1、張量簡介張量簡介標量，向量自然法則與坐標無關，坐標系的引入方便自然法則與坐標無關，坐標系的引入方便分析，但也掩蓋了物理本質；分析，但也掩蓋了物理本質； 坐標系引入后的相關表達式冗長坐標系引入后的相關表達式冗長 引入張量方法引入張量方法 張量概念及其基本運算張量概念及其基本運算 張量分析是研究固體力學、流體力學及連續介張量分析是研究固體力學、流體力學及連續介 質力學的重要數學工具質力學的重要數學工具 。 張量分析具有高度概括、形式簡潔的特點。張量分析具有高度概括、形式簡潔的特點。 所有與坐標系選取無關的量，統稱為所有與坐標系選取無關的量，統稱為物理恒量物理恒量。 在一定單位制下，只需指明其大小即

2、足以被說明在一定單位制下，只需指明其大小即足以被說明 的物理量，統稱為的物理量，統稱為標量標量。例如溫度、質量、功等。例如溫度、質量、功等。 在一定單位制下，除指明其大小還應指出其方向在一定單位制下，除指明其大小還應指出其方向 的物理量，稱為的物理量，稱為矢量矢量。例如速度、加速度等。例如速度、加速度等。 絕對標量只需一個量就可確定，而絕對矢量則需絕對標量只需一個量就可確定，而絕對矢量則需 三個分量來確定。三個分量來確定。 張量的幾個基本概念張量的幾個基本概念張量的概念張量的概念只需指明其大小即足以被說明的物理量，稱為標量標量溫度、質量、力所做的功除指明其大小還應指出其方向的物理量，稱為矢量矢

3、量物體的速度、加速度在討論力學問題時，僅引進標量和矢量的概念是不夠不夠的如應力狀態、應變狀態、慣性矩、彈性模量等張量張量關于三維空間，描述一切物理恒量的分量數目可統一地表示成： M=rn=3n標量標量:n=0,:n=0,零階張量零階張量矢量矢量:n=1,:n=1,一階張量一階張量應力應力, ,應變等應變等:n=2,:n=2,二階張量二階張量二階以上的張量已不可能在三維空間有明顯直觀的幾何意義。為了書寫上的方便，在張量的記法中，都采用下標字母符號來表示和區別該張量的所有分量。這種表示張量的方法，就稱為下標記號法下標記號法。123( , , )( ,(1,)2,3ix y zx x xx i 下標

4、記號法下標記號法: :,(, ),xxxyxzyxyyyzzxijzyzzi jx y z不重復出現的下標符號,在其變程N(關于三維空間N3)內分別取數1，2，3，N重復出現的下標符號稱為啞標號,取其變程N內所有分量，然后再求和，也即先羅列所有各分量，然后再求和。自由標號自由標號: :啞標號啞標號: :當一個下標符號在一項中出現兩次時，這個下標符號應理解為取其變程N中所有的值然后求和，這就叫做求和約定求和約定。求和約定求和約定: :1 122331122331 12 23 3( :1,2,3( :,1,2,3iiiiNiij jiiia xa xa xa xiiSlllliji j啞標，）自由

5、下標，啞標，）1 122331122331 12 23 3( :1,2,3( :,1,2,3iiiiNiij jiiia xa xa xa xiiSlllliji j啞標，）自由下標，啞標，）1 122331122331 12 23 3( :1,2,3( :,1,2,3iiiiNiij jiiia xa xa xa xiiSlllliji j啞標，）自由下標，啞標，） 23322112312)( iiiii 3131ijijijijij 131312121111 232322222121 333332323131 關于求和標號，即啞標有：關于求和標號，即啞標有： 求和標號可任意變換字母求和標號

6、可任意變換字母表示。表示。 求和約定只適用于字母標號，不適用于數字標號。求和約定只適用于字母標號，不適用于數字標號。 在運算中，括號內的求和標號應在進行其它運算前在運算中，括號內的求和標號應在進行其它運算前 優先求和。例：優先求和。例： 2332222112aaaaii 23322112)()(aaaaii 啞標可以換用不同的字母啞標可以換用不同的字母表示。表示。 關于關于KroneckerKronecker delta delta（ ）符號：符號： ij 是張量分析中的一個基本符號稱為是張量分析中的一個基本符號稱為柯氏符號柯氏符號（或（或柯羅尼克爾符號柯羅尼克爾符號），亦稱），亦稱單位張量單

