1、7-7-1.容斥原理之重疊問(wèn)題（一）7- 7-1容斥原理之重疊問(wèn)題（一）.題庫(kù)page 3 of 9教師版B AI B （其中符號(hào)“ U ”讀作讀作“交”，相當(dāng)于中文“且”圖示如下：A表示小圓部分，BB ,即陰影面積.圖示如下：A表包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個(gè)集合 步進(jìn)行：第一步：分別計(jì)算集合 A、B的元素個(gè)數(shù), 切元素都“包含”進(jìn)來(lái)，加在一起第二步：從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù), 的元素個(gè)數(shù)）.A B的并集AU B的元素的個(gè)數(shù)，可分以下兩然后加起來(lái)，即先求A B （意思是把 A B的一） ；即減去C AI B （意思是“排除” 了重復(fù)計(jì)算教學(xué)目標(biāo)1 , 了解容斥原理二量重疊和三量重疊

2、的內(nèi)容；2 .掌握容斥原理的在組合計(jì)數(shù)等各個(gè)方面的應(yīng)用.知識(shí)要點(diǎn)一、兩量重疊問(wèn)題在一些計(jì)數(shù)問(wèn)題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算. 求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù), 不能簡(jiǎn)單地把兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)，即減去交集的元素個(gè)數(shù)，用式子可表示成：AUB A“并”，相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意思；符號(hào)“ I ”的意思.）則稱(chēng)這一公式為包含與排除原理，簡(jiǎn)稱(chēng)容斥原理.表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AI示小圓部分，B表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AIB,即陰影面積.先包含一一A B重疊部分AI B計(jì)算了 2次，多加了 1次;2

3、.再排除一一A B AI B把多加了 1次的重疊部分 AI B減去.二、三量重疊問(wèn)題A類(lèi)、B類(lèi)與C類(lèi)元素個(gè)數(shù)的總和A類(lèi)元素的個(gè)數(shù) B類(lèi)元素個(gè)數(shù) C類(lèi)元素個(gè)數(shù)既是A類(lèi)又是B類(lèi)的元素個(gè)數(shù) 既是B類(lèi)又是C類(lèi)的元素個(gè)數(shù)既是A類(lèi)又是C類(lèi)的元素個(gè)數(shù) 同時(shí)是 A類(lèi)、B類(lèi)、C類(lèi)的元素個(gè)數(shù).用符號(hào)表示為： AU BUC A B C AIB BIC AIC AI BIC,圖示如下：1 .先包含：重疊部分2.再排除：重疊部分圖中小圓表示 A的元素的個(gè)數(shù)，中圓表示 B的元素的個(gè)數(shù), 大圓表示C的元素的個(gè)數(shù).AAIAAIB CB、BI C、C I A重疊了 2次，多加了 1次.B C AI B BI C AI CB I

4、 C重疊了 3次，但是在進(jìn)行 ABCAI B BI C AI C計(jì)算時(shí)都被減掉了.在解答有關(guān)包含排除問(wèn)題時(shí)，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖）來(lái)幫助分析思考.3,再包含：A B C AI B BI C AI C AI B I C ."t皿歸 例題精講兩量重疊問(wèn)題【例1】 小明喜歡：踢足球、上網(wǎng)、游泳、音樂(lè)、語(yǔ)文、數(shù)學(xué)；小英喜歡：數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、音樂(lè)、陶藝、跳繩。用圓 A、圓B分別表示小明、小英的愛(ài)好，如圖所示，則圖中陰影部分表示【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問(wèn)題O【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第 3題【解析】陰影部分是兩人都愛(ài)好的：數(shù)學(xué)、音樂(lè)【答案】數(shù)學(xué)、音樂(lè)18;當(dāng)從右向左報(bào)【例2】 四（1）班全體同學(xué)

5、站成一排，當(dāng)從左向右報(bào)數(shù)時(shí)，小華報(bào):數(shù)時(shí)，小華報(bào):【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問(wèn)題13.那么該班有學(xué)生【難度】1星【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第【題型】填空2題該班學(xué)生人數(shù)為：18 13 1 30 （名）。30名【例3】實(shí)驗(yàn)小學(xué)四年級(jí)二班，參加語(yǔ)文興趣小組的有28人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有29人，有12人兩個(gè)小組都參加.這個(gè)班有多少人參加了語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組?兩量重疊問(wèn)題【解析】如圖所示，A圓表示參加語(yǔ)文興趣小組的人，B圓表示參加數(shù)學(xué)興趣小組的人,與B重合的部分C（陰影部分）表示同時(shí)參加兩個(gè)小組的人.圖中 A圓不含陰影的 部分表示只參加語(yǔ)文興趣小組未參加數(shù)學(xué)興趣小組的人，有28 12 16（人）；圖中B

