1、INDEX 流體的運動微分方程 元流的伯努利方程 過流斷面的壓強分布 總流的伯努利方程 氣體的伯努利方程 動量方程 動量矩定理流體的運動微分方程1.理想流體運動微分方程（1）平衡微分方程01xpX01ypY01zpZ01pf（2）運動微分方程dtudpf1歐拉運動微分方程分量式xpX1zuuyuuxuutuypYyzyyyxy1zuuyuuxuutuzpZzzzyzxz10zuyuxuzyx常與連續性微分方程聯立uutuzuuyuuxuutuxzxyxxx（1）（2）（3）2.粘性流體運動微分方程（粘性作用切應力）uutudtudupf21納維-斯托克斯方程（N-S方程）分量式zuuyuuxu

2、utuuxpXxzxyxxxx21zuuyuuxuutuuypYyzyyyxyy21zuuyuuxuutuuzpZzzzyzxzz21元流的伯努利方程1.理想流體元流的伯努利方程（1）推導方法一dzzpdyypdxxpZdzYdyXdx1dzdtdudydtdudxdtduzyx只有重力不可壓縮恒定流gdzpddp1222222uduuudzyx將（1）、（2）、（3）各式分別乘以dx、dy、dz，并相加022udpdgdzcupgz22cgugpzgugpz2222222111dzzpdyypdxxpZdzYdyXdx1dzdtdudydtdudxdtduzyx積分（2）推導方法二（功能原理

3、）壓力作功dQdtppdtudApdtudAp21222111u1u2p1p2dA1dA2z1z200（3）物理意義單位重量流體的總勢能（m）gpzgu22單位重量流體的動能（m）位置水頭+壓強水頭速度水頭單位重量流體的機械能守恒（總水頭不變）cgugpz222.粘性流體元流的伯努利方程2222222111whgugpzgugpz能量守恒3.方程適用范圍恒定流、不可壓縮、質量力是重力的元流4.應用：皮托管測流速gpgugp2212gpgph12ghcghu22ghpghp21hgchgu22水（）-水銀（）h12c流速系數（11.04）氣（） -液（）hgchgu22ghpghp21過流斷面的

4、壓強分布為推導總流的伯努利方程作準備均勻流0uu流線平行非均勻流漸變流急變流0uu流線近于平行過流斷面的選取均勻流、漸變流均勻流急變流漸變流1.過流斷面的壓強分布ApAglAp21cos21coszzlcgpzgpz2211服從流體靜力學規律p2p1lAGz2z1002.例hgghpBghhgpBCBAppp3.急變流壓強的分布沿慣性力方向，壓強增加、流速減小FI總流的伯努利方程1.總流的伯努利方程元流的伯努利方程推導：2222222111whgugpzgugpz兩邊同乘以gdQ，積分gdQhgugpzgdQgugpzw2222222111（1）勢能積分gdQgpz（2）動能積分dAugggu

5、dAgugdQgu3222122gQgvgAgv2223AvdAu33動能修正系數層流=2紊流=1.051.11gQgpzgdQgpz（3）水頭損失積分gQhgdQhwwwhgvgpzgvgpz222222221111總流的伯努利方程總流的伯努利方程與元流的伯努利方程區別（1）z1、z2總流過流斷面上同一流線上的兩個計算點相對于基準面的高程；（2）p1、p2對應z1、z2點的壓強（同為絕對壓強或同為相對壓強）；（3）v1、v2斷面的平均流速2.有能量輸入（Hi）或輸出（H0）的伯努利方程wihHgvgpzHgvgpz02222221111223.有分流（或匯流）的伯努利方程2122222111

