1、第十一章 差錯控制編碼l11.1 基本概念l11.2 分組碼 l11.3 循環碼 l11.4 BCH碼 l11.5 糾正和檢測突發錯誤的分組碼 l11.6 糾錯碼的誤碼性能l誤碼分類噪聲引入的隨機誤碼，均勻分布由干擾、快衰落引起的突發誤碼l如何減少誤碼？從信源編碼看，誤碼引起的性能惡化盡可能小，容錯技術從傳輸看，可采用抗干擾能力強的調制方式，信道特性不理想可采用均衡。特別需要差錯控制技術。數字通信中，要求誤碼率108以下，必須采用差錯控制。需要雙向信道，和前向信道有相同的通信容。引入較大的停頓（不實時）。可以糾正任何錯誤。分組存儲發收收發kIkI控制自動請求重發也需要反向信道，但容量可以降低，

2、也會引入停頓檢錯編碼存儲發收收發kIkI檢錯譯碼不需要雙向信道不會引入停頓靠糾錯編碼l如用三位二進制編碼來代表八個字母000 A100E001 B101F010C110G011D111H不管哪一位發生錯誤，都會使傳輸字母錯誤l如用三位字母傳四個字母000 A011B101 C110D發生一位錯誤，準用碼字將變成禁用碼字，接收端就能知道出錯，但是不能糾錯。l如用三位字母傳二個字母000 A111B檢三個錯誤，糾正一個錯誤。l結論具有檢錯或糾錯的碼組，其所用的比特數必須大于信息碼組原來的比特數引入多余度。l碼重(weight)l一個碼組中“1”的數目l碼距(distance)l兩個碼組之間對應位置

3、上1、0不同的位數，又叫漢明(Hamming)距。10 1 1 0 碼重：301 1 00 2 距離：3l 為檢查出 個錯誤，要求最小碼距為l 為糾正 個錯誤，要求最小碼距為l 為糾正 個錯誤，同時檢查出 個錯誤，要求最小碼距為 e1minedt12min td)(1mintetedetl按功能分l檢錯碼 l糾錯碼l糾刪碼（發現不可糾正的錯誤時，可發出指示或刪除）l按信息碼元和監督碼元之間的校驗關系分l線性碼l非線性碼l按信息碼元和監督碼元之間的約束方式分l分組碼l卷積碼l糾錯碼建立在香農理論基礎上l香農定理存在噪聲干擾的信道，若信道容量為C，只要發送端以低于C的速率R發送信息（R為輸入到編碼

4、器的二進制碼元速率），則一定存在一種編碼方式，使編碼的錯誤概率隨著碼長n的增加將按指數下降到任一的值，即l結論如碼長及發送信息速率一定，可以通過增大信道容量，使P減小。如在信道容量及發送信息速率一定，可以通過增加碼長，使錯誤概率下降。RnEePl表示： (n,k)n : 幀長k/n : 編碼效率l特點監督碼只用來監督本幀中的信息位l分類線性碼 信息碼與監督碼之間為線性關系非線性碼 不存在線性關系kn-k信息位監督位nl偶監督l奇監督l如果以上關系被破壞，則出現錯誤，因此能檢查出奇數個錯誤，但不能檢測偶數個錯誤。最小碼距為 dmin=2l這種碼檢錯能力不高，采用什么方法提高呢？01221 aaa

5、aann信息位監督位00121aaaann10121aaaannl又叫 二維奇偶監督碼l水平奇偶監督碼檢碼字按行排成方陣，每行采用奇偶監督碼，發送時按列的順序傳送，接收時仍將碼字排列成發送時方陣形式，然后按行進行奇偶校驗。在不增加冗余度時，不僅能發現某一行上奇數個錯誤，而且也能發現不大于方陣行數的突發錯誤。l水平垂直奇偶監督碼不僅對行進行奇偶校驗，而且也對列進行奇偶校驗。l在碼長一定時，“1”碼和“0”碼的比例恒定。已用于電報傳輸中。l五中取三0101111001表示十位數字，C53=10種許用碼組。l11.1 基本概念l11.2 分組碼 l11.3 循環碼 l11.4 BCH碼 l11.5

