1、第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)變函數(shù)積分的概念復(fù)變函數(shù)積分的概念一、積分的定義三、積分存在的條件及其計(jì)算法二、積分的性質(zhì)四、小結(jié)與思考2一、積分的定義一、積分的定義1.有向曲線有向曲線: 設(shè)設(shè)C為平面上給定的一條光滑為平面上給定的一條光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲線曲線, , 如果選定如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向?yàn)檎较? (或正向或正向), ), 那么我們就把那么我們就把C理解為帶理解為帶有方向的曲線有方向的曲線, , 稱(chēng)為稱(chēng)為有向曲線有向曲線. .xyoAB如果如果A到到B作為曲線作為曲線C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲線就是曲線C的負(fù)向的負(fù)向, .

2、C記記為為3簡(jiǎn)單閉曲線正向的定義簡(jiǎn)單閉曲線正向的定義: 簡(jiǎn)單閉曲線簡(jiǎn)單閉曲線C的正向的正向是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)P順此方順此方向前進(jìn)時(shí)向前進(jìn)時(shí), , 鄰近鄰近P點(diǎn)的曲線點(diǎn)的曲線的內(nèi)部始終位于的內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方點(diǎn)的左方. xyoPPPP與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向.關(guān)于曲線方向的說(shuō)明關(guān)于曲線方向的說(shuō)明: 在今后的討論中在今后的討論中,常把兩個(gè)端點(diǎn)中的一個(gè)作常把兩個(gè)端點(diǎn)中的一個(gè)作為起點(diǎn)為起點(diǎn), 另一個(gè)作為終點(diǎn)另一個(gè)作為終點(diǎn), 除特殊聲明外除特殊聲明外, 正方正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.42.積分的定義積分的定義:, ,

3、, , )( 110BzzzzzAnCBADCDzfwnkk 設(shè)設(shè)分分點(diǎn)點(diǎn)為為個(gè)個(gè)弧弧段段任任意意分分成成把把曲曲線線的的一一條條光光滑滑的的有有向向曲曲線線終終點(diǎn)點(diǎn)為為內(nèi)內(nèi)起起點(diǎn)點(diǎn)為為為為區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)定定義義在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 , ), 2 , 1( 1kkknkzz 上任意取一點(diǎn)上任意取一點(diǎn)在每個(gè)弧段在每個(gè)弧段 5,)()()( 111knkknkkkknzfzzfS 作作和和式式oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 ,max 1knks 記記 , , 11的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度這里這里kkkkkkzzszzz ( , 0 時(shí)時(shí)無(wú)

4、無(wú)限限增增加加且且當(dāng)當(dāng) n , )( , , 記為記為的積分的積分沿曲線沿曲線函數(shù)函數(shù)那么稱(chēng)這極限值為那么稱(chēng)這極限值為一極限一極限有唯有唯的取法如何的取法如何的分法及的分法及如果不論對(duì)如果不論對(duì)CzfSCnk .)(limd)(1knkknCzfzzf 6關(guān)于定義的說(shuō)明關(guān)于定義的說(shuō)明: .d)( , )1( CzzfC記記為為那那么么沿沿此此閉閉曲曲線線的的積積分分是是閉閉曲曲線線如如果果 . ),( )( , )2(定積分的定義定積分的定義實(shí)變函數(shù)實(shí)變函數(shù)這個(gè)積分定義就是一元這個(gè)積分定義就是一元而而軸上的區(qū)間軸上的區(qū)間是是如果如果xuzfbxaxC 7二、積分的性質(zhì)二、積分的性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變

5、函數(shù)的定積分有類(lèi)似的性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類(lèi)似的性質(zhì).;d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(為為常常數(shù)數(shù)kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )4(那那末末上上滿滿足足在在函函數(shù)數(shù)的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為設(shè)設(shè)曲曲線線估值不等式估值不等式8性質(zhì)性質(zhì)(4)的證明的證明 , 1兩點(diǎn)之間的距離兩點(diǎn)之間的距離與與是是因?yàn)橐驗(yàn)?kkkzzz , 度度為這兩點(diǎn)之間弧段的長(zhǎng)為這兩點(diǎn)之間弧段的長(zhǎng)ks knkkzf 1)( 所所以以 nkkkzf1)( nkkksf1)(

