1、第4章 量子力學中的對稱性 本章是關于對稱性、兼并和守恒律的一般性理論討論。本章是關于對稱性、兼并和守恒律的一般性理論討論。 4.1 對稱性、守恒律和簡并一、經典物理中的對稱性n對拉格朗日函數：n若 ，即廣義動量為運動常數.n類似地，若用哈密頓函數 的正則方程來討論：LTVL(q ,q )dpLdL0, ()0qdtqdt則HLp q HH q, ppqH0pq .若，則是運動常量二、量子力學中的對稱性n量子力學中的操作如平移、轉動等是與一個幺正算符T相聯系的，習慣上T常被稱作對稱算符。n若T作用下系統不變,則稱系統具有與T相關的對稱性.n對無窮小變化的操作，T可寫為， 其中G是該對稱操作的厄

2、米生成元。n若H在T作用下不變， 則根據海森堡運動方程，有 ，即G是運動常量。n如動量是平移的生成元，若H在平移操作下不變，則動量是運動常量（守恒）。類似的，若H在轉動下不變，則轉動的生成元角動量守恒。n從態矢變化的角度看，若G與H對易，則 保持是G的本征態，且G的本征值不變：n即使初始態矢不是G的本征態，G的期望值也是不變的（守恒）。GiT1, G,H0, T HTH即 ()0HdGdt00g ,t ;tU(t,t ) g 0G g ,t ;tGU gUG gg U g三、簡并n若H,T=0，T為某對稱算符，|n為本征值為En的能量本征態，則T|n也是相同能量的能量本征態。如果T|n與|n是

3、不同的態，則稱它們是能量簡并態，體系有簡并。有時T由連續參量表征T=T(),此時所有的T()|n態都簡并（但簡并度只是獨立的T()|n態數）。n如對轉動， 可構造H, J2, Jz的共同本征態|n;j,m。由上所知，所有D(R) |n;j,m態能量簡并。n由于 ，改變表征D(R)的連續參量,可得不同|njm的組合，故不同m的|njm是簡并的，簡并度簡并度為2j+1。n從H,J=0和J作用于|njm，也可知其有2j+1簡并度n作為應用，考慮原子中電子的狀態，其所受勢為 。由于該勢在轉動下不變，故原子能級有2j+1重簡并。若外加Z方向的電磁場，則電子所受的勢不再在轉動下不變，簡并被（部分）消除。2

4、( ),0, ,0, ,0,D R HJ HJH則 mjmmRDmnjnjmRD)()()( )( )lsV rVr L S4.2 分離對稱性，宇稱或空間反演 n上面討論的是連續性對稱操作，即對稱操作可由相繼無窮小對稱算符所得。量子力學中有用的對稱操作并不限于此種形式，可有分立而非連續的對稱操作，如宇稱，晶格平移和時間反演。n宇稱或空間反演操作將r變為-r，而右手坐標系變為左手坐標系。量子力學中我們討論的常是作用于態矢而不是坐標系的變換。對稱操作的兩種等價方式：主動與被動一、宇稱算符的基本性質n對|，用幺正算符表示宇稱算符，| |。n 要求位置算符的期望值變號，即n則有n位置本征態|x在宇稱作

5、用下變為本征值為-x的態：n故n由于用作用兩次體系必恢復原狀，故2=1n=-1=+，是厄米的。n對的本征態|,因|=2|，知=1xx 0 xxxxx 或 ，即 與 反對易xxx xx (x ) iixe-xe1. ,通常取二、算符在宇稱操作下的變換n由于先平移后反演等同于先反演后在相反方向平移：n有n或p,=0. 該關系與p=dx/dt的預期相同。n對軌道角動量L=xxp，可預期L,=0.n對一般角動量，考慮到R(宇稱)=-I，宇稱和轉動操作對易，故量子力學中的相應幺正算符也對易： D(R)=D(R) ,J=0.,)xd(T)xd(Tip dxip dx(1)1, pp 三、矢量和贗矢量n在轉

6、動下x和J以相同方式變換，兩者都是矢量，或一階球張量，但x和p與反對易，而J與對易。n與宇稱反對易的矢量稱為極性矢量，而與宇稱對易的矢量叫做軸矢量或贗矢量。n類似的有標量算符（與宇稱算符對易）和贗標量算符（與宇稱算符反對易） 。nLS、xp是標量： + LS= LSn贗標量的例子包括Sx、Lx等：等：xL)x(LxLxL四、波函數在宇稱操作下的變換n若|為宇稱本征態，|= |,則= , 故有n“+”對應偶宇稱，“-”對應奇宇稱。當然，只有與對易的算符之本征態才可能有確定的宇稱。如動量算符不與對易，其本征態即平面波并非的本征態，而軌道角動量的本征態則可為的本征態：(x )x, x-x(-x) 的

