1、排列與組合本章知識網絡特另寸的， A； = n!規定 0! =、根本計數原理 1分類計數原理(加法原理)三、組合 1組合的定義從n個不同的元素中， 任意取出m (m w n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中任取 m個元 素的一個組合 2組合數1組合數的定義：從n個不同的元素中，任取m(m w n)個元素的所有組合的個數，叫做從 n個不同元素中任意取出m個元素的組合數，用 表示2組合數公式分類計數原理的定義：做一件事，完成它有 n類方法。在第一類方法中有 mi種不同的方法； 在第二類方法中，有 m2種不同的方法；在第n類方法中，有 mn中不同的方法，那么完成這 件事共有N=種不同的方法。.

2、2分步計數原理(乘法原理)分步計數原理的定義：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一個步驟有mi種不同的方法，做第二個步驟有 m2種不同的方法，做第n個步驟有mn中不同的方法，那么完成這件事 共有N=種不同的方法.二、排列 1排列的定義從n個不同的元素中任取m (m< n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列2.排列數1排列數的定義：從n個不同的元素中取出m(m w n)個元素的所有排列的個數，叫做從 n個不同元素中取出 m個元素的排列數，用表示2排列數公式cm特別的，C0=:3)組合數的性質cm=解決排列組合問題的根本規律：分類相加，分步相乘，有

3、序排列，無序組合，正難那么反，先選后排前測1. n N*且 n 55,那么乘積(55n)(56 n)(69 n)等于()A . A；：B . A；nC. A15 nD . A64 n2. c7 c8 c； c；0=3 某八層大樓一樓電梯上來3名乘客，他們到各自的一層下電梯，下電梯的不同方法有 種4. 4人排成一排，其中甲和乙都站在邊上的不同站法有 種5用0,2,3,4,5五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有 種6從3臺甲型和4臺乙型電腦中任意取出3臺，其中至少要甲型和乙型電腦各一臺，那么不同的取法有種.4 9個籃球隊中有3個強隊，平均分三組(1) 假設3個強隊分別作為三個小組的種子

4、隊，不同的分組方法有 種.(2) 假設恰有2個強隊分在一組，不同的分組方法有 種7 某停車場有8個連在一起的車位，有 4輛不同的車要停進去，且恰有3輛車連在一起，那么不同的停放方法有種.5 .用5種不同的顏色涂色，要求每小格涂一種顏色，有公共邊的兩格不同顏色，顏色可重復使用(1)涂在“目字形的方格內有 種不同的涂法 涂在“田字形的方格內有 種不同的涂法典型例題1有4封不同的信和3個信筒.(1) 把4封信都寄出，有 種寄信方法;(2)把4封信都寄出，且每個信筒不空，有 種寄信方法.2 對某種產品的 6件不同正品和4件不同次品,(1) 一件一件的不放回抽取，連續取 3次，至少取到1件次品的不同取法

5、有 種.6 (1)編號為1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7的七盞路燈，晚上用時只亮三盞燈，且任意兩盞亮燈不相鄰，那么不同的開燈方案有 種某儀表顯示屏上一排有 7個小孔，每個小孔可顯示出 0或1,假設每次顯示其中三個孔，但相鄰的兩孔不能同時顯示，那么這個顯示屏可以顯示 種不同的信號(2)一一進行測試，到區分出所有次品為止，假設所有次品恰好在第五次測試被全部發現，那么這樣的測試方法有種.3. 某臺小型晚會由6個節目組成，演出順序有如下要求：(1) 節目甲必須排在前兩位，節目乙不能排在第一位，節目丙必須排在最后一位，該臺晚會節目演出順序的編排方案共有種(2) 原有的節目單保持順序不變，但刪去第

6、一個節目和最后一個節目，添加兩個新節目，該臺晚會節目演出順序的編排方案共有 種.3節目甲、乙、丙必須連排順序不固定，且和節目丁不相鄰，該臺晚會節目演出順序的編排方案共有種7.學校文藝隊有10名會表演唱歌或跳舞的隊員，其中會唱歌的有 5人，會跳舞的有7人。現選出 3人，1人去唱歌，2人去跳舞.1共有種不同的選法；2那么這樣的3人名單共可開出張穩固練習1 8名男女學生，從男生中選 2人，從女生中選1人，共有30種不同的選法，其中女生有 人2. 有甲、乙、丙在內的 6個人排成一排照相，其中甲和乙必須相鄰，丙不排在兩頭，那么這樣的排 法共有種.3. 用0,1,2,3,4這五個數字組成無重復數字的五位數