7、位張量。其定義為：。其定義為： ij 100010001 , 0 , 1 ijijjiji 或或：時時；當當時時；當當jiijii2222j3213j32j21j1iijdxdxdxdxdzdydxdsA3j2j1jAAAAAAA性質：性質： jkjkiiijjijiilkljkijikjkijikjkij332211jjiiijij332211iiijijaaxxxAAAAAAAA3, 的作用與計算示例如下：的作用與計算示例如下：ij jijijjijjijijijjjjjijiiiijijikkikikijkijijijiilllllaaaaaaaaaaaaa)( ) 6 ( ),( )

8、5 ( ) 4 ( ) 3(3)()()( ) 2(3 ) 1 (321332211333322221111332211233222211332211 或或或或即即4.4.張量的基本運算張量的基本運算 A A、張量的加減：張量的加減： 張量可以用矩陣表示，稱為張量可以用矩陣表示，稱為張量矩陣張量矩陣，如：，如： 333231232221131211aaaaaaaaaaij凡是同階的兩個或兩個以上的張量可以相加(減），并得到同階的一個新張量，法則為：ijkijkijkABCB B、張量的乘積張量的乘積 對于任何階的諸張量都可進行乘法運算。對于任何階的諸張量都可進行乘法運算。 兩個任意階張量的乘法

9、定義為：第一個張量的兩個任意階張量的乘法定義為：第一個張量的 每一個分量乘以第二個張量中的每一個分量，每一個分量乘以第二個張量中的每一個分量， 它們所組成的集合仍然是一個張量，稱為第一它們所組成的集合仍然是一個張量，稱為第一 個張量乘以第二個張量的乘積，即積張量。積個張量乘以第二個張量的乘積，即積張量。積 張量的階數等于因子張量階數之和。例如：張量的階數等于因子張量階數之和。例如： 張量乘法不服從交換律，但張量乘法服從分配張量乘法不服從交換律，但張量乘法服從分配 律和結合律。例如：律和結合律。例如： ijkjkicba )()( )(mkijmkijkijkijkijijcbacbacbcac

10、ba 或或；C C、張量函數的求導：張量函數的求導： 一個張量是坐標函數，則該張量的每個分量都一個張量是坐標函數，則該張量的每個分量都 是坐標參數是坐標參數x xi i的函數。的函數。 張量導數就是把張量的每個分量都對坐標參數張量導數就是把張量的每個分量都對坐標參數 求導數。求導數。 對張量的坐標參數求導數時，采用在張量下標對張量的坐標參數求導數時，采用在張量下標 符號前上方加符號前上方加“ “ ”的方式來表示。例如的方式來表示。例如 ， 就表示對一階張量就表示對一階張量 的每一個分量對坐標參數的每一個分量對坐標參數 x xj j求導。求導。 jiA iA312,123ii iiuuuuuxx

11、xx2222,yixzi jkjkjkjkjkuuuuuxxxxxxxx 如果在微商中下標符號如果在微商中下標符號i i是一個自由下標，則是一個自由下標，則 算子算子 作用的結果，將產生一個新的升高一階作用的結果，將產生一個新的升高一階 的張量；如果在微商中，下標符號是啞標號，的張量；如果在微商中，下標符號是啞標號， 則作用的結果將產生一個新的降低一階的張量。則作用的結果將產生一個新的降低一階的張量。 例如：例如： i 321 , , xxxxii 332211 xuxuxuxuuiiii 第一章第一章 彈塑性力學基礎彈塑性力學基礎1.1 應力張量應力張量1.2 偏量應力張量偏量應力張量1.3

