1、自動控制原理B Automation Control Theory B信息工程學院自動化系信息工程學院自動化系劉劉 志志 鴻鴻本課程的安排本課程的安排序號章節內容講課學時實驗學時1第1章 緒論22第2章 拉普拉斯變換63第3章 線性系統的數學模型64第4章 線性系統的時域分析法825第5章 線性系統的根軌跡法66第6章 線性系統的頻域分析法827第7章 線性系統的校正方法648第8章 采樣控制系統的分析6合 計488 數學模型的概念數學模型的概念 為了從理論上對自動控制系統進行定性分析和定量計算，為了從理論上對自動控制系統進行定性分析和定量計算，首先要建立系統的首先要建立系統的數學模型數學模型

2、。 描述系統輸入、輸出變量以及內部各變量之間關系的數描述系統輸入、輸出變量以及內部各變量之間關系的數學表達式。學表達式。 數學模型數學模型 深入了解元件及系統的動態特性，準確建立它們的數學深入了解元件及系統的動態特性，準確建立它們的數學模型稱模型稱建模。建模。經典控制理論：經典控制理論：輸入、輸出變量之間的關系輸入、輸出變量之間的關系現代控制理論：現代控制理論：輸入、輸出變量以及內部變量之間的關系輸入、輸出變量以及內部變量之間的關系序號形式例 如1數學表達式微（差）分方程、傳遞函數、頻率特性、狀態方程2圖示形式結構圖、信號流圖 描述系統的數學模型有多種形式，主要有序號建模方法含 義1機理法根據

3、各變量間遵循的物理化學規律列寫方程2實驗法依靠實驗手段，測量系統輸入輸出的對應關系 建立系統的數學模型常采用解析法和實驗法。 數學模型的主要形式數學模型的主要形式 數學模型的建模方法數學模型的建模方法第二章第二章 控制系統的數學模型控制系統的數學模型主要內容主要內容控制系統的結構圖與信號流圖結構圖與信號流圖控制系統的時域數學模型時域數學模型控制系統的復數域數學模型復數域數學模型典型環節典型環節的數學模型控制系統的控制系統的時域數學模型時域數學模型微分方程的一般形式微分方程的一般形式1011110111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmd c tdc tdc

4、 taaaa c tdtdtdtd r tdr tdr tbbbb r tdtdtdt式中式中 r(t)r(t)輸入量輸入量 c(t)c(t)輸出量輸出量 a ai i ，b bj j 常量常量 m m、n n 輸入量、輸出量導數的最高階次輸入量、輸出量導數的最高階次 建立控制系統數學模型的建立控制系統數學模型的目的目的之一是為了用之一是為了用數學方法數學方法定量定量研究控制系統的工作特性。當系統微分方程列寫出來后，只要研究控制系統的工作特性。當系統微分方程列寫出來后，只要給定輸入量和初始條件，便可對微分方程求解，并由此了解系給定輸入量和初始條件，便可對微分方程求解，并由此了解系統統輸出量隨時

5、間變化輸出量隨時間變化的特性。的特性。 本節著重研究線性定常控制系統的本節著重研究線性定常控制系統的微分方程微分方程的建立。的建立。 機理建模（列寫微分方程）的一般步驟機理建模（列寫微分方程）的一般步驟控制系統的控制系統的時域數學模型時域數學模型根據實際工作情況，根據實際工作情況，確定系統和各元件的確定系統和各元件的輸入輸出變量輸入輸出變量；從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，依據各變量所遵循的從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，依據各變量所遵循的物理、化學定律，列寫出在變化過程中的物理、化學定律，列寫出在變化過程中的動態方程動態方程；消去中間變量消去中間變量 ，寫出輸入、輸出變量的微分方程；，寫