6、糾正和檢測突發錯誤的分組碼 l11.6 糾錯碼的誤碼性能l漢明碼：能糾一位錯誤(7,4)監督位信息位0123456,aaaaaaa346035614562aaaaaaaaaaaa監督方程：在接收端，按如下規律運算034631356224561aaaaSaaaaSaaaaS無錯錯碼位置0001110111011100010101006543210111aaaaaaaSSS）。稱為校正子（或伴隨式、因此應糾為：錯誤。，知道，運算后得到如收到的結果，就可以糾錯。、根據32133213210001011100000011SSSaSSSSSSl分組碼的監督方程l矩陣形式000034613562456aa

7、aaaaaaaaaa0001001101010101100101110123456Taaaaaaal監督矩陣lH矩陣稱為典型形式，各行一定是線性無關的。而一個非典型形式的經過運算可以化成典型形式，通過監督矩陣可以知道監督碼和信息碼的監督關系。rrkrrrIPH,100110101010110010111l生成矩陣 ，通過生成矩陣可以得到生成碼組。l如果輸入碼組為 00111101010111111000010000100001,QIGkTPQ 0111100110101011111100001000010000111001100GA110 00110011l由這種方式得到的生成矩陣稱為典型生成

8、矩陣，由它產生的分組碼必定為系統碼，也就是信息碼字保持不變，監督位附加其后，每行一定是線性無關的，每行都是一個生成碼組。漢明碼監督位為 位，因此它可以組成 個可能情況，其中一個為無錯。因此可以監督碼位共 要糾正一個錯誤，必須滿足最小碼距l如果 r 位監督位所組成的校正子碼組與誤碼圖樣一一對應，這種碼組稱為完備碼（取等號時）rr212 r12 ,12rknrr即3mindl如果在漢明碼基礎上，再加上一位對所有碼字進行校驗的監督位監督碼字由 r 位增加到 r+1 位信息位不變l碼長 碼結構l糾 1 位錯，檢測 2 位錯l如 （8，4），（16，11） rn2) 12 ,2( rrr如 (7,4)

9、(8,4)0001111HHEl(n,k) (n-s, k-s)l如 (15,11) (12,8)監督矩陣 Hs 是將原 H 的前 3 列 去掉l縮短漢明碼的最小碼距至少和原來碼的碼距相同，因為監督位沒有變。l能糾 t 個錯誤的(n,k)應滿足取等號時為完備碼l不同結構的線性碼其糾錯能力不同，能力和dmin 有關，dmin 越大越好。tiintnnnknrCCCC021122l上界： 漢明界， 普洛特金界l下界： 吉爾伯特界l問題： 給定碼長與編碼效率，尋找 dminl例： dmin=5, 碼長=63 的分組碼設計從漢明界得，因此信息位最多可以取)2, 5(22min2063個錯誤糾dCiik

10、nr最小監督位數11,20172knrkn上界521163l通過吉爾伯特界求下界l線性碼 k 越接近 52， 效率越高。下界信息位481563, 563, 52220rndCdiinrnr5248 kl11.1 基本概念l11.2 分組碼 l11.3 循環碼 l11.4 BCH碼 l11.5 糾正和檢測突發錯誤的分組碼 l11.6 糾錯碼的誤碼性能l1957 年發現l特點線性分組碼循環性任一許用碼字經過循環移位后，得到的碼組仍為一個許用碼組l如 是循環碼的一許用碼組 l則 也是一許用碼組 )(0123456aaaaaaa)(1234560aaaaaaal碼組碼多項式碼組碼多項式l左移一位l左移

11、 位)(1012nnaaaaA)()(012211aDaDaDaDAnnnn)1011100(A2346)(DDDDDA)()(102312)1(nnnnnaDaDaDaDA)(0121aaaaAnn)()(12211)(ininninniniaDaDaDaDAi)(121)(ininininiaaaaAl 為許用碼組，則 也是許用碼組l性質若 是長度為n的循環碼組，則 在按模 進行運算后，也是一個循環碼組，也就是 用 多項式除后所得之余式，即為所求的碼組。 )(DA)()()(DADDAii)(DADi1nD)(DA)(DADi1nD碼組左移 3 位去除 得余式如 左移 3 位后，得 是許用

