1、什么是無旋流動和有旋流動什么是流線第四章 理想流體的旋渦運動流體的旋渦運動是自然界普遍存在的一種流動現象。例如 臺風、龍卷風依然在破壞亞洲、澳洲和美洲的海岸，每年吞噬這成千上萬人的生命。由于它的特殊性，人們對其認識在早期十分模糊，并且帶上一種神秘的色彩。百慕大三角區的旋渦更使人神秘莫測，另外旋渦還伴隨有飛機、艦船等的機械能損失。另一方面，旋渦有利于人類。現代生物力學證實主動脈竇內血液流動形成的蝸旋使主動脈瓣在射血結束時關閉，保證了人體血液循環的正常運行；利于三角翼形成的渦旋可增加機翼的升力；在水壩泄水口，為保證壩基不被急泄而下的水流沖壞，采用消能設備人為制造渦旋以消耗水流動能。渦旋運動的一些基

2、本概念和運動學特性 (a)圖是圓筒中水隨圓筒一起繞軸轉動形成的渦流，此時水的運動如同剛體一樣轉動，流體質點速度和離軸距離成正比 (b)圖是水中插一個旋轉的直圓柱面形成的渦流注意，自由面呈現拋物曲面形狀(c)圖是面漿中插一個旋轉直圓柱形成的渦流，有趣的是面漿會順著圓柱向上“爬”(d) 圖是流體以一定流速繞過圓柱時，圓柱后面將出現兩列交替排列的渦，稱為卡門渦街e) 圖是柱狀渦，旋風就是這一類渦流，通常直徑10m，面高達 1000m(f) 圖是碟狀渦，海洋和大氣層中很多為此類渦流和柱狀渦相反，其直徑達1000km，而高度約10km(g) 圖是人體主動脈竇內血液在主動脈辯開啟時所形成的渦流，正是這個渦

3、的作用使主動脈瓣在射血結束時關閉渦的這個作用早已由達 芬奇指出(h) 圖是銀河系的渦狀結構，天文測旦證實了這樣的結構此類結構的星系并不是唯一的，宇宙中成千成萬地存在著無旋流動有旋流動在圖(a)中，雖然流體微團運動軌跡是圓形，但由于微團本身不旋轉，故它是無旋流動； 在圖(b)中，雖然流體微團運動軌跡是直線，但微團繞自身軸線旋轉，故它是有旋流動。 在日常生活中也有類似的例子，例如兒童玩的活動轉椅，當轉輪繞水平軸旋轉時，每個兒童坐的椅子都繞水平軸作圓周運動，但是每個兒童始終是頭向上，臉朝著一個方向，即兒童對地來說沒有旋轉。判斷流體微團無旋流動的條件是：流體中每一個流體微團都滿足0zyx0rotV 流

4、體的流動是有旋還是無旋，是由流體微團本身是否旋轉來決定的。流體在流動中，如果流場中有若干處流體微團具有繞通過其自身軸線的旋轉運動，則稱為有旋流動。如果在整個流場中各處的流體微團均不繞自身軸線的旋轉運動，則稱為無旋流動。 這里需要說明的是，判斷流體流動是有旋流動還是無旋流動，僅僅由流體微團本身是否繞自身軸線的旋轉運動來決定，而與流體微團的運動軌跡無關， 4-1 渦量場以及旋渦的運動學特性 rotV速度的旋度稱為流場的速度的旋度稱為流場的渦量渦量 ),(tzyx是矢量流場，稱為渦量場 1 渦線、渦管和渦束渦線、渦管和渦束 1843年年H.L.F赫姆霍茨赫姆霍茨1. 渦線渦線定義定義: 某一瞬時漩渦

5、場中的一條曲線，曲線上任意一點的某一瞬時漩渦場中的一條曲線，曲線上任意一點的切線方向與該點流體微團的旋轉角速度一致。切線方向與該點流體微團的旋轉角速度一致。由定義推導出其微分方程，設某一點上流體微團的瞬時角速度為由定義推導出其微分方程，設某一點上流體微團的瞬時角速度為kjizyx取過該點渦線上的微元矢量為取過該點渦線上的微元矢量為kdzjdyidxld根據定義，這兩個矢量方向一致，矢量積為根據定義，這兩個矢量方向一致，矢量積為0，即，即0ldzyxdzdydx這就是渦線的微分方程。這就是渦線的微分方程。 渦面 在渦量場中任取一條非渦線的曲線，過該曲線的每一點作同一時刻的渦線，這些渦線將構成一個