6、圓不含陰影的部分表示只參加數(shù)學(xué)興趣小組未參加語(yǔ)文興趣小組的人，有29 12 17（人）.方法一：由此得到參加語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組的有：16 12 17 45（人）.方法二：根據(jù)包含排除法，直接可得：參加語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組的人參加語(yǔ)文興趣小組的人參加數(shù)學(xué)興趣小組的人兩個(gè)小組都參加的人，即： 28 29 12 45（人）.【答案】45人【鞏固】 芳草地小學(xué)四年級(jí)有 58人學(xué)鋼琴，43人學(xué)畫(huà)畫(huà)，37人既學(xué)鋼琴又學(xué)畫(huà)畫(huà)，問(wèn)只 學(xué)鋼琴和只學(xué)畫(huà)畫(huà)的分別有多少人？【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問(wèn)題【難度】1星【題型】解答【解析】 解包含與排除題，畫(huà)圖是一種很直觀、簡(jiǎn)捷的方法，可以幫助解決問(wèn)題，畫(huà)圖時(shí)注 意把不同的對(duì)象與不同

7、的區(qū)域?qū)?yīng)清楚.建議教師幫助學(xué)生畫(huà)圖分析，清楚的分析每一部分的含義.如圖，A圓表示學(xué)畫(huà)畫(huà)的人，B圓表示學(xué)鋼琴的人，C表示既學(xué)鋼琴又學(xué)畫(huà)畫(huà)的人，圖中A圓不含陰影的部分表示只學(xué)畫(huà)畫(huà)的人，有：43 37 6（人），圖中B圓不含陰影的部分表示只學(xué)鋼琴的人，有：58 37 21（人）.【答案】21人【鞏固】四（二）班有48名學(xué)生，在一節(jié)自習(xí)課上，寫(xiě)完語(yǔ)文作業(yè)的有30人，寫(xiě)完數(shù)學(xué)作業(yè)的有20人，語(yǔ)文數(shù)學(xué)都沒(méi)寫(xiě)完的有 6人. 問(wèn)語(yǔ)文數(shù)學(xué)都寫(xiě)完的有多少人？ 只寫(xiě)完語(yǔ)文作業(yè)的有多少人？【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問(wèn)題【難度】1星【題型】解答【解析】 由題意，有48 6 42（人）至少完成了一科作業(yè)，根據(jù)包含排除原理，兩科作

8、 業(yè)都完成的學(xué)生有：30 20 42 8（人）.只寫(xiě)完語(yǔ)文作業(yè)的人數(shù)寫(xiě)完語(yǔ)文作業(yè)的人數(shù)-語(yǔ)文數(shù)學(xué)都寫(xiě)完的人數(shù)，即 30 8 22（人）.【答案】22人【鞏固】四（1）班有46人，其中會(huì)彈鋼琴的有 30人，會(huì)拉小提琴的有 28人，則這個(gè)班 既會(huì)彈鋼琴又會(huì)拉小提琴的至少有 人?！究键c(diǎn)】?jī)闪恐丿B問(wèn)題【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第 6題【解析】至少一項(xiàng)不會(huì)的最多有（46-30）+（46-28）=34, 那么兩項(xiàng)都會(huì)的至少有 46-34=12人 【答案】12【例4】 如圖，圓A表示1到50這50個(gè)自然數(shù)中能被 3整除的數(shù)，圓 B表示這50個(gè)數(shù) 中能被5整除的數(shù)，則陰影部分表示

9、的數(shù)是 。【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問(wèn)題【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第 4題【解析】陰影部分是A和B共有的，即1到50這50個(gè)自然數(shù)中能被 3X5= 15整除的數(shù),即 15, 30, 45【答案】15, 30, 45【例5】 學(xué)校為了豐富學(xué)生的課余生活，組建了乒乓球俱樂(lè)部和籃球俱樂(lè)部，同學(xué)們踴躍報(bào)名參加，其中有321人報(bào)名參加乒乓球俱樂(lè)部，429人報(bào)名參加了籃球俱樂(lè)部， 但學(xué)校最后發(fā)現(xiàn)有 50人既報(bào)名參加了乒乓球俱樂(lè)部， 又報(bào)名參加了籃球俱樂(lè)部， 還有23人什么俱樂(lè)部都沒(méi)報(bào)名，問(wèn)該學(xué)校共有 名學(xué)生.【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問(wèn)題【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級(jí)，第5題

