1、大學物理第二章 質點動力學第二章第二章 質點動力學質點動力學2-1 2-1 牛頓運動定律牛頓運動定律一、牛頓第一定律（慣性定律）一、牛頓第一定律（慣性定律） 任何物體都具有保持靜止或勻速直線運動狀態，直到外任何物體都具有保持靜止或勻速直線運動狀態，直到外力迫使其改變這種運動狀態為止。力迫使其改變這種運動狀態為止。說明：說明：（1 1）給出了慣性的定義。）給出了慣性的定義。（2 2）運動狀態概念。）運動狀態概念。（3 3）指出了力不是維持運動的原因，改變運動狀態才需要）指出了力不是維持運動的原因，改變運動狀態才需要力的作用。力的作用。（4 4）僅適用于慣性系。）僅適用于慣性系。第二章第二章 質點

2、動力學質點動力學二、牛頓第二定律二、牛頓第二定律 物體受到外力作用時將產生加速度，加速度的大小與合物體受到外力作用時將產生加速度，加速度的大小與合外力的大小成正比，與物體的質量成反比，加速度的方向與外力的大小成正比，與物體的質量成反比，加速度的方向與合外力的方向相同。即：合外力的方向相同。即：說明：說明：（1 1）給出了力和質量（慣性的大小）的定量定義。）給出了力和質量（慣性的大小）的定量定義。Fma （2 2）式中）式中 為合外力，而為合外力，而 為合外力作用的效果。為合外力作用的效果。Fma分量式為：分量式為：xxFma yyFma zzFma 第二章第二章 質點動力學質點動力學（3 3）

3、牛頓第二定律表明力的）牛頓第二定律表明力的瞬時作用瞬時作用規律。規律。（4 4）適用條件：質量（）適用條件：質量（m）不變、慣性系。）不變、慣性系。瞬時作用規律瞬時作用規律體現在兩個層面：體現在兩個層面：求某時刻的加速度，只要求該時刻的合外力即可。求某時刻的加速度，只要求該時刻的合外力即可。加速度不具有繼承性。加速度不具有繼承性。第二章第二章 質點動力學質點動力學三、牛頓第三定律三、牛頓第三定律 物體之間的作用力與反作用力大物體之間的作用力與反作用力大小相等、方向相反，作用在同一條直小相等、方向相反，作用在同一條直線上。即：線上。即：說明：說明：（1 1）作用力與反作用力：）作用力與反作用力：

4、等量等量、反向反向、共線共線。（4 4）牛頓第三定律與參照系選取無關。）牛頓第三定律與參照系選取無關。ABBAFF ABABFBAF（2 2）作用力與反作用力屬）作用力與反作用力屬同種性質同種性質的力。的力。（3 3）作用力與反作用力總是）作用力與反作用力總是同時同時出現、同時消失。出現、同時消失。第二章第二章 質點動力學質點動力學四、四、 力學中常見的幾種力力學中常見的幾種力1、萬有引力、萬有引力221rmmGF 引力常數引力常數2211kgmN1067.6Gm1 m2r 重力重力,mgP 2rGmgE2sm80.9-2RGmgE地表附近地表附近第二章第二章 質點動力學質點動力學2 2、彈性

5、力、彈性力 常見彈性力有：正壓力、張力、彈簧彈性力等。常見彈性力有：正壓力、張力、彈簧彈性力等。kxF彈簧彈性力彈簧彈性力胡克定律胡克定律由物體形變而產生的。由物體形變而產生的。第二章第二章 質點動力學質點動力學3 3、摩擦力、摩擦力sk一般情況一般情況 kkF N滑動摩擦力滑動摩擦力smaxsFN最大靜最大靜摩擦力摩擦力靜摩擦力靜摩擦力 0ssmaxFF第二章第二章 質點動力學質點動力學四、四、 牛頓運動定律的應用牛頓運動定律的應用1、運用牛頓定律解題的步驟、運用牛頓定律解題的步驟兩類問題：兩類問題：已知質點受力，求其運動狀態。已知質點受力，求其運動狀態。已知質點運動狀態，求其受力。已知質點

