1、1、考慮一個工作申請的博弈。兩個學生同時向兩家企業申請工作，每家企業只有 一個工作崗位。工作申請規則如下：每個學生只能向其中一家企業申請工作； 如果一家 企業只有一個學生中請，該學生獲得工作；如果一家企業有兩個學生申請，則每個學生 獲得工作的概率為1/2。現在假定每家企業的工資滿足： W1/2<W2<2W1 ,則問：a.寫出以上博弈的戰略式描述b.求出以上博弈的所有納什均衡(包括 混合策略均衡)2、設古諾模型中有n家廠商。qi為廠商i的產量，Q q q2 L qn為市場總 產量。P為市場出清價格，且已知P P(Q) a Q (當Q a時，否則 P 0)。假設廠商i生產產量qi的總成

2、本為Ci Ci(qi) cqi,也就是說沒有 固定成本且各廠的邊際成本都相同， 為常數c(c a)。假設各廠同時選擇產量，該模 型的納什均衡是什么？當趨向于無窮大時博弈分析是否仍然有效？3、兩個廠商生產一種完全同質的商品，該商品的市場需求函數為Q 100 P ,設廠商1和廠商2都沒有固定成本。若他們在相互知道對方邊際成 本的情況下，同時作出產量決策是分別生產 20單位和30單位。問這兩個廠商的邊際成 本各是多少？各自的利潤是多少？4、五戶居民都可以在一個公共的池塘里放養鴨子。每只鴨子的收益V是鴨子總數N的函數，并取決于N是否超過某個臨界值N ；如果N N ,收益問:v v(N) 50 N ；如

3、果N N時，v(N) 0。再假設每只鴨子的成本為c 2元。若所有居民同時決定養鴨的數量，問該博弈的納什均衡是什么？5、三對夫妻的感情狀態可以分別用下面三個得益矩陣對應的靜態博弈來表示。 這三個博弈的納什均衡分別是什么？這三對夫妻的感情狀態究竟如何？矩陣1:妻子活著死了1, 1-1, 0死了0,-10, 0矩陣2:妻子死了0, 01, 0死了0, 10, 0矩陣3:妻子死了-1, -11, 0死了0, 10, 06、兩個個體一起參加某項工程，每個人的努力程度e 0,1 (i 1,2),成本為c(e)(i 1,2),該項目的產出為f(e,s2)。個體的努力程度不影響到項目的分 配方法，項目的產出在

4、2個體之間均分。試回答以下問題：222_2/11、如果f (ei，e2)3062,c(e)0 (i1,2)，試求此博弈的的Nash均衡(即兩個個體選擇的最優努力程度)。2、如果f (0,%)4962,c(e)e(i1,2),試求此博弈的的Nash均衡。第2次作業1、企業甲和企業乙都是彩電制造商，都可以選擇生產低檔產品或高檔產品，每個 企業在四種不同的情況下的利潤如以下得益矩陣所示。如果企業甲先于企業乙進行產品選擇并投入生產，即企業乙在決定產品時已經知道企業甲的選擇， 而且這一點雙方都清 楚。(1)用擴展型表示這一博弈。(2)這一博弈的子博弈完美納什均衡是什么?企業乙企業甲高檔低檔高檔500,

5、5001000, 700低檔700, 1000600, 6002、兩個寡頭企業進行價格競爭博弈，企業 1的利潤函數是22.1(p aq c) q ,企業2的利潤函數是 2(q b) p,其中p是企業1的價格，q是企業2的價格。求：(1)兩個企業同時決策的純策略納什均衡；(2)企業1先決策的子博弈完美納什均衡；(3)企業2先決策的子博弈完美納什均衡；(4)是否存在參數a,b,c的特定值或范圍，使兩個企業都希望自己先決策？3、考慮如下的雙寡頭市場戰略投資模型：企業 1和企業2目前情況下的生產成本 都是c 2。企業1可以引進一項新技術使單位成本降低到 c 1,該項技術需要投 資f。在企業1作出是否投

6、資的決策(企業 2可以觀察到)后，兩個企業同時選擇產 量。假設市場需求函數為 p(q) 14 q ,其中p是市場價格，q是兩個企業的總 產量。問上述投資額f處于什么水平時，企業1會選擇引進新技術？4、在市場進入模型中，市場逆需求函數為 p=13-Q,進入者和在位者生產的邊際 成本都為1,固定成本為0,潛在進入者的進入成本為4。博弈時序為：在位者首先決 定產量水平；潛在進入者在觀察到在位者的產量水平之后決定是否進入；如果不進入， 則博弈結束，如果進入，則進入者選擇產量水平。求解以上博弈精煉納什均衡。5、在三寡頭的市場中，市場的逆需求函數 p a Q,Q為三家產量之和，每家企業 的不變邊際成本為c