10、【解析】321 429 50 23 723人【答案】723人【例6】 某班共有46人，參加美術(shù)小組的有 12人，參加音樂(lè)小組的有 23人，有5人兩個(gè) 小組都參加了.這個(gè)班既沒(méi)參加美術(shù)小組也沒(méi)參加音樂(lè)小組的有多少人？【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問(wèn)題【難度】1星【題型】解答【解析】已知全班總?cè)藬?shù)，從反面思考，找出參加美術(shù)或音樂(lè)小組的人數(shù)，只需用全班總?cè)藬?shù)減去這個(gè)人數(shù)，就得到既沒(méi)參加美術(shù)小組也沒(méi)參加音樂(lè)小組的人數(shù).根據(jù)包含排除法知，該班至少參加了一個(gè)小組的總?cè)藬?shù)為12 23 5 30（人）.所以，該班未參加美術(shù)或音樂(lè)小組的人數(shù)是46 30 16（人）.【答案】16人22人參加了作文比賽，12人兩26 22 12

11、 36（人），所以，【鞏固】四年級(jí)一班有45人，其中26人參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽， 項(xiàng)比賽都參加了. 一班有多少人兩項(xiàng)比賽都沒(méi)有參加?【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問(wèn)題【難度】1星【題型】解答【解析】由包含排除法可知，至少參加一項(xiàng)比賽的人數(shù)是：兩項(xiàng)比賽都沒(méi)有參加的人數(shù)為：45 36 9 （人）.【答案】9人【鞏固】 實(shí)驗(yàn)二校一個(gè)歌舞表演隊(duì)里，能表演獨(dú)唱的有 10人，能表演跳舞的有 18人，兩 種都能表演的有7人.這個(gè)表演隊(duì)共有多少人能登臺(tái)表演歌舞？【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問(wèn)題【難度】1星【題型】解答【解析】根據(jù)包含排除法，這個(gè)表演隊(duì)能登臺(tái)表演歌舞的人數(shù)為：10 18 7 21（人）.【答案】21人【例7】 全班50個(gè)學(xué)生，

12、每人恰有三角板或直尺中的一種，28人有直尺，有三角板的人中，男生是14人，若已知全班共有女生 31人，那么有直尺的女生有 人。【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問(wèn)題【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第 8題【解析】有三角板的學(xué)生共50-28=22 （人），其中女生22-14=8 （人），那么有直尺的女生有 31-8=23 （人）。【答案】23人7-7-1容斥原理之重疊問(wèn)題（一）,題庫(kù)教師版page 5 of 9【例8】 某次英語(yǔ)考試由兩部分組成，結(jié)果全班有12人得滿(mǎn)分，第一部分有 25人做對(duì),第二部分有19人有錯(cuò)，問(wèn)兩部分都有錯(cuò)的有多少人？7- 7-1容斥原理之重疊問(wèn)題（一）.題庫(kù)page 8 o

13、f 9教師版【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【解析】如圖，用長(zhǎng)方形表示參加考試的人數(shù)，A圓表示第一部分對(duì)的人數(shù).B圓表示第二部分對(duì)的人數(shù)，長(zhǎng)方形中陰影部分表示兩部分都有錯(cuò)的人數(shù).已知第一部分對(duì)的有 25人，全對(duì)的有12人，可知只對(duì)第一部分的有： 25 12 13（人）.又 因?yàn)榈诙?分有19人有錯(cuò)，其中第一 部分對(duì)第二部分有錯(cuò)的 有13人，那么余下 的 19 13 6（人）必是第一部分和第二部分均有錯(cuò)的，兩部分都有錯(cuò)的有6人.【答案】6人25人.兩項(xiàng)都會(huì)的有10【例9】 對(duì)全班同學(xué)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，會(huì)游泳的有 20人，會(huì)打籃球的有 人，兩項(xiàng)都不會(huì)的有 9人.這個(gè)班一共有多少人？【考點(diǎn)】?jī)?/p>

