1、1變力做功的計算變力做功的計算 公式公式 適用于恒力功的計算，對于變力做功的計算，適用于恒力功的計算，對于變力做功的計算，一般有以下幾種方法一般有以下幾種方法cosFsW 一、微元法一、微元法 對于變力做功，不能直接用公式進行計算，但是我們可以對于變力做功，不能直接用公式進行計算，但是我們可以把運動過程分成很多小段，每一小段內可認為把運動過程分成很多小段，每一小段內可認為F F是恒力，用公是恒力，用公式求出每一小段內力式求出每一小段內力F F所做的功，然后累加起來就得到整個過所做的功，然后累加起來就得到整個過程中變力所做的功。這種處理問題的方法稱為微元法，這種方程中變力所做的功。這種處理問題的

2、方法稱為微元法，這種方法具有普遍的使用性。但在高中階段主要用于解決大小不變，法具有普遍的使用性。但在高中階段主要用于解決大小不變，方向總與運動方向相同或相反的變力的做功問題，方向總與運動方向相同或相反的變力的做功問題，2 例例1 1、用水平拉力，拉著滑塊沿半徑為、用水平拉力，拉著滑塊沿半徑為R R的水平圓軌道運動的水平圓軌道運動一周，如圖一周，如圖1 1所示，已知物體的質量為所示，已知物體的質量為m m，物體與軌道間的動摩，物體與軌道間的動摩擦因數為擦因數為。求此過程中的摩擦力所做的功。求此過程中的摩擦力所做的功。 分析解答分析解答：把圓軌道分成無窮多個微元段：把圓軌道分成無窮多個微元段S S

3、1 1,S,S2 2,S,S3 3,S,Sn n . .摩擦力在每一段上可認為是恒力，則每一段是摩擦力的功分別摩擦力在每一段上可認為是恒力，則每一段是摩擦力的功分別nnmgsWmgsWmgsWmgsW,332211mgRssssmgWWWWWnN2)(321321摩擦力在一周內所做的功。摩擦力在一周內所做的功。3 小結點評小結點評：對于變力做功，一般不能用功的公式直接進行：對于變力做功，一般不能用功的公式直接進行計算，但有時可以根據變力的特點變通使用功的公式，如力計算，但有時可以根據變力的特點變通使用功的公式，如力的大小不變而方向總與運動方向相同或相反時，可用公式計的大小不變而方向總與運動方向

4、相同或相反時，可用公式計算該力的功，但式子中的算該力的功，但式子中的s s不是物體運動的位移，而是物體運不是物體運動的位移，而是物體運動的路程。動的路程。 發散演習發散演習：如圖：如圖3 3所示，某個力所示，某個力F=10NF=10N作用與半徑作用與半徑R=1mR=1m的轉的轉盤的邊緣上，力盤的邊緣上，力F F的大小保持不變，但方向任何時刻與作用點的的大小保持不變，但方向任何時刻與作用點的切線方向保持一致。則轉動半圓，這個力切線方向保持一致。則轉動半圓，這個力F F做功多少？做功多少？答案：答案：31.4J31.4J4 在直角坐標系中，用縱坐標表示作用在物體上的在直角坐標系中，用縱坐標表示作用

5、在物體上的力力F F，橫坐標表示物體在力的方向上的位移，橫坐標表示物體在力的方向上的位移s s，如果作，如果作用在物體上的力是恒力，則其用在物體上的力是恒力，則其F-sF-s圖象如圖圖象如圖4 4所示。經所示。經過一端時間物體發生的位移為過一端時間物體發生的位移為S S，則圖線與坐標軸所，則圖線與坐標軸所圍成的面積（陰影面積）在數值上等于對物體做的功圍成的面積（陰影面積）在數值上等于對物體做的功，s s軸上方的面積表示對物體做的正功，軸上方的面積表示對物體做的正功，S S軸下軸下方的面積表示力對物體做功（如圖方的面積表示力對物體做功（如圖4 4（b b）所示）。）所示）。二、圖象法5 如果如果