6、運動狀態，求其受力。解題步驟：解題步驟：（1 1）選對象）選對象（2 2）分析力）分析力（3 3）建坐標）建坐標（4 4）列方程）列方程（5 5）解結果）解結果第二章第二章 質點動力學質點動力學 例例 一傾角為一傾角為的斜面頂端置一質量為的斜面頂端置一質量為M M的楔形物體（上表的楔形物體（上表面與水平面平行），在楔形物體上表面置一質量為面與水平面平行），在楔形物體上表面置一質量為m m的物塊。的物塊。現將楔形物體釋放，求物塊現將楔形物體釋放，求物塊m m和楔形物體和楔形物體M M的加速度（假設所的加速度（假設所有接觸面都是光滑的）。有接觸面都是光滑的）。 Mm mgNMgN R第二章第二章

7、質點動力學質點動力學Mm 2、應用舉例、應用舉例 例例2-12-1 一傾角為一傾角為的斜面頂端置一質量為的斜面頂端置一質量為M M的楔形物體（上的楔形物體（上表面與水平面平行），在楔形物體上表面置一質量為表面與水平面平行），在楔形物體上表面置一質量為m m的物塊。的物塊。現將楔形物體釋放，求物塊現將楔形物體釋放，求物塊m m和楔形物體和楔形物體M M的加速度（假設所的加速度（假設所有接觸面都是光滑的）。有接觸面都是光滑的）。 解：解：分別對分別對M M和和m m進行受力分析，如圖。進行受力分析，如圖。選取地面作為參照系，建立坐標系如圖選取地面作為參照系，建立坐標系如圖所示。所示。mgNmgN

8、RyxO第二章第二章 質點動力學質點動力學對對m：mmgNma cosMyMgNRMa 對對M：sinMxRMa （1 1）（2 2）（3 3）Mm mgNMgN RyxOmMyaa （4 4）tanMyMxaa （5 5）解得：解得：22()sinsinmMmagMm 22()sinsinMymMmaagMm 2()sincossinMxMmagMm 第二章第二章 質點動力學質點動力學 例例2-22-2質量為質量為M，傾角為，傾角為的直角劈放在水平地面上，直角的直角劈放在水平地面上，直角劈的頂部靜置一質量為劈的頂部靜置一質量為m的木塊。現將木塊釋放，的木塊。現將木塊釋放，假設所有假設所有接觸

9、面都是光滑的。接觸面都是光滑的。求：求：（2）求當求當m滑至斜面底部時，滑至斜面底部時，M的位移的位移XM M （1 1） 木塊沿直角劈斜面下滑時相對于直角劈的加速度。木塊沿直角劈斜面下滑時相對于直角劈的加速度。 Mm 第二章第二章 質點動力學質點動力學Mm mgNRMgyxON 解：（解：（1 1）分別對直角劈和木塊進行受力分析，如圖。分別對直角劈和木塊進行受力分析，如圖。選取地面作為參照系，建立坐標選取地面作為參照系，建立坐標系如圖所示。系如圖所示。對對m：sinmxNma cosmymgNma 對對M：sinMNMa （1 1）（2 2）（3 3）第二章第二章 質點動力學質點動力學Mm

10、mgNRMgyxON 對對m：sinmxNma cosmymgNma 對對M：sinMNMa （1 1）（2 2）（3 3）m相對相對M的加速度的加速度 沿斜面向下，即：沿斜面向下，即：mMatanmMymymMxmxMaaaaa （4 4）解得：解得：2sincossinmxMagMm 22()sinsinmyMmagMm 2sincossinMmagMm 第二章第二章 質點動力學質點動力學2()sincossinmMxmxMMmaaagMm 22()sinsinmMymyMmaagMm 2()sinsinmMmyMmaagMm m相對于相對于M木塊的加速度大小：木塊的加速度大小： m相對于