7、，其中恰有一個偶數數字夾在兩個奇數數字之間，這樣的五位數有種4在高三進行的演講比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能連續出場，且女生甲不能排在第一個，那么出場順序的排法種數為5只用1,2,3三個數字組成一個四位數，規定這三個數字必須同時使用，且同一個數字不能相鄰出現，這樣的四位數共有 個二項式定理一、概念1 .二項式定理2 .二項展開式的通項，記作Tk+1=典型例題6. 從甲、乙等5名志愿者中選出4名，分別從事A , B , C , D四項不同的工作，每人承當一項.假設甲、乙二人均不能從事 A工作，那么不同的工作分配方案共有 種7. 如果在一周內周一到周日安排三所學

8、校的學生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學校，要求甲學校連續參觀兩天，其余學校均只參觀一天，那么不同的安排方法有種1. 3 a2設(5x5的第三項是)nJ;展開式中的常數項是 ;有理項是第項.的展開式的各項系數之和為M，二項式系數之和為N，假設M N=56，那么展開式中常數項為&三個人坐到一排的八個座位上，假設每個人的兩邊都要有空座位，那么不同的坐法有種3.(x + /3) =a°+ a*1X+ a2x+a3X+a4x，貝V (a°+82+su) (a1 +33)的值9.某棟樓從2樓到3樓共有10級臺階，上樓可以一步上一個臺階，也可以一步上兩個臺階，假設規定從2樓到

9、3樓用八步走完，那么不同的走法有 種4 .設(1 + x)二項式系數和 + (1 + x)二項展開式的各項系數和 + (1 + x)5+-+ (1 + x)50 = a0 + a1x + 82X1 2x x2 1 x 8展開式的各項系數和為 + a3x3 + + a50x50，貝V a3 的值是( )A. C40B. 2C30C. C51D. C41DC10如圖，用四種不同的顏色給圖中的A, B,C,D,E,F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色那么不同的涂色方法共有 種穩固練習nn1. 假設1 2x的展開式中第6項與第7項的系數相等，那么 n=; 1 2x 展

10、開式中含3x的項是.3 1 2C： 22C：2nC： 2187，那么 C： C；C： 假設事件A i,A 2,-A n是相互獨立的，那么 P(A1 AAJ =概率本章知識體系與考查要求考試內容要求層次ABC概率取有限值的離散型隨機變量及其分布列V超幾何分布V條件概率V事件的獨立性Vn次獨立重復試驗與二項分布V取有限值的離散型隨機變量的期望均值、方差V正態分布V、超幾何分布：一般地，設有總數為 N的兩類物品，其中一類有 M(M N)件，從所有物品中四、n次獨立重復試驗與二項分布n次獨立重復試驗：在相同的條件下，重復地做n次試驗，各次試驗的結果相互獨立。二項分布：在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發

11、生k次的概率是P(X k) 用p表示一次試驗事件發生的概率X的分布列為：X01knP記作：X ;其期望可以用公式 計算；其方差可以用公式 計算.五、離散型隨機變量的期望均值、方差如果離散型隨機變量 X的概率分布如下:任取n件n N，這n件中所含這類物品件數 X是一個離散型隨機變量，它取值為m m n時的概率為P(X=m)=我們稱離散型隨機變量 X的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱X服從參數為N, M, n的超幾何分布。其期望可以用公式 計算.、條件概率：對于任何兩個事件 A , B，在事件 A發生的條件下，事件 B發生的概率，用符XX1X2XnPPiP2Pn把E( X )= X1 口 +

12、X； P2+ Xn Pn為離散型隨機變量的數學期望(簡稱期望)；期望反映了離散型隨機變量取值的。號“ P(B| A) 來表示。且 P(B | A) =把 DX (x1 EX)2?R (x2 EX)2?F2(Xn EX)2?P,叫做隨機變量 的方差。三、事件的獨立性： 事件A是否發生對事件E的發生的概率沒有影響，即P(B | A) = P(B)，這是我們稱兩個事件A,B是 相互獨立 的，并且把這兩個事件叫做相互獨立事件。假設事件A與E是相互獨立的，那么當事件A與B同時發生時，其概率為P(A B) =D 叫做隨機變量 的標準差;方差與標準差反映了 前測：1.一個口袋內有大小相等的 1個白球和已編有

13、不同號碼的 3個黑球，從中摸出2個球，1共有種不同的結果；2摸出2個黑球種不同的結果；3摸出2個黑球的概率是 .2將骰子先后拋擲 2次，計算：1一共有種不同的結果；2其中向上的數之和是 5的結果有種；3向上的數之和是 5的概率是 .3袋中有4個白球和5個黑球，連續從中取出 3個球，計算：1“取后放回，且順序為黑白黑的概率為 ; 2“取后不放回，且取出 2黑1白的概率 +4. 在10件產品中，有7件合格品，3件次品，從中任取 2件，計算:12件都是合格品的概率為 ;22件是次品的概率為 ;31件是合格品，1件是次品的概率為；(4)至少有1件次品的概率為 ;5至多有1件次品的概率為 .5. 甲、乙