6、F-sF-s圖象是一條曲線（如圖圖象是一條曲線（如圖5 5所所示），表示力的大小隨位移不斷變化，示），表示力的大小隨位移不斷變化，在曲線下方作階梯形折線，則折線下放在曲線下方作階梯形折線，則折線下放每個小矩形面積分別表示相應恒力所做每個小矩形面積分別表示相應恒力所做的功。當階梯折線越分越密時，這些小的功。當階梯折線越分越密時，這些小矩形的總面積越趨進于曲線下方的總面矩形的總面積越趨進于曲線下方的總面積，可見曲線與坐標所圍成的面積在數積，可見曲線與坐標所圍成的面積在數值上等于變力所做的功。由于值上等于變力所做的功。由于F-sF-s圖象圖象可以計算功，因此可以計算功，因此F-sF-s圖象又稱為示功

7、圖象又稱為示功圖。圖。6 例例2 2、子彈以速度、子彈以速度v v0 0射入墻壁，如射深度為射入墻壁，如射深度為h h，若子彈在墻，若子彈在墻壁中受到的阻力與深度成正比，欲使子彈的入射深度為壁中受到的阻力與深度成正比，欲使子彈的入射深度為2h2h，求子彈的速度應增大到多少？求子彈的速度應增大到多少？ 正確解答正確解答：解法一：設射入深度為：解法一：設射入深度為h h 時，子彈克服阻時，子彈克服阻力做功力做功w w1 1；射入深度為；射入深度為2h2h時，子彈克服阻力做功時，子彈克服阻力做功W W2 2 。由圖。由圖6 6可知可知W W2 2=4W=4W1 1 思路點撥思路點撥：阻力隨深度的變化

8、圖象如圖：阻力隨深度的變化圖象如圖6 6所示，由圖象求所示，由圖象求出子彈克服阻力所做的功，在由動量定理進行求解。出子彈克服阻力所做的功，在由動量定理進行求解。021201mvW02122mvW02Vv 根據動能定理，子彈減少的動根據動能定理，子彈減少的動能用于克服阻力做功，有能用于克服阻力做功，有聯立求解得：聯立求解得：7 解法二：設阻力與深度間的比例系為解法二：設阻力與深度間的比例系為K K，F Ff f=ks =ks 由于由于F Ff f 隨位移是線性變化的所以的平均值為隨位移是線性變化的所以的平均值為ksFf02120210021mvhkh 122102021mvhk 202vv 小結

9、點評小結點評：若力隨位移按一次方函數關系變化：若力隨位移按一次方函數關系變化時，求功時可用平均作用力來代替這個變力，用恒時，求功時可用平均作用力來代替這個變力，用恒力功的公式求功，也可用圖象求功；若力隨位移的力功的公式求功，也可用圖象求功；若力隨位移的變化不是一次函數關系，則可用變化不是一次函數關系，則可用 F-s 圖象求功，圖象求功， 而而不能用平均值求功。不能用平均值求功。根據動能定理，有根據動能定理，有8 發散演習發散演習1 1：如圖：如圖7 7所示，有一勁度系數所示，有一勁度系數k =500N/mk =500N/m的輕彈的輕彈簧，左端固定在墻壁上，右端緊靠一質量簧，左端固定在墻壁上，右

10、端緊靠一質量m=2m=2的物塊，物塊的物塊，物塊與水平面間的動摩擦因數與水平面間的動摩擦因數0.4,0.4,彈簧處于自然狀態。現緩慢推動彈簧處于自然狀態。現緩慢推動物塊使彈簧從物塊使彈簧從B B到到A A 處壓縮處壓縮1010，然后由靜止釋放物塊，然后由靜止釋放物塊， 求求: :（1 1）彈簧恢復原長時，物塊的動能多大？）彈簧恢復原長時，物塊的動能多大？ （2 2）在彈簧恢復原長的過程中，物塊的大動能為多大？）在彈簧恢復原長的過程中，物塊的大動能為多大？答答 案：（案：（1 1）1.7J1.7J：（：（2 2）1.764J.1.764J.摩彈WWWKB1mgxW摩其中提示：（提示：（1 1）從