12、 應變張量應變張量1.4 應變速率張量應變速率張量1.5 應力、應變應力、應變 Lode參數參數0limnnApA 1.1 1.1 應力張量應力張量力學的語言力學的語言yxzOnnA0limsnApA C過過C點可以做無點可以做無窮多個平面窮多個平面K不同的面上的應不同的面上的應力是不同的力是不同的到底如何描繪一到底如何描繪一點處的應力狀態點處的應力狀態? ?1).1).一點的應力狀態一點的應力狀態一點的應力狀態一點的應力狀態yxzOyxyzyyxyzyzxzyzxyxzxxyxzxzxzyzPABCxxyxzijyxyyzzxzyz1.1 1.1 應力張量應力張量一點的應力狀態一點的應力狀態

13、可由過該點的微小可由過該點的微小正平行六面體上的應力分量來確定。正平行六面體上的應力分量來確定。應力張量應力張量數學上，在坐標變換時，服從一數學上，在坐標變換時，服從一定坐標變換式的九個數所定義的定坐標變換式的九個數所定義的量叫做量叫做。111213212223313233ij用張量下標記號法下標下標1、2、3表示坐標表示坐標x1、x2、x3即即x、y、z方向方向(1.1)(1.2)1.1 1.1 應力張量應力張量2).2).一點斜面上的應力一點斜面上的應力( (不計體力不計體力) )112233cos( ,)cos( ,)cos( ,)n xln xln xli ：自由下標；j為求和下標（同

14、一項中重復出現）。3111 112 213 3113221 122 223 3213331 132 233 331Nj jjNj jjNj jjSllllSllllSllll斜截面外法線斜截面外法線n n的方向余弦的方向余弦: :Niij jSl令斜截面令斜截面ABCABC的面積為的面積為1 11122331 cos( ,)1 cos( ,)1 cos( ,)OBCOACOABSn xlSn xlSn xl (1.3)(1.4)1.1 1.1 應力張量應力張量斜截面斜截面OABC上的正應力上的正應力:1 12 23 322211 122 233 312 1 223 2 331 3 1222NN

15、NNS lSlSlllll ll ll l斜截面斜截面OABC上的剪應力上的剪應力:2222123NNNNNSSS(1.5)(1.6)1.1 1.1 應力張量應力張量3).3).主應力及其不變量主應力及其不變量112233NNNSlSlSl主平面主平面: :剪應力等于零的截面剪應力等于零的截面主應力主應力-: :主平面上的正應力主平面上的正應力111 112 213 3221 122 223 3331 132 233 3NNNSlllSlllSlll代入代入11112 213 321 122223 331 132 2333()0()0()0lllllllll采用張量下標記號采用張量下標記號()

16、0iijjjlKroneker delta記號(1.7)(1.8)(1.9)1.1 1.1 應力張量應力張量 ij記號：記號：Kroneker-delta記號記號1,0,ijijij方向余弦滿足條件：方向余弦滿足條件：2221231lll100010001ij采用張量表示采用張量表示1i ill 聯合求解聯合求解 l1,l2,l3：11112 213 321 122223 331 132 2333222123()0()0()01lllllllllllll1,l2,l3不全等于不全等于0 01112132122233132330(1.10)(1.11)(1.12)(1.13)1.1 1.1 應力

17、張量應力張量聯合求解聯合求解 l1,l2,l3：行列式展開后得：行列式展開后得：1112233kkJ112233122331213213133122233211122133()()()()()()0 簡化后得簡化后得321230JJJ(1.14)22233331111222122323313111()2iikkikkiJ 1112133212223313233ijJ(1.15)式中式中:是關于是關于的三次方程，它的三個根，即為三個主的三次方程，它的三個根，即為三個主應力，其相應的三組方向余弦對應于三組主平面。應力，其相應的三組方向余弦對應于三組主平面。主應力大小與坐標選擇無關，故主應力大小與坐