6、曲面稱作渦面渦管定義渦管定義: 某一瞬時，在漩渦場中任取一封閉曲線某一瞬時，在漩渦場中任取一封閉曲線c(不是渦線不是渦線)，通過曲，通過曲線上每一點作渦線，這些渦線形成封閉的管形曲面。線上每一點作渦線，這些渦線形成封閉的管形曲面。如果曲線如果曲線c構成的是微小截面，那么該渦管稱為構成的是微小截面，那么該渦管稱為微元渦管微元渦管。橫斷渦。橫斷渦管并與其中所有渦線垂直的斷面稱為渦管斷面，在微小斷面上，管并與其中所有渦線垂直的斷面稱為渦管斷面，在微小斷面上，各點的旋轉角速度相同。各點的旋轉角速度相同。n/ /n2 渦通量和速度環量渦通量和速度環量對有限面積，則通過這一面積的對有限面積，則通過這一面積

7、的渦通量渦通量定義為定義為AdAJlld速度環量速度環量定義定義: 某一瞬時在流場中取任意閉曲線某一瞬時在流場中取任意閉曲線 ，在線上取一微元線段在線上取一微元線段 ，速度，速度 在在 切線上切線上的分量沿閉曲線的分量沿閉曲線 的線積分，的線積分，即為沿該閉合曲線的速度環量。即為沿該閉合曲線的速度環量。開爾文開爾文1869年年VllldlVldVcoslld速度環量是標量，有正負號，規定沿曲線逆時針繞行的方速度環量是標量，有正負號，規定沿曲線逆時針繞行的方向為正方向，沿曲線順時針繞行的方向為負方向。向為正方向，沿曲線順時針繞行的方向為負方向。速度環量是旋渦強度的量度，通常用來描述漩渦場。速度環

8、量是旋渦強度的量度，通常用來描述漩渦場。證：流體以等速度證：流體以等速度v0水平方向流動，先求沿圖所示的矩形封閉曲水平方向流動，先求沿圖所示的矩形封閉曲線的速度環量，線的速度環量，000004134231212341bvbv其次求沿圖所示圓周線的速度環量其次求沿圖所示圓周線的速度環量0)90cos(coscoscos2002002000drvdrvrdvdsvoKK同樣可證，均勻流中沿任何其他封閉曲線的速度環量等于零。同樣可證，均勻流中沿任何其他封閉曲線的速度環量等于零。例題例題1 證明均勻流的速度環量等于零。證明均勻流的速度環量等于零。實際上，速度環量所表征的是流體質點沿封閉曲線K運動的總的

9、趨勢的大小，或者說所反映的是流體的有旋性。kwj vi uVkzj yi xlddddzwyvxulVddddllzwyvxulV)ddd(d由 Stokes 定理llV dJdAA渦通量J與速度環量 雖然都能用來表征旋渦的特性，但是在某些時況下，利用速度環量往往更為方便，這是因為速度環量是線積分，被積函數是速度本身；而渦通量則是面積分，被積函數是速度的偏導數再考慮例1 3渦管強度守恒定理AdAJ內容：在同一時刻、同一渦管的各個截面上，渦通量（渦管強度）都是相同的稱為該瞬時渦管的強度若 A為某瞬時渦管的某一橫截面，則渦通量1n2n3n2n1A2A3A321AAAA321321AAAAdAndA

10、ndAndAJ03 n2121AAAdAndAndAJ由 Gauss定理0ddivdAA02121AAdAndAn22nn2121AAdAndAn對于微元渦管對于微元渦管11A22A近似認為近似認為11/ /n22/ /n由渦管強度守恒定理由渦管強度守恒定理1122AA （1）對于同一微元渦管，截面越小的地方，渦量越大（2）渦管截面不可能收縮到零 (?) 。渦管（渦線）本身首尾相接，形成一封閉的渦環或渦圈；渦管（渦線）兩端可以終止于所研究流體的邊壁上（固體壁面或自由面）。4-2 Kelvin速度環量定理 渦管強度守恒定理指出：同一時刻渦管不同截面的渦通量是相同的，然而Stokes定理又指出任一