11、）從A A到到B B的過程中，對物體的過程中，對物體應用動能定理得：應用動能定理得：9JJJEkB7 . 11 . 01024 . 01 . 0500212（2 2）放開物體后，物體做的是加速度）放開物體后，物體做的是加速度越來越小的加速運動，當彈簧的彈力等越來越小的加速運動，當彈簧的彈力等于摩擦力時，物體有最大的動能，設此于摩擦力時，物體有最大的動能，設此時彈簧的壓縮量為時彈簧的壓縮量為x x2 2mgkx2mmkmgx016. 05001024 . 02 彈彈可利用示功圖求出，畫出彈簧力隨位移變化的圖（如可利用示功圖求出，畫出彈簧力隨位移變化的圖（如圖圖8 8所示），所示），F F1 1=

12、kx=kx1 12121xkxW彈彈簧做功的值等于彈簧做功的值等于OAB OAB 的面積的面積, ,即即 10mmmxxS084. 0016. 01 . 0212221OCkxkxW彈222121mgssxxkWWEkm摩彈JJJ764. 1084. 01024 . 0084. 0016. 01 . 050021發散練習發散練習2 2： 用質量為用質量為5kg5kg的均勻鐵索從的均勻鐵索從10m10m深的深的井中吊起一質量為井中吊起一質量為20kg20kg的物體，在這個過程中至少要的物體，在這個過程中至少要做多少功？（做多少功？（g g取取10 10 S S2 2 ）物體的位移：物體的位移：在

13、這一過程中彈力的功在數值上等于圖在這一過程中彈力的功在數值上等于圖8 8中梯形中梯形OADC OADC 的面積，的面積，即即所以物體的最大動能為所以物體的最大動能為11答案：答案：2250J2250J10052501010hhhmgMgF提示：作用在物體和鐵索上的力至少應等于物體和鐵索的重提示：作用在物體和鐵索上的力至少應等于物體和鐵索的重力，但在拉起來的過程中，鐵索長度逐漸縮短，因此拉力也力，但在拉起來的過程中，鐵索長度逐漸縮短，因此拉力也逐漸減小，即拉力是一個隨距離長度變化的變力，從物體在逐漸減小，即拉力是一個隨距離長度變化的變力，從物體在井底開始算起，拉力隨深度井底開始算起，拉力隨深度h

14、 h的變化關系是的變化關系是 JJW2250102200250作出作出 圖線如圖圖線如圖9 9所示，利用示功圖求解拉力的功（可用圖所示，利用示功圖求解拉力的功（可用圖中梯形面積），得出中梯形面積），得出12發散練習：發散練習：一輛汽車質量為一輛汽車質量為1 1 10105 5kgkg，從靜止開始運，從靜止開始運動，其阻力為車重的動，其阻力為車重的0.050.05倍。其牽引力的大小與車前進的倍。其牽引力的大小與車前進的距離是線形關系，且距離是線形關系，且 F=10F=103 3 s s 5 510104 4N N，F Ff f 是車所受阻是車所受阻力，當該車前進力，當該車前進100m100m時，

15、牽引力做了多少功？時，牽引力做了多少功？J7101作出作出F-sF-s圖象如圖圖象如圖1010所示，圖中梯形所示，圖中梯形OABDOABD的的面積表示牽引力的功，所以面積表示牽引力的功，所以451051010105. 0NkmgFf4310510sFJJW74100 . 1210010155答案：答案：提示：阻力提示：阻力則牽引力為則牽引力為13例汽車的質量為例汽車的質量為m m，輸出功率恒為，輸出功率恒為P P，沿平直公路前進，沿平直公路前進距離距離s s的過程中，其速度由的過程中，其速度由增至最大速增至最大速。假定汽車在。假定汽車在運動過程中所受阻力恒定，則汽車通過距離運動過程中所受阻力恒