18、標選擇無關，故J J1 1,J,J2 2,J,J3 3也必與坐標選擇無關。也必與坐標選擇無關。123,:JJJ應力不變量1.1 1.1 應力張量應力張量若坐標軸選擇恰與三個主坐標重合：若坐標軸選擇恰與三個主坐標重合：1123J2122331()J 3123J (1.16)233112123,222主剪應力面：平分兩主平面夾角的平面，數值為：主剪應力面：平分兩主平面夾角的平面，數值為：(1.17)主剪應力主剪應力面面( 1 )213121311.1 1.1 應力張量應力張量最大最小剪應力：最大最小剪應力：取取主方向為坐標軸取向主方向為坐標軸取向, ,則一點處任一截面上的剪應力的計算式則一點處任一

19、截面上的剪應力的計算式: :2222222222221231 12 23 31 12 23 3()()()()NNNNNSSSllllll2221231lll消去消去l3：2222222222213123231312323()()()()Nllll22113131232131()()()()02lll22223131232231()()()()02lll由極值條件由極值條件1200nnll及1.1 1.1 應力張量應力張量最大最小剪應力：最大最小剪應力：22113131232131()()()()02lll22223131232231()()()()02lll1200ll及12322;0;22

20、lll 第一組解：第一組解：1200ll及第二組解：第二組解：2l消去第三組解：第三組解：13132 23232 12122 123220 ;22lll 12322;022lll 它們分別作用它們分別作用在與相應主方在與相應主方向成向成4545的斜截的斜截面上面上123max13min2 因為：因為：1.1 1.1 應力張量應力張量4).4).八面體上的應力八面體上的應力 1 2 3沿主應力方向取坐標軸，與坐標軸等傾角的沿主應力方向取坐標軸，與坐標軸等傾角的八個面組成的圖形，稱為八個面組成的圖形，稱為八面體八面體。1231/3lll(1.19)八面體的法線方向余弦：八面體的法線方向余弦：八面體

21、平面上應力在三個坐標軸上的投影分別為：八面體平面上應力在三個坐標軸上的投影分別為：123lll2221231lll八面體（每個坐標象限1個面）123arccos( )arccos( )arccos( )54 44lll或或11 1122 2233 33/3,/3,/3PlPlPl(1.20)1.1 1.1 應力張量應力張量4).4).八面體上的應力八面體上的應力 1 2 3八面體面上八面體面上的正應力的正應力為為:22281 12 23 31 12 23 3123111()33PlPlPllllJ八面體面上的剪應力為：八面體面上的剪應力為：八面體（每個坐標象限1個面）2222228881231

22、2322221223311211()()3912()()()333FJJ(1.23)(1.21)八面體面上的應力矢量為：八面體面上的應力矢量為：222222281231 12 23 3222123()()()1()3FPPPlll(1.22)平均正應力平均正應力1.1 1.1 應力張量應力張量例題例題: :已知一點的應力狀態由以下一組應力分量所確定已知一點的應力狀態由以下一組應力分量所確定, 即即 x3, y0, z0, xy1 , yz 2, zx 1, 應力單位為應力單位為MPa。試求該點的主應力值。試求該點的主應力值。 代入式(1.14)后得:解解: :11122333003J22233

23、33111122212232331311(3 0 1 1)(0 02 2)(0 3 1 1)6J 11121332122233132333 0 01 2 1 1 2 1 1 0 12 2 3 1 1 08J 323680(4)(1)(2)0解得主應力為解得主應力為:1234;1;2; 1.2 1.2 應力偏量張量應力偏量張量1).1).應力張量分解應力張量分解物體的變形物體的變形ij(1.32)體積改變體積改變形狀改變形狀改變由各向相等的應力狀態引起的由各向相等的應力狀態引起的材料晶格間的移動引起材料晶格間的移動引起的的球應力狀態球應力狀態/靜水壓力靜水壓力彈性性質彈性性質塑性性質塑性性質ij

24、ijS球形應力張量球形應力張量偏量應力張量偏量應力張量1.2 1.2 應力偏量張量應力偏量張量1).1).應力張量分解應力張量分解000000 xxyxzijijijyxyyzzxzyzS(1.31)球形應力張量球形應力張量偏量應力張量偏量應力張量1122331111()333kkJ其中其中:平均正應力平均正應力/靜水壓力靜水壓力1.2 1.2 應力偏量張量應力偏量張量2).2).主偏量應力和不變量主偏量應力和不變量000000 xxyxzijijijyxyyzzxzyzS(1.31)二階對稱張量二階對稱張量1231123S其中其中:剪應力分量始終剪應力分量始終沒有變化沒有變化12300000