11、封閉曲線上的速度環量等于以該曲線為周界的任意曲面的渦通量。由此，我們知道，同一時刻繞渦管的任意封閉曲線的速度環量相等但是，不同時刻的情況如何呢?下面將討論這個問題1 速度環量隨時間的變化率速度環量隨時間的變化率 首先引出首先引出流體線流體線(也稱為時間線也稱為時間線)的概念。（與跡線相關）的概念。（與跡線相關）流體線：指在流場中任意指定的一段線，該線段在運動過程中始流體線：指在流場中任意指定的一段線，該線段在運動過程中始終是由同樣的流體質點所組成終是由同樣的流體質點所組成。 (體系體系)封閉流體線速度環量對時間的變化率等于此封閉流體線的加速度環量ddtldldtdVKelvin方程 )()(t

12、dtldltVtdVVldtlddV)()(dldtdVdldtdVdlVdtddVVdldtdV)2(2VddldtdV)(lldlVdtddlVdtddtdllVddldtdV)2(2ldldtdV t時刻時刻ttltdtldltVtdVV)(流體線微元流體線微元t 時刻流體線微元lt + 時刻流體線微元tdtldl)(tddtldldtdV2 Kelvin環量定理 正壓性正壓性的的理想理想流體在流體在有勢的質量力有勢的質量力作用下沿任何作用下沿任何封閉流體線的速度環量不隨時間而變化，即封閉流體線的速度環量不隨時間而變化，即0dtd體力有勢體力有勢gradF流體是正壓的流體是正壓的Pgra

13、dpgrad1pgradFVVtVdtdV1)(PgradgraddtdV()()0lllddVdlgradgradPdldPdtdt 對于密度函數僅與壓力有關的理想流體，當體力有勢時，沿任何封閉流體線的速度環量在流體運動的全部時間內將保持不變由 Kelvin方程1 渦線、渦管和渦束渦線、渦管和渦束2 渦通量和速度環量的關系渦通量和速度環量的關系3渦管強度守恒定理4 Kelvin定理 4-3 Lagrange定理 在有勢的質量力作用下，正壓理想流體中，在某一時刻流體內的在有勢的質量力作用下，正壓理想流體中，在某一時刻流體內的某一部分內沒有旋渦，則在以前或以后的時間內，該部分流體內某一部分內沒有

14、旋渦，則在以前或以后的時間內，該部分流體內也不會有旋渦。也不會有旋渦。證明：由條件知，在某一時刻（可認為是初始時刻），在被研究的那部分流體中，處處有 ，則由Stokes公式知 0LlV d0AndA由 Kelvin定理，沿上述任意封閉流體線的速度環量，在以前或以后的時間內將保持為零A是以封閉流體線L為邊界的流體面再利用由Stokes公式，對于完全位于所討論的那部分流體中的任何流體曲面A而言，在運動過程中，始終有LlV d0AAdAndA由于曲面A選取的任意性，故要使上式成立，則必須處處有 02 亥姆霍茲亥姆霍茲(Helmholtz ）方程）方程理想流體運動中渦量理想流體運動中渦量 必須滿足的方

15、程必須滿足的方程 。pgradFVVtV1)(pgradFVVgradtV1)2(2)1()()2()(2pgradrotrotFVrotVrotgradtVrottrotVttVrot)()(0)2(2VrotgraddivVVVVrot)()()()(1)1(2pgradgradpgradrot)(1)()(2pgradgradrotFdivVVVt公式11在有勢的質量力作用下，正壓理想流體在有勢的質量力作用下，正壓理想流體0rotF0pgradgrad0)()(divVVVt亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程它為動力學方程。優點是不出現壓力、體力和密度，而只包含速度它為動力學方程。優點是不出現壓力