16、定，則汽車通過距離s s所用的時間為所用的時間為_._.思路點撥：汽車以恒定的功率思路點撥：汽車以恒定的功率P P加速時，由加速時，由P=FvP=Fv可知，可知，牽引力逐漸減小，汽車做加速度逐漸減小的加速運動，當牽引力逐漸減小，汽車做加速度逐漸減小的加速運動，當 時，加速度減小到零，速度達到最大，然后以最大時，加速度減小到零，速度達到最大，然后以最大的速度做勻速直線運動。的速度做勻速直線運動。三、利用三、利用W=PtW=Pt求變力做功求變力做功這是一種等效代換的觀點，用這是一種等效代換的觀點，用W=PtW=Pt計算功時，必須滿計算功時，必須滿足變力的功率是一定的。足變力的功率是一定的。14兩式

17、聯立得兩式聯立得2vPFf21222121mvmvsFPft221222)(vsPvvmt正確解答：當正確解答：當 時，汽車的速度達到最大，時，汽車的速度達到最大，由，可得由，可得對汽車，根據動能定有：對汽車，根據動能定有：15)(2121vvv212vvsvst)(2121vvvsvPvPsFW)(2121求平均牽引力)(2121FFF誤點警示：有同學可能這樣解：誤點警示：有同學可能這樣解：平均速度平均速度時間時間 這樣解是錯誤的，因為汽車的運動不是勻加速運動，這樣解是錯誤的，因為汽車的運動不是勻加速運動，不能用不能用 求平均速度。求平均速度。 小結點評：汽車以恒定的功率啟動時，牽引力是變力

18、，小結點評：汽車以恒定的功率啟動時，牽引力是變力，牽引力的功不能用牽引力的功不能用W=Fs計算，但可以用計算，但可以用W=Pt計算，若用計算，若用 求牽引力的功也是錯誤的求牽引力的功也是錯誤的因為牽引力隨位移的變化不是線性關系，不能用因為牽引力隨位移的變化不是線性關系，不能用16發散演習發散演習1 1：質量為：質量為m m的汽車在平直的公路上從速度的汽車在平直的公路上從速度 開始加速行使，經過一段時間開始加速行使，經過一段時間t t后，前進了距離后，前進了距離s s，此時恰好，此時恰好達到其最大速度達到其最大速度，設此過程中汽車發動機始終以額定，設此過程中汽車發動機始終以額定功率功率P P工作

19、，汽車所受的阻力為恒力工作，汽車所受的阻力為恒力則這段時間里，發動則這段時間里，發動機所做的功為：（）機所做的功為：（）tvFAfmax.PtB.stvvmC0max.tvvFDf2.max0提示：發動機所做的功即為發動機牽引力所做的功，由提示：發動機所做的功即為發動機牽引力所做的功，由功率定義可知，選項功率定義可知，選項B B正確。正確。 答案：答案：A、B17tvFPtWfmax2max0vv 汽車以恒定功率啟動，當汽車以恒定功率啟動，當 時，達到最速度時，達到最速度，應有應有所以所以選項選項A正確。選項正確。選項C、D均將汽車的運動看作勻變速運動，其均將汽車的運動看作勻變速運動，其中選項

20、中選項C是先求出是先求出a，再求出合外力，再求出合外力ma的功，選項的功，選項D是先算出是先算出平均速度平均速度t vFf然后用 ，表示發動機做的功顯然都是錯誤的，因為機車的，表示發動機做的功顯然都是錯誤的，因為機車的運動是變加速運動而不是勻變速運動運動是變加速運動而不是勻變速運動18 這種方法的依據是：這種方法的依據是：做功的過程就是能做功的過程就是能量轉化的過程，功是能的轉化的量度量轉化的過程，功是能的轉化的量度。如果。如果知道某一過程中能量轉化的數值，那么也就知道某一過程中能量轉化的數值，那么也就知道了該過程中對應的功的數值。知道了該過程中對應的功的數值。例例4 4。如圖。如圖1111所