25、0 xxyxzijyxyyzzxzyzSSSSSSS主偏量應力主偏量應力2132223S3123323S(1.33)1.2 1.2 應力偏量張量應力偏量張量ijSij例例:設原應力狀態 主方向的方向余弦為l1,l2,l3，則由式(1.9)得證明：證明：ij123123123()0()0()0 xnxyxzyxynyzzxzyznlllllllll顯然，方向余弦l1,l2,l3將由式(a)中的任意兩式和l12+l22+l32=1所確定。(a)若設偏應力狀態 主方向的方向余弦為l1,l2,l3，則由式(1.9)同樣得：ijS123123123()0()0()0 xnxyxzyxynyzzxzyzn

26、SS lS lS lS lSS lS lS lS lSS l顯然，方向余弦l1,l2,l3將由式(b)中的任意兩式和l12+l22+l3 2=1所確定。(b)()()xnxmnmxnSS由于:()()ynymnmynSS()()znzmnmznSSl1=l1; l2=l2 ; l3= l3 可見式(a)與式(b)具有相同的系數，且已知l12+l22+l32= l12+l22+l3 2=11.2 1.2 應力偏量張量應力偏量張量2).2).主偏量應力和不變量主偏量應力和不變量11;S22;S33S(1.33)ijSij滿足三次代數方程式：滿足三次代數方程式：321230JJJ1112233222

27、211222233331112233122212331230()1()122iiijijijJSSSJS SS SS SSSSSSSJS S SSS SS (1.34)式中式中J1,J2,J3為不變量為不變量(1.35)1.2 1.2 應力偏量張量應力偏量張量(1.40)利用利用J1=0，不變量不變量J2還可寫為還可寫為:22222221122331223311(222)21212ijijiiJSSSSSSS SS S(1.38)22221122223333112221223312222222221223311()()()66()1()1()()()()66()6xyyzzxxyyzzxJSS

28、SSSSSSS1.2 1.2 應力偏量張量應力偏量張量(1.43)3).3).等效應力等效應力( (應力強度應力強度) )22281223311()()()322221223311()()() 6J8223J在彈塑性力學中，為了使用方便，將 乘以系數 后，稱之為等效應力等效應力83/2123,0, 故2228122331231()()()322J(1.41)簡單拉伸時簡單拉伸時: :“等效等效”的命名由此而來。各正應力增加或減少一個平均應力，等效應力的數值不變，這也說明等效應力與球應力狀態無關1.2 1.2 應力偏量張量應力偏量張量(1.42)4).4).等效剪應力等效剪應力( (剪應力強度剪

29、應力強度) )222212233111()()()26ijijTJS S1230,0, T 例：純剪時，“等效等效”的命名由此而來。例題：例題：已知結構內某點的應力張量如已知結構內某點的應力張量如右式，試求該點的球形應力張量、偏右式，試求該點的球形應力張量、偏量應力張量、等效應力及主應力數值。量應力張量、等效應力及主應力數值。 100100100MPa10010ij101010 / 310 / 310 / 300010 / 30MPa0010 / 320 / 3010040 / 3:0MPa10020 / 3mijS平均正應力球形應力張量量（）偏量應力張1.2 1.2 應力偏量張量應力偏量張量

30、222222211222233331112233131()()()6()21400 400 0 6(0 0 100)70010 7 MPa2J 11122332222112222333311122331222311223312233111232213331210()( 100 100 100)00 100200|21000 1000000ijJJJ 等效應力等效應力: :1.2 1.2 應力偏量張量應力偏量張量關于主應力的方程為關于主應力的方程為: 20)20,0,10(10)0 2221223311()()() 21400 10090070010 7 MPa2由主應