6、出輸入、輸出變量的微分方程；標準化標準化，即將與輸入有關的各項放在等號右側，即將與輸入有關的各項放在等號右側，與輸出有關與輸出有關的各項放在等號左側，并按降冪排列。的各項放在等號左側，并按降冪排列。例例1 1 列寫下圖所示列寫下圖所示RCRC無源無源網絡的動態微分方程。給網絡的動態微分方程。給定定u ur r為輸入，為輸入，u uc c為輸出。為輸出。Rur(t)uc(t)iC圖圖 RCRC無源網絡無源網絡解（解（1 1）確定輸入輸出量。）確定輸入輸出量。u ur r為為輸入，輸入，u uc c為輸出。為輸出。（2 2）根據基爾霍夫定律，列）根據基爾霍夫定律，列寫回路方程寫回路方程rccuR

7、iuduiCdt（3 3）消去中間變量并標準化）消去中間變量并標準化得到得到ccrduR Cuudt這是個這是個一階一階常系數線性微分方程常系數線性微分方程控制系統的控制系統的時域數學模型時域數學模型例例2 2 求圖示求圖示RLCRLC電路的微分方程電路的微分方程 0( )( )( )idiLRi tu tu tdt0( )dui tCdt (2) (2) 列原始方程列原始方程RCL( )i t( )iu t0( )u t20002id uduLCRCuudtdt (3) (3)消去中間變量消去中間變量 并標準化得并標準化得( )i t解解:(1):(1)確定確定輸入輸入: : 輸出輸出: :

8、 ( )iu t( )ou t控制系統的控制系統的時域數學模型時域數學模型這是個這是個二階二階常系數線性微分方程常系數線性微分方程控制系統的控制系統的時域數學模型時域數學模型例例3 3 下圖是彈簧下圖是彈簧- -質量質量- -阻尼阻尼器機械位移系統。試列寫質量器機械位移系統。試列寫質量m m在外力在外力F(t)F(t)作用下位移作用下位移x(t)x(t)的運動方程的運動方程 。解（解（1 1）確定輸入輸出量。）確定輸入輸出量。F(t)F(t)為輸入，為輸入，x(t)x(t)為輸出。為輸出。（2 2）根據牛頓運動定律，列）根據牛頓運動定律，列寫運動方程寫運動方程22( )( )( )( )d x

9、 tdx tmF tKx tfdtdt（3 3）標準化得）標準化得22( )( )( )( )d x tdx tmfKx tF tdtdt這是這是二階二階常系數線性微分方程常系數線性微分方程mfF(t)KX(t)4 4）因為一般來說，電的或電子的系統更容易通過試驗進行）因為一般來說，電的或電子的系統更容易通過試驗進行 研究。研究。控制系統的控制系統的時域數學模型時域數學模型20002id uduLCRCuudtdt22( )( )( )( )dx tdx tmfK x tFtdtdt彈簧彈簧- -質量質量- -阻尼器阻尼器機械位移系統：機械位移系統：RLCRLC電路：電路：1 1）機械系統和電

10、系統具有相同形式的數學模型，稱這些物理）機械系統和電系統具有相同形式的數學模型，稱這些物理 系統為系統為相似系統相似系統。（即電系統為機械系統的等效網絡）。（即電系統為機械系統的等效網絡）2 2）相似系統相似系統揭示了不同物理現象之間的相似關系。揭示了不同物理現象之間的相似關系。3 3）為我們利用簡單易實現的系統（如電的系統）去研究機械）為我們利用簡單易實現的系統（如電的系統）去研究機械 系統提供了方便。系統提供了方便。例例4 4 由一個理想運算放大器由一個理想運算放大器組成的電容負反饋電路，試確組成的電容負反饋電路，試確定電路的微分方程。給定定電路的微分方程。給定u ui i(t)(t)為輸