21、示，質量所示，質量m=2kgm=2kg的小球系在輕細橡皮條一端，的小球系在輕細橡皮條一端，另一端固定在懸點另一端固定在懸點O O處。將橡皮條拉直至水平位置處。將橡皮條拉直至水平位置OAOA處（橡處（橡皮條無形變）然后將小球由皮條無形變）然后將小球由A A處靜止釋放，小球達處靜止釋放，小球達O O點正下點正下方方h=0.5mh=0.5m處的處的B B點時的速度為點時的速度為v=2 m/sv=2 m/s。求小球從。求小球從A A運動到運動到B B的過程中橡皮條的彈力對小球所做的功。取的過程中橡皮條的彈力對小球所做的功。取g=10m/sg=10m/s2 2四、利用功能關系求變力功四、利用功能關系求變

22、力功19 正確解答正確解答：取過：取過B B點的水平面為零重力勢能參考平面，橡點的水平面為零重力勢能參考平面，橡皮條為原長時的彈性勢能為零，設在皮條為原長時的彈性勢能為零，設在B B時橡皮條的彈性勢能為時橡皮條的彈性勢能為, ,由機械能守恒定律得由機械能守恒定律得 mghEmvP2221JJJmvmghEP622215 . 010221222橡皮條的彈性勢能增加橡皮條的彈性勢能增加6J6J，則小球的機械能，則小球的機械能必減少必減少6J6J，故橡皮條的彈力對小球做功，故橡皮條的彈力對小球做功-6J-6J。 思路點撥思路點撥：取小球、橡皮條和地球組成的系統為研究對：取小球、橡皮條和地球組成的系統

23、為研究對象，在小球從象，在小球從A A運動到運動到B B的過程中，只有系統內的重力和彈力的過程中，只有系統內的重力和彈力做功，機械能定恒。做功，機械能定恒。20 小結點評小結點評：彈簧或橡皮條的彈力是變力，求此：彈簧或橡皮條的彈力是變力，求此類彈力做功可用機械能守恒定律結合彈力做功與彈類彈力做功可用機械能守恒定律結合彈力做功與彈性勢能變化的關系性勢能變化的關系. .2022121mvmv 提示：對整個過程應用動能理。提示：對整個過程應用動能理。發散演習：發散演習：1 1、將一質量為、將一質量為m m的物體以初速度為的物體以初速度為豎直向上拋出，落回拋出點時的速度為，已知空豎直向上拋出，落回拋出

24、點時的速度為，已知空氣阻力與速率成正比，則從拋出到落回拋出點的整個過氣阻力與速率成正比，則從拋出到落回拋出點的整個過程中，空氣阻力做的功為程中，空氣阻力做的功為 ：（：（ ）答案：答案：21 發散演習發散演習、如圖如圖1212所示，物體沿曲面從所示，物體沿曲面從A A點無速點無速度滑下，滑至曲面的最底點度滑下，滑至曲面的最底點B B時，下滑的高度為時，下滑的高度為5m5m，速度為，若物體的質量為速度為，若物體的質量為1kg1kg，則下落過程，則下落過程中物體克服阻力做的功為多少？中物體克服阻力做的功為多少？KAKBfGEEWWJWWWKBGf32答案：根據動能定理可得答案：根據動能定理可得 22用用F F緩慢地拉；緩慢地拉；F F為恒力；為恒力；若若F F為恒力，而且拉到該位置為恒力，而且拉到該位置時小球的速度剛好為零。可供選擇的答案有時小球的速度剛好為零。可供選擇的答案有A. B. C. D. cosFLsinFLcos1FLcos1mgLLmF