31、力求等效應力由主應力求等效應力: :1.2 1.2 應力偏量張量應力偏量張量1.3 1.3 應變張量應變張量1).1).一點應變狀態一點應變狀態位移位移剛性位移剛性位移變形位移變形位移物體內各點的位置雖然均有變化，但任意兩物體內各點的位置雖然均有變化，但任意兩點之間的距離卻保持不變。點之間的距離卻保持不變。物體內任意兩點之間的相對距離發生了改變。物體內任意兩點之間的相對距離發生了改變。要研究物體在外力作用下的變形規律，只需要研究物體內各要研究物體在外力作用下的變形規律，只需要研究物體內各點的相對位置變動情況，也即研究點的相對位置變動情況，也即研究變形位移變形位移位移函數位移函數( , , )(

32、 , , )( , , )uu x y zvv x y zww x y z位置坐標的單值連續函數1.3 1.3 應變張量應變張量微小六面體單元的變形微小六面體單元的變形當物體在一點處有變形時，小單元體的當物體在一點處有變形時，小單元體的尺寸尺寸(即單元體各棱邊的長度即單元體各棱邊的長度)及形狀及形狀(即即單元體各面之間所夾直角單元體各面之間所夾直角)將發生改變。將發生改變。由于變形很微小，可以認為兩由于變形很微小，可以認為兩個平行面在坐標面上的投影只個平行面在坐標面上的投影只相差高階微量，可忽略不計。相差高階微量，可忽略不計。1.3 1.3 應變張量應變張量微小六面體單元的變形微小六面體單元的

33、變形B點位移分量點位移分量uudxxdxxD點位移分量點位移分量uudyydyyA點位移分量點位移分量uxOy的改變量的改變量:xy1.3 1.3 應變張量應變張量變形后變形后AB邊長度的平方邊長度的平方:222()()uA BdxdxdxxxM點沿點沿X方向上的方向上的線應變線應變:xA BABAB(1)(1)xxA BABdx(a)(b)22222xxuuxxx(c)代入代入(a)得得:xux略去高階微量略去高階微量yy同理，同理，M點沿點沿Y方向方向上的上的線應變線應變:1.3 1.3 應變張量應變張量tan1dxxxuudxdxxx同理同理:1,ux略去xuyxOy的改變量，即的改變量

34、，即剪應變剪應變:xyuyx1.3 1.3 應變張量應變張量122zuy ,uvyx同時存在12zuxy對角線對角線AC線的線的轉角轉角:122zvx剛性轉動剛性轉動1.3 1.3 應變張量應變張量(1.44)1).1).一點應變狀態一點應變狀態工程應變分量：工程應變分量：xyxyyzzzxuvuyxxvvwyzywwuzxz(幾何方程幾何方程/柯西幾何關系柯西幾何關系)1.3 1.3 應變張量應變張量(1.45)1).1).一點應變狀態一點應變狀態受力物體內某點處所取無限多方向上的受力物體內某點處所取無限多方向上的線應變線應變與與剪應變剪應變( (任意兩相任意兩相互垂直方向所夾直角的改變量互

35、垂直方向所夾直角的改變量) )的的總和總和，就表示了該點的應變狀態。，就表示了該點的應變狀態。定義定義: :,12iji jj iuu（）111213212223313233112211221122xxyxzijyxyyzzxzyz應變張量應變張量: :123, ,u v wu uu1111,11xxuux21122,11,21211()()22xyuuuuxx(1.46)1.3 1.3 應變張量應變張量2).2).主應變及其不變量主應變及其不變量由全微分公式由全微分公式: :, ,u v w uuududxdydzxyzM點的位移分量點的位移分量,udu vdv wdwN點的位移分量點的位移

36、分量vvvdvdxdydzxyzwwwdwdxdydzxyz11221122uvuwdydzyxzuuvuwdxdydzxxyxzx表示剛性轉動，不引起應表示剛性轉動，不引起應變，計算應變時可忽略。變，計算應變時可忽略。1.3 1.3 應變張量應變張量xxyxzdudxdydz在主應變空間中在主應變空間中: :yxyyzdvdxdydzzxzyzdwdxdydziijjdudxrxxyxzdudxdxdydzryxyyzdvdydxdydzrzxzyzdwdzdxdydz()0 xrxyxzdxdydz()0yxyryzdxdydz()0zxzyzrdxdydzrdrdudvdwrdxdydz

