1、中考數學壓軸題解題策略平行四邊形的存在性問題解題策略2015年9月13日星期日專題攻略解平行四邊形的存在性問題一般分三步:第一步尋找分類標準，第二步畫圖，第三步計算.難點在于尋找分類標準，分類標準尋找的恰當，可以使解的個數不重復不遺漏,也可以使計算又好又快.如果已知三個定點，探尋平行四邊形的第四個頂點，符合條件的有3個點：以已知三個定點為三角形的頂點，過每個點畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產生3個交點.如果已知兩個定點，一般是把確定的一條線段按照邊或對角線分為兩種情況.根據平行四邊形的對邊平行且相等，靈活運用坐標平移，可以使得計算過程簡便.根據平行四邊形的中心對稱的性質，靈活運用坐標對稱，

2、可以使得解題簡便.例題解析知拋物線y=的左側），與D為頂點的四例？如圖1-1，在平面直角坐標系中，已x22x+3與x軸交于AB兩點（A在By軸交于點C，頂點為P,如果以點P、AC邊形是平行四邊形，求點D的坐標.圖1-1【解析】P、AC三點是確定的，過PAC勺三個頂點分別畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產生3個符合條件的點D(如圖1-2).22由y=x-2x+3=(x+1)+4,得A3,0),C(0,3),P(1,4).由于A3,0)u右3mtUUiurQ0，3)，所以P(h4)ui右Uu上uiSuirD(2,7)由于q0,3)uu!UuUu左UuUumA3,0)，所以P(h4)uuUUUuu

3、utUUUjuiD(4，1).由于Rh4)1£右!01下下11111Ct0，3)，所以A3,0)iuuuuuuuuuiurD(2，1).我們看到，用坐標平移的方法，遠比用解析式構造方程組求交點方便多了.圖1-2例？如圖2-1，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=x2+2x+3與x軸交于AB兩點，點M在這條拋物線上，點P在y軸上，如果以點P、MAB為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標.圖2-1【解析】在P、MAB四個點中，AB是確定的，以AB為分類標準.由y=x2+2x+3=(x+1)(x3)，得A1，0)，B(3，0). 如圖2-2，當AB是平行四邊形的對角線時，PM與AB互相平分

4、，因此點M與點P關于AB的中點(1,0)對稱，所以點M的橫坐標為2此時M2，3). 如圖2-3，圖2-4，當AB是平行四邊形的邊時，PM/ABPM=AB=4.所以點M的橫坐標為4或一4.所以M(4,5)或(一4,21).我們看到，因為點P的橫坐標是確定的，在解圖2-2時，根據對稱性先確定了點M的橫坐標；在解圖2-3和圖2-4時，根據平移先確定了點M的橫坐標.圖2-2圖2-3圖2-4例？如圖3-1，在平面直角坐標系中，直線y=x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B,點C在直線AB上，在平面直角坐標系中求一點D,使得以OA、CD為頂點的四邊形是菱形.圖3-1【解析】由y=x+4,得A(4,0)，直線

5、AB與坐標軸的夾角為45°.在OACD四個點中，OA是確定的，以線段0A為分類標準.如圖3-2,如果0A是菱形的對角線，那么點C在0A的垂直平分線上，點C(2,2)關于0A的對稱點D的坐標為(2,2).如果0A是菱形的邊，那么又存在兩種情況:如圖3-3，以0為圓心，0A為半徑的圓與直線AB的交點恰好為點B(0,4)，那么正方形AOC的頂點D的坐標為(4,4).如圖3-4，以A為圓心，A0為半徑的圓與直線AB有兩個交點C(422,22)和D(2.2,22)和D'(22,22).D(2.2,22)和D'(22,22).C(42；2,2、2)，點C和C'向左平移4個

6、單位得到點圖3-2圖3-2圖3-3圖3-4例?如圖4-1，已知拋物線y加:x與x軸交于點C,點E的坐標為(0,3)，點N在拋物線的對的負半軸點M在拋物線上，是否存在這樣的點MN,使得以M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點My1和O*E稱軸上,N、CE的坐標;若不存在，請說明理由.圖4-1【解析】C4,0)、E(0,3)兩點是確定的，點N的橫坐標一2也是確定的.以CE為分類標準，分兩種情況討論平行四邊形:如圖4-2，當CE為平行四邊形的邊時，由于CE兩點間的水平距離為4,所以MN兩點間的水平距離也為4,因此點M的橫坐標為一6或2.將x=6和x=2分別代入拋物線的解析式，得M6,16)或