14、量重疊問(wèn)題【難度】2星【題型】解答B(yǎng)圓表示會(huì)打籃球的人【解析】如圖，用長(zhǎng)方形表示全班人數(shù)，A圓表示會(huì)游泳的人數(shù),數(shù)，長(zhǎng)方形中陰影部分表示兩項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù).由圖中可以看出，全班人數(shù) 至少會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)兩項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù)，至少會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)為:20 25 10 35（人），全班人數(shù)為：35 9 44 （人）.【答案】44人【鞏固】 某班組織象棋和軍棋比賽，參加象棋比賽的有32人，參加軍棋比賽的有 28人，有18人兩項(xiàng)比賽都參加了，這個(gè)班參加棋類(lèi)比賽的共有多少人？加比參棋的 只象賽項(xiàng)賽參的 兩比都加加比 參股的 只圍賽【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【解析】如圖，A圓表示參加象棋比賽的人，B圓

15、表示參加軍棋比賽的人，A與B重合的部分表示同時(shí)參加兩項(xiàng)比賽的人.圖中A圓不含陰影的部分表示只參加象棋比賽不參加軍棋比賽的人，有 32 18 14（人）；圖中B圓不含陰影的部分表示只參加 軍棋比賽不參加象棋比賽的人，有28 18 10（人）.由此得到參加棋類(lèi)比賽的人有14 18 10 42（人）.或者根據(jù)包含排除法直接得：32 28 18 42（人）.【答案】42人18人，既采了櫻桃又采了杏的有7【例10】 在46人參加的采摘活動(dòng)中，只采了櫻桃的有人，既沒(méi)采櫻桃又沒(méi)采杏的有 6人，問(wèn)：只采了杏的有多少人?既采、櫻桃 又采 杏的,既沒(méi)采櫻桃又沒(méi)采而【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【解析

16、】如圖，用長(zhǎng)方形表示全體采摘人員46人，A圓表示采了櫻桃的人數(shù)，B圓表示采了杏的人數(shù).長(zhǎng)方形中陰影部分表示既沒(méi)采櫻桃又沒(méi)采杏的人數(shù).由圖中可以看出，全體人員是至少采了一種的人數(shù)與兩種都沒(méi)采的人數(shù)之和，則至少采了一種的人數(shù)為：46 6 40（人），而至少采了一種的人數(shù)只采了櫻桃的人數(shù)兩種都采了的人數(shù) 只采了杏的人數(shù)，所以，只采了杏的人數(shù)為：40 18 7 15（人）.【答案】15人【例11】甲、乙、丙三個(gè)小組學(xué)雷鋒， 為學(xué)校擦玻璃，其中68塊玻璃不是甲組擦的，52塊 玻璃不是乙組擦的，且甲組與乙組一共擦了60塊玻璃.那么，甲、乙、丙三個(gè)小組各擦了多少塊玻璃？【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問(wèn)題【難度】2星【題型

17、】解答【解析】68塊玻璃不是甲組擦的，說(shuō)明這68塊玻璃是乙、丙兩組擦的；52塊玻璃不是乙組 擦的，說(shuō)明這52塊玻璃是甲、丙兩組擦的.如圖，用圓A表示乙、丙兩組擦的 68塊玻壬B圓表示甲、丙兩組擦的 52塊玻璃.因甲乙 兩組共擦了 60塊玻璃，那么68 52 60 60 （塊），這是兩個(gè)丙組擦的玻璃 數(shù).60 2 30（塊）.丙組擦了 30塊玻璃.乙組擦了：68 30 38（塊）玻璃，甲組擦了：52 30 22（塊）玻璃.【答案】甲組擦了：52 30 22（塊）玻璃，乙組擦了： 68 30 38（塊）玻璃，丙組擦了 30塊玻璃。【例12】育才小學(xué)畫(huà)展上展出了許多幅畫(huà)，其中有16幅畫(huà)不是六年級(jí)的，

18、有 15幅畫(huà)不是五年級(jí)的，五、六年級(jí)共展出25幅畫(huà)，其他年級(jí)的畫(huà)共有多少幅？【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問(wèn)題【難度】2星 【題型】解答【解析】 通過(guò)16幅畫(huà)不是六年級(jí)的可以知道，五年級(jí)和其他年級(jí)的畫(huà)作數(shù)量之和是16,通過(guò)15幅畫(huà)不是五年級(jí)的可以知道六年級(jí)和其他年級(jí)的畫(huà)作數(shù)量之和是15,那也就是說(shuō)五年級(jí)的畫(huà)比六年級(jí)多 1幅，我們還知道五、六年級(jí)共展出25幅畫(huà)，進(jìn)而可以求出五年級(jí)畫(huà)作有 13幅，六年級(jí)畫(huà)作有12幅，那么久可以求出其他年級(jí)的畫(huà)作 共有3幅.【答案】3幅【例13】47名學(xué)生參加數(shù)學(xué)和語(yǔ)文考試，其中語(yǔ)文得分95分以上的14人，數(shù)學(xué)彳導(dǎo)分95分以上的21人，兩門(mén)都不在95分以上的有22人.問(wèn)：兩門(mén)者B

