1、獨立性與二項分布（復習） 例例2 設某種動物由出生而活到設某種動物由出生而活到20歲的概率為歲的概率為0.8，活到，活到25歲的歲的概率為概率為0.4，求現齡為，求現齡為20歲的這種動物活到歲的這種動物活到25歲的概率？歲的概率？ 解解 設設A=活到活到20歲歲，B=活到活到25歲歲，()0.4(|)0.5.( )0.8P ABP B AP A 則則 P(A)=0.8, P(B)=0.4. 于是所求概率為于是所求概率為 由于由于A B，有，有AB=B，因此，因此P(AB)= P(B)=0.4， 關于關于條件概率的計算條件概率的計算， 往往采用如下兩種方法：往往采用如下兩種方法： (1) 在縮減

2、的樣本空間上直接計算。在縮減的樣本空間上直接計算。 (2) 利用公式計算。利用公式計算。 定義定義1 設設A，B為隨機試驗為隨機試驗E 的兩個事件，且的兩個事件，且P(B)0，則稱，則稱()(|)()P ABP A BP B一、條件概率一、條件概率為在事件為在事件A已發生的條件下，事件已發生的條件下，事件B發生的條件概率發生的條件概率.注：條件概率與普通概率有相類似的性質：如：注：條件概率與普通概率有相類似的性質：如： 若若 BC，則，則P(BC)|A)= P(B|A)+ P(C|A). (|)1(|).P B AP B A 二、乘法公式二、乘法公式若若(B)0, 則則P(AB) = P(B)

3、P(A |B) 定理定理1 若若P(A1 A2 An-1)0，則，則 P(A1 A2 An) P(A1 ) P(A2| A1) P(A3| A1 A2) P(An A1 A2 An-1).證證 反復應用兩個事件的乘法公式，得到反復應用兩個事件的乘法公式，得到1212112112211221211211122121()() (|)() (|) (|)() (|)(|) (|).nnnnnnnnnnnnnP A AAP A AAP AA AAP A AAP AA AAP AA AAP A P AAP AA AAP AA AA一、兩個事件的獨立性一、兩個事件的獨立性 1. 定義定義 設設A、B二事件

4、，如果滿足等式二事件，如果滿足等式 P(AB) = P(A)P(B),則稱則稱A、B為相互獨立的事件。為相互獨立的事件。由定義得：必然事件由定義得：必然事件 及不可能事件與及不可能事件與任何事件都相互獨立。任何事件都相互獨立。2. 性質性質1) 若若P(A)0, P(B)0, 則則A和和B獨立獨立P(B|A)=P(B); P(A|B)=P(A)。)()()()(ABPBPABBPBAP)()()(BPAPBP( )1( )( ) ( ).P BP AP A P B所以所以A和和B相互獨立相互獨立它們主要被用于計算比較復雜事件的概率它們主要被用于計算比較復雜事件的概率. 不難發現，當事件相互獨立

5、時，乘法公式變得十分簡不難發現，當事件相互獨立時，乘法公式變得十分簡單，因而也就特別重要和有用單，因而也就特別重要和有用. 需要指出的是，不少復雜事件概率的計算需要上面所講的需要指出的是，不少復雜事件概率的計算需要上面所講的加法公式加法公式和和乘法公式乘法公式的的綜合運用和推廣綜合運用和推廣. . 這就是這就是下面將介紹的下面將介紹的我們介紹我們介紹了事件獨立性的概念了事件獨立性的概念.加法公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)( ( A、B互斥互斥) )乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)( ( P(A) 0) )綜合運用綜合運用6 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉

6、斯公式先看一個引例：先看一個引例： 由于由于 B1、B2、B3 兩兩互斥兩兩互斥 1號裝有號裝有 2 紅紅 1 黑球黑球 , 21對求和中的每一項對求和中的每一項運用乘法公式運用乘法公式某人從中隨機取一罐，某人從中隨機取一罐，解解 記記 Bi = 球取自球取自 i 號罐號罐 i=1, 2, 3; A = 取得紅球取得紅球 即即 A = AB1 + AB2 + AB3，顯然顯然 A 的發生總是伴隨著的發生總是伴隨著 B1，B2，B3 之一同時發生，之一同時發生，P( (A) ) = P( (AB1) )+P( (AB2) )+P( (AB3) )求取得紅球的概率求取得紅球的概率.3號裝有號裝有

7、2 紅紅 2 黑球黑球.2號裝有號裝有 3 紅紅 1 黑球，黑球，引例引例( (P27. 例例23) ) 三個罐子分別編號為三個罐子分別編號為 1, 2, 3， 31)|()(iiiBAPBP代入數據計算得：代入數據計算得：P( (A) ) 0.639 . 將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的全概全概( (率率) )公式公式 .運用加法公式運用加法公式P( (A) )3再從中任意取出一球，再從中任意取出一球，依題意依題意: P( (A| |B1) )=2/3, P( (A| |B2 ) )=3/4, P( (A

