:橢圓 C 于另一點B,且點 B 在 x 軸上的射影恰好為右焦點v2，則橢圓 C 的離心率的取值范圍是（）B.I,

5、D. 0，解析：選 C 由題意可知，|AF|= a+ c, |BF|=122 2a ca2 2.ac一 1 .1十k=.又 3vkv：,所C.=2 與橢圓交于 A, B 兩點，且 |AB|= 3,所以:=-,b2= a2 c2,所以 a2= 4, b2= a2 c2= 4 12 2=3,橢圓的方程為牛+ y = 1.432 2答案：” * 14327.過點 M ( 2,0)的直線 m 與橢圓+ /= 1 交于卩卩1,卩卩2兩點，線段 P1P2的中點為 P,設直線 m 的斜率為 心(工 0)，直線 OP 的斜率為 k2,貝 U kjk2的值為_.解析：過點 M( 2,0)的直線 m 的方程為 y

6、 0 = k。+ 2),代入橢圓方程化簡得(2k1+ 1)x28k2+ 8k：x + 8k1 2 = 0,所以 X1+ X2=，所以點 P答案：18. (2019 州模擬) )已知中心在坐標原點的橢圓C 的右焦點為 F(1,0)，點 F 關于直線 y12x 的對稱點在橢圓C上，則橢圓C的方程為2 2解析：設橢圓方程為字+ b2= 1(ab0)，由題意可知 c= 1,即 a2 b2= 1，設點 F(1,0)關于直線y=2x的對稱點為( (m，m，可得 mf0=-2又因為點F與其對稱點的中點坐標 為咒嚴，2 j,且中點在直線 y=上，所以有 2= 2x，聯立，解得1n=i,9. (2019 長春監

7、測) )已知橢圓 C 的兩個焦點為 F1( 1,0), F2(1,0),且經過點 E 3,于.(1)求橢圓 C 的方程;(2)過 Fi的直線 I 與橢圓 C 交于 A, B 兩點( (點 A 位于 x 軸上方) )，若?,= 2UB，求直 線 I 的斜率k 的值.2a= |EF1|+ |EF2|= 4,解：（1）由 a2= b2+ c2,Ic= 1,22k，2 紿，直線OP的斜率k2即對稱點為3,所以橢2答案：管+5，代入橢圓方程可得+ 2= 1，聯立，解得 a2= ：, b2=*, 哈5y2= 1.942sy =14a=2，2解得 c= 1,所以橢圓 C 的方程為 x.b= .3,6k 9k

8、則yi+y2=3+k2，yiy2=a+l?，又 AF1= 2F1B，所以勺=一 2y2,所以 y1y2= 2(yt+ y2)2，則 3+=8,解得 k = 扌，又 k0,所以 1=-.2 210. (2018 成都模擬) )已知橢圓 C:x2+ = 1(a b0)的右焦點為 F( 3, 0),長半軸與a b短半軸的比值為 2.(1) 求橢圓 C 的方程；設經過點 A(1,0)的直線 l 與橢圓 C 相交于不同的兩點 M , N .若點 B(0,1)在以線段 MN 為直徑的圓上，求直線l 的方程.解：( (1)由題可知 c= 3, b= 2, a2= b2+ c2,a= 2, b= 1.2橢圓

9、C 的方程為 7 + y2= 1.4(2) 易知當直線 I 的斜率為 0 或直線 l 的斜率不存在時，不合題意.當直線 I 的斜率存在 且不為 0時，設直線 l 的方程為X=my+ 1, M(X1, y,), N(X2,y2).X=my+ 1,聯立X22消去X可得(4 + m2)y2+ 2my 3 = 0.+y2=1、4+y，2 a 2m 3A=16m+480,y1+y2=2,y1y2=.(2)由題意得直線 l的方程為 y= k(x + 1)(k 0),聯立$y= k( (x+ 1122X+ y = 1, 、43整理得醫+ 4y26 *y-9= 0,144A=144 *+1440，設A( (X

10、I,yi),B( (X2,y2) ),2 3 2m(m+ 芥看 +(m1)瑋2+2=0,整理，得 3m2 2m 5 = 0,解得 m= 1 或 m=5.3直線 I 的方程為 x+ y 1 = 0 或 3x 5y 3= 0.二、專項培優練（一 ）易錯專練一一不丟怨枉分2 21.已知點 P 是橢圓 x + y = 1（XM0,屮0）上的動點，F1, F2分別是橢圓的左、 右焦點,16 8-O 是坐標原點，若 M 是/ F1PF2的平分線上一點，且 F1MA. 0,3）C. 2 2, 3）D . （0,4解析：選 B 如圖，延長 F1M 交 PF2的延長線于點- - - -TF1M MP = 0,二