7、,固定成本為00如果企業1首先選擇產量，企業2和企業3觀察 到企業1的產量后同時選擇產量，則均衡時的市場價格。第3次作業1、兩個人合作開發一項產品，能否成功與兩個人的工作態度有關，設成功概率如利益。問該博弈無限次重復博弈的均衡是什么？2、兩寡頭古諾產量競爭模型中廠商的利潤函數為iqi(ti qj qi),i 1,2。若t1 1是兩個廠商的共同知識，而12則是廠商2的私人信息，廠商1只 知道t2 3/4或12 4/5 ,且12取這兩個值的概率相等。若兩個廠商同時選擇產 量，請找出該博弈的純策略貝葉斯均衡。3 、兩個廠商生產相同產品在市場上進行競爭性銷售。第1個廠商的成本函數為C1 q1，其中q1

8、為廠商1的產量。第2個廠商的成本函數為c eq2,其中q2為廠商2 的產量，c為其常數邊際成本。兩個廠商的固定成本都為零。廠商 2的邊際成本c是廠 商2的“私人信息”，廠商1認為c在；,% 上呈均勻分布。設市場需求函數為P 4。q2,其中P為價格，兩個廠商都以其產量為純戰略，問純戰略貝葉斯均衡 為何？。4、兩個企業同時決定是否進入一個市場， 企業i的進入成本i 0,)是私人信 息，i是服從分布函數F( i)的隨機變量以及分布密度f( i)嚴格大于零，并且1和 2兩者獨立。如果只有一個企業進入，進入企業 i的利潤函數為 m i ;如果兩個企 業都進入，則企業i的利潤函數為 di ;如果沒有企業進

9、入，利潤為零。假定 m和d是共同知識，且 m> d >0,試計算此博弈的貝葉斯均衡。博弈論第1次作業答案1、a.寫出以上博弈的戰略式描述學生B企業1企業2學生A企業1企業2的均略 為2）,b.求出以上博弈所有納什均衡（包括混合策略衡）存在兩個純戰納什均衡：分別（企業1,企業收益為（W1,W2）。（企業2,企業1）,收益為（W2,W1） o存在一個混合策略均衡：令學生 A選擇企業1的概率為p ,選擇企業2的概率為1 p ；學生B選擇企業1的概率為q ,選擇企業2的概率 為1 q 。當學生A以（p,1 p）的概率選擇時，學生B選擇企業1的期望收益應該與選擇企業2的期望收益相等，即：2W

10、2 W1W1 W2解得：2W1 W2 , p1W1 W2 , 同理求出： 解得：2W2 W1W1 W2所以，混合策略納什均衡為：學生A、B均以（2W1 W2 2W2 W1W1 W2 , W1 W2概率選擇企業1,企業2。2、該模型的納什均衡是什么？當趨向于無窮大時博弈分析是否仍然有 效？各廠商的利潤函數為：求解：對其求導，令導數為0,解得反應函數為：*納什均衡（q1 ,q2,qJ，必是n條反應函數的交點* a cq1 q2. qn丁 ,且為唯一的納什均衡當趨向于無窮大時博弈分析無效。* lim qi n.a lim°,此時為完全競爭市場，此時博弈分析無效。3、問這兩個廠商的邊際成本各

11、是多少？各自的利潤是多少?設：邊際成本不變，為C1 , c2。計算得市場出清價格為：兩個廠商的利潤函數為：求解：對其求導，令導數為0,解得反應函數為： *納什均衡（qi ,q2）,即（20,30 ）為兩條反應函數的交點 得到：G 30, C2 20。此時：Ui 400,比 900。4、若所有居民同時決定養鴨的數量，問該博弈的納什均衡是什么? 設居民i選擇的養鴨數目為ni （i 1,2,3,4,5）,則總數為5Nni。i 1假設：居民的得益函數為：計算：得到反應函數： *5、反應函數的交點（1,門2,門3,門4,門5）是博弈的納什均衡。 * 、將（】，n2,門3,門4,門5）帶入反應函數，得：

12、*ni但Q%8。此時：Ui64。此時，N40然后討論下N若 N 40 ,N ,上述博弈成立。N55、問：這三個博弈的納什均衡分別是什么？這三對夫妻的感情狀態究 竟如何？矩陣1:（活著，活著）（死了，死了）可以看出這對夫妻間感情十分深厚。這對夫妻同生共死，一個死了， 則另一個也選擇死去。如果一個死了，一個活著，那么活著的將生不如死。矩陣2:（活著，活著）（活著，死了）（死了，活著）可以看出這對夫妻間感情一般。這對夫妻共同活著沒有收益，一個死了，對于另一個來說反而更好。矩陣3:（活著，死了）（死了，活著）可以看出這對夫妻間感情很梢糕。這對夫妻共同活著對雙方來說是生不如死。一個死了，對于另一個來說反