8、| |B3 ) )=1/2,1/3且且 AB1、AB2、AB3 兩兩互斥兩兩互斥niiBAPAP1)()( 乘法公式乘法公式 )|()(1iiniBAPBP 設設 B1, B2, , Bn 是是 的一個的一個劃分劃分，,1 niiB一、全概率公式一、全概率公式:定義定義 ( (P26. 定義定義6) ) 若若 n 個事件個事件 B1, B2, , Bn 滿足滿足 jiBB則稱則稱 B1, B2, , Bn 為為 的一個的一個劃分劃分， 或稱其是一個或稱其是一個完備事件組完備事件組. 且且 P( (Bi) ) 0， i = 1, 2, , n , 對任一事件對任一事件 A ，顯然顯然 A = A

9、 niiBA1 niiBA1)( ,)( jijiBAABBB, ), 2, 1,(njiji , ), 2, 1,(njiji )(1iniBAP 兩兩互斥兩兩互斥 則則AB2B1B3Bn -1Bn定理定理1( (P26. Th3) ) 有有 niiiBAPBPAP1)|()()( 全概全概( (率率) )公式公式 全概率公式的來由全概率公式的來由, 不難由上式看出不難由上式看出:“全全”部概率部概率 P( (A) ) 被分解成了許多部分之和被分解成了許多部分之和它的理論和實用意義在于它的理論和實用意義在于: 在較復雜情況下直接計算在較復雜情況下直接計算 P( (A) )不易不易, 但但 A

10、 總是伴隨著某個總是伴隨著某個Bi 出現出現. 適當地去構造劃分適當地去構造劃分 Bi 是解決問題的關鍵是解決問題的關鍵.適當地去構造劃分適當地去構造劃分 Bi第二步是在這個罐子里取到紅球第二步是在這個罐子里取到紅球, 轉化到轉化到將一個難求的概率將一個難求的概率 n 個容易求的概率上去個容易求的概率上去 如果如果 A 是由原因是由原因 Bi ( ( i = 1, 2, , n ) )所引所引起，起， 故故 A 發生的概率發生的概率是各原因是各原因引起引起 A 發生概率的總和發生概率的總和， 某一事件某一事件 A 的發生有各種可能的原因的發生有各種可能的原因( (如如 n 個個) )，由于每一

11、原因都可能導致由于每一原因都可能導致 A 發生，發生，P( (ABi ) ) =P( (Bi ) )P( (A| |Bi ) )我們再換一個角度去理解全概率公式我們再換一個角度去理解全概率公式: :即有即有全概率公式全概率公式 .則則 Bi 導致導致 A 發生的概率是發生的概率是還可這樣記憶全概公式還可這樣記憶全概公式 隨機試驗的特點是需分兩步才能完成：隨機試驗的特點是需分兩步才能完成： 第一步是取一個罐子，第一步是取一個罐子， 隨機試驗隨機試驗 求取到紅球的概率求取到紅球的概率 第一步的所有第一步的所有n 種種取法就是所找的劃分取法就是所找的劃分 niiiniiBAPBPABPAP11)|(

12、)()()(求第二步發生情況的概率求第二步發生情況的概率 取到的概率為取到的概率為 P( (Bi ) )； 取到的概率為取到的概率為 P( (Bi| |A) ). 由乘法原理和加法原理即得全概公式由乘法原理和加法原理即得全概公式. 這這 n 個原因往往就是所找的劃分個原因往往就是所找的劃分 被兩人擊中而擊落的概率為被兩人擊中而擊落的概率為 0.6,求飛機被擊落的概率求飛機被擊落的概率. 三人擊中的概率分別為三人擊中的概率分別為 0.4、0.5、0.7 .若三人都擊中飛機必定被擊落若三人都擊中飛機必定被擊落. 設設 A= 飛機被擊落飛機被擊落 ， 由由全概率公式全概率公式 P( (A) )= P

13、( (B1) )P( (A| |B1) )+ P( (B2) )P( (A| |B2) )+ P( (B3) )P( (A| |B3) )則則 A = AB1 + AB2 + AB3，解解依題意，依題意， P( (A| |B1) )= 0.2, P( (A| |B2) )= 0.6, P( (A| |B3) )= 1，例例1 三人同時對飛機進行三人同時對飛機進行射擊射擊, , 為求為求P( (Bi ) ) , 設設 Hi = 飛機被第飛機被第 i 人擊中人擊中 , i =1,2,3 可求得可求得:, )()(3213213211HHHHHHHHHPBP , )()(3213213212HHHHHHHHHPBP , )()(3213HHHPBP 將數據代入計算得將數據代入計算得: P( (B1) )=0.36， P( (B2) )=0.41， P( (B3) )=0.14 ， = 0.360.2 + 0.410.6 + 0.141