1、第七章 無窮級數考試內容常數項級數的收斂與發散的概念收斂級數的和的概念級數的基本性質與收斂的必要條件幾何級數與級數及其收斂性正項級數收斂性的判別法交錯級數與萊布尼茨定理 任意項級數的絕對收斂與條件收斂函數項級數的收斂域與和函數的概念冪級數及其收斂半徑、收斂區間 (指開區間)和收斂域冪級數的和函數冪級數在其收斂區間內的基本性質簡單冪級數的和函數的求法初等函數的冪級數展開式函數的傅里葉(Fourier)系數與傅里葉級數狄利克雷(Dirichlet )定理函數在 上的傅里葉級數函數在 上的正弦級數和余弦級數考試要求1理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件。

2、2掌握幾何級數與級數的收斂與發散的條件。3掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。4掌握交錯級數的萊布尼茨判別法。5。了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系。6了解函數項級數的收斂域及和函數的概念。7 理解冪級數收斂半徑的概念、并掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法。8了解冪級數在其收斂區間內的基本性質(和函數的連續性、逐項求導和逐項積分)會求一些冪級數在收斂區間內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和。9了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件。10.掌握 sin x , cosx , ln(1 x)及arctanx的麥克勞林(Maclauri

3、n)展開式，會用 它們將一些簡單函數間接展開成冪級數。11 了解傅里葉級數的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在上的函數展開為傅里葉級數，會將定義在上的函數展開為正弦級數與余弦級數，會寫出傅里葉級數的和函數的表達式。一.無窮級數概論1 .無窮級數定義設an 為一個數列，稱an a1 a2 a3 為無窮級數.n1注記 1： 但an 只是一種形式上的記法.只有討論了收斂性，才有意義.n12 .無窮級數收斂的定義(1)部分和、部分和數列的定義n對任意 n N ，稱數列an 前 n 項和Snak 為級數ak 的部分和.k1k1稱數列Sn 為級數ak 的部分和數列.k1(2)無窮級數收斂的定義若級數ak的

4、部分和數列Sn是收斂的，則稱級數ak是收斂的，并且記ak lim Sn.k 1n3 .無窮級數收斂的性質(1)無窮級數收斂的必要條件ISn有界.但Sn若無窮級數 an收斂，則其部分和數列 Sn有界.反之不然. n 1事實上，由于 an收斂，因此，其部分和數列Sn收斂，于是, n 1有界，Sn卻未必收斂.例如，級數部分和數列為Sn1 ( 1)n1Sn有界，但 1 n1n 1不收斂.例1.1不收斂.n 1 n 事實上,Sn11212131314141n1 15 6于是,Sn不收斂，即2 log2 n 12 10g2 n 12 10g2 n210g2 n11-10g 2 n(n1不收斂.n 1 n(

5、2)無窮級數收斂的必要條件II若an收斂，則liman0.dnn 1lim Sn,于是, n事實上，假設an部分和為Sn,則Sn收斂，記Sn 1lim an lim Sn Sn 1 nnlim Sn lim Sn 1S S 0. 一一1 1 一一一但反之結論不成立.例如，雖然lim- 0,但無窮級數 ,不收斂. n nn 1 n(3)無窮級數收斂的必要條件III若無窮級數an收斂，則對其任意加括號都收斂，而且級數和不變n 1假設加括號后的級數寫為a a2牝 a% 1 ah 2鞏 國 1a 2 九ain 1 1ain 1 2ainn 1這里，i0 0.則其部分和為SnSin.由于an收斂，于是，

6、Sn收斂，于是，其n 1任意子列Si收斂，且收斂值與Sn的一樣，即級數 a-1 a-2 'n/n/'n 111 n 1 4-n 1ai收斂，且 ai1ai 2 ain1 n 11M1 4Mn 1(4)無窮級數收斂的充分必要條件Iann 1無窮級數an收斂當且僅當liman0且S2n （或S2n 1 ）收斂.必要性是顯然的.至于充分性，我們利用了這樣一個事實：數列an收斂當且僅當 lima2nlima2nl.現在，S2n收斂了，而 S2nlS2na2n，而a2n0 nnn于是，lim S2n 1 lim S2n.故Sn也收斂若 S2n1收斂，也是同理的. nn(5)無窮級數收斂的