13、而更好。26、 如果f（0臺）3q0 , c（q） q （i 1,2）,試求此博弈的 Nash均衡（即兩個個體選擇的最優努力程度）。(2)如果f Be) 4062, c(e) e(i 1,2),試求此博弈的 Nash均衡。(1)收益為：得出反應函數為：*納什士衡(3,62)為兩條反應函數的交點，代入得出：兩個人都不會努力的(2)收益為：分別求偏導：此時，兩個人的努力程度都與對方的努力程度有關一 1 一向0，a)時，博弈一方越努力，另一方就選擇努力程度為0,此時納什均衡為(0,0)11 1、向 3時，雙方收益均達到最大值，此時納什均衡為 (2,2).1 (2,1時，博弈一方越努力，另一方選擇努力

14、程度為 1,此時納什均衡為(1,1 )第2次作業答案1, (1)用擴展型表示這一博弈。(2)這一博弈的子博弈完美納什均衡是什么？運用逆向法，由乙先來選擇，在兩個子博弈中，乙選擇紅色所示的路徑。再由甲選擇，在(高檔，低檔)，(低檔，低檔)之間選擇。甲選擇綠色所示路徑, 最終的子博弈完美納什均衡是(高檔，低檔)，雙方的收益為(1000,700)2、(1)兩個企業同時決策的純策略納什均衡；同時決策時，兩個企業都為了各自利潤最大化分別對各自利潤求導，并令導數為 0解得：p aq c 1 bq b '2 ab c此時，兩個企業同時決策的純策略納什均衡為企業 1,2的價格為(aq c,b)(2)企

15、業1先決策的子博弈完美納什均衡；企業1先決策，則企業2會在知道企業1的決策后，尋求自身利潤最大化 所以：將q b帶入 1(p aq c)2 q (p ab c)2 b此時，babc ,跟同時決策時的納什均衡相同。c, b)企業1先決策的子博弈完美納什均衡為企業1,2的價格為(ab(3)企業2先決策的子博弈完美納什均衡；企業2先決策，則企業1會在知道企業2的決策后，尋求自身利潤最大化 所以：22將 p aq c帶入 2(q b) p (q b) aq c此時，2企業2先決策的子博弈完美納什均衡為企業 1,2的價格為(旦b, ab c) 24(4)是否存在參數a,b,c的特定值或范圍，使兩個企業都

16、希望自己先決策?企業在先決策時得到的利潤大于后決策時的利潤時，會希望先決策企業1希望先決策：a2ab c ab c 0 a 0,c ab4，企業2希望先決策：-_ab a b 0 a 0,b萬2 ，a 0,b a結論：2 , c ab3、(1)企業1沒有引入新技術求兩個企業的利潤最大化，只要對利潤函數求偏導，并另偏導為 0得到：。4, q2 41 16, 2 16(2)企業1引入新技術求兩個企業的利潤最大化，只要對利潤函數求偏導，并另偏導為 01411得到：q1q2 -3 3t ,17此時，p 3引入新技術使得企業1的利潤不少于沒有引入新技術前的利潤，所以 得到時，企業1會選擇引進新技術。52

17、4、(1)企業1的產量qi,企業2以產量q2進入市場企業2后進入市場，則企業2會在知道企業1的決產量后，尋求自身利潤最大化 所以：1將q2 6 25帶入 1(12 。q2)q1 ,得此時，q1 6, q2 31 18, 2 5(2)企業1的產量q1,企業2以產量q2進入市場時利潤為0,覺得不進入市場企業2后進入市場，則企業2會在知道企業1的決產量后，尋求自身利潤最大化 所以：-1將q2 6 2q1帶入 2(12 q1 q2)q240,得1 32 ,此時，企業2不進入市場。5、三個企業的利潤函數為：i (p c)q (a q1 q2 q3 c)q(i 1,2,3)企業2和企業3觀察到企業1的產量

18、后同時選擇產量企業2和3均為了各自利潤最大化選擇產量，求解出各個的反應函數：a q1 c q2 q1 q3 % ,將反應函數帶入企業 1的利潤函數，得3對其求偏導，求解出企業1利潤最大時的產量q2 q3,a c此時：P a ( 2a c a c) a 5c666第三次作業答案1、兩個人的得益矩陣如下:BA努力偷懶努力偷懶一次博弈納什均衡為(偷懶，偷懶)，無法實現帕累托最優(努力，努力)。無限 次博弈時，對于A,第一階段選擇努力,(1)若前t-1時刻選擇均為努力，t時刻也選擇努力94(1)A lim -(1 t 42 2) t時刻選擇偷懶，則前面的行為均為偷懶達到(努力，努力)這個均衡，使 A A ,即,米取觸發策略。、均衡為(努力，努力)，合作產生。2、假設：廠商2在t2 3/4時，產量為q2 ,利潤為2 ；廠商2在t24/5時，產量為q2 ,利潤為2對于廠商2來說，分別具有50%的概率得到以下的利潤C，3仁仁、2 q2 (二 q q2)44、2q2 (5q1q2 )對于廠商1來說，利潤為L 11e 1 二q1(1 q1 q2)二q(1 q1 q2