16、、體力和密度，而只包含速度和渦量和渦量3 關于旋渦的形成和消失關于旋渦的形成和消失由Lagrange定理可知，當流體滿足下述三個條件：(1)流體是理想的：(2)流場是正壓的，(3)體力是有勢的時，若流體在某時刻的運動有旋，則將永遠有旋；若流體某時刻的運動無旋，則將永遠無旋即流場中的旋渦既不會產生也不會消失因此，Lagrange定理是判斷流場是否有旋的重要定理（1）無窮遠均勻來流繞流物體的流場是無旋流場；（2）物體在靜止流場中的運動所造成的流場也是無旋流場等等但要特別指出的是，如果上述三個條件中有一個條件得不到滿足旋渦就既可以產生，也可以消失這說明等壓面與等密度面處處重合在實際流體的流場中，開始

17、并不存在旋渦，只是流體繞過物體或在實際流體的流場中，開始并不存在旋渦，只是流體繞過物體或流體流經特變的邊界時才產生旋渦。這表明，旋渦既能在流體中流體流經特變的邊界時才產生旋渦。這表明，旋渦既能在流體中產生也會在流體中消失。產生也會在流體中消失。粘性粘性是旋渦產生和消失的根本原因。是旋渦產生和消失的根本原因。 流線不能突然折轉，因而在圖的物體尾部，必然有一部分流體不能參與主流方向的運動，而被主流帶動產生渦旋這樣就消耗了主流的能量，或者增大了運動物體的阻力。如果將物體平直的尾部改成圓滑的“流線型”形狀，則可以減小尾部的渦旋，改善運動物體的動力性能，所謂“流線型”就是適應流線不能突然折轉而采取的減少

18、阻力的措施。在局部裝置處經常出現渦旋區和速度的重新分布。 渦旋區中，流體不規則地旋轉、碰撞、回流，往往給主流運動造成巨大的阻礙，消耗主流運動的能量，導致壓強、水頭、能量的降低，這種渦旋區的存在是局部阻力的普遍現象。1渦線保持定理渦線保持定理在有勢的質量力作用下，正壓理想流體中，在某一時刻構成渦面、在有勢的質量力作用下，正壓理想流體中，在某一時刻構成渦面、渦線或渦管的流體質點，在運動的全部時間內將仍然構成渦面、渦線或渦管的流體質點，在運動的全部時間內將仍然構成渦面、渦線或渦管渦線或渦管 （正壓性的理想流體在有勢的質量力作用下，渦管永正壓性的理想流體在有勢的質量力作用下，渦管永遠保持為由相同流體質

19、點組成的渦管。遠保持為由相同流體質點組成的渦管。）4-4 渦線及渦管強度保持定理渦線及渦管強度保持定理 （亥姆霍茲旋渦定理）（亥姆霍茲旋渦定理）在初始時刻流體渦面 上，任取一個封閉流體線L為周界的流體曲面 A，依據渦面的定義和Stokes公式 *ALlV d0AndA考慮以后任意時刻 ,*A*1AL1LLdlVdtddtd0LLdlVdlV1LdlV010LdlV由 Stokes公式01AndA首先證明渦面的保持性：在初始時刻組成渦面的流體質點，在以后任一時刻也永遠組成渦面因為周線 可取任意小，而且它可位于 面上的任意位置，因此在 面上任一點都應有 1L1A1A0n即 為渦面1A渦管永遠保持為

20、由相同流體質點組成的渦管。渦管永遠保持為由相同流體質點組成的渦管。渦面永遠保持為由相同流體質點組成的渦面。渦面永遠保持為由相同流體質點組成的渦面。下面證明渦線保持定理下面證明渦線保持定理在初始時刻取一渦線 ，通過 作兩個相交的渦面 與 LLaAbA以后任一時刻1taA1aAbA1bAL1L由渦面保持定理 都是渦面bA1bA所以 是渦線 1L流體質點凍結在渦線上隨渦線一起運動。流體質點凍結在渦線上隨渦線一起運動。2 渦管強度保持定理渦管強度保持定理 在有勢的質量力作用下，正壓理想流體中任何渦管的強度不隨時在有勢的質量力作用下，正壓理想流體中任何渦管的強度不隨時間而變化，永遠保持定值。間而變化，永