7、充分必要條件II無窮級數an收斂當且僅當pman 0且 a2n 1 a2n收斂.n 1n 1或者說a2n a2nl也可以.n 1必要性是顯然的.至于充分性，若a2n1 a2n收斂，則其部分和數列nna2k 1a2k是收斂的，但 a2k 1a2kk 1n 1S2n，因此，S2n 收斂.又 lim an0,n由 (4)的結論， 無窮級數an 收斂.若a2nn1n1a2n 1 收斂， 則其部分和數列nna2ka2k 1 也收斂 .又k1k12n 1a2k a2k 1aka1S2n 1k1a1 ， 因此，S2n 1 也收斂.又由于lim ann0,因此，由(4),無窮級數an收斂.n14.無窮級數的運

8、算性質(1)若無窮級數an 和bn 收斂，則a n bnn1n1n1也收斂，且anbnn1an bn . n1 n1事實上，假設an 的部分和為n1An，bn 的部分和為Bn，n1anbn 部分和為n1Cn， 則顯然有CnAn Bn .由于an收斂，因此，lim An , lim Bn存在.于是，lim Cnnnnn1存在， 且 lim Cnlim An lim Bn ， 即anbn 收斂， 且 anbnn1n1ann1bn . n1(2)設常數c0，則can收斂性與an 相同，且若an收斂， 則 can c an .n1n1n1n1n1二.正項級數1 .正項級數的定義每一項都非負的級數稱為正

9、項級數.2 .正項級數收斂的基本定理正項級數收斂當且僅當其部分和數列有界.事實上，若an 收斂，則其部分和Sn 收斂，因此，Sn 有界，這是容易知道n1的。另一方面，Sn 是一個單調不減的數列，如果Sn 有界，則Sn 有極限， 即 an 是收斂的。n13 .比較判別法及其極限形式(1)比較判別法設an ,bn都是正項級數.假設存在一個正常數c以及正整數N ,使得n 1n 1當n N ,總有an cbn.若bn收斂，則an收斂.n 1n 1事實上，我們假設an的部分和為An ,n 1bn的部分和為Bn ,則對任意n n 1NnNnNNNnAakakakcbkakcbkcbkcbkk 1k N 1

10、k 1k N 1k 1k 1k 1k N 1NNakcbkcBn若bn收斂，則Bn有界，于是,n 1An有界。于是，an收斂.n 1比較判別法的極限形式設 an和n 1bn為正項級數.如果lim anl .當ln1nbn0,若bn收斂，則 ann 1n 1收斂.當0 l ，則an與 bn的斂散性相同.當ln 1n 1,若 an收斂，則n 1bn收斂.n 1事實上，若l 0,存在一個N 0,當nN ,有電1 ,即anbn.由比較判別bn法，若 bn收斂，則 an收斂.若0 l ,則存在一個N 0,使得當n N , n 1n 1由工l包 ， 即bn an當bn.若 bn收斂，由比較判別法，an收斂

11、.若21bl 222 n 1n 1an收斂，由比較判別法，bn收斂.若l，則lim 0.則由an收斂，n 1n 1n ann 1bn收斂.n 1r 1,使得當n N，有a1r ,an4 .比值判別法及其極限形式假設 an為正項級數.若存在一個N0和0n 1則 an收斂.若存在一個r 1和N 0 ,使得當n N ,有如1 r ,則 a0發散.n 1ann 1事實上，若0 r 1 ,當n N 1 ,有223kn N 1anran 1 r ran 2 ran2 rran3 ran3.rank . raN1由于0 r 1,因此，級數 rn N 1是收斂的.由比較判別法，級數 an收斂. n 1n 1若