37、;rrrdudx dvdy dwdz主平面法線方主平面法線方向的線應變向的線應變主應變主應變: :1.3 1.3 應變張量應變張量類似于應力張量類似于應力張量: :111223312322221122223333111223311112133212223313233ijIII 其中其中: :(1.47)(1.48)1122331133kk（）平均正應變平均正應變: :1.3 1.3 應變張量應變張量偏量應變張量偏量應變張量: :(1.52)13ijijijijkkije eij 的主軸方向與ij 的主方向一致，主值為: e1 1 ， e2 2 ， e3 3滿足三次代數方程式：321231231

38、112233123222211 2222 3333 1112233122212331 2 30,0()1()2iiiijijeI eIeIIIIeIeeeeeeIe ee ee eeeeeeeIee e e 式中為 的三個不變量，(1.50)(1.51)222212233111()()() 26ijijIe eI I2 2應用較廣應用較廣, ,又可表達為又可表達為: :1.3 1.3 應變張量應變張量等效應變等效應變( (應變強度應變強度):):(1.54)2222122331123222()()()9331,2ijijIe e 例：簡單拉伸時，故等效剪應變等效剪應變( (剪應變強度剪應變強度

39、):):222212233113222()()()2310,0,2ijijIe e 例：純剪時，故(1.55)1.4 1.4 應變速率張量應變速率張量一般來說物體變形時，體內任一點的變形不但與坐標有關，一般來說物體變形時，體內任一點的變形不但與坐標有關，而且與時間也有關。如以而且與時間也有關。如以u、v、w表示質點的位移分量，則表示質點的位移分量，則:;xyzdudvdwVVVdtdtdt設設應變速率分量應變速率分量為為: :;xxyyzzVxVyVz;yxxyyzyzxzzxVVyxVVzyVVxziiduvdt質點的運動速度分量質點的運動速度分量1.4 1.4 應變速率張量應變速率張量xx

40、yyzzzxyVduduxx dtdtxVdvdvyy dtdtyVdwdwzzdtdtzuxvywzyxxyyzyzxzzxyyzxVVdudvduvyxy dtx dtdtyxVVdvdwdvwzyz dtydtdtzyVVdwduxzxduvyxvwytz dtzzxdwudtxzwuxz線應變速率線應變速率在在小變形情況小變形情況下，下，應變速率分量應變速率分量與與應變分量應變分量之間存在有簡單關系之間存在有簡單關系: :剪剪應應變變速速率率1.4 1.4 應變速率張量應變速率張量112211221122xxyxzijyzyyzzxzyz在在小變形情況小變形情況下的下的應變速率張量應變

41、速率張量: :,1()2iji jj iuu,1()2iji jj iVV(1.56)可縮寫為可縮寫為在一般情況下，應變速率主在一般情況下，應變速率主方向與應變主方向不重合，方向與應變主方向不重合，且在加載過程中發生變化。且在加載過程中發生變化。1.4 1.4 應變速率張量應變速率張量應變增量應變增量: :,1()2iji jj iddudu應變增量應變增量由位由位移增量微分得：移增量微分得：由于時間度量的絕對值對塑性規律沒有影響，因此由于時間度量的絕對值對塑性規律沒有影響，因此dt可不代可不代表真實時間，而是代表一個加載過程。因而表真實時間，而是代表一個加載過程。因而用應變增量張用應變增量張

42、量來代替應變率張量量來代替應變率張量更能表示不受時間參數選擇的特點。更能表示不受時間參數選擇的特點。(1.57)應變微分應變微分由兩由兩時刻應變差得：時刻應變差得：,()()( )1()( )()( )2ijijijiijjjidtttu ttu tu ttu t 22,22,1()111()2221()()22)ijiijjjiiii jjjjiddudududududududu泰勒級數展開泰勒級數展開高階微量高階微量()ijijdd忽略高階微量忽略高階微量1.5 1.5 應力和應變的應力和應變的LodeLode參數參數一一、應力莫爾圓應力莫爾圓（表示一點應力狀態的圖形）（表示一點應力狀態的