12、碼組015566)(aDaDaDaDA304185963)(DaDaDaDaDAD17D455263aDaDaDa1100101A0101110lg(D) 是 D的 (n-k) 次即r 次多項式l信息多項式為M(D),k 位，(k-1)次多項式101)(111或irrrgDgDgDDg0111)(mDmDmDMkkl定理.一個(n,k) 的二進制循環碼可以看成是唯一由它的生成多項式產生，即J如(7,3)循環碼，n=7, k=3, r=4J如果信息位為 010， M(D)=D 生成碼為 0111010)()()(DgDMDA1)(234DDDDgDDDDDgDMDA345)()()(l由于 k

13、位信息位共有 個碼組，都可用此法產生，如果現有信息碼 生成 k 個碼字，且這 k 個碼組都線性無關，用這 k 個碼組作為一個矩陣G 的 k行 構成生成矩陣 G(D)1)()()(021DDMDDMDDMkk)(1)()()(21DgDgDDgDDGkkk2稱為循環碼的生成矩陣多項式l(7,3) 循環碼1)(234DDDDg1) 1(1) 1() 1()(23434524562342342342DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDG010110001011100010111G生成矩陣NK l這樣構成的循環碼并非是系統碼l系統碼的生成矩陣典型形式 l非系統碼 系統碼生成矩陣監督矩陣QIG

14、krTIQH100010011100100111001010110001011100010111GkIQ1000110010001100101110001101H列行NKl系統碼的碼多項式為l例如，(7,4)碼，1011)()()(DrDDMDAkn1)(23DDDg1)(3DDDM3463)(DDDDDM)()()()()(DgDrDqDgDMDkn22454535623346231DDDDDDDDDDDDDDDD 2)(DDr監督位為10111001011l(7,3)碼)(1)()()(21DgDgDDgDDGkk所得的余式除是ininknrnrknrkDDgDrDrDDrDDDrDDDG

15、)()()(1)()()(2211101110011100100111001Gl 循環碼的生成多項式必須能除盡 h(D)是監督多項式，是 K階多項式l例：要構成(7,3)循環碼，求g(D). 解：g(D)應為4階 都能生成(7,3)l生成(7,6)循環碼l生成(7,1)循環碼 1nD)()(1DhDgDn1) 1)(1()(1) 1)(1()() 1)(1)(1(1234324233237DDDDDDDgDDDDDDDgDDDDDD或 1)( DDg) 1)(1()(323DDDDDgl原理：按系統碼的生成方式：將信息碼多項式升(n-k)次冪后，再除生成多項式，然后將余式置于升冪后的信息多項式

16、之后以(7,4)碼為例 )()()(DrDDMDAkn1)(23DDDg)()()()()(DgDrDqDgDMDknD1D2+D3+輸入校驗位碼字輸出l譯碼比編碼復雜得多l譯碼三步伴隨式S的計算由S得到錯誤圖樣糾正l發送碼組 l接收碼組l誤差碼組l校正子只與 E 有關，根本是計算校正子021aaaAnn021bbbbnnEAB021eeeEnn iiiiiibaebae則則如果, 1, 0EABTTTTT)(EHEHAHHEAHBSl生成多項式 g(D)去除接收碼字B(D)(Mod)()(DgDBDSl11.1 基本概念l11.2 分組碼 l11.3 循環碼 l11.4 BCH碼 l11.5

17、 糾正和檢測突發錯誤的分組碼 l11.6 糾錯碼的誤碼性能l特點：它也屬于循環碼，具有糾多個隨機錯誤的能力，構造容易。因此由碼的最小距離，可以很快得到碼的生成多項式l即約多項式一個 m 次多項式不能被二元域上任何次數小于m的，但大于0的多項式除盡，如 是即約的。l本原多項式若m次多項式P(x)除盡的 的最小正整數 n 滿足 ，就稱為本原的。如 能除盡 ，但除不盡 的 。如 ： 是即約的，但不是本原的，因它能除盡 。 125 DD1nx12mn1)(4xxxp115x151 n1nx1234xxxx15xl由本原多項式構成的碼稱為本原碼。l特點碼長為它的生成多項式是由若干m階或以m的因子為最高階

18、的多項式相乘而構成。l要判定(n,k) 的循環碼是否存在，只需要判斷 n-k 階的生成多項式是否能由 Dn+1的因式構成。 為正整數mm, 12l生成多項式的階次為 r, 該生成多項式是否是 的因此。l一個m階即約多項式一定能除盡l如，m5，共有6個5階即約多項式。l再加上 因子， 是以上7個多項式的乘積。 kknrnknmm12, 12),(1nD1112mDDn111111345123535245234525DDDDDDDDDDDDDDDDDDDD ) 1(D131Dl表11-12表示了m12的即約多項式l在表中多項式的系數是用8進制表示的，而且反多項式沒有表示 如 m=5, 45, 75