11、相對于M木塊的加速度方向沿斜面向下，如圖。木塊的加速度方向沿斜面向下，如圖。 Mm mMa第二章第二章 質點動力學質點動力學(2)求當求當m滑至斜面底部時，滑至斜面底部時，M的位移的位移XM M h設設m由斜面頂端滑至斜面由斜面頂端滑至斜面底部，經歷時間為底部，經歷時間為。則。則222211 ()sin22sinmyMmhagMm 22211sincos22sinMMmXagMm cotMmXhMm 第二章第二章 質點動力學質點動力學2-3 2-3 動量、動量守恒定律動量、動量守恒定律一、質點動量定理一、質點動量定理1、動量和沖量、動量和沖量沖量沖量Pm v21ttIFdt 21txxtIF

12、dt 21tyytIF dt 21tzztIF dt 分量式分量式動量動量第二章第二章 質點動力學質點動力學221121tptpIFdtdppp作用于物體上的合外力的沖量等于物體動量的增量作用于物體上的合外力的沖量等于物體動量的增量 質點的動量定理質點的動量定理2 2、質點動量定理、質點動量定理2121txxxtF dtmvmv 2121tyyytF dtmvmv 2121tzzztF dtmvmv 分量表示式分量表示式第二章第二章 質點動力學質點動力學2121ttFdtPFttt （1）應用于求沖擊或碰撞問題中的作用力：）應用于求沖擊或碰撞問題中的作用力：應用：應用：（2）一維直線運動中的應

13、用：）一維直線運動中的應用：物體作直線運動，已知質量和初速度及合外力與時間的函數物體作直線運動，已知質量和初速度及合外力與時間的函數關系關系F=F（t），求質點某時刻的速度；），求質點某時刻的速度；232Ftt如如 (SI)，m=1kg，v0=0。求：。求： 0-2s0-2s內合力內合力F F的沖量的沖量及及t=2st=2s時的速度。時的速度。第二章第二章 質點動力學質點動力學物體作直線運動，已知質量和初速度及合外力物體作直線運動，已知質量和初速度及合外力F與時間與時間t的關的關系曲線，求質點某時刻的速度；系曲線，求質點某時刻的速度；如如 質點作直線運動，已知其質量質點作直線運動，已知其質量m

14、=1kg、t=1s時速度時速度v1=0，若給出若給出F-t關系曲線如力所示，求：關系曲線如力所示，求： 0-4s0-4s內合力內合力F F的沖量及的沖量及t=4st=4s時的速度。時的速度。Ft1234O44 第二章第二章 質點動力學質點動力學2121tiitiiIFdtpp 某段時間內質點系動量的增量，等于作用在質點系合外力在該某段時間內質點系動量的增量，等于作用在質點系合外力在該段時間內的沖量的矢量和。段時間內的沖量的矢量和。 質點系的動量定理質點系的動量定理二、質點系的動量定理二、質點系的動量定理m1m212f21f1F2F第二章第二章 質點動力學質點動力學P 恒恒矢矢量量 一個孤立的力

15、學系統（系統不受外力作用）或合一個孤立的力學系統（系統不受外力作用）或合外力為零的系統，系統內各質點間動量可以交換，但外力為零的系統，系統內各質點間動量可以交換，但系統的總動量保持不變。即：系統的總動量保持不變。即：動量守恒定律動量守恒定律。三、三、 動量守恒定律動量守恒定律iF 外外= =0 0 若若 ,則有則有第二章第二章 質點動力學質點動力學（1 1）判據：）判據：說明：說明：（2 2）系統總動量守恒。）系統總動量守恒。（3 3）動量守恒是矢量式，其分量式為）動量守恒是矢量式，其分量式為1xxPmvC 2yyPmvC 3zzPmvC xF 0 0yF 0 0zF 0 0第二章第二章 質點