19、在95分以上的有多少 人？【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【解析】如圖，用長(zhǎng)方形表示這 47名學(xué)生，A圓表示語(yǔ)文得分95分以上的人數(shù)，B圓表示 數(shù)學(xué)得95分以上的人數(shù)， A與B重合的部分表示兩門(mén)都在 95分以上的人數(shù)，長(zhǎng)方 形內(nèi)兩圓外的部分表示兩門(mén)都不在95分以上的人數(shù).由圖中可以看出，全體人數(shù)是至少一門(mén)在95分以上的人數(shù)與兩門(mén)都不在 95分以上的人數(shù)之和，則至少一門(mén)在95分以上的人數(shù)為：47 22 25（人）.根據(jù)包含排除法，兩門(mén)都在 95分 以上的人數(shù)為：14 21 25 10（人）.【答案】10人【鞏固】 有100位旅客，其中有10人既不懂英語(yǔ)又不懂俄語(yǔ)，有 75人懂英語(yǔ)，8

20、3人懂俄 語(yǔ).問(wèn)既懂英語(yǔ)又懂俄語(yǔ)的有多少人？【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】迎春杯【解析】方法一：在100人中懂英語(yǔ)或俄語(yǔ)的有：100 10 90（人）.又因?yàn)橛?5人懂英語(yǔ)， 所以只懂俄語(yǔ)的有：90 75 15（人）.從83位懂俄語(yǔ)的旅客中除去只懂俄語(yǔ)的人， 剩下的83 1568（人）就是既懂英語(yǔ)又懂俄語(yǔ)的旅客.方法二：學(xué)會(huì)把公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，由包含與排除原理，得：AUB A B AI B 75 83 90 68（人）.【答案】68人【例14】一個(gè)班48人，完成作業(yè)的情況有三種：一種是完成語(yǔ)文作業(yè)沒(méi)完成數(shù)學(xué)作業(yè)；種是完成數(shù)學(xué)作業(yè)沒(méi)完成語(yǔ)文作業(yè)；一種是語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完

21、成了.已知做完 語(yǔ)文作業(yè)的有37人；做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有 42人.這些人中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成 的有多少人？【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【解析】不妨用下圖來(lái)表示：完成造文作業(yè)的人效完成她學(xué)作光的人翻線段AB表示全班人數(shù)，線段 AC表示做完語(yǔ)文作業(yè)的人數(shù)，線段DB表示做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)，重疊部分 DC則表示語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都做完的人數(shù).根據(jù)題意，做完語(yǔ)文作業(yè)的有 37人，即AC 37 .做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有 42人，即DB 42.AC DB 37 42 79（人）L L L L AB 48（人）L L L L 式減式，就有 DC 79 48 31（人），所以，數(shù)學(xué)、語(yǔ)文作業(yè)都做完的有 31人.

22、【答案】31人【鞏固】四年級(jí)科技活動(dòng)組共有 63人.在一次剪貼汽車(chē)模型和裝配飛機(jī)模型的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中，老師到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：剪貼好一輛汽車(chē)模型的同學(xué)有42人，裝配好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有 34人.每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng).問(wèn)：同時(shí)完成這兩項(xiàng) 活動(dòng)的同學(xué)有多少人？【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【解析】因42 34 76, 76 63 ,所以必有人同時(shí)完成了這兩項(xiàng)活動(dòng).由于每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng)， 根據(jù)包含排除法知，42 34 （完成了兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)）全組 人數(shù)，即76 （完成了兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)）63.由減法運(yùn)算法則知，完成兩項(xiàng)活動(dòng) 的人數(shù)為76 63 13（人）.也可畫(huà)圖分析.【答案】13人【鞏固】科技活動(dòng)小組有55人.在一次制作飛機(jī)模型和制作艦艇模型的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中，老師到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：制作好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有40人，制作好一艘艦艇的同學(xué)有32人.每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)制作.問(wèn)兩項(xiàng)制作都完成的同學(xué)有多少 人？?jī)闪恐丿B問(wèn)題【難度】2星【題型】解答7- 7-1容斥原理之重疊問(wèn)題（一）.題庫(kù)page 10 of 9教師版因?yàn)?0 32 72, 72 55,所以必有人兩