19、, 67 100101 111101 110111l如果循環碼的生成多項式具有如下形式l 為糾錯個數 ， 為最小多項式， 為最小公倍數，由這種方式生成的循環碼是BCH碼最小碼距 碼長為 的BCH碼稱為 本原BCH碼（狹義BCH碼） 碼長為 則稱為非本原BCH碼 ),(),(),(LCM)(1231DmDmDmDgt)(DmiLCMt 12mn12mn12 tdl由于g(D)有t個因式，且每個因式的最高次為m，因此監督碼元最多有mt位。l對于糾t 個錯誤的本原BCH碼，其生成多項式l糾單個錯誤的本原BCH碼為漢明碼。表1113給出了 n511的本原BCH碼。 1114給出了部分非本原BCH碼。)

20、()()()(1231DmDmDmDgtl糾正 3 個錯誤，碼長為15的BCH碼解：n=15, m=4 查表11-12得， 23 37 07 m1(D) m3(D) m5(D) 這是(15,5)碼。 1) 1)(1)(1()()()()(24581022344531DDDDDDDDDDDDDDDmDmDmDgl表1114中最重要的非本原BCH碼是(23,12)稱為格雷碼，碼距為7，能糾正3個錯誤。生成多項式 它是一個完備碼l在實際通信系統中，所要求的n、k并不是碼表中所推薦的值，在這時我們可以采用縮短或擴展的方式加以修正，也就是通過增加信息符號或校驗符號來增加碼組長度，或減少信息和校驗位來減少

21、碼組長度。1)(567911DDDDDDDgl如 BCH碼的碼長為奇數，而有時需要偶數碼長，這時可以在原BCH碼生成多項式中乘以（D+1)因子，從而得到（n+1,k）擴展BCH碼，這時相當于在原BCH碼上加一個全校驗位，從而將碼距增加1，這時的碼字不具有循環性。l如果BCH碼不是2m-1或它的因式，這時可以采用縮短的方式，去掉s位信息，(n-s , k-s) 縮短BCH碼l非二進制BCH碼，輸入以符號來考慮l假定每組有 K 個符號，每個符號用m比特，輸入信息將是 Km 比特。RS碼一般寫成（n,k,d） 最小碼距lRS碼適合于糾正突發錯誤，糾正的錯誤圖樣有l對于一個長度為 符號的RS碼，每個符

22、號都可以看成是有限域 中的一個元素，如RS碼的最小碼距為d符號，則生成多項式個突發比特的總長度為個突發比特的總長度為比特的單個突發總長度為iimitbmtbmtb12) 12(23)3(1) 1(11112m)2(mGF)()()()(132dDDDDDg中的一個元素是)(miGRl11.1 基本概念l11.2 分組碼 l11.3 循環碼 l11.4 BCH碼 l11.5 糾正和檢測突發錯誤的分組碼 l11.6 糾錯碼的誤碼性能l在水平垂直監督碼中將信息碼排列成方陣，然后對行和列分別進行檢驗，可以達到檢測突發錯誤的目的。l如果方陣中行碼是能糾 t 個隨機錯誤，交織后能糾t個長度為i的突發錯誤。

23、i稱為交織深度。itl如果每行能糾正 b 個突發錯誤，用上面的同樣方法，構成方陣，可以糾正突發長度為bi個突發錯誤。l通常把i稱為交織深度ibl采用循環碼構成交織碼時，可以不采用方陣就能實現編碼。l假設交織碼每行為 循環碼，其生成多項式為 ， 可以除盡 ，如交織深度為 其交織碼為 ,其生成多項式為 可以除盡 ，所以 也是循環碼。 1nD),(kini)()(iiDgDg11)(niniDDi),(kn)(Dg)(Dg)(iDg),(kinil如，循環碼(7,4)， 其生成多項式為構成交織深度為3 的(21,12)交織碼。交織碼的生成多項式為它也是循環碼，可以用循環碼的方式構成。在發送端可以不排成方陣，