16、動力學質點動力學四、四、 質心運動定理質心運動定理1、質心、質心Ci iCm rrM iiCm xxM iiCm yyM iiCm zzM 第二章第二章 質點動力學質點動力學1CxxdmM 1CyydmM 1CzzdmM 1CrrdmM 對質量連續分布物體：對質量連續分布物體：第二章第二章 質點動力學質點動力學2、質心運動定理、質心運動定理iCFMa xCxFMa yCyFMa zCzFMa 作用在質點系上的合外力等于質點系的總質量作用在質點系上的合外力等于質點系的總質量與其質心加速度的乘積。與其質心加速度的乘積。 質心運動定理質心運動定理第二章第二章 質點動力學質點動力學2-4 2-4 功和

17、能功和能一、功和功率一、功和功率1、功、功 力的空間積累效應力的空間積累效應rdFdWLLcos dsFrdFWabdrF 第二章第二章 質點動力學質點動力學( 1)( 1)dBAB LA LWFr說明：說明：（1）功是功是過程量過程量。ABAB1L2L(2)(2)dBAB LA LWFr（2）功的定義式的功的定義式的變形變形dcos dBBAAWFrFsdBtAF sdBFAF s第二章第二章 質點動力學質點動力學（3）一維變力的功一維變力的功F=F(x)關系（解析式）給出，力關系（解析式）給出，力F做的功：做的功：21xxWFdxF=F(x)關系曲線給出，力關系曲線給出，力F做的功：做的功

18、：21xxWFdxFx1234O44 SS上上下下第二章第二章 質點動力學質點動力學2、功率、功率 力在單位時間內所做的功力在單位時間內所做的功功率等于力與物體速度的標積。單位：瓦特（功率等于力與物體速度的標積。單位：瓦特（W）平均功率：平均功率：瞬時功率：瞬時功率：tWP tWtWPlimtdd 0P = F v第二章第二章 質點動力學質點動力學二、質點的動能定理二、質點的動能定理質點所受合力的功又如何呢？質點所受合力的功又如何呢？dbaWFr合btaFdsbadmdsdtvtdFmdtvbam dvvv v221122bammvvm不變不變第二章第二章 質點動力學質點動力學221122ba

19、kWmmE 合vv質點所受質點所受合力合力做的功等于其動能的增量。做的功等于其動能的增量。 質點動能定理質點動能定理212kEmv質點的動能質點的動能第二章第二章 質點動力學質點動力學說明：說明：（1）功和能的區別和聯系。功和能的區別和聯系。功功是是過程量過程量，而，而能量能量是是狀態量狀態量。功和能量單位相同。功和能量單位相同。功是能量變化或轉換的量度。功是能量變化或轉換的量度。（3）動能定理給出了求質點所受動能定理給出了求質點所受合力的功合力的功非積分方法非積分方法。（2）質點動能定理成立的條件：質點動能定理成立的條件：慣性系慣性系質量不變質量不變第二章第二章 質點動力學質點動力學（1）應

20、用于求質點所受合外力的功應用于求質點所受合外力的功應用：應用：221122BAkWmmE 合vvdBAWFr合第二章第二章 質點動力學質點動力學（2）一維直線運動中的應用：一維直線運動中的應用：物體作直線運動，已知質量和初速度及合外力與位置的物體作直線運動，已知質量和初速度及合外力與位置的函數關系函數關系F=F（x），求質點某處的速度；），求質點某處的速度；如：如： (SI)，m=2kg，v0=0。求：。求： 0-20-2m m內合力內合力F F的功及的功及x=2=2m m處的速度。處的速度。232Fxx 022011( )22xxWF x dxmmvv022(32 )12( )Wxx dxJ

21、2201122mmvv3(/ )m sv= 2第二章第二章 質點動力學質點動力學物體作直線運動，已知質量和初速度及合外力物體作直線運動，已知質量和初速度及合外力F與位置與位置x的關的關系曲線，求質點某時刻的速度；系曲線，求質點某時刻的速度；如如 質點作直線運動，已知其質量質點作直線運動，已知其質量m=1kg、x=1m時速度時速度v1=0，若給出若給出F-x關系曲線如圖所示，求：關系曲線如圖所示，求： 0-40-4m m內合力內合力F F所做的功及所做的功及在在x=4=4m m處的速度。處的速度。Fx1234O44 第二章第二章 質點動力學質點動力學Fx1234O44 40( )WF x dxS