11、入，為輸入，u uo o(t)(t)為輸出。為輸出。 ( )( )iou tdu tCRdt (2)(2)理想運算放大器正、反相輸理想運算放大器正、反相輸入端電位相等（入端電位相等（虛短虛短），且輸），且輸入電流為零（入電流為零（虛斷虛斷）。根據基）。根據基爾霍夫定律有：爾霍夫定律有： ( )( )oidu tRCu tdt 圖圖 電容負反饋電路電容負反饋電路解解 (1)(1)確定輸入輸出量。這里已給確定輸入輸出量。這里已給出，出，u ui i為輸入，為輸入，u uo o為輸出。為輸出。整理有：整理有：這是個這是個一階一階線性常系數微分方程線性常系數微分方程控制系統的控制系統的時域數學模型時域

12、數學模型第二章第二章 控制系統的數學模型控制系統的數學模型主要內容主要內容控制系統的結構圖與信號流圖結構圖與信號流圖控制系統的時域數學模型時域數學模型控制系統的復數域數學模型復數域數學模型典型環節典型環節的數學模型 求解控制系統的微分方程，可以得到在確定的初始條件以及外作用下系統輸出的響應表達式，并可作出時間響應曲線，因而可直觀地反映出系統的動態過程。 控制系統輸入輸出系統參數發生變化？ 為了了解系統參數變化對動態系統響應的影響，就必須進行多次重復解微分方程。時域數學模型存在的問題計算繁雜難以總結出系統參數變化對系統性能影響的規律解決的辦法采用復數域數學模型傳遞函數傳遞函數是經典控制理論中最基

13、本和最重要的概念傳遞函數是經典控制理論中最基本和最重要的概念控制系統的控制系統的復數域數學模型復數域數學模型控制系統的控制系統的復數域數學模型復數域數學模型 由由n n階線性微分方程推出傳遞函數的方法：階線性微分方程推出傳遞函數的方法： 在零初始條件下，系統輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。在零初始條件下進行拉氏變換，由傳遞函數的定義得在零初始條件下進行拉氏變換，由傳遞函數的定義得)()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm傳遞函數的定義傳遞函數的定義N(s)N(s)0 0，為系統的特征方程。，為系統的特征方程。1011110111

14、( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmd c tdc tdc taaaa c tdtdtdtd r tdr tdr tbbbb r tdtdtdt解解 (1)(1)當當u u1 1為輸入，為輸入，u u2 2為輸出時，有：為輸出時，有：21( )1( )( )1UsG sU sRCs 221RCsUsUsUs例例 求如下圖所示求如下圖所示RCRC無源網絡的傳遞函數。無源網絡的傳遞函數。Ru1(t)u2(t)iC等式兩邊分別進行拉氏變換：等式兩邊分別進行拉氏變換：整理得：整理得：122uudtduRC控制系統的控制系統的復數域數學模型復數域數學模型一階慣性環節一

15、階慣性環節2( )1( )( )1crUsG sUsLCsRCs 21oiLCsRCsUsU s例例 求下圖所示求下圖所示RLCRLC電路的傳電路的傳遞函數。給定遞函數。給定u ui i(t)(t)為輸入，為輸入，u uo o(t)(t)為輸出。為輸出。RCL( )i t( )iu t0( )u t20002id uduLCRCuudtdt解解例例 下圖是彈簧下圖是彈簧- -質量質量- -阻尼器阻尼器機械位移系統的傳遞函數。機械位移系統的傳遞函數。解解 21X sG sF smsfsK控制系統的控制系統的復數域數學模型復數域數學模型mfF(t)KX(t)22( )( )( )( )d x td

16、x tmfKx tF tdtdt(2)(2)傳遞函數是復變量傳遞函數是復變量s s的的有理真分式有理真分式函數；函數；(3)G(s)(3)G(s)取決于系統或元件的結構和參數，與輸入量的形式（幅度取決于系統或元件的結構和參數，與輸入量的形式（幅度 與大小）無關，也不反映系統內部的任何信息。與大小）無關，也不反映系統內部的任何信息。控制系統的控制系統的復數域數學模型復數域數學模型傳遞函數的特點傳遞函數的特點(1)(1)傳遞函數是在傳遞函數是在零初始條件零初始條件下定義的。下定義的。(6) G(s) (6) G(s) 是單位脈沖響應是單位脈沖響應 c(t)c(t)的拉氏變換。的拉氏變換。(4)G(