7、波函數為)x()x(21)()!x,( )( , )( )( )(cos )4 ()!mmmimllllmlmRrRrPelm ,( ),llmlm (, )五、能量本征態與宇稱n若H,=0,而|n是H的本征值為En的非簡并非簡并本征態，則|n是宇稱本征態。n證：H|n=En|n,由非簡并性得|n=ei|n.n作為應用，考慮簡諧振子本征態。 由于基態為高斯函數，|0=|0, 而|1=a+|0=-|1。 類似可推得|n=(-)n|nn注意:非簡并性對得出|n是的本征態是非常重要的。若有簡并，如氫原子體系，Cp|2p+Cs|2s是H本征態，但并非的本征態。又如動量本征態也是自由粒子 H本征態，但|

8、p 和 |-p簡并, |p并非的本征態.n當然，我們可以通過組合H的簡并本征態而得到的本征態，如|=|p|-p便是和H的共同本征態n(1+ )|n和(1- )|n總是宇稱本征態六、對稱雙勢阱 nH與對易，EA=H|A ES=H|S，EA-ES隨勢壘增高而減少。n取|R|S+|A，|L|S-|A,在作用下|R和|L對調. |R和|L不是或H的本征態，但有相同能量期望值. |R和|L是非定態,若t0=0處于|R，則t時狀態為n該態在|R和|L間震蕩，震蕩角頻率為n該震蕩可看成量子力學的隧道貫穿，粒子在經典物理禁止的區域隧穿而震蕩于兩態間。如勢壘無窮高，則EA=ES，從而=0，不再震蕩。n注：對無窮

9、高勢壘， |R和|L均是H的本征態，但非的本征態。即H所具有的宇稱不一定反映在其本征態上，這是簡并與對稱破缺的一個簡單例子。該現象在自然界相當普遍(鐵磁、糖與氨基酸的手性等)。七、宇稱選擇定則 n若 即奇宇稱的x將相反宇稱的態相聯系。n該討論可推廣到其他算符。如算符為奇宇稱，則其只有在不同宇稱的狀態間有不為零的矩陣元。偶宇稱算符則在同宇稱態間矩陣元才可能不為零。 n如果H,=0，能量非簡并態必無偶極矩：=0n當然，對簡并態，則不一定為零。n宇稱不守恒：宇稱不守恒：若H與對易，則宇稱守恒，否則宇稱不守恒。基本粒子間的弱作用H與宇稱不對易，故過程宇稱不守恒。李楊最早發現弱相互作用宇稱不守恒而獲諾獎

10、。11xx=(-x)0, 則除非,1, 4.3 分立對稱性：晶格平移 n晶格平移這一分立對稱性在固體物理中有重要的應用。n對一維周期勢，+(a)V(x)(a)=V(x+a)=V(x), a為晶格常數。H,(a)=0, (a)和H可同時對角化.n在H和(a)的共同本征矢中，由于幺正而非厄米，的期待值為復數且模為1。n為求出(a)的本征態，先考慮無限高勢壘的情形。此時電子只能局域于某格點附近。設相應能量本征態為|n, H|n=En|n, n表示格點位置, 不同|n簡并。n雖然|n是H的本征態,且H與(a)對易，|n不是(a)的本征態。將不同|n線性疊加,可得到(a)的本征態:, innen00En

11、EeHnin( )1,H( )ininaenea是 和的共同本征態n有限高勢壘時，|n并不完全局域于格點n，而是主要集中于格點n而隨與n的距離而衰減。n以|n為基構造|，|仍為本征值為e-i的本征態n由于n設 ，有n取k=/a，則n可見晶格平移算符的本征態|之波函數可寫成平面波與具有晶格周期性的函數之乘：n n且 ，k空間范圍稱為(第一)Brillouin Zone )(u)a(ukkxxBloch定理定理( )( ),ikxkkxeux)(u)a(ukkxx,kaaa ) (xuexkikxiexaxax)()()(axueaxkaxik能量本征值n可見不同k=/a的態能量本征值不同.,()0()()00ininnn nini n nnnininnnininnninininnnnHeH nenn H nenen H nene