22、S下下上上6( )J（1 1）0-40-4m m內合力內合力F F所做的功：所做的功：（2 2）1 1-4-4m m內合力內合力F F所做的功所做的功41 41( )4( )WF x dxJ22411122mmvv42(/ )m sv = 2第二章第二章 質點動力學質點動力學例例質量質量m=2kg的質點作直線運動，受到沿一維力的質點作直線運動，受到沿一維力 (SI)作用，作用，v0=0。求：。求： 0-20-2s s內合力內合力F F的功的功. .232Ftt02220(32 )tt dtmmvv22201122Wmmvv6(/ )m s2v =解：解：由質點的動量定理，有由質點的動量定理，有

23、由質點的動能定理，合力在由質點的動能定理，合力在0-2s0-2s內做的功為：內做的功為：36( )J第二章第二章 質點動力學質點動力學三、勢能三、勢能1、保守力、保守力保守力保守力 某些力對質點做功的大小只某些力對質點做功的大小只與質點的始末位置有關與質點的始末位置有關，而，而與與路徑無關路徑無關。這種力稱為保守力。這種力稱為保守力。典型的保守力：典型的保守力： 重力、萬有引力、彈簧的彈力重力、萬有引力、彈簧的彈力與保守力相對應的是與保守力相對應的是耗散力耗散力典型的耗散力：典型的耗散力： 摩擦力摩擦力0rdF保守第二章第二章 質點動力學質點動力學重力的功重力的功m 在重力作用下由在重力作用下

24、由 a 運動到運動到 b ，取地面為坐標原點取地面為坐標原點。可見，可見，重力是保守力重力是保守力。xyzoab gmrdbazzmgdz ()()bamg kdxidyjdzk abmgzmgz 初態量初態量末態量末態量baGrdgmW第二章第二章 質點動力學質點動力學彈力的功彈力的功可見，可見，彈性力是保守力彈性力是保守力。 初態量初態量末態量末態量Fkx 彈簧振子彈簧振子xoba222121bakxkxbaxxdxkxW)(彈彈第二章第二章 質點動力學質點動力學引力的功引力的功 兩個質點之間在引力作用下相對運動時兩個質點之間在引力作用下相對運動時 ，以，以 M 所在處為原所在處為原點，點

25、，M 指向指向 m 的方向為矢徑的正方向。的方向為矢徑的正方向。m 受的引力方向與矢徑受的引力方向與矢徑方向相反。方向相反。可見可見萬有引力是保守力萬有引力是保守力。MabarbrrFmdr dr2()()()babarrabWFdrMmGdrrMmMmGGrr引引力力引引力力02MmFGrr 第二章第二章 質點動力學質點動力學2、勢能、勢能在保守力的作用下，質點從在保守力的作用下，質點從 a b ，所，所做的功與路徑無關做的功與路徑無關，而，而只與這兩點的位置有關。可引入一個只只與這兩點的位置有關。可引入一個只與位置有關的函數與位置有關的函數， a 點的函數值減去點的函數值減去 b 點的函數

26、值，定義為從點的函數值，定義為從 a b 保守力所做的保守力所做的功，功，該函數就是勢能函數，簡稱勢能該函數就是勢能函數，簡稱勢能，用，用Ep表示。表示。回顧保守力的功回顧保守力的功()()abMmMmWGGrr引引力力221122abWkxkx彈彈GabWmgzmgzabpapbWEE第二章第二章 質點動力學質點動力學保守力保守力做正功做正功，勢能，勢能減少減少；保守力；保守力做負功做負功，勢能，勢能增加增加。KbKaKWEEE 外外外力外力做正功做正功，動能，動能增加增加；外力；外力做負功做負功，動能，動能減少減少。比較比較選參考點（勢能零點），設選參考點（勢能零點），設 則則0pbE a

