Hertz接觸理論Hertz接觸理論很久以來，人們就對接觸物體表面的應力、應變、位移及相對滑移感興趣。早在1881年Hertz首次解決兩彈性球體受壓接觸面之間的壓力分布問題。其后將類似方法推廣到一般的彈性體接觸情形。在處理方法中用到了下面一些假設：(1)接觸區域通常都是橢圓的,并且接觸物體是各向同性的線彈性體；(2)每個物體均可被看作是一個彈性半空間體；(3)接觸表面是無摩擦的，兩物體之間僅傳遞法向壓力，不傳遞切向力；根據這些假設，利用半無限表面受垂直集中力作用的解，從垂直位移的幾何條件中導了接觸問題的積分方程，并且用假設的方法求出了問題的解。2023/4/122Hertz接觸理論Hertz的工作引起力學和數學工作者的很大興趣。一百多年來，接觸理論有了很多進展，主要有如下幾方面：(1)更多類型的接觸面或幾何形狀不同的物體的接觸問題得到解決；(2)接觸面之間的應力類型是復雜些的接觸問題,例如除正應力外還有切應力（摩擦接觸）得到發展；(3)接觸物體的材料不限于各向同性彈性材料，例如接觸物體之一為剛體，或粒狀材料等；(4)與解決上述問題包括二維情形有密切聯系的數學方法,如復變函數，奇異積分方程，積分變換等得到發展。此外彈性接觸理論與流體力學相組合等問題也有進展。2023/4/123Hertz接觸理論如圖所示為兩個物體的接觸示意圖，在兩個主平面上具有不同的曲率半徑ρ1、ρ2。在載荷F的作用下接觸，當載荷Q為0時，接觸為一點，當載荷逐漸增大，接觸區域應力值變化成一橢圓。2023/4/124Hertz接觸理論點接觸的兩物體，在負荷Q的作用下，接觸區域將擴展成為一個接觸面。該接觸面在與接觸法線垂直面的投影為一橢圓，長軸為2a，短軸為2b。2023/4/125Hertz接觸理論在接觸區內，各點的上的接觸應力大小是不同的。在Z軸上，由于變形最大，故其接觸應力最大。2023/4/126Hertz接觸理論2023/4/127其他點上的接觸應力按半橢球規律分布總壓力Q應等于:從幾何意義上看，此積分就等于半橢球的體積，故有：最大接觸應力為Hertz接觸理論其中長半軸a,短半軸b的計算公式為：2023/4/128E′——當量彈性模量其中：為兩接觸物體的彈性模量為兩接觸物體的泊松比為兩物體在接觸點處的主曲率的和Hertz接觸理論2023/4/129其中接觸橢圓的長短半軸系數分別為：k——橢圓率，k=b/a

L(e)——與橢圓偏心率e有關的第二類完全橢圓積分橢圓偏心率與橢圓率的關系為：Hertz接觸理論赫茲接觸變形公式為：2023/4/1210K(e)——與橢圓偏心率e

有關的第一類完全橢圓積分主曲率函數可表示為：Hertz接觸理論在對赫茲點接觸理論進行求解時，需要用數值積分和數值迭代的方法，不便于進行求解。為了便于計算，傳統的求解方法是采用查表的方法，即首先計算出的值，再根據的值查表得出系數、、的值，由上述公式計算出接觸問題的相關解。2023/4/1211Hertz接觸理論2023/4/1212Hertz接觸理論2023/4/1213實例：兩彈性體之間的接觸壓力問題兩球體的接觸問題圓球與平面（或凹球面）的接觸例題Hertz接觸理論2023/4/1214一.兩球體的接觸問題根據半空間體在邊界上受法向分布力中有關知識，可導出兩彈性體之間的接觸壓力以及由此所引起的應力和變形，下面我們先對兩彈性球體進行討論。設兩個球體半徑分別為R1和R2,如圖。Hertz接觸理論2023/4/1215設開始時兩球體不受壓力作用，它僅接觸于一點O，那么此時，在兩球體表面上取距公共法線距離為r的M1和M2兩點，與O點的切平面之間的距離z1和z2.則由幾何關系有：(R1－z1)2+r2=R12(R2－z2)2+r2=R22得Hertz接觸理論2023/4/1216當M1,M2離O點很近時，則z1＜＜R1,z2＜＜R2，上面兩式可化為：（a）而M1、M2兩點之間的距離為：Hertz接觸理論2023/4/1217當兩球體沿接觸點的公共法線用力F相壓時，在接觸點的附近，將產生局部變形而形成一個圓形的接觸面。由于接觸面邊界的半徑總是遠小于R1、R2，所以可以采用關于半無限體的結果來討論這種局部變形。設α為圓心O1、O2因壓縮而相互接近的距離，如果M1與O1、M2與O2之間無相對移動，