11、 F1M 丄 MP .又 MP 為/ F1PF2的平分線,-|PFi|= |PG|,且 M 為 FiG 的中點.1/ O 為 F1F2的中點， OM 綊？F2G.|F2G|=|PF2|PG|=|PFi|PF2|,-1= f|2a 2|PF2|= |4 |PF2|. 42 一 2V|PF2|V4 或 4V|PF2|V4+2 2,4(6富-MP= 0，則 IO1M|的取值范圍是B (0,2 2)G.- |OM |(0,2 2).2.已知橢圓2X :M :2+ ya72= 1,圓 C: x2+ y2= 6 a2在第一象限有公共點P，設圓 C 在點P 處的切線斜率為ki,橢圓M在點P處的切線斜率為爍則

12、巴的取值范圍為（）A. (1,6)B.(1,5)C. (3,6)D. (3,5)解析：選 D由于橢2M :x2+ y2= 1,圓 C： x2+ y2= 6 a2在第一象限有公共點P,a所以普 6a2,16 a 1,2解得 3Va2v5.設橢圓 M :X2+ y2= 1 與圓 C: x2+ y2= 6 a2在第一象限a的公共點 P（x（）, y），則橢圓 M 在點 P 處的切線方程為xx+ yoy= 1，圓 C 在 P 處的切線方 a程為xx+y0y= 6-a2,所以 k“一箒&一希，皆乳所以k (3,5).3.如圖，橢圓的中心在坐標原點 0,頂點分別是 Ai, A2, Bi, B2,焦

13、點分別為 Fi, F2,延長 B1F2與 A2B2交于 P 點，若/ B1PA2為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍為 _2 2 _解析：設橢圓的方程為予+滬i(a b0),/BiPA2為鈍角可轉化為 BX,匚 IB1所夾(二)難點專練一一適情自主選2 24. (2018 天津高考) )設橢圓學+器=1(a b0)的右頂點為 A，上頂點為 B,已知橢圓的 離心率為虧5|AB| = 13.(1) 求橢圓的方程；(2) 設直線 I： y= kx(k x1 0,點 Q 的坐標為( (一 x1， y1).因為 BPM 的面積是厶 BPQ 面積的 2 倍，所以 |PM|= 2|PQ,所以 X2 X1= 2

14、X1( X1)，即 X2= 5X1.易知直線 AB 的方程為 2x+ 3y= 6,由方程組2x + 3y= 6,y= kx,消去 y,可得6X2= 3k+ 2.由方程組消去 y,可得y= kx,_ 6.9k2+ 4.的角為鈍角，貝 y (a,b) ( c,- b)v0,即卩 b2vac,則22 _a c 0 ae2+ e1 0,或 e,5 12又 0 e 1，所以 e 1.由 X2= 5X1，可得 9k2+ 4= 5(3k+ 2),兩邊平方，整理得 18k2+ 25k + 8 = 0,解得 k = 或 k = *.當 k = 8 時，X2= 9v0,不合題意，舍去；9112當 k = 了了時，

15、X2= 12, X1=百，符合題意.25所以 k 的值為一 2.2 25. (2018 成都一診) )已知橢圓* +丁丁= 1 的右焦點為 F，設直線E，過點 F 且斜率為 k 的直線 11與橢圓交于 A, B 兩點，M 為線段廠*iV(1)若直線 11的傾斜角為：求|AB|的值；設直線 AM 交直線 1 于點 N，證明：直線 BN 丄 1.解：由題意知，F(1,0), E(5,0), M(3,0).n(1) 直線 l1的傾斜角為；，二斜率 k= 1.4直線 h 的方程為 y= x 1.代入橢圓方程，可得9X2 10 x 15= 0.B(X2, y2),貝 U X1+ X2=乎，X1X2= 3.- |AB |= 72 (X1+ X2$ 4X1X2證明：設直線 l1的方程為 y= k(x 1).代入橢圓方程，得(4 + 5k2)x2 10k2x + 5k2 20 = 0.設 A(X1, y1), B(X2, y2),設 N(5, yc),vA, M , N 三點共線,y1_ yo_ 2y1-3 X1= 2，y0= X1 3.l: x= 5 與 x 軸的交點為EF 的中點.設 A(X1, y1),10k2則X