6、22whgvgpzgvgpz312333211122whgvgpzgvgpz1122334.水頭線總水頭線總水頭線測壓管水頭線測壓管水頭線水流軸線水流軸線基準線基準線例 用直徑d=100mm的水管從水箱引水，水管水面與管道出口斷面中心高差H=4m，水位保持恒定，水頭損失hw=3m水柱，試求水管流量，并作出水頭線解：以0-0為基準面，列1-1、2-2斷面的伯努利方程whgvH20022smhHgvw/43. 422smAvQ/35. 0322作水頭線H112200總水頭線總水頭線測壓管水頭線測壓管水頭線2221AvAv連續性方程gpzgpzgddv22114211211能量方程（忽略損失）gvg

7、pzgvgpz2222222111例 文丘里流量計gpzgpzgdddAvQ22114212111214儀器常數KhhKQ流量系數（0.960.98）注意：水（）-水銀（）氣（）-液（）hhhKhh關于氣蝕：低壓區產生汽化，高壓區氣泡破滅空化，它造成流量減小，機械壁面造成疲勞破壞，這種有害作用稱氣蝕（空蝕）關于計算氣蝕的例子：大氣壓強97.3kPa，粗管徑d=150mm，水溫40，收縮管直徑應限制在什么條件下，才能保證不出現空化？（不考慮損失）10m解：水溫40，汽化壓強為7.38kPa大氣壓強mgpa10807. 92 .992103 .973mgpv76. 0807. 92 .992103

8、8. 73汽化壓強列1-1、2-2斷面的能量方程（必須用絕對壓強）列1-1、3-3斷面的能量方程（可用相對壓強）mgvgv24.19276. 0210102222gv2102311223310m連續性方程22232150dvvmmd1272例：定性作水頭線pp總水頭線總水頭線總水頭線總水頭線測壓管水頭線測壓管水頭線測壓管水頭線測壓管水頭線p總水頭線總水頭線測壓管水頭線測壓管水頭線p總水頭線總水頭線測壓管水頭線測壓管水頭線氣體的伯努利方程1.氣體的伯努利方程（1）用絕對壓強（m）wababhgvgpzgvgpz2222222111常用壓強表示（Pa）wababpvpgzvpgz222222211

9、1v1v2p1p2z1z200a1122（2）用相對壓強111aabppp1212222zzgpppppaaaab wapvpzzgvp2222212211用相對壓強計算的氣體伯努利方程v1v2p1p2z1z200a1122 wapvpzzgvp2222212211用相對壓強計算的氣體伯努利方程p靜壓v2/2動壓(a-)g(z2-z1)位壓注意：z2-z1下游斷面高度減上游斷面高度（）；a-外界大氣密度減管內氣體密度（） ；z2=z1或a=位壓為零2.壓力線22v 12zzgap總壓線勢壓線位壓線零壓線動壓靜壓位壓靜壓+動壓=全壓靜壓+動壓+位壓=總壓3.例：氣體由壓強為12mmH2O的靜壓箱

10、A經過直徑為10cm、長為100m的管子流出大氣中，高差為40m，沿管子均勻作用的壓強損失為pw=9v2/2，大氣密度a=1.2kg/m3，（a）當管內氣體為與大氣溫度相同的空氣時；（b）當管內為=0.8kg/m3燃氣時，分別求管中流量，作出壓力線，標出管中點B的壓強AB100m40mC解： （a）管內為空氣時，取A、C斷面列能量方程29222vvpA22 . 1922 . 18 . 91222vvsmv/43. 4smvAQ/0348. 03作壓力線PapA6 .1178 . 912Pav106292Pav7 .1122117.6B總壓線勢壓線pAAB100m40mC（b）管內為燃氣時，取A

11、、C斷面列能量方程 2922212vvzzgpaA28 . 0928 . 00408 . 98 . 02 . 18 . 91222vv4 .2486 .271581184 .2486 .27276即作壓力線276B總壓線勢壓線158位壓線p例：空氣由爐口a流入，通過燃燒，經b、c、d后流出煙囪，空氣a=1.2kg/m3，煙氣=0.6kg/m3，損失壓強pw=29v2/2，求出口流速，作出壓力線，并標出c處的各種壓強解：取a、b斷面列能量方程 22922212vvzzga26 . 02926 . 0508 . 96 . 02 . 122vv2 .28426 . 02942vsmv/7 . 5ab

