1、1第四節數列求和第四節數列求和考綱傳真1.掌握等差、等比數列的前 n 項和公式 2 掌握特殊的非等差、 等比數列的幾種常見的求和方法.1.公式法(1) 等差數列的前 n 項和公式：- n(ai + annfn 1 Sn=2= na1土 =d;等比數列的前 n 項和公式:2. 分組轉化法把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數列，再求解.3. 裂項相消法把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消， 從而求 得其和.4. 錯位相減法如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成 的，這個數列的前 n 項和可用錯位相減法求解.5. 倒序相加法如果一個

2、數列an的前 n 項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于 同一個常數，那么求這個數列的前 n 項和即可用倒序相加法求解.6. 并項求和法一個數列的前 n 項和中， 可兩兩結合求解， 則稱之為并項求和.形如 an=( 1)nf(n)課刖知識全通關夯實態鈾*拒除盲蠱n.叫(i)1 -q,qHl.a a q1 Ji衛2類型，可采用兩項合并求解.3例如，Sn= 1002-992+ 982 97+ 2- 12=(100+ 99)+ (98 + 97) + + (2+ 1) = 5 050.常用結論1. 一些常見的數列前 n 項和公式：n(n+ 1)(1) 1 + 2+ 3+4+- + n =2 一

3、:2(2) 1 + 3+ 5+ 7+- + 2n 1 = n ;2(3) 2 + 4+ 6+ 8+- + 2n=n + n.2.常用的裂項公式1 1、n+ky；1_ 1 丄(2n 1(2 n+ 1)_2I_ 一n+1n；n+ n+1(1)loga1 +n_ loga(n+ 1) logan.基礎自測1.(思考辨析)判斷下列結論的正誤.(正確的打“V”，錯誤的打“X”)(1)如果數列an為等比數列，且公比不等于 1,則其前 n 項和 Sn_y|q()1 11 1當n2時，廠_ 2n 1n+ 1 .()求 Sn_ a+ 2a2+ 3a3+ nan之和時只要把上式等號兩邊同時乘以 a 即可 根據錯位

4、相減法求得.()2(4)推導等差數列求和公式的方法叫做倒序求和法，禾 U 用此法可求得si n 12 2 2 2+ sin 20+ sin 3+-+ sin 88 + sin 89_44.5.()I _ 1 n n+ kk1、2n+ 1 /4n214答案(1)2V X V5C-6B van=丄丄,n(n+1)nn+1二 S5= a1+ a2+ + a5= 1 2 + 2 3+ 3.若 Sn= 1-2 + 3-4+ 5-6+-+ (- 1)n-125 S50=(1-2)+(3-4)+ +(49-50)=25.1111 14.數列 巧巧“孑厶直孑厶直“召召，（2n-1） +尹，尹，的前 n 項和

5、Sn的值等于n2+1-21nSn=1+3+5+- +(2n1)+2+4+g+22.（教材改編）數列an的前 n 項和為Sn,1an=，則 & 等于（）B.5D.30n,則 S5o=123n4-設 S= 3X2+ 4X步+ 5X *+(n + 2)X步，則 3X步 +4X寺+ 5X壬+十(n + 2)xfj.11i111n+2兩式相減得 3x+ 22+歹-n+ j口口 11S= 3+ 2+尹+夕夕門1L2n+21-1n-112=3+_ 1-1I 2n+2n2+1-竊竊.6n + 4二 4于sail分組轉化求和【例 1】（2019 黃山模擬）已知數列an的前 n 項和 Sh= 尹，n N*

6、.(1)求數列an的通項公式；設 bn= 2an+ (- 1)nan，求數列bn的前 2n 項和.2n + n 解當 n = 1 時，ai= Si= 1 ;當 n2 時，an= S Sn-1=,2 n 1 + n1B=(1+2)+(3+4)+(2n1)+2n=n.故數列bn的前 2n 項和 T2n= A+ B = 22n+1+ n 2.拓展探究在本例中，如何求數列bn的前 n 項和 Tn.解由本例(1)知 bn= 2n+ ( 1)nn.當 n 為偶數時，22n+1n12n厶 厶口門丨1Tn=(2II+22+ +2n)+1+23+4(n1)+n= + =2n+1122II 2 221 22)2記

