1、1 . 設 X 是一隨機變量,其數學期望方差 解解:即有(),E X由切比雪夫不等式有:2(),D X習題習題5 5 答案與提示答案與提示(13)(13)2218| 3 11.(3 )99PX (1000,0.5).XB| 3 .PX試用切比雪夫不等式估計2.事件A 發生的概率等于0.5,在每次試驗中,試利用8| 3 .9PX切比雪夫不等式估計在1000次獨立試驗中, 事件A 發生的次數在400600次之間的概率.解解: 設在1000次獨立試驗中事件 A 發生的次數為 X ,則()10000.5500,E X ()10000.5 0.5250.D X 由切比雪夫不等式有概率至少在0.975以上

2、.3.服從相同的 100500100PX|500| 100PX且 相互獨立, 400500500600500PX22501100 設隨機變量序列12,nXXXLL分布,存在,試證明:對任意 0 有證證:且400600PX0.975.即在1000次獨立試驗中事件A發生次數在400至600次的2()0,(),iiE XD X4()iE X2211lim|1.niniPXn由于隨機變量序列12,nXXXLL相互獨立, 服從相同的分布,2()0,(),iiE XD X則有22()()()iiiE XD XEX2202,2422()()()iiiD XE XEX44().iE X221111()()nn

3、iiiiEXE Xnn2221111()()nniiiiDXD Xnn由切比雪夫不等式有：4421( ()in E Xn441( ().iE Xn221|niPXn22111|(|nniiiPXEXnn2121()1niiDXn 442()1iE Xn 由于442()lim(1)1,inE Xn所以2211lim|1.niniPXn證畢.21nn2.不斷地對目標進行(500,0.1).XB()5000.1 0.945.D X 4. 若每次射擊命中目標的概率為0.1,解解:求在500次設計中,()5000.150,E X 4955PX擊中目標次數在49次至55次555049504545 5531

4、5 (0.75)1(0.15) 獨立射擊,的概率.設擊中目標次數為隨機變量 X , 則由拉普拉斯中心極限定理知(0.75)(0.15)1 0.77340.559610.333故在500次設計中,擊中目標次數在49次至55次的概率約為0.333.求概率設隨機變量(100,0.3),XB()1000.330,E X 所以因為5.2031.PX解：解：0.58710.98541(1,2,50)iX i 6.()1000.30.721.D X 0.5725.(100,0.3),XB由拉普拉斯中心極限定理知2031PX313020302121 2110 212121 (0.22)1(2.18) 設是相互

5、獨立的隨機變量, 且它們都服從參數為 = 0.03 的泊松分布, 記1250,YXXX試用中心極限定理計算3.P Y 解：解：(1,2,50)iX i 因為是相互獨立的隨機變量,且它們都服從參數為 = 0.03 的泊松分布,則()()0.3,iiE XD X1250,YXXX由獨立同分布中心極限定理：505011( )()()500.031.5 .iiiiD YDXD X1.531.531.5111.51.51.5YP 505011( )()()500.031.5,iiiiE YEXE X313P YP Y 1( 1.5) 1(1.22) 10.8888 0.1112.設所有的取整誤差是相互獨

6、立的隨機變量,計算機進行加法運算時, 0.5,0.57.并且都在區間上服從均勻分布.把每個數取為最接近于它的解：解：(1)2400個數相加時誤差的總和的絕對值小于20的概率;最多有多少個數相加時可使誤差總和的絕對值小于12,nXXX整數來計算,(2)10的概率大于0.9?設為進行加法運算時每個數的取整誤差,則12,nXXX相互獨立且在區間 0.5,0.5上服從均勻分布.則有0.5( 0.5)()0,2iE X 20.5( 0.5)1().1212iD X (1)2400240011()()240000,iiiiEXE X由獨立同分布中心極限定理知2400個數相加時誤差近似24001(0,200

7、).iiXN所以有2400240011| 20 2020iiiiPXPX24002400111()()2400200.12iiiiDXD X總和200200200200 2( 2)1 2(1.41)1 20.9207310.8415(2) 設n 個數相加時可使誤差總和的絕對值小于10的概率大于0.9,則有11()()0,nniiiiEXE X由獨立同分布中心極限定理知 n個數相加時誤差近似1(0,).12niinXN所以有11| 10 1010nniiiiPXPX總和100100/12/12nn 102()10.9/12n 100.95,/12n21012()1.645n11()().12nn

8、iiiinDXD X101.645,/12n最多443個數相加可使誤差總和的絕對對值小于10的概率大于0.9.443.4549,書末答案有誤書末答案有誤現有10000個這類人參加人壽保險,8.若一年中某類保險者里面每個人死亡的概率為0.005,(1)有40至50人死亡的概率;(2)則死亡人數不超過70人的概率.試求在未來一年中在這類保險者里面:解解:(10000,0.005).XB()100000.005 0.99549.75.D X 5050405049.7549.75 4050PX(1)由拉普拉斯中心極限定理有設參加保險的人中一年中死亡的人數為隨機變量 X ,()100000.00550,

9、E X (0)( 1.42) 0.510.92220.4222即參加保險的10000人中一年內有40至50人死亡的概率約為0.4222 .(2)部件損壞的概率為0.1,70507049.75P X (2.84) 必須有85個以上的部件工作才能0.997785P X (100,0.9).XB()1000.990,E X ()1000.90.19.D X 9.設一個系統由100個互相獨立起作用的部件組成,使整個系統工作. 求整個系統工作的概率.解解: 設該系統工作的部件數為隨機變量X ,則185P X 859019 1( 1.67) 1 1(1.67) (1.67) 0.9525 ,即整個系統工作

10、的概率約為0.9525.由拉普拉斯中心極限定理有:即參加保險的10000人中一年中死亡人數不超過70人的概率約為0.9977.每個10.外線是相互獨立的.求在一般情況下,03PX(200,0.01).XB()2000.012.E X ()2000.01 0.991.98,D X 每臺電話機約有1%的概率使用外線,該單位使用外線的電話機的臺數不超過3的概率.解解:設該單位使用外線的電話機臺數為隨機變量X ,則32021.981.98 (0.71)( 1.42) 0.6833 .即在一般情況下該單位使用外線的電話機的臺數不超由拉普拉斯中心極限定理有:設某單位有200臺內部電話機, 在一般情況下,若每臺電話機是否使用過3的概率約為0.6833.(0.71)1(1.42) 0.76110.9222 1假設()kikE Xa11.證證:211nniiYXn12,nXXX相互獨立且同分布,試證明當 n 充分大時,已知隨機變量所以12,nXXX近似服從正態分布,相互獨立,22().iE Xa并指出其分布參數.因為2422()()()iiiD XE XEX也相互242.aa2211