12、cd0m5m50m作壓力線c點：總壓勢壓靜壓全壓pcc2pcc1pc3c1pc3c2294c3c2c1c總壓線勢壓線位壓線零壓線abd動 量 方 程解決流體與固體壁面的相互作用力1.動量方程控制體內流體經dt時間，由-運動到-，元流經dt時間，由1-2運動到1-2元流動量方程：Fd112211112222111222udAuudAuudQudQ總流動量方程：11112222udAuudAuFd111122221111122222vQvQvAvvAvFAvdAu22動量修正系數層流=1.33，紊流=1.05-1.021不可壓縮流體：211122vvQF分量式：xxxvvQF1122yyyvvQF

13、1122zzzvvQF1122適用范圍：恒定流、不可壓縮流體2.例：一水平放置的彎管，管內流體密度，流量Q，進出口管徑為d1、d2，d1處壓強為p1，彎管旋轉角，不計流動損失，求彎管所受流體作用力解：a.取1-1、2-2斷面間內的流體為控制體b.畫控制體的受力圖：c.連續性方程：d.能量方程（z1=z2=0）：gvgpgvgp22222211 p1A1、p2A2、FFx，Fyv1A1=v2A2v1v2p1p21122FxFyFf.解出Fx、Fyg.由牛頓第三定律，彎管受力F與F大小相等，方向相反e.動量方程:x0sinsin:222vQFApyy22yxFFFxyFFtgv1v2p1p2112

14、2FxFyF122211coscosvvQFApApx注意：1.如考慮水頭損失，只要在能量方程中考慮；2.動量方程是矢量式，分量式中要考慮符號的正負；3.牛頓第三定律例：水從噴嘴噴出流入大氣，已知D、d、v2，求螺栓組受力解：（a）取1-1、2-2斷面間的水為控制體（b）受力圖p1A1，F注意：（1）p2=0；（2）螺栓是作用在管壁上，不是作用在控制體內，千萬不可畫！dDv2v1p1F1122（d）能量方程（e）動量方程（f）解出F（g）由牛頓第三定律，螺栓組受力F與F大小相等、方向相反1211vvQFAp（c）連續性方程dDv2v1p1F1122例：來自噴嘴的射流垂直射向擋板，射流速度v0，

15、流量Q，密度，求擋板受射流作用力解：a.控制體b.受力圖：F注意：p1=p2=0c.動量方程（水平方向）：00vQFd.牛頓第三定律Q、v0F222211討論：1.如果射流在斜置光滑擋板，求擋板受力和Q1、Q2a.F擋板b.列擋板法線方向的動量方程：c.能量方程：sinsin000QvvQFgvgv222120gvgv222220021vvvQ、v0Q2、v2Q1、v1F牛頓第三定律Q、v0d.連續性方程：e.列擋板方向的動量方程：由c、d和e解出Q1、Q2022110QvvQvQQ1+Q2=QQ2、v2Q1、v1F2.如果射流在水平位置的小車，小車以速度v運動，求小車受力F及當小車v為何值時，可由射流獲得最大功率注意：控制體入流速度為相對速度vr=v0-v，流量為相對流量Qr=vrA=(v0-v)AV0AFvb.功率：vvvAFvN20c.0dvdN解01vv （舍）0231vv 300200max2743131AvvvvANa.動量方程：rrvQF020vvAF牛頓第三定律V0,AFv動 量 矩 定 理解決流體旋轉與固體壁面的相互作用力1.動量矩定理動量定理：動量矩定理：12vQvQF1122rvQrvQMrv22.例：從灑水器的下方注入高壓水流，上行至旋轉管處分為兩股，各旋轉臂經噴嘴切向噴出，水流Q=1000mL/s，每個噴嘴出口面積都為A2=30mm2，旋轉臂長r2=