21、遠保持定值。11LAndlVdAJ由Kelvin定理，沿上述封閉流體周線的速度環量在運動的全部時間內保持不變0dtd再由渦管表面保持性，渦管強度在運動中永遠保持不變01dAdtddtdJAn渦管強度守恒定理渦管強度守恒定理 ？ 例 在理想、不可壓縮流體的定常流動中，若體力有勢，試證明：（1） 對于平面流動，沿流線渦量保持不變（2） 對于 的軸對稱流動， 沿流線保持不變0Vr證明：對于平面流動，存在kwz00在流動平面（xy）上，任取一小流管（寬度為一個單位的流層）在流管中做面積為 的微元渦管，根據渦管強度保持定理121A2Axy1A2211AA根據連續性方程 21AA因為流體不可壓縮 21AA

22、 常量21所以 沿流線 沿流線渦量 總與z軸平行，且數值不變。所以渦量 沿流線保持不變（2）對于 的軸對稱流動，存在 因此0V0eezVrVrotVrz)(r11A2Axr在流管中做面積為 的微元渦管，根據渦管強度保持定理1A2211AA對于不可壓縮流體，根據質量守恒原理，組成上述環形渦管的流體質量應守恒 221122ArAr1221rrAA常量2221rrr2 4-5 旋渦的形成 形成旋渦的原因可能是以下三個中的一個：（1）流體是非理想的 （2）流體是非正壓的 （3）體力是無勢的 1 流體是非正壓時旋渦的形成 仍考慮 流體是理想的，體力是有勢的gradpgraddtdV1 由Kelvin 方

23、程LLLLLddpdlgraddlpgraddldtdVdtd11 由此得Ldpdtd1Ldpdtd1比容為了闡明上述方程右端項放入意義，下面引進等壓等容管概念 p=常量稱為等壓面 =常量稱為等容面對于正壓情況， 等壓面和等容面是重合的)(pp 對封閉流線L但對于非正壓情況，等壓面和等容面彼此相交的作一系列單位間距的等壓面和等容面,將流體空間分為一系列管子,稱為單位等壓-等容管DACDBCABLpdpdpdpdpd1在AD、BC上，p恒定， dp=0在AB、DC上， 恒定1) 1() 1(00101000001ppppLdpdppd11Lpd負單位管積分環行方向為負；正單位管；積分環行方向為正

24、111Lpd1NpdL當周線L包含N1個正的單位等壓-等容管當周線L包含N2個負的單位等壓-等容管2NpdL010p10ABCD0ppgradgrad對于ABCD的周線 1Lgradp到grad 為正方向1L2L個負的只包圍個正的只包圍2211NLNLL2121NNpdpdpdLLL21NNdtdBjerknes定理(伯耶克內斯) 如果流體是理想的，且體力是有勢的，則沿著任何封閉流體線L的速度環量對時間的導數將等于穿過此周線L的正的與負的單位等壓-等容管數目之差llV dJdAA對于處在有勢體力作用下的理想、非正壓流體，通過任何流體面A的渦通量對時間的導數將等于穿過該流體面力的正的與負的單位等

25、壓等容管數目之差 由于速度環量刻劃了漩渦的性質，所以，等壓面與等容面的相交便是旋渦形成的原因之一他們發現，每年的11月到第二年的3月，風總是從東北方的大陸上吹來，拂動著海水向西南流去。這時的海上總是晴空萬里，積云和雨水都很少。4月至11月則恰恰相反，出現西南風，驅趕著云濤和海流不斷馳向東北方，海上的雷雨也比較多。 橫渡印度洋的辦法找到了！說起來道理很簡單，只消掌握住風向和海流的變化規律，就能定期揚帆到遠方去貿易，并能按時順風返回故鄉。夏、秋兩季，可以利用西南風直航印度；冬、春季兩行，再順著東北風返回阿拉伯半島和非洲。 依靠季風的幫助，他們十分順利地建立起了和非洲、印度的聯系。接著，印度和波斯的

26、船只也出現在這條航線上。由于這種按季節而變化的定向風幫了商船隊的大忙，所以人們就把它稱作貿易風貿易風 信風信風。貿易風貿易風假定地球是圓球，在高度相同的地方壓力相同，即等壓面是以地心為中心的球面；由于太陽對地球表面照射強度不同，同一高度，赤道要比北極溫度高。因此，沿球面從北極向赤道溫度逐步升高，根據氣體狀態方程RTp可以看到，比容 由北極向赤道逐步增大；此外，在同一地點，高度越高，空氣越稀薄，比容也越大。所以等容面不是球面，而是自赤道到北極向上傾斜。這樣，沿 到 有正的單位等壓等容管，即 。從而是空氣沿地面從北緯流向南緯，在赤道上升，然后再從上層流回北緯，在北緯處再下降到地面。這種環流就是貿易