6、 兩端取極限得兩端取極限得.d)(d)( CCszfzzf nkkksf1)( 因?yàn)橐驗(yàn)?nkksM1,ML .d)(d)( MLszfzzfCC 所以所以證畢證畢9三、積分存在的條件及其計(jì)算法三、積分存在的條件及其計(jì)算法1. 存在的條件存在的條件.d)( , )(一一定定存存在在積積分分是是光光滑滑曲曲線線時(shí)時(shí)是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)而而如如果果 CzzfCzf證證 ),()()( ttyitxtzzC由由參參數(shù)數(shù)方方程程給給出出設(shè)設(shè)光光滑滑曲曲線線正方向?yàn)閰?shù)增加的方向正方向?yàn)閰?shù)增加的方向, , BA及終點(diǎn)及終點(diǎn)對(duì)應(yīng)于起點(diǎn)對(duì)應(yīng)于起點(diǎn)及及參數(shù)參數(shù) 10, 0)( ttz并并且且 , ),(),

7、()( 內(nèi)內(nèi)處處處處連連續(xù)續(xù)在在如如果果Dyxviyxuzf , ),( ),( 內(nèi)內(nèi)均均為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在和和那那么么Dyxvyxu , kkki 設(shè)設(shè) )( 111 kkkkkkkiyxiyxzzz因?yàn)橐驗(yàn)?)()(11 kkkkyyixx, kkyix 11knkkzf 1)( 所以所以 nkkkkkkkyixviu1)(,(),( nkkkkkkknkkkkkkkyuxviyvxu11),(),(),(),( , , 都是連續(xù)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)由于由于vu根據(jù)線積分的存在定理根據(jù)線積分的存在定理,12當(dāng)當(dāng) n 無(wú)限增大而弧段長(zhǎng)度的最大值趨于零時(shí)無(wú)限增大而弧段長(zhǎng)度的最大值趨于零時(shí),

8、, , ),( , 下下式式兩兩端端極極限限存存在在的的取取法法如如何何點(diǎn)點(diǎn)的的分分法法任任何何不不論論對(duì)對(duì)kkC nkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf111),(),(),(),()( Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 13 : ddd )(相乘后求積分得到相乘后求積分得到與與yixzivuzf Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式142. 積分的計(jì)算法積分的計(jì)算法. d)( 積積分

9、分來(lái)來(lái)計(jì)計(jì)算算函函數(shù)數(shù)的的線線可可以以通通過(guò)過(guò)兩兩個(gè)個(gè)二二元元實(shí)實(shí)變變 Czzf ttytytxutxtytxvittytytxvtxtytxuzzfCd)()(),()()(),(d)()(),()()(),(d)( tty itxtytxivtytxud)()()(),()(),(.d)()( ttztzf15 ttztzfzzfCd)()(d)(則則光滑曲線光滑曲線相互連接所組成的按段相互連接所組成的按段等光滑曲線依次等光滑曲線依次是由是由如果如果 , , 21nCCCC Czzfd)(.d)(d)(d)(21 nCCCzzfzzfzzf在今后討論的積分中在今后討論的積分中, 總假定被積