7、(2,佝如圖4-3，當CE為平行四邊形的對角線時，M為拋物線的頂點，所以M(2,蘭).3圖4-2圖4-3例？如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=ax22ax3a(av0)與x軸交于AB兩點(點A在點B的左側)，點D是第四象限內拋物線上的一點，直線AD與y軸負半軸交于點C,且C*4AC設P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、DP、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由.圖5-12【解析】由y=ax2ax3a=a(x+1)(x3)，得A1,0).由CD=4AC得Xd=4.所以D(4,5a).已知A1,0)、D(4,5a)，Xp=1，以AD為分類標準，

8、分兩種情況討論： 如圖5-2，如果AD為矩形的邊，我們根據AD/QPAD=QP來兩次平移坐標.由于AD兩點間的水平距離為5,所以點Q的橫坐標為一4.所以Q4,21a).由于AD兩點間的豎直距離為一5a，所以點P的縱坐標為26a.所以P(1,26a).根據矩形的對角線相等，得AP=QD.所以22+(26a)2=82+(16a)2.整理，得7a2=1.所以a丄.此時P(1,坐=).77 如圖5-3，如果AD為矩形的對角線，我們根據AP/QD,AP=QD來兩次平移坐標.由于AP兩點間的水平距離為2,所以點Q的橫坐標為2.所以Q2,3a).由于QD兩點間的豎直距離為一8a，所以點P的縱坐標為8a.所以

9、P(1,8a).再根據AD=PQ,得52+(5a)2=12+(11a)2.整理，得4a2=1.所以a丄.此時P(1,4).2我們從圖形中可以看到，像“勾股圖”那樣構造矩形的外接矩形，使得外接矩形的邊與坐標軸平行，那么線段的等量關系就可以轉化為坐標間的關系.上面我們根據“對角線相等的平行四邊形是矩形”列方程，還可以根據定義“有一個角是直角的平行四邊形叫矩形”來列方程.如圖5-2，如果/AD490°，那么凹AND;如圖5-3，如果/QAQ90°，那MDNP么GQKAGAKP°圖5-2圖5-3例？如圖6-1，將拋物線C仁y,3x23沿X軸翻折，得到拋物線C2.現將拋物線

10、C1向左平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為M與X軸的交點從左到右依次為A、B;將拋物線C2向右也平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為N,與x軸的交點從左到右依次為DE.在平移過程中，是否存在以點A、NE、M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由.圖6-1【解析】沒有人能精確畫好拋物線，又怎么平移拋物線呢？我們去偽存真，將A、B、DE、MN六個點及它們的坐標在圖中都標注出來(如圖6-2)，如果您看到了MABWANED是邊長為2的等邊三角形，那么平移就簡單了.如圖6-3，在兩個等邊三角形平移的過程中，AM與EN保持平行且相等，所以四邊形ANEI

11、保持平行四邊形的形狀，點0為對稱中心.【解法一】如果/AN匡90°，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可得AE=2EN=4.而AE=A60E=2AQ所以A82.已知AB=2,此時B、0重合(如圖6-4)，所以itirB0=1.【解法二】如果對角線MRAE那么0M=0A此時MA奧等邊三角形.所以等邊三角形MABAMA0S合.因此B0重合，trB0=1.【解法三】在平移的過程中，A(1m,0)、B(1m,0)，M(m,3)，根據0A=0M222列方程(1+m)=m+3.解得vm=1.圖6-3圖6-4E、H分=CG圖6-2例？如圖7-1，菱形ABC啲邊長為4,ZB=60別是

12、ABCD的中點，E、G分別在ADBC上，且(1) 求證四邊形EFGH是平行四邊形；當四邊形EFGH是矩形時，求AE的長；(3)當四邊形EFGH是菱形時，求AE的長.圖7-1【解析】(1)證明三角形全等得EF=GH和FG=HE大家最熟練了.(2)平行四邊形EFG啲對角線FH=4是確定的，當EG-FH=4時，四邊形EFGH是矩形.以FH為直徑畫圓，你看看，這個圓與AD有幾個交點，在哪里？如圖7-2.如圖7-3，當E為AD的中點時，四邊形ABG別四邊形DCG都是平行四邊形.如圖7-4，當E與A重合時，ABGtDCE都是等邊三角形.(2) 如果平行四邊形EFG啲對角線EG與FH互相垂直，那么四邊形EFGH是菱形.過FH的中點0畫FH的垂線，EG就產生了.在RtAOE中,ZOAE=60°，心2,此時AE=1.又一次說明了如果會畫圖，答案就在圖形中.圖7-3圖7-4圖7-5例？如圖8-1，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸、y軸分別交于點A(4,0)、B(0,3)，點C的坐標為(0,m)，過點C作CELAB于點E，點D為x軸正半軸的一動點，且滿足O亠2OC連結DE以DEDA為邊作平行四邊形DEFA(1)如果平行四邊形DEFA為矩形，求m的值;(2)如果平行四邊形DEFA為菱形，請直接寫出m的值.圖8-1【解析】這道題目我們著重講解怎樣畫示意圖.我們注意