7、 A= 2* 1+ 22+ 2 , B= 1 + 2 3+ 4+ 2n,貝 U A= 21 2課堂題型全突破方法簡潔n.7+ 2；丁 2 J當 n 為奇數時，Tn= (21+ 22+ + 2n) + 1+2 3+ 4(n 2)+ (n 1)n2.：2n+1+ 2 2, n 為偶數,所以 Tn=_2n+1號號5，n 為奇數.規律方法分組轉化法求和的常見類型，1 若 an= bn亞亞n,且bn , Cn為等 差或等比數列，可采用分組求和法求an的前 n 項和；，2 通項公式為(b(b為為奇數奇數/ -的數列，其中數列bn，Cn是等比數列或等差(C(C/ /為偶數為偶數n n7 7數列，可采用分組轉

8、化法求和等差數列an的前 n 項和為 Sn,數列bn是等比數列，滿足 a1= 3,b1= 1, b2+10, a5 2b2= a3.(1) 求數列an和bn的通項公式；n 為奇數(2) 令 Cn=設數列Cn的前 n 項和為 Tn,求2n.bn, n 為偶數，解(1)設數列an的公差為 d,數列bn的公比為 q,b2+ S2= 10,a5 2b2= a3,=2n+1n2 + n8q+ 6+ d= 10,d = 2.得解得 j3+ 4d 2q = 3+ 2d,q = 2,9n 1an= 3+ 2(n 1) = 2n+ 1, bn= 2.由 a1= 3, an= 2n+ 1,n(a+ an 得 Sn

9、=2= n(n + 2),c2-,n 為奇數,則 Cn=門門門門+2,2n1, n 為偶數，1 1n-, n 為奇數,nn+ 2即 Cn=.2n-1, n 為偶數，T2n=(C1+C3+ +C2n1)+(C2+C4+ +C2n)=I-3j+G-5+(2n1詬j+(2+23+ +22n1)=1亠+g2n+ 11 4錯位相減法求1題型題型2|和【例 2】(2017 天津高考)已知an為等差數列，前 n 項和為 Sn(n N*), bn是首項為 2 的等比數列，且公比大于 0, b2+ b3= 12, b3= a4 2a1, Sn= 11b4.求an和bn的通項公式；求數列a2nb2n-1的前 n

10、項和(n N*).解(1)設等差數列an的公差為 d,等比數列bn的公比為 q.由已知 b2+ b3= 12,得 bi(q+ q2)= 12,2n2n+ 1102而 b1= 2,所以 q + q 6 = 0.11又因為 q0，解得 q= 2，所以 bn= 2n. 由 b3= a4 2ai，可得 3d ai 8. 由S1i 11b4，可得 ai+ 5d16.聯立，解得 a1 1， d 3，由此可得 an 3n 2.所以數列an的通項公式為 an 3n2,數列bn的通項公式為 bn 2n.(2)設數列a2nb2n-1的前 n 項和為 Tn，由 a2n 6n 2，b2n1 2x4nIII IV，得

11、a2nb2n1 (3n 1)x4n，故Tn2X4+5X42+8X43+(3n1)x4n，4Tn2X42+5X43+8X4+(3n4)x4n+(3n1)x4n+1，一，得3Tn2X4+3X42+3X43+3X4n(3n1)x4n+1(3n1)x4n+1(3n2)x4n+18,得 Tn嚀X4n+1+|.3n 2.8所以數列a2nb2n1的前 n 項和為一X4n+規律方法錯位相減法求和時的 3 個注意點1 要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形2 在寫出“sn”與“qsn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“ snqSn”的表達式，同時應注意差式中成等比數列的項數3

12、 在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于12X1441412和不等于 1 兩種情況求解.(2019 阜陽模擬)設等差數列an的公差為 d,前 n 項和為 Sn,等 比數列bn的公比為 q，已知 bi= ai, b2= 2, q = d, Sio= 100.求數列an , bn的通項公式；(2)當 d 1 時，記 cn= ,求數列cn的前 n 項和 Tn.解由題意得10a1+ 45d= 100,2a1+ 9d= 20,i即 fa1d= 2,a1d = 2,n 1由 d 1,知 an= 2n 1, bn= 2-,Tn= 1+ 3+ 學+ 23+ 21,1135792n1金Tn