27、bpaAE bpapbpaWFdrEEE 保保保保bpaaEFdr保保(Epb=0)papbpWEEE 保第二章第二章 質點動力學質點動力學重力勢能重力勢能（以地面為零勢能點）（以地面為零勢能點）mgyymgmgdyEyP )0(0引力勢能引力勢能（以無窮遠為零勢能點）（以無窮遠為零勢能點）彈性勢能彈性勢能（以彈簧原長為零勢能點）（以彈簧原長為零勢能點）02211(0)22pxEkx dxkxkx 質點在某一點的質點在某一點的勢能勢能等于在相應的保守力的作用下，由等于在相應的保守力的作用下，由所在點移動到零勢能點時保守力所做的功。所在點移動到零勢能點時保守力所做的功。=prabMmMmEGdr

28、Grr第二章第二章 質點動力學質點動力學注意：注意：1、計算勢能必須規定零勢能參考點。、計算勢能必須規定零勢能參考點。勢能是相對量勢能是相對量，與零勢，與零勢能點的選取有關。而勢能的增量是絕對量，與能點的選取有關。而勢能的增量是絕對量，與零勢能點的選取零勢能點的選取無關。無關。2、勢能函數的形式與保守力的性質密切相關，對應于一種保、勢能函數的形式與保守力的性質密切相關，對應于一種保守力就可以引進一種相關的勢能函數。守力就可以引進一種相關的勢能函數。3、勢能是屬于以保守力形式相互作用的物體系統所共有的。、勢能是屬于以保守力形式相互作用的物體系統所共有的。4、一對保守力的功一對保守力的功等于相關勢

29、能增量的負值。因此，保守力等于相關勢能增量的負值。因此，保守力做正功時，系統勢能減少；保守力做負功時，系統勢能增加。做正功時，系統勢能減少；保守力做負功時，系統勢能增加。第二章第二章 質點動力學質點動力學 所有外力對質點系做的功與內力做功之和，等于質點系動所有外力對質點系做的功與內力做功之和，等于質點系動能的增量。能的增量。 質點系的動能定理質點系的動能定理1 1、質點系的動能定理、質點系的動能定理五、五、 質點系的動能定理、功能原理質點系的動能定理、功能原理kEWW內內外外第二章第二章 質點動力學質點動力學WWW 內內保保非非保保外力的功與非保守內力做功之和，等于質點系機械能的增量。外力的功

30、與非保守內力做功之和，等于質點系機械能的增量。 質點系的功能原理質點系的功能原理2 2、質點系的功能原理、質點系的功能原理0WWEE 外外非非保保內內WEEE p pp p0 0p p保保第二章第二章 質點動力學質點動力學六、機械能守恒定律和能量守恒定律六、機械能守恒定律和能量守恒定律0WW外外非非保保內內若若 ， 則則E=E=常量常量判據：外力和非保守內力做功之和恒等于零。判據：外力和非保守內力做功之和恒等于零。Mm NRN 一對內力做功之和一對內力做功之和1 1、機械能守恒定律、機械能守恒定律第二章第二章 質點動力學質點動力學 例例2-52-5兩塊質量各為兩塊質量各為m1 1和和m2 2的

31、木板，用勁度系的木板，用勁度系數為數為k的輕彈簧連在一起，放置在地面上，如下的輕彈簧連在一起，放置在地面上，如下圖所示。問至少要用多大的力圖所示。問至少要用多大的力F壓縮上面的木板，壓縮上面的木板，才能在該力撤去后因上面的木板升高而將下面才能在該力撤去后因上面的木板升高而將下面的木板提起？的木板提起？ m1m2Fm1m1m2m1m20 x1x2xm1m2F( )A( )B( )C()Dab第二章第二章 質點動力學質點動力學解：解：從（從（C C）（D D），機械能守恒。以），機械能守恒。以ab線為重力勢能、彈性勢能線為重力勢能、彈性勢能零點。零點。20m gkx （1 1）21Fm gkx （2 2）221212221122kxm gxkxm gx （3 3）21kxm