17、s)(4)G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關系，但它不提供任何該系雖然描述了輸出與輸入之間的關系，但它不提供任何該系 統的物理結構。統的物理結構。(5) G(s)(5) G(s)可以與微分方程相互轉換可以與微分方程相互轉換; ;控制系統的控制系統的復數域數學模型復數域數學模型傳遞函數的特點傳遞函數的特點G(s)(sR)(sCdtdS 10111011( )( )( )mmmmnnnnb sb sbsbC sG sR sa sa sasa2、零、零極點形式極點形式(根的形式根的形式)10111011( )( )( )mmmmnnnnb sb sbsbC sG sR sa sa sasa*012

18、10121()()()()()()()()miminnjjszbszszszKaspspspsp式中，式中，z zi i為傳遞函數的為傳遞函數的零點零點，p pj j為傳遞函數的為傳遞函數的極點極點，K K* *=b=b0 0/a/a0 0為為根軌跡增益根軌跡增益。控制系統的控制系統的復數域數學模型復數域數學模型傳遞函數的表達形式傳遞函數的表達形式1、多項式形式、多項式形式 將零、極點標在復平面上，則得傳遞函數的零極點分將零、極點標在復平面上，則得傳遞函數的零極點分布圖。布圖。例例 設傳遞函數為設傳遞函數為*2(2)( )(3)(22)KsG ssss 零極點分布圖零極點分布圖-j-jj j-

19、1-1-2-2-3-3一般用一般用“”表示零點，用表示零點，用“”表示極點表示極點*(2)(3)(1)(1)Ksssjsj控制系統的控制系統的復數域數學模型復數域數學模型傳遞函數的表達形式傳遞函數的表達形式2、零、零極點形式極點形式(根的形式根的形式)01201211()()()( )( )( )()()()(1)(1)mnmiinjjbszszszC sG sR saspspspsKT s 式中，i、 Tj為傳遞函數分子、分母各因子的時間常數， K為開環增益（放大倍數）。3 3、時間常數形式、時間常數形式控制系統的控制系統的復數域數學模型復數域數學模型傳遞函數的表達形式傳遞函數的表達形式 系

20、統的特征方程系統的特征方程 系統的階數系統的階數 系統的極點系統的極點 系統的零點系統的零點 開環增益開環增益 根軌跡增益根軌跡增益清楚幾個概念：清楚幾個概念：控制系統的控制系統的復數域數學模型復數域數學模型)()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmmN(s)N(s)0 0，為系統的特征方程。，為系統的特征方程。*11()( )()miinjjszG sKsp11(1)( )(1)miinjjsG sKT s(4)(4)畫出系統對應的零極點圖；畫出系統對應的零極點圖；(5)(5)系統的單位脈沖響應系統的單位脈沖響應g(t)g(t)；)(

21、1)(ttreetttC431321)(例 已知某系統，當輸入為時，輸出為求：求：(1)(1)系統傳遞函數系統傳遞函數G(s)G(s)；(3)(3)系統開環增益系統開環增益K K；t4t21C(s)L 1ee3312 111 s3 s 13 s42(s2) s(s 1)(s4)解 系統傳遞函數G(s)1R(s)sC(s)2(s2)G(s)R(s)(s 1)(s4)所以系統傳遞函數所以系統傳遞函數G(s)G(s)為為控制系統的控制系統的復數域數學模型復數域數學模型(2)(2)系統的特征根；系統的特征根；（2 2）系統的特征根；）系統的特征根；畫出系統對應的零極點圖；畫出系統對應的零極點圖；（3