10、函數(shù)是連續(xù)的總假定被積函數(shù)是連續(xù)的, 曲線曲線 C 是按段光滑的是按段光滑的.16例例1 解解 . 43 : ,d 的的直直線線段段從從原原點(diǎn)點(diǎn)到到點(diǎn)點(diǎn)計(jì)計(jì)算算iCzzC 直線方程為直線方程為, 10,4,3 ttytx ,)43( , tizC 上上在在 ,d)43(dtiz d)43(d102 ttizzC d)43(102 tti .2)43(2i )dd)(d CCyixiyxzz又又因因?yàn)闉?7 ddddd CCCyxxyiyyxxzz這兩個(gè)積分都與路線這兩個(gè)積分都與路線C 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān), 43 曲線曲線的的是怎樣從原點(diǎn)連接到點(diǎn)是怎樣從原點(diǎn)連接到點(diǎn)所以不論所以不論iC .2)43(d2i

11、zzC 18例例2 解解. 1 1 (3) ; 1 (2) ; 1 (1) : ,dRe 2的折線的折線再到再到軸到點(diǎn)軸到點(diǎn)從原點(diǎn)沿從原點(diǎn)沿的弧段的弧段上從原點(diǎn)到點(diǎn)上從原點(diǎn)到點(diǎn)拋物線拋物線的直線段的直線段從原點(diǎn)到點(diǎn)從原點(diǎn)到點(diǎn)為為其中其中計(jì)算計(jì)算ixixyiCzzC (1) 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),10()( titttz,d)1(d,Re tiztz 于于是是 CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x19(2) 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為xyoi 11iy=x2xy ),10()(2 titttz,d)21(d,Re ttiztz

12、 于于是是 CzzdRe 10d)21(titt1032322 tit;3221i 20 xyoi 11iy=x2xy (3) 積分路徑由兩段直線段構(gòu)成積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為軸上直線段的參數(shù)方程為),10()( tttz1到到1+i直線段的參數(shù)方程為直線段的參數(shù)方程為),10(1)( tittz,dd,Re tztz 于于是是,dd, 1Re tizz 于是于是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i 21例例3 解解 . 2 : ,d zCzzC圓周圓周為為其中其中計(jì)算計(jì)算積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),20(2 iez d2diiez Czzd

13、 20d22 iie)2( z因因?yàn)闉?20d)sin(cos4 ii. 0 22例例4 解解. , , ,d)(1 010為為整整數(shù)數(shù)徑徑的的正正向向圓圓周周為為半半為為中中心心為為以以求求nrzCzzzCn zxyor0z 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri23zxyor0z , 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ninrin; 0 rzznzzz0d)(1 10所以所以 . 0,

14、0, 0,2nni重要結(jié)論重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無(wú)關(guān)：積分值與路徑圓周的中心和半徑無(wú)關(guān). .24例例5解解. d1 , 43 絕對(duì)值的一個(gè)上界絕對(duì)值的一個(gè)上界試求積分試求積分的直線段的直線段為從原點(diǎn)到點(diǎn)為從原點(diǎn)到點(diǎn)設(shè)設(shè) CziziC 1)(0 ,)43( ttizC的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為根據(jù)估值不等式知根據(jù)估值不等式知 Czizd1 Csizd1ittizC)14(311 , 上上因因?yàn)闉樵谠?522)14()3(1 tt2592542512 t,35 Czizd1 從而從而 Csd35325 .325d1 Cziz故故5 26四、小結(jié)與思考四、小結(jié)與思考 本課我們學(xué)習(xí)了積分的定義、存在條件以本課我們學(xué)習(xí)了積分的定義、存在條件以及計(jì)算和性質(zhì)及計(jì)算和性質(zhì). 應(yīng)注意復(fù)變函數(shù)的積分有跟微應(yīng)注意復(fù)變函數(shù)的積分有跟微積分學(xué)中的線積分完全相似的性質(zhì)積分學(xué)中的線積分完全相似的性質(zhì). 本課中重本課中重點(diǎn)掌握復(fù)積分的一般方法點(diǎn)掌握復(fù)積分的一般方法.27思考題思考題?d)( )( 函數(shù)定積分是否一致函數(shù)定積分是否一致與一元與一元的積分定義式的積分定義式復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù) Czzfzf28思考題答案思考題答案 , , 是是實(shí)實(shí)