13、= 2 + 2+ 23+ 24+ 25+ +2門.可得2n 12n + 32門32門2n+ 3故 Tn 6 2，廣a1= 1,解得d = 2a= 9,或2d= 9.1an= 92n+79, 或或 I1I 5 二9.2n 1故 Cn= n 1，于是2S3|k13裂項相消法求14和1?考法 1 形如 an= 一型n(n+ k)【例 3】(2019 濟南模擬)已知數列 an 的各項都為正數， 其前 n 項和為 Sn, 且滿足 4Sn= an+ 2an 3 對任意的正整數 n 都成立.(1) 證明數列an是等差數列，并求其通項公式；1(2) 設 bn= sn，求數列bn的前 n 項和 Tn.解(1)當

14、 n= 1 時，4Si = a2+ 2a1 3, 即 a1 2a1 3= 0,解得 a1= 3 或 a1= 1(舍去)，由 4Sn= an+ 2an 3，得當 n2 時，4Sn-1= an-1+ 2an1 3，兩式相減，2 2彳得 4an= an an1+ 2an 2an1，即(an+ an1)(an an12) = 0，又 an0，an an1 2 = 0，即卩 an an1= 2(n2)，二數列an是以 3 為首項，2 為公差的等差數列，-an= 3+ 2(n 1) = 2n+ 1._ 1 _1_1 勺bn=n(n + 2=刼 n+ 2 丿，1 11111 1-Tn= b1+ b2+ 匕+

15、 bn1+ bn= 1/ +Q怎+11+2-2、2n+1 n + 2/ 4由 an= 2n+ 1，得 Sn= 3 +2n+ 12n= n(n+ 2)，2n + 32n+ 1 n + 215【例 4】1*已知函數 f(x) =x的圖象過點(4,2)，令an= fn+ 1 + fn，代N.記數列an的前 n 項和為 Sn,則 S2 019=2 505 1由 f(4) = 2,可得 4a= 2，1 1解得a=，則 f(X)=運二an= fn+ 1 + fn = n+1 汕=一 口S2 019= ai+ a2+ a3+ a2 019=(2 1) + 0 3 2) + ( 4 3) + ( 2019-

16、2018) + (_2_0202 019)= 2 020- 1= 2 505 1.規律方法利用裂項相消法求和的注意事項1 抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項；或者前面剩幾項，后面也剩幾項；2 將通項裂項后，有時需要調整前面的系數，使裂開的兩項之差和系數之積與原通項相等如：若an是公差 dM0 的等差數列，則(2019 山西八校聯考)在等差數列an中，a2= 4, a1+ a4+ a7= 30,其前 n 項和為 Sn.(1) 求數列an的通項公式；(2) 求數列的前 n 項和 Tn.解(1)設等差數列an的公差為 d.a1+ d = 4，法一：由已知可得a1+

17、 a1+ 3d + a1+ 6d = 30，a1+ d = 4，a1= 1，即解得3a1+ 9d= 30，d= 3,16所以 an= ai+ (n 1)d 1 + (n 1)x3 3n 2.法二：由等差數列的性質可得 a1+ a4+ a7 3a4 30,解得 a4 10,a4 a2所以 d 4 2所以 an a2+ (n 2)d 4+ (n 2)x3 3n 2.z H E?2).2n 1103,(2)由(1)知 Sn3n2n所以 Sn+ 2n 3n2n+2n23n + 3n 3n n + 1_22所以1Si + 2n2冒冒丄丄3n(n+1)3n n+12( n 2 1 n 2J所以Tn3x11

18、+3x2-1 + +22n3 n+ 1 真題自主驗效果近年哮題+感悟規律掃馬-#彙澤17又由題設可得 a1 2,滿足上式，所以an的通項公式為 an 2n 118由(1)知= 一,2n+ 1(2n+ 1 2n- 1)2n 1 2n+ 1則1-3+3-5+13 3 52n-1 2n+ 1 2n+12. (2014 全國卷I)已知an是遞增的等差數列，a2, a4是方程 x2 5x+ 6 = 0 的根.(1) 求an的通項公式；(2) 求數列 羅的前 n 項和.2解(1)方程 x 5x+ 6= 0 的兩根為 2,3,由題意得 a2= 2, a4= 3.、 1設數列an的公差為 d,則 a4 a2= 2d,故 d= 2, 從而 a1= 3.1所以an的通項公式為 a