則M1與M2之間接近的距離也為α；Hertz接觸理論2023/4/1218現分別用w1和w2表示M1點沿z1方向的位移及M2點沿z2方向的位移（即相外的相對移動）；于是M1點和M2點之間的距離減少為α－(w1+w2)，如果點M1、M2由于局部變形而成為接觸面內的同一點M，則由幾何關系有：α－(w1+w2)=z1+z2將式（a）代入，得w1+w2=α－βr2

(b)其中，（c）Hertz接觸理論2023/4/1219根據對稱性接觸面一定是以接觸點O為中心的圓。現以圖中的圓表示接觸面，而M點表示下面的球體在接觸面上的一點（即變形以前的點M1），則按照彈性半空間受垂直壓力q的解答，該點的位移為：其中ν1及E1為下面球體的彈性常數，而積分應包括整個接觸面。對于上面的球體，也可以寫出相似的表達式，于是：

（d）Hertz接觸理論2023/4/1220其中并由（d）式及(c)式得到此，把問題歸結為去尋求未知函數q（即要找出壓力的分布規律），使式（e）得到滿足。Hertz接觸理論2023/4/1221根據Hertz的假設，如果在接觸面的邊界上作半圓球面，而用它在各個點的高度代表壓力q各該點處的大小。例如弦mn上一點壓力的大小，可用過mn所作半圓的高度h來代表。令q0表示接觸圓中心O的壓，則根據上述假定，應有q0=ka由此得：k=

q0/ak這個常數因子表示壓力分布的比例尺。Hertz接觸理論2023/4/1222接觸圓內任一點的壓力，應等于半球面在該點的高度h和k=q0/a的乘積。由此，不難從圖可以看出，A為弦mn上的半圓（用虛線表示）面的面積，即Hertz接觸理論2023/4/1223由于代入后再代入式（e）積分后得：有Hertz接觸理論2023/4/1224要使此式對所有的r都成立，等號兩邊的常數項和r2的系數分別相等，于是有(g)Hertz接觸理論2023/4/1225這樣，只要式（g）成立，Hertz所假定的接觸面上壓力分布是正確的。根據平衡條件，上述半球體的體積與的乘積應等于總壓力F，即由此的最大壓力(h)它等于平均壓力F/πa2的一倍半。將式（c）和式（h）代入式（g），求解a及αHertz接觸理論2023/4/1226即得：由此并可求得最大接觸壓力為；Hertz接觸理論2023/4/1227在E1=E2=E及ν1=ν2=0.3時，由上列各式得出工程實踐中廣泛采用的公式：Hertz接觸理論2023/4/1228在求出接觸面間的壓力之后，可利用按照彈性半空間受垂直壓力q的解答導出的公式計算出兩球體中的應力。最大壓應力發生在接觸面中心，值為q0；最大剪應力發生在公共法線上距接觸中心約為0.47a處，其值為0.31q0；最大拉應力發生在接觸面的邊界上，其值為0.133q0。Hertz接觸理論2023/4/1229二.圓球與平面（或凹球面）的接觸利用上面關于兩彈性球體接觸時的有關結論，可得如下公式：當圓球與平面接觸時，將以上結果中的R1=R0,R2→∞則得：Hertz接觸理論2023/4/1230在E1=E2=E及ν1=ν2=0.3時Hertz接觸理論2023/4/1231當圓球與凹球面接觸時，將以－R1代替兩圓球接觸時公式中的R1，則可得：Hertz接觸理論2023/4/1232三.例題直徑為10mm的鋼球與a)直徑為100mm的鋼球；b)鋼平面；c)半徑為50mm的凹球面相接觸，其間的壓緊力P=10N，試球接觸圓的半徑a,兩球中心相對位移α和最大接觸應力q0

（E=2.1×105N/mm2,ν=0.3）Hertz接觸理論2023/4/1233解:a)直徑為10mm的鋼球與直徑為100mm的鋼球；=0.067mm=9.8×10-4mm