14、兩人參加普法知識競賽，共設有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個，甲、乙二人依次各抽一題，計算：1甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是 +典型例題1.2004年世界衛生組織、聯合國兒童基金會等權威機構將青蒿素作為一線抗瘧藥品推廣 2022年12月10日，我國科學家屠呦呦教授由于在發現青蒿素和治療瘧疾的療法上的奉獻獲得諾貝爾醫學 獎目前，國內青蒿人工種植開展迅速某農科所為了深入研究海拔因素對青蒿素產量的影響，在山上和山下的試驗田中分別種植了100株青蒿進行比照試驗.現在從山上和山下的試驗田中各隨機選取了4株青蒿作為樣本，每株提取的青蒿素產量單位：克如下表所示：位置-編號山上山下I根據樣本數

15、據，試估計山下試驗田青蒿素的總產量；n記山上與山下兩塊試驗田單株青蒿素產量的方差分別為s12 , s,2,根據樣本數據，試估計s,2與2S2的大小只需寫出結論川從樣本中的山上與山下青蒿中各隨機選取1株，記這2株的產量總和為 ，求隨機變量 的分布列和數學期望.2甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是.6. 在4次獨立試驗中，事件A出現的概率相同， 假設事件A至少發生1次的概率是，那么事件A81在一次試驗中出現的概率是 .7. 隨機變量 服從二項分布, B 4,1 ，貝U P 1的值為2初中生組高中生組2. 某中學有初中學生1800人，高中學生1200人.為了解學生本學期課外閱讀時間，現采用分層

16、抽樣的方法，從中抽取了 100名學生，先統計了他們課外閱讀時間，然后按“初中學生和高中學生分為兩組，再將每組學生的閱讀時間單位：小時分為5組：0,10)，10,20)，20,30)，30,40)，40,50，并分別加以統計，得到如下列圖的頻率分布直方圖I寫出a的值；n試估計該校所有學生中，閱讀時間不小于30個小時的學生人數；川從閱讀時間缺乏 10個小時的樣本學生中隨機抽取3人，并用X表示其中初中生的人數，求 X的分布列和數學期望3. 為了解高一新生數學根底，甲、乙兩校對高一新生進行了數學測試現從兩校各隨機抽取10名新生的成績作為樣本，他們的測試成績的莖葉圖如下：甲校乙校5 191 1 2433

17、84 77 43277 88657 8(I) 比擬甲、乙兩校新生的數學測試樣本成績的平均值及方差的大小；只需要寫出結論(II) 如果將數學根底采用 A、B、C等級制，各等級對應的測試成績標準如下表：總分值100分，所有學生成績均在 60分以上測試成績85,1007(),85)(60,70)根底等級ABC假設每個新生的測試成 績互相獨立.根據所給數 據，以事件發生的頻率作為相應事件發 生的概率.從甲、乙兩校新生中各隨機抽取一名新生，求甲校新生的數學根底等級高于乙校新 生的數學根底等級的概率.4. 為降低霧霾等惡劣氣候對居民的影響，某公司研發了一種新型防霧霾產品每一臺新產品在進入市場前都必須進行兩

18、種不同的檢測，只有兩種檢測都合格才能進行銷售，否那么不能銷售該新型防霧霾產品第一種檢測不合格的概率為丄，第二種檢測不合格的概率為丄，兩種檢測是否6 10合格相互獨立.I求每臺新型防霧霾產品不能銷售的概率；n如果產品可以銷售， 那么每臺產品可獲利 40元；如果產品不能銷售，那么每臺產品虧損80元即 獲利80元現有該新型防霧霾產品 3臺，隨機變量 X表示這3臺產品的獲利，求 X的分布列 及數學期望.穩固練習1 4個球投入5個盒子中，那么：1每個盒子最多1個球的概率是 ;2恰有一個盒子放 2個球，其余盒子最多放 1個球的概率是 .2 把10支足球隊均勻分成兩組進行比賽，求兩支最強隊被分在1不同的組的

19、概率是 2同一組的概率 .310只晶體管中有8只正品，2只次品，每次任抽一個測試，求以下事件的概率1測試后放回，抽三次，第三只是正品的概率是 ;2測試后不放回，直到第 6只才把2只次品都找出來的概率是 .4. 甲、乙兩人進行射擊比賽，各射擊4局，每局射擊10次，射擊命中目標得 1分，未命中目標得0分兩人4局的得分情況如下：甲6699乙79xyI假設從甲的4局比賽中，隨機選取 2局，求這2局的得分恰好相等的概率；n如果x y 7，從甲、乙兩人的4局比賽中隨機各選取 1局，記這2局的得分和為X ,求X的分布列和數學期望；在4局比賽中，假設甲、乙兩人的平均得分相同，且乙的發揮更穩定，寫出x的所有可能取值結論不要求證明5.某