12、r 1 ,當n N 1 ,類似地，有an rn N、1.由于r 1 ,因此，級數 rn N 1n 1是發散的.由比較判別法，級數 an是發散的. n 1比較判別法的極限形式設 an為正項級數.假設 - l .若l 1,則an收斂.若l 1,則 an發n 1ann 1n 1散.若l 1,此法失效.l 1事實上，若l 1,任取l1（例如一；廠），則存在一個N 0,當n N,有亙.由于01,由比值判別法，an收斂.若l 1,任取l1（例如ann 1l 1T），則存在一個N 0，當n N有,有如an1 .由比值判別法,ann 1發散.若l1,取an 1 ,則lim皿但級數an1an發目攵.又取an2

13、,則n 1nan 1 lim n an ，一 11發目攵.但-2- nn(n 1)而口nn(n 1) n 1 n;是收斂的.這說明當l 1,此法失效了 .k 1 n假設數列an滿足lim nan 1an備注：比較判別法及其極限形式也適用于任意項級數.這不難從證明過程中看出. 這時候，表述應該相應敘述如下：l .若l 1 ,則 an收斂（事實上，它還絕對收斂）. n 1an發散.若l 1 ,此法失效.由于0an an anan事實上，若lim弧 l 1,按照正項級數的比較判別法，級數 n oan ,因此，級數國與國收斂.于是,n 12n 12ann 1an | ann1 20,使得當nan 1a

14、n.這樣，當an 1an 2aN于是，an.0.這樣,級數an是發散的.n 1若l 1,道理同上.型7。1判定數項級數的斂散性nn 1 11 、1。（ 02,3）設 un 0 ,且 lim 1 ,則級數 （1）（一 ）nUnUn Un 1（A）發散；（B）絕對收斂；（C）條件收斂；（D）收斂性不能判定.2。（04,4）設 an為正項級數，下列結論中正確的是 n 1(A)若lim nan=0,則級數an收斂。nn 1（B）若存在非零常數，使得lim nann,則級數an發散。n 1(C)2若級數 an收斂，則lim n an0。3。（06,4）若級數an收斂，則級數n 1（A）an收斂。n 1（

15、C）anan1 收斂。(B)( 1)nan 收斂。n 1(D)a一收斂。4。(09,4)設有兩個數列anbn，若 lim an0 ,則n(B)當bn發散時，anbn發n 1n 1(A)當bn收斂時，anbn收斂。n 1n 1a2b2發散。n 1散。(C)當bn收斂時，a；b；收斂。(D)當bn發散時,n 1n 1n 1題型7。2證明數項級數的斂散性5。題型7。3求哥級數的收斂半徑，收斂區間及收斂域6。 ( 08,4)已知哥級數an x 2 n在x 0處收斂，在x 4處發散，則哥級數n 0an x 3 n的收斂域為。n 0題型7。4求哥級數的和函數3n,、 xx7。(02,7)i.驗證函數y(x

16、) ( x )滿足微分方程y y y e ；n 0 (3n)!3n x 2 .求帚級數y(x) 的和函數.n 0 (3n)!8。(05,12)求哥級數(1)n1(1 1)x2n的收斂區間與和函數f(x)n 1n(2n 1)9。(07,10)設備級數an xn在(，)內收斂，其和函數y(x)滿足n 0y 2xy 4y 0,y(0) 0, y (0) 1.2(I)證明：an 2 -an,n 1,2,L ;n 1(II)求y(x)的表達式。(1)n 1 2n10。(10,10)求哥級數A一-一x的收斂域及和函數。n 1 2n 1題型7。5求數項級數的和11。(09, 9)設an為曲線yxn與y xn 1 n 1,2,.所圍成區域的面積，記San,S2n 1a2nn 11 ,求Si與S2的值。題型7。6求函數的哥級數展開式2、一,、魯arctanx x