22、3）系統開環增益）系統開環增益K KK=1 1214 、系統特征根系統特征根j-1-2-3-4控制系統的控制系統的復數域數學模型復數域數學模型1(s 1)2(s2)2G(s)1(s 1)(s4)(s 1)( s 1)4C(s)2(s2)G(s)R(s)(s 1)(s4)控制系統的控制系統的復數域數學模型復數域數學模型系統的單位脈沖響應系統的單位脈沖響應g(t)g(t)；1g(t)LG(s) 11242224322413ss(s)c s(s)c s14t2433t g(t)LG(s)ee12221414cc(s)G(s) (s)(s)ss21413134 G(s) .ss)( 1)(ttreet

23、ttC431321)( )( )r tt424( )33ttg tee導數關系導數關系第二章第二章 控制系統的數學模型控制系統的數學模型主要內容主要內容控制系統的結構圖與信號流圖結構圖與信號流圖控制系統的時域數學模型時域數學模型控制系統的復數域數學模型復數域數學模型典型環節典型環節的數學模型 設計一個控制系統，首先要考慮元部件的選擇，從控制理論的角度來看，我們所關心的不是其物理結構和工作原理，也不是具體實物，而是其動態數學模型。因此，按照數學模型對元部件和系統進行分類，將有助于動態特性 的研究。比例環節組成系統的幾種較為簡單的低階模型，稱之為組成系統的幾種較為簡單的低階模型，稱之為典型環節典型

24、環節。KR(s)C(s)( )( )C sKR s( )G sK其中，其中，K K為比例系數或增益為比例系數或增益特點：特點：輸入輸出量成固定比輸入輸出量成固定比例關系。例關系。典型環節典型環節的數學模型的數學模型典型環節及其傳遞函數典型環節及其傳遞函數 例例 ：輸入：輸入：n n1 1(t)(t)轉速轉速 Z Z1 1主動輪的齒數主動輪的齒數 輸出：輸出：n n2 2(t)(t)轉速轉速 Z Z2 2從動輪的齒數從動輪的齒數Kzz(s)N(s)NG(s)2112傳遞函數傳遞函數：典型環節及其傳遞函數典型環節及其傳遞函數典型環節典型環節的數學模型的數學模型慣性環節( )( )( )dc tTc

25、 tr tdt1( )1G sTs其中，其中，T T為為時間常數時間常數R(s)C(s)11Ts典型環節及其傳遞函數典型環節及其傳遞函數tTetcTsssRsGsCssRttr11)()1(1)()()(1)()( 1)( 得得時，時，即，即當當特點：特點：含一個含一個存能元件存能元件，對突，對突變的輸入，其輸出不能立即復變的輸入，其輸出不能立即復現，輸出無振蕩。現，輸出無振蕩。 典型環節典型環節的數學模型的數學模型典型環節及其傳遞函數典型環節及其傳遞函數典型環節典型環節的數學模型的數學模型21( )1( )( )1UsG sU sRCsRu1(t)u2(t)iC( )( )dc tr tdt

26、1( )G ssR(s)C(s)1s（3）積分環節例：例：RCRC網絡積分電路網絡積分電路微分方程：微分方程：傳遞函數：傳遞函數：典型環節及其傳遞函數典型環節及其傳遞函數uiRR1u0-+C( )( )oidu tRCu tdt ()1()()oiusGsusR C s 1()GsT s典型環節典型環節的數學模型的數學模型（4）理想微分環節( )( )dr tc tdt( )G ssR(s)C(s)s典型環節及其傳遞函數典型環節及其傳遞函數1( )1( )( )r ttR ss當，即時，1( )( ) ( )1C sG s R sss ( )( )c tt得0 0( ) 0ttt典型環節典型環節的數學模型的數學模型（5）一階微分環節( )( )( )dr tc tr tdt( )1G ss其中，其中，為微分時間常數