27、風pgradgrad0 dtd3 體力無勢的時漩渦的產生假設理想流體，但不正壓。以地球表面上大氣運動為例說明體力無勢時漩渦的產生考慮地球自轉，在運動坐標系中流體的相對運動方程為)(21rervapgradFdtdv)2(22RgradaeR為所研究的流體質點到地球自轉軸的距離地球引力有勢gradF)(21)2(22rrvpgradRgraddtdvLrLLrdlvdlpgraddldtdvdtd)(21第一項反映對速度環量變化的影響，將產生貿易風由于貿易風，在圓周L上每一點將有自北緯到南緯運動的速度，L逆時針為正RLrvdl0)()(dlvdlvrr所以Coriolis力無勢將使即隨著時間的增

28、長， 將減小0dtd這樣，就產生按順時針方向由東向西的 風。因此，貿易風將不是嚴格地自北向南吹，而是自東北向西南吹 LrLLrdlvdlpgraddldtdvdtd)(214.6 由渦量場和散度場決定速度場 流動區域出現漩渦時，流動狀態將發生變化。所以確定漩渦引起的速度場常常是重要的。5.3 由渦量場決定速度場 設在流場中，同時存在渦旋場和散度場 （1） VrotqVdiv,其中 分別為已知的速度散度和渦量函數，現要求這散度和渦量場所決定的速度場V),(tzyxqq ),(tzyx1 基本方程的歸結 由流體與物面即不分離又不滲透的條件可知，物面上流體的法向速度 應等于物體本身的法向速度 ，即w

29、nV)(wwnV wnV)(wwnV 將速度V分解為三部分 （3）aveVVVV （2）將（3）式帶入基本方程（1）和邊界條件（2）qVVVdivave)()(aveVVVrotwwwavenVnVVV)(0eeVrotqVdiv它們可分解為vvVrotVdiv0wwvwewwaaanVVVnVVrotVdiv)()()(000eeVrotqVdiv必存在速度勢eeegradVqe2以上三組方程和邊界條件與原基本方程及邊界條件的提法是完全等價的對 而言，相當 于求滿足Poisson任一特解e第一組方程vvVrotVdiv0必存在矢量勢vBvvBrotV)(vBrotrotvvBdivBgrad

30、2)(若假定 稍后說明含義0vBdivvB2對 而言，也相當 于求滿足Poisson任一特解vB0eeVrotqVdiv它們可分解為vvVrotVdiv0wwvwewwaaanVVVnVVrotVdiv)()()(0015式第二組方程wwvwewwaaanVVVnVVrotVdiv)()()(00這是一組無散度和無旋的流動。由無旋條件 必存在速度勢aaagradV代入無散度條件02a所對應的邊界條件wwvwewwawanVVVnVn)()()(式中的 與 由第一組和第二組方程的特解給出weV )(wvV )(因此，求已知散度場和旋度場引起的流動，可以歸結為求解兩個與散度和旋度有關的Poisso

31、n方程的特解，以及一個Laplace方程及其邊界條件的解下面僅討論給定旋度場的不可壓縮流動（第二組方程）Laplace方程第三組方程0vBdivvB2給定旋度場的不可壓縮流動相當于給定旋度場的無散度流動vB2是矢量型泊松方程，有解drtBv),(41),(t為渦量場dd d d 222)()()(zyxr為積分元到所感應點的距離 現在假設點源所在的點M的坐標為( )，其強度為，要求它在M點以外任一點P(x,y,z)處所定的邊度場,d),(第二組方程對應的誘導速度場為drtrotrotBVvv),(41drtrotdrtrotrotBVvv),(41),(4132)1()(rrrrgradrgradrrotdrrVv341（4-56）0vBdiv的力學含義041dArnBdivAv對于任意一點，要求在邊界 A上，處處滿足0