1、18.2 勾股定理的逆定理第2課時 勾股定理的逆定理的應用學習目標學習目標1.靈活應用勾股定理及其逆定理解決實際問題.（重點）2.將實際問題轉化成用勾股定理的逆定理解決的數學問 題.（難點） 問題 前面的學習讓我們對勾股定理及其逆定理的知識有了一定的認識，你能說出它們的內容嗎?回顧與思考 a2+b2=c2(a,b為直角邊，c斜邊）RtABC,C是直角勾股定理勾股定理的逆定理a2+b2=c2(a,b為較短邊，c為最長邊）RtABC，且C是直角.(2)等腰 ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,則BC 邊上的高是 cm.8(1)已知 ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,則此三角形

2、 為 三角形， 是最大角. 直角A快速填一填：思考 前面我們已經學會了用勾股定理解決生活中的很多問題，那么勾股定理的逆定理解決哪些實際問題呢？你能舉舉例嗎？12勾股定理的逆定理的應用一例1 如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上. “遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行,“遠航”號每小時航行16海里,“海天”號每小時航行12海里.它們離開港口一個半小時后分別位于點Q,R處，且相距30海里.如果知道“遠航”號沿東北方向航行,能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？NEP QR問題1 認真審題，弄清已知是什么？要解決的問題是什么？12NEP QR161.5=24121.5=1830“

3、遠航”號的航向、兩艘船的一個半小時后的航程及距離已知，如圖.問題2 由于我們現在所能得到的都是線段長，要求角，由此你聯想到了什么？實質是要求出兩艘船航向所成角.勾股定理逆定理解：根據題意得PQ=161.5=24(海里),PR=121.5=18(海里),QR=30海里.242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,QPR=90. 由“遠航”號沿東北方向航行可知1=45.2=45，即“海天”號沿西北方向航行. NEP QR12 解決實際問題的步驟：構建幾何模型(從整體到局部)；標注有用信息,明確已知和所求；應用數學知識求解.歸納【變式題】 如圖，南北方向PQ以東為我國領海，以西為公海，晚上10

4、時28分，我邊防反偷渡巡邏101號艇在A處發現其正西方向的C處有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知下在PQ上B處巡邏的103號艇注意其動向，經檢測，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若該船只的速度為12.8海里/時，則可疑船只最早何時進入我領海？東北PABCQD 分析：根據勾股定理的逆定可得ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面積公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.解：AC=10，AB=6，BC=8，AC2=AB2+BC2，即ABC是直角三角形.設PQ與AC相交于點D，根據三角形面積公式有 BCAB= ACBD，即68=10BD，解得BD=在RtBC

5、D中，22222486.4().5CDBCBD海里又該船只的速度為12.8海里/時，6.412.8=0.5（小時）=30（分鐘），需要30分鐘進入我領海，即最早晚上10時58分進入我領海.東北PABCQD24.51212例2 一個零件的形狀如圖所示,按規定這個零件中A和DBC都應為直角,工人師傅量得這個零件各邊的尺寸如圖所示,這個零件符合要求嗎?DABC4351312DABC圖圖在BCD中， BCD 是直角三角形，DBC是直角.這個零件符合要求.解：在ABD中， ABD 是直角三角形，A是直角.2222223425 5,ABADBD222222512169 13,BDBCCDDABC43513

6、12圖 1.A、B、C三地的兩兩距離如圖所示，A地在B地的正東方向，C在B地的什么方向？ABC5cm12cm13cm解： BC2+AB2=52+122=169，AC2 =132=169，BC2+AB2=AC2，即ABC是直角三角形，B=90.答：C在B地的正北方向練一練2.如圖，是一農民建房時挖地基的平面圖，按標準應為長方形，他在挖完后測量了一下，發現ABDC8m，ADBC6m，AC9m，請你運用所學知識幫他檢驗一下挖的是否合格？解：ABDC8m，ADBC6m，AB2BC282626436100.又AC29281，AB2BC2AC2，ABC90，該農民挖的不合格例3 如圖，四邊形ABCD中，B

7、90，AB3，BC4，CD12，AD13,求四邊形ABCD的面積.解析：連接AC，把四邊形分成兩個三角形.先用勾股定理求出AC的長度，再利用勾股定理的逆定理判斷ACD是直角三角形.ADBC341312勾股定理及其逆定理的綜合應用二解：連接AC.ADBC341312在RtABC中，在ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，ACD是直角三角形，且ACD=90.S四邊形ABCD=SRtABC+SRtACD=6+30=36.2222345,ACABBC 四邊形問題對角線是常用的輔助線，它把四邊形問題轉化成兩個三角形的問題.在使用勾股定理的逆定理解決問題時，它與勾股定理是“黃金搭擋”，經

8、常配套使用.歸納【變式題1】 如圖，四邊形ABCD中，ABAD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四邊形ABCD 的面積.解：連接BD.在RtABD中,由勾股定理得 BD2=AB2+AD2，BD=5m.又 CD=12cm，BC=13cm, BC2=CD2+BD2，BDC是直角三角形.S四邊形ABCD=SRtBCDSRtABD= BDCD ABAD = (51234)=24 (cm2)121212CBAD【變式題2】 如圖，在四邊形ABCD中，ACDC，ADC的面積為30 cm2，DC12 cm，AB3cm，BC4cm，求ABC的面積. 解: SACD=30 cm

9、2，DC12 cm. AC=5 cm.又ABC是直角三角形, B是直角.11123022ACDSCDACAC,222222345ABBCAC ,2113 46(cm ).22ABCSABBC DCBA例4 如圖，ABC中，AB=AC，D是AC邊上的一點，CD=1，BC 5 ，BD=2（1）求證：BCD是直角三角形；（2）求ABC的面積（1）證明：CD=1，BC 5 ，BD=2，CD2+BD2=BC2，BDC是直角三角形.（2）解：設腰長AB=AC=x，在RtADB中，AB2=AD2+BD2，x2=(x-1)2+22，解得5.2x 11552.2222ABCSAC BD用到了方程的思想1. 醫院

10、、公園和超市的平面示意圖如圖所示，超市在醫院的南偏東25的方向，且到醫院的距離為300m,公園到醫院的距離為400m.若公園到超市的距離為500m,則公園在醫院的北偏東 的方向.東醫院公園超市北65當堂練習當堂練習2.五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現將他們擺成兩個直角三角形，其中擺放方法正確的是 （）A. B. C. D.D3.如圖，某探險隊的A組由駐地O點出發，以12km/h的速度前進，同時，B組也由駐地O出發，以9km/h的速度向另一個方向前進，2h后同時停下來，這時A，B兩組相距30km此時，A，B兩組行進的方向成直角嗎？請說明理由.解：出發2小時，A組行了122=24(km)，B組行了92=18(km)，又A，B兩組相距30km，且有242+182=302，A，B兩組行進的方向成直角4.如圖，在ABC中，AB=17，BC=16，BC邊上的中線AD=15，試說明：AB=AC.解：BC=16，AD是BC邊上的中線，BD=CD= BC=8.在ABD中，AD2+B