43、圖形） : :任一斜面上應力任一斜面上應力位于陰影線內位于陰影線內m=Q2A/Q1A=(Q2Q3-Q1Q2)/Q1Q3AO312O3O2O1Q3Q2Q1如果介質中某點的三個主應如果介質中某點的三個主應力的大小為已知，便可以在力的大小為已知，便可以在 - - 平面內繪出相應的應力圓。平面內繪出相應的應力圓。1.5 1.5 應力和應變的應力和應變的LodeLode參數參數一一、應力莫爾圓應力莫爾圓（表示一點應力狀態的圖形）（表示一點應力狀態的圖形） : :AO312O3O2O1Q3Q2Q12221 12 23 3lll222 23 22 21 12 23 3lll2221231lll2223112

44、13()()()()l223122321()()()()l221233132()()()()l(1.61)223()()0231()()0212()()01231.5 1.5 應力和應變的應力和應變的LodeLode參數參數一一、應力莫爾圓應力莫爾圓（表示一點應力狀態的圖形）（表示一點應力狀態的圖形） : :AO312O3O2O1Q3Q2Q1222232311()()24(1.63)222313111()()24222121211()()24式(1.63)表明，當一點處于空間應力狀態時，過該點的任一斜截面上的一對應力分量、一定落在分別以(1-2)2、 (2-3)2 、 (3- 1)2為半徑的三

45、個圓的圓周所包圍的陰影面積(包括三個圓周)之內。1.5 1.5 應力和應變的應力和應變的LodeLode參數參數若在一應力狀態上再疊加一個球形應力狀態若在一應力狀態上再疊加一個球形應力狀態(各向等拉或各向等壓各向等拉或各向等壓)，則應力，則應力圓的三個直徑并不改變，只是整個圖形沿橫軸發生平移。圓的三個直徑并不改變，只是整個圖形沿橫軸發生平移。應力圓在橫軸上的整體位置取決于球形應力張量；而各圓的大小應力圓在橫軸上的整體位置取決于球形應力張量；而各圓的大小(直徑直徑)則則取決于偏應力張量，與球形應力張量無關。取決于偏應力張量，與球形應力張量無關。 一點應力狀態中的主應力按同一比例縮小或增大一點應力

46、狀態中的主應力按同一比例縮小或增大(應力分量的大小有改變，但應力分量的大小有改變，但應力狀態的形式不變應力狀態的形式不變)，則應力圓的三個直徑也按同一比例縮小或增大，即，則應力圓的三個直徑也按同一比例縮小或增大，即應力變化前后的兩個應力圓是相似的。這種情況相當于偏量應力張量的應力變化前后的兩個應力圓是相似的。這種情況相當于偏量應力張量的各分量的大小有了改變，但張量的形式保持不變。各分量的大小有了改變，但張量的形式保持不變。 1.5 1.5 應力和應變的應力和應變的LodeLode參數參數二、二、應力應力Lode參數參數: :幾何意義幾何意義: :應力圓上應力圓上Q Q2 2A A與與Q Q1

47、1A A之比，或兩內圓直徑之比，或兩內圓直徑之差與外圓直徑之比。之差與外圓直徑之比。球形應力張量對塑性變形沒有明顯影響，因而常球形應力張量對塑性變形沒有明顯影響，因而常把這一因素分離出來，而著重研究偏量應力張量。把這一因素分離出來，而著重研究偏量應力張量。為此，引進參數為此，引進參數Lode參數參數：132232312131313()()2212m Lode參數：表征參數：表征Q2在在Q1與與Q3之間的相對位置，反之間的相對位置，反映中間主應力對屈服的貢獻。映中間主應力對屈服的貢獻。AO312O3O2O1Q3Q2Q1(1.64)1.5 1.5 應力和應變的應力和應變的LodeLode參數參數應力應力Lode參數的參數的物理意義物理意義：